生产与服务运作管理中的优化问题

生产与服务运作管理中的优化问题优化建模与LINDO/LINGO软件第5章内容提要§5.1生产与销售计划问题§5.2有瓶颈设备的多级生产计划问题§5.3下料问题§5.4面试顺序与消防车调度问题§5.5飞机定位和飞行计划问题§5.1生产与销售计划问题§5.1.1问题实例例5.1某公司用两种原油（A和B）混合加工成两种汽油（甲和乙）。甲、乙两种汽油含原油A的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600元。该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A。原油A的市场价为：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。该公司应如何安排原油的采购和加工。§5.1.2建立模型问题分析安排原油采购、加工的目标是利润最大，题目中给出的是两种汽油的售价和原油A的采购价，利润为销售汽油的收入与购买原油A的支出之差。这里的难点在于原油A的采购价与购买量的关系比较复杂，是分段函数关系，能否及如何用线性规划、整数规划模型加以处理是关键所在。模型建立设原油A的购买量为x（吨），根据题目所给数据，采购的支出c(x)可表为如下的分段线性函数（以下价格以千元/吨为单位）：(1)设原油A用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为x11和x12（吨），原油B用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为x21和x22（吨），则总的收入为4.8(x11+x21)+5.6(x12+x22)（千元）。于是本例的目标函数（利润）为(2)约束条件包括加工两种汽油用的原油A、原油B库存量的限制，和原油A购买量的限制，以及两种汽油含原油A的比例限制，它们表示为（3）（4）（5）（6）（7）（8）由于（1）式中的c(x)不是线性函数，（1）~（8）给出的是一个非线性规划。而且，对于这样用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和求解。能不能想办法将该模型化简，从而用现成的软件求解呢？§5.1.3求解模型3种解法第1种解法将原油A的采购量x分解为三个量，即用x1，x2，x3分别表示以价格10、8、6千元/吨采购的原油A的吨数，总支出为c(x)=10x1+8x2+6x3，且(9)这时目标函数（2）变为线性函数：(10)应该注意到，只有当以10千元/吨的价格购买x1=500（吨）时，才能以8千元/吨的价格购买x2（>0），这个条件可以表示为 (11)同理，只有当以8千元/吨的价格购买x2=500（吨）时，才能以6千元/吨的价格购买x3（>0），于是(12)此外，x1，x2，x3的取值范围是(13)由于有非线性约束(11),(12)，(3)~(13)构成非线性规划模型。LINGO程序：Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12<x+500;x21+x22<1000;0.5*x11-0.5*x21>0;0.4*x12-0.6*x22>0;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;@bnd(0,x1,500);@bnd(0,x2,500);@bnd(0,x3,500);end将文件存储并命名为exam0501a.lg4，执行菜单命令“LINGO|Solve”，运行该程序得到：

Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:4800.000Totalsolveriterations:26

VariableValueReducedCostX11500.00000.000000X21500.00000.000000X120.0000000.000000X220.0000000.000000X10.0000000.000000X20.0000000.000000X30.0000000.000000X0.0000000.000000最优解:用库存的500吨原油A、500吨原油B生产1000吨汽油甲，不购买新的原油A，利润为4800（千元）但是此时LINGO得到的结果只是一个局部最优解可以用菜单命令“LINGO|Options”在“GlobalSolver”选项卡上启动全局优化（UseGlobalSolver）选项，然后重新执行菜单命令“LINGO|Solve”,得到：

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:5000.002Extendedsolversteps:3Totalsolveriterations:187VariableValueReducedCostX110.0000000.000000X210.0000000.000000X121500.0000.000000X221000.0000.000000X1500.00000.000000X2499.99900.000000X30.9536707E-030.000000X1000.0000.000000 此时LINGO得到的结果是一个全局最优解（Globaloptimalsolution）：购买1000吨原油A，与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起，共生产2500吨汽油乙，利润为5000（千元），高于刚刚得到的局部最优解对应的利润4800（千元）。第2种解法:

引入0-1变量将（11）和（12）转化为线性约束令y1=1，y2=1，y3=1分别表示以10千元/吨、8千元/吨、6千元/吨的价格采购原油A，则约束（11）和（12）可以替换为(14)(15)(16)

y1，y2，y3=0或1(17)（3）~（10），（13）~（17）构成混合整数线性规划模型，将它输入LINDO软件：Max4.8x11+4.8x21+5.6x12+5.6x22-10x1-8x2-6x3stx-x1-x2-x3=0x11+x12-x<500x21+x22<10000.5x11-0.5x21>00.4x12-0.6x22>0x1-500y1<0x2-500y2<0x3-500y3<0x1-500y2>0x2-500y3>0endinty1inty2inty3运行该程序得到：OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)5000.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000Y31.0000001200.000000X110.0000000.800000

X210.0000000.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1500.0000000.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000这个结果与前面非线性规划模型用全局优化得到的结果相同。第3种解法

直接处理分段线性函数c(x)。（1）式表示的函数c(x)如图5-1。c(x)x1200090005000050010001500图5-1分段线性函数c(x)图形记x轴上的分点为b1=0,b2=500,b3=1000,b4=1500。当x在第1个小区间[b1,b2]时，记x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z2≥0,因为c(x)在[b1,b2]是线性的，所以c(x)=z1c(b1)+z2c(b2)。同样，当x在第2个小区间[b2,b3]时，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z3≥0,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3)。当x在第3个小区间[b3,b4]时，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4≥0,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4)。为了表示x在哪个小区间，引入0-1变量yk(k=1,2,3)，当x在第k个小区间时，yk=1，否则，yk=0。这样,z1,z2,z3,z4,y1,y2,y3应满足(18)(19)(20)此时x和c(x)可以统一地表示为（2）~（10），（18）~（22）也构成一个混合整数线性规划模型，可以用LINDO求解。不过，我们还是将它输入LINGO软件，因为其扩展性更好（即当分段函数的分段数更多时，只需要对下面程序作很小的改动）。输入的LINGO模型如下：(22)输入的LINGO模型如下：Model:SETS:Points/1..4/:b,c,y,z; !端点数为4，即分段数为3;ENDSETSDATA:b=050010001500;c=05000900012000;y=,,,0; !增加的虚拟变量y(4)=0;ENDDATAMax=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-@sum(Points:c*z);x11+x12<x+500;x21+x22<1000;0.5*x11-0.5*x21>0;0.4*x12-0.6*x22>0;@sum(Points:b*z)=x;@for(Points(i)|i#eq#1:z(i)<=y(i));@for(Points(i)|i#ne#1:z(i)<=y(i-1)+y(i));@sum(Points:y)=1;@sum(Points:z)=1;@for(Points:@bin(y));end求解，得到的结果如下（略去已知参数b和c的显示结果）：

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:5000.000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:28

VariableValueReducedCostX110.0000000.000000X210.0000001.600000X121500.0000.000000X221000.0000.000000X1000.0000.000000Y(1)0.000000-4600.000Y(2)0.000000-1200.000Y(3)1.0000000.000000Y(4)0.0000000.000000Z(1)0.0000000.000000Z(2)0.0000000.000000Z(3)1.0000000.000000Z(4)0.000000200.0000可见，得到的最优解和最优值与第2种解法相同。备注这个问题的关键是处理分段线性函数，我们推荐化为整数线性规划模型的第2,3种解法，第3种解法更具一般性，其做法如下。设一个n段线性函数f(x)的分点为引入zk

将x和f(x)表示为(23)(24)zk

和0-1变量yk满足(25)(26)(27)§5.2有瓶颈设备的多级生产计划问题§5.2.1问题实例在给定的外部需求和生产能力等限制条件下，按照生产总费用最小编制未来若干个生产周期的最优生产计划，这种问题在文献上一般称为批量问题（LotsizingProblems）。我们通过下面的具体例子来说明这种多级生产计划问题的优化模型。这里“多级”的意思是需要考虑产品是通过多个生产阶段（工艺过程）生产出来的。例5.2某工厂的主要任务是通过组装生产产品A，用于满足外部市场需求。A产品的产品构成与组装过程见图5-2：即D、E、F、G是从外部采购的零件，先将零件D、E组装成部件B，零件F、G组装成部件C，然后将部件B、C组装成产品A出售。图中弧上的数字表示的是组装时部件（或产品）中包含的零件（或部件）的数量（可以称为消耗系数），例如DB弧上的数字“9”表示组装1个部件B需要用到9个零件D；BA弧上的数字“5”表示组装1件产品A需要用到5个部件B；依此类推。瓶颈设备加工ABCDEFG579111315图5-2产品构成与组装过程图表5-1生产计划的原始数据周次123456A的外部需求40010009010瓶颈能力

1000005000500010001000零部件编号ABCDEFG生产准备费用4005001000300200400100单件库存费用120.61.00.040.030.040.04假设该工厂每次生产计划的计划期为6周（即每次制定未来6周的生产计划），只有最终产品A有外部需求，目前收到的订单的需求件数按周的分布如表5-1第2行所示。部件B、C是在该工厂最关键的设备（可以称为瓶颈设备）上组装出来的，瓶颈设备的生产能力非常紧张，具体可供能力如表5-1第3行所示（第2周设备检修，不能使用）。B、C的能力消耗系数分别为5和8，即生产1件B需要占用5个单位的能力，即生产1件C需要占用8个单位的能力。对于每种零部件或产品，如果工厂在某一周订购或者生产该零部件或产品，工厂需要付出一个与订购或生产数量无关的固定成本（称为生产准备费用）；如果某一周结束时该零部件或产品有库存存在，则工厂必须付出一定的库存费用（与库存数量成正比）。这些数据在表5-1第5、6行给出。按照工厂的信誉要求，目前接收的所有订单到期必须全部交货，不能有缺货发生；此外，不妨简单地假设目前该企业没有任何零部件或产品库存，也不希望第6周结束后留下没有任何零部件或产品库存。最后，假设不考虑生产提前期，即假设当周采购的零件马上就可用于组装，组装出来的部件也可以马上用于当周组装成品A。在上述假设和所给数据下，如何制定未来6周的生产计划？§5.2.2建立模型问题分析这个例子考虑的是在有限的计划期内,给定产品结构、生产能力和相关费用及零部件或成品（以下统称为生产项目）在离散的时间段上（这里是周，也可以是天、月等）的外部需求之后,确定每一生产项目在每一时间段上的生产量(即批量),使总费用最小.由于每一生产项目在每一时间段上生产时必须经过生产准备(Setup),所以通常的讨论中总费用至少应考虑生产准备费用和库存费用.其实，细心的读者一定会问：是否需要考虑生产的直接成本（如原材料成本、人力成本、电力成本等）？符号说明为了建立这类问题的一般模型，我们定义如下数学符号：N--------生产项目总数（本例中N=7）;T--------计划期长度（本例中T=6）;K--------瓶颈资源种类数（本例中K=1）;M--------一个充分大的正数，在模型中起到使模型线性化的作用;-----项目i在t时段的外部需求（本例中只有产品A有外部需求）;

-----项目i在t时段的生产批量;

-----项目i在t时段的库存量;-----项目i在t时段是否生产的标志

(0：不生产,1：生产);

-----产品结构中项目j对项目i的消耗系数;S(i)-----产品结构中项目i的直接后继项目集合;

-----项目i在t时段生产时的生产准备费用;

-----项目i在t时段的单件库存费用;

-----资源k在t时段的能力上限;

---项目i在t时段生产时,生产单个产品占用资源k

的能力;δ(x)----这个函数当且仅当x>0时取值1,否则取值0.在上述数学符号中，只有为决策变量;其余均为已知的计划参数。目标函数这个问题的目标是使生产准备费用和库存费用的总和最小。因此，目标函数应该是每个项目在每个时段上的生产准备费用和库存费用的总和，即(28)约束条件这个问题中的约束有这么几类：每个项目的物流应该守恒、资源能力限制应该满足、每时段生产某项目前必须经过生产准备和非负约束（对Yi,j是0-1约束）。(29)资源能力限制比较容易理解，即(30)所谓物流守恒（假设Ii,0=0）(31)每时段生产某项目前必须经过生产准备，也就是说当Xit=0时Yit=0；Xit>0时Yit=1。这本来是一个非线性约束，但是通过引入参数M（很大的正数，表示每个项目每个时段的最大产量）可以化成线性约束，即：总结:这个问题的优化模型就是在约束（29）（30）（31）下使目标函数（28）达到最小。§5.2.3求解模型本例生产项目总数N=7(A、B、C、D、E、F、G)，计划期长度T=6（周），瓶颈资源种类数K=1。只有A有外部需求，所以di,t中只有d1,t可以取非零需求，即表5-1中的第2行的数据，其他全部为零。参数si,t

、hi,t只与项目i有关，而不随时段t变化，所以可以略去下标t，其数值就是表5-1中的最后两行数据。由于只有一种资源，参数Ck,t可以略去下标k，其数值就是表5-1中的第3行的数据；而ak,I,t只与项目i有关，而不随时段t变化，所以可以同时略去下标k和t，即a2=5，a3=8（其他ai为0）。从图6-2中容易得到项目i的直接后继项目集合S(i)和消耗系数。准备以下的数据文件（文本文件exam0502.LDT，可以看到其中也可以含有注释语句）：!项目集合;A B C D E F G~!计划期集合;1 2 3 4 5 6~!需求;40 0 100 0 90 10000000000000000000000000000000000000~!能力;10000 0 5000 5000 1000 1000~!生产准备费;400 500 1000 300 200 400 100~!库存费;12 0.6 1.0 0.04 0.03 0.04 0.04~!对能力的消耗系数；0 5 8 0 0 0 0~!项目间的消耗系数:req(i,j)表示j用到多少i;0000000500000070000000900000011000000013000000150000!数据结束;对本例，A的外部总需求为240，所以任何项目的产量不会超过240×7×15<25000（从图6-2可以知道，这里7×15已经是每件产品A对任意一个项目的最大的消耗系数了），所以取M=25000就已经足够了。本例中的具体模型可以如下输入LINGO软件：MODEL:TITLE瓶颈设备的多级生产计划;!从文本文件exam0502.LDT中读取数据;SETS:!PART=项目集合,Setup=生产准备费，Hold=单件库存成本，

A=对瓶颈资源的消耗系数;PART/@FILE('exam0502.LDT')/:Setup,Hold,A;!TIME=计划期集合，Capacity=瓶颈设备的能力;TIME/@FILE('exam0502.LDT')/:Capacity;!USES=项目结构关系，Req=项目之间的消耗系数;USES(PART,PART):Req;!PXT=项目与时间的派生集合，Demand=外部需求,X=产量（批量）,Y=0/1变量，INV=库存;PXT(PART,TIME):Demand,X,Y,Inv;ENDSETS!目标函数;[OBJ]Min=@sum(PXT(i,t):

setup(i)*Y(i,t)+hold(i)*Inv(i,t));!物流平衡方程;@FOR(PXT(i,t)|t#NE#1:[Bal]Inv(i,t-1)+X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req(i,j)*X(j,t)));@FOR(PXT(i,t)|t#eq#1:[Ba0]

X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req(i,j)*X(j,t)));!能力约束;@FOR(TIME(t):[Cap]@SUM(PART(i):A(i)*X(i,t))<Capacity(t));

!其他约束;M=25000;@FOR(PXT(i,t):X(i,t)<=M*Y(i,t));@FOR(PXT:@BIN(Y));DATA:Demand=@FILE('exam0502.LDT');Capacity=@FILE('exam0502.LDT');Setup=@FILE('exam0502.LDT');Hold=@FILE('exam0502.LDT');A=@FILE('exam0502.LDT');Req=@FILE('exam0502.LDT');ENDDATAEND注意：由于本例有42个0-1变量，LINGO演示版是无法求解的表5-2

生产计划的最后结果周次123456A的产量40100100B的产量2001000C的产量1055625D的产量18009000E的产量220011000F的产量137158125G的产量158259375LINDO求解:得到最优目标函数值为9245,结果如下：§5.3下料问题§5.3下料问题 生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小这种工艺过程，称为原料下料（cuttingstock）问题。按照进一步的工艺要求，确定下料方案，使用料最省，或利润最大，是典型的优化问题。本节通过两个实例讨论用数学规划模型解决这类问题的方法。§5.3.1钢管下料问题例5.3某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19米长。1) 现有一客户需要50根4米长、20根6米长和15根8米长的钢管。应如何下料最节省？2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要1）中的三种钢管外，还需要10根5米长的钢管。应如何下料最节省？问题1）的求解

问题分析首先，应当确定哪些切割模式是可行的。所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将19米长的钢管切割成3根4米长的钢管，余料为7米显然，可行的切割模式是很多的。其次，应当确定哪些切割模式是合理的。通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸。在这种合理性假设下，切割模式一共有7种，如表5-3所示。表5-3钢管下料的合理切割模式4米钢管根数6米钢管根数8米钢管根数余料（米）模式14003模式23101模式32013模式41203模式51111模式60301模式70023问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合理的模式，切割多少根原料钢管，最为节省。而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。下面将对这两个目标分别讨论。模型建立

决策变量用xi表示按照第i种模式（i=1,2,…,7）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。

决策目标以切割后剩余的总余料量最小为目标，则由表1可得

(32)以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有

(33)下面分别在这两种目标下求解。约束条件为满足客户的需求，按照表1应有模型求解1.将（32），（34）~（36）构成的整数线性规划模型（加上整数约束）输入LINDO如下：

Title钢管下料-最小化余量Min3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7s.t.4x1+3x2+2x3+x4+x5>=50x2+2x4+x5+3x6>=20 x3+x5+2x7>=15endgin7 求解可以得到最优解如下：OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)27.00000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000003.000000X212.0000001.000000X30.0000003.000000X40.0000003.000000X515.0000001.000000X60.0000001.000000X70.0000003.000000

即按照模式2切割12根原料钢管，按照模式5切割15根原料钢管，共27根，总余料量为27米。显然，在总余料量最小的目标下，最优解将是使用余料尽可能小的切割模式（模式2和5的余料为1米），这会导致切割原料钢管的总根数较多。2.将（33）~（36）构成的整数线性规划模型（加上整数约束）输入LINDO：Title钢管下料-最小化钢管根数Minx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7s.t.4x1+3x2+2x3+x4+x5>=50 x2+2x4+x5+3x6>=20 x3+x5+2x7>=15endgin7求解，可以得到最优解如下：OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)25.00000 VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.000000X215.0000001.000000X30.0000001.000000X40.0000001.000000X55.0000001.000000X60.0000001.000000X75.0000001.000000 即按照模式2切割15根原料钢管，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共27根，可算出总余料量为35米。与上面得到的结果相比，总余料量增加了8米，但是所用的原料钢管的总根数减少了2根。在余料没有什么用途的情况下，通常选择总根数最少为目标。问题2）的求解 问题分析按照解问题1）的思路，可以通过枚举法首先确定哪些切割模式是可行的。但由于需求的钢管规格增加到4种，所以枚举法的工作量较大。下面介绍的整数非线性规划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普遍性的方法。 同1）类似，一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸（本题中为4米），切割计划中只使用合理的切割模式，而由于本题中参数都是整数，所以合理的切割模式的余量不能大于3米。此外，这里我们仅选择总根数最少为目标进行求解。模型建立决策变量由于不同切割模式不能超过3种，可以用xi表示按照第i种模式（i=1,2,3）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产4米长、5米长、6米长和8米长的钢管数量分别为r1i,r2i,r3i,r4i（非负整数）。

决策目标以切割原料钢管的总根数最少为目标，即目标为（37）约束条件

为满足客户的需求，应有(38)(39)(40)(41) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过19米，也不能少于16米（余量不能大于3米），于是(42)(43)(44)模型求解

（37）~（44）构成这个问题的优化模型。由于在（38）~（41）式中出现了决策变量的乘积，所以这是一个整数非线性规划模型，虽然用LINGO软件可以直接求解，但我们发现在较低版本的LINGO软件中需要运行很长时间也难以得到最优解。为了减少运行时间，可以增加一些显然的约束条件，从而缩小可行解的搜索范围。例如，由于3种切割模式的排列顺序是无关紧要的，所以不妨增加以下约束：（45）又例如，我们注意到所需原料钢管的总根数有着明显的上界和下界。首先，无论如何，原料钢管的总根数不可能少于

（根）其次，考虑一种非常特殊的生产计划：第一种切割模式下只生产4米钢管，一根原料钢管切割成4根4米钢管，为满足50根4米钢管的需求，需要13根原料钢管；第二种切割模式下只生产5米、6米钢管，一根原料钢管切割成1根5米钢管和2根6米钢管，为满足10根5米和20根6米钢管的需求，需要10根原料钢管；第三种切割模式下只生产8米钢管，一根原料钢管切割成2根8米钢管，为满足15根8米钢管的需求，需要8根原料钢管。于是满足要求的这种生产计划共需13+10+8=31根原料钢管，这就得到了最优解的一个上界。所以可增加以下约束：(46)将（37）~（46）构成的模型输入LINGO如下：将（37）~（46）构成的模型输入LINGO如下：model:Title钢管下料

-最小化钢管根数的LINGO模型;min=x1+x2+x3;x1*r11+x2*r12+x3*r13>=50;x1*r21+x2*r22+x3*r23>=10;x1*r31+x2*r32+x3*r33>=20;x1*r41+x2*r42+x3*r43>=15;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41<=19;4*r12+5*r22+6*r32+8*r42<=19;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43<=19;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41>=16;4*r12+5*r22+6*r32+8*r42>=16;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43>=16;x1+x2+x3>=26;x1+x2+x3<=31;x1>=x2;x2>=x3;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);end

经过LINGO求解，得到输出如下：

Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:28.00000Extendedsolversteps:72Totalsolveriterations:3404ModelTitle:钢管下料-最小化钢管根数的LINGO模型

VariableValueReducedCostX110.000001.000000X210.000001.000000X38.0000001.000000R112.0000000.000000R123.0000000.000000R130.0000000.000000R211.0000000.000000R220.0000000.000000R230.0000000.000000R311.0000000.000000R321.0000000.000000R330.0000000.000000R410.0000000.000000R420.0000000.000000R432.0000000.000000

即按照模式1、2、3分别切割10、10、8根原料钢管，使用原料钢管总根数为28根。第一种切割模式下一根原料钢管切割成3根4米钢管和1根6米钢管；第二种切割模式下一根原料钢管切割成2根4米钢管、1根5米钢管和1根6米钢管；第三种切割模式下一根原料钢管切割成2根8米钢管。

如果充分利用LINGO建模语言的能力，使用集合和属性的概念，可以编写以下LINGO程序，这种方法更具有一般的通用性，并有利于输入更大规模的下料问题的优化模型：model:Title钢管下料

-最小化钢管根数的LINGO模型;SETS:NEEDS/1..4/:LENGTH,NUM; !定义基本集合NEEDS及其属性LENGTH,NUM;CUTS/1..3/:X; !定义基本集合CUTS及其属性X;PATTERNS(NEEDS,CUTS):R;!定义派生集合PATTERNS（这是一个稠密集合）及其属性R;ENDSETSDATA: LENGTH=4568; NUM=50102015; CAPACITY=19;ENDDATAmin=@SUM(CUTS(I):X(I)); !目标函数;@FOR(NEEDS(I):@SUM(CUTS(J):X(J)*R(I,J))>NUM(I)); !满足需求约束;@FOR(CUTS(J):@SUM(NEEDS(I):LENGTH(I)*R(I,J))<CAPACITY);!合理切割模式约束;@FOR(CUTS(J):@SUM(NEEDS(I):LENGTH(I)*R(I,J))>CAPACITY-@MIN(NEEDS(I):LENGTH(I))); !合理切割模式约束;@SUM(CUTS(I):X(I))>26;@SUM(CUTS(I):X(I))<31;!人为增加约束;@FOR(CUTS(I)|I#LT#@SIZE(CUTS):X(I)>X(I+1)); !人为增加约束;@FOR(CUTS(J):@GIN(X(J)));@FOR(PATTERNS(I,J):@GIN(R(I,J)));end

求解这个模型，得到的结果与前面的结果完全相同。§5.3.2易拉罐下料问题 例5.4某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的（参见图5-3）。易拉罐为圆柱形，包括罐身、上盖和下底，罐身高10厘米，上盖和下底的直径均为5厘米。该公司使用两种不同规格的镀锡板原料，规格1的镀锡板为正方形，边长24厘米；规格2的镀锡板为长方形，长、宽分别为32和28厘米。由于生产设备和生产工艺的限制，对于规格1的镀镀锡板原料，只可以按照图2中的模式1、2或3进行冲压；对于规格2的镀锡板原料只能按照模式4进行冲压。使用模式1、2、3、4进行每次冲压所需要的时间分别为1.5、2、1、3（秒）。模式1模式2模式3模式4上盖下底罐身图5-3易拉罐下料模式 该工厂每周工作40小时，每周可供使用的规格1、2的镀锡板原料分别为5万张和2万张。目前每只易拉罐的利润为0.10元，原料余料损失为0.001元/厘米2（如果周末有罐身、上盖或下底不能配套组装成易拉罐出售，也看作是原料余料损失）。工厂应如何安排每周的生产？已知上盖和下底的直径d=5厘米，可得其面积为

19.6厘米2表5-44种冲压模式的特征罐身个数底、盖个数余料损失（厘米2）冲压时间（秒）模式1110222.61.5模式224183.32模式3016261.81模式445169.53问题的目标显然应是易拉罐的利润扣除原料余料损失后的净利润最大，约束条件除每周工作时间和原料数量外，还要考虑罐身和底、盖的配套组装。模型建立 决策变量用xi表示按照第i种模式的冲压次数（i=1,2,3,4），y1表示一周生产的易拉罐个数。为计算不能配套组装的罐身和底、盖造成的原料损失，用y2表示不配套的罐身个数，y3表示不配套的底、盖个数。虽然实际上xi和y1，y2，y3应该是整数。但是由于生产量相当大，可以把它们看成是实数，从而用线性规划模型处理。 决策目标假设每周生产的易拉罐能够全部售出，公司每周的销售利润是0.1y1。原料余料损失包括两部分：4种冲压模式下的余料损失，和不配套的罐身和底、盖造成的原料损失。按照前面的计算及表2的结果，总损失为0.001(222.6x1+183.3x2+261.8x3+169.5x4+157.1y2+19.6y3)。于是，决策目标为(47)约束条件时间约束：每周工作时间不超过40小时=144000（秒），由表2最后一列得(48)原料约束：每周可供使用的规格1、2的镀锡板原料分别为50000张和20000张，即(49)(50)

配套约束：

由表2一周生产的罐身个数为x1+2x2+4x4,一周生产的底、盖个数为10x1+4x2+16x3+5x4，因为应尽可能将它们配套组装成易拉罐销售。所以y1满足

(51)这时不配套的罐身个数y2，和不配套的底、盖个数y3应为

(52)

(53)（47）~（53）就是我们得到的模型，其中（51）是一个非线性关系，不易直接处理，但是它可以等价为以下两个线性不等式：

(54)

(55)模型求解 将模型（47）~（50）和（52）~（55）直接输入LINDO（输入LINGO也可以），求解时LINDO发出警告信息（程序和警告信息参见图5-4）。图中错误编号“66”的含义（参见第4章的错误代码表）是：模型中数据不平衡，所以发出警告信息（注意，只是警告信息，所以仍然可以继续求解）。求解结果是：

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)4298.337VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY1160250.0000000.000000X10.0000000.000050X240125.0000000.000000X33750.0000000.000000X420000.0000000.000000Y20.0000000.223331Y30.0000000.036484图5-4模型中数据不平衡的警告信息

这个结果可靠吗？由于LINDO警告模型中数据之间的数量级差别太大，所以我们可以进行预处理，缩小数据之间的差别。实际上，约束（48）~（50）中右端项的数值过大（与左端的系数相比较），LINDO在计算中容易产生比较大的误差，所以出现此警告信息。 为了解决这一问题，可以将所有决策变量扩大10000倍（相当于xi以万次为单位，yi以万件为单位）。此时，目标（47）可以保持不变（记住得到的结果单位为万元就可以了），而约束（48）~（50）改为

(56)(57)(58) 将模型（47）和（52）~（58）输入LINDO:!易拉罐下料：均衡数据Max0.100y1-0.2226x1-0.1833x2-0.2618x3-0.1695x4-0.1571y2-0.0196y3s.t. 1.5x1+2.0x2+1.0x3+3.0x4<=14.4 x1+x2+x3<=5 x4<=2 x1+2x2+4x4-y1>=0 10x1+4x2+16x3+5x4-2y1>=0 x1+2x2+4x4-y1-y2=0 10x1+4x2+16x3+5x4-2y1-y3=0end求解得到：

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1)0.4298337

VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY116.0250000.000000X10.0000000.000050X24.0125000.000000X30.3750000.000000X42.0000000.000000Y20.0000000.223331Y30.0000000.036484 即模式1不使用，模式2使用40125次，模式3使用3750次，模式4使用20000次，可生产易拉罐160250个，罐身和底、盖均无剩余，净利润为4298元。5.4面试顺序与消防车调度问题面试顺序问题

例5.5有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如表5-5所示（单位：分钟）。这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨8：00，请问他们最早何时能离开公司？表5-5面试时间要求秘书初试主管复试经理面试同学甲131520同学乙102018同学丙201010同学丁81015建立模型实际上，这个问题就是要安排4名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时间最少。记tij为第i名同学参加第j阶段面试需要的时间(已知)，令xij表示第i名同学参加第j阶段面试的开始时刻(不妨记早上8：00面试开始为0时刻)(i=1,2,3,4；j=1,2,3)，T为完成全部面试所花费的最少时间。优化目标为

a.时间先后次序约束(每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段)：

xij+

tij

xi，j+1(i=1,2,3,4；j=1,2)b.每个阶段j同一时间只能面试1名同学：用0-1变量yik表示第k名同学是否排在第i名同学前面(1表示是，0表示否)，则

xij+

tij–xkj

Tyik

(i,k=1,2,3,4;j=1,2,3;i<k)

xkj+

tkj–xij

T(1–yik)(i,k=1,2,3,4;j=1,2,3;i<k)约束条件：可以将非线性的优化目标改写为如下线性优化目标：

MinT

s.t.T

x13+t13

T

x23+t23T

x33+t33

T

x43+t43

MinTs.t.xij+

tij

xi,j+1(i=1,2,3,4；j=1,2)

xij+

tij–xkj

Tyik

(i,k=1,2,3,4;j=1,2,3;i<k)

xkj+

tkj–xij

T(1–yik)(i,k=1,2,3,4;j=1,2,3;i<k)

xi3+ti3

T(i=1,2,3,4)这个问题的0-1非线性规划模型(当然所有变量还有非负约束，变量yik还有0-1约束):Model:min=T;T>=x13+t13;T>=x23+t23;T>=x33+t33;T>=x43+t43;x11+t11<=x12;x12+t12<=x13;x21+t21<=x22;x22+t22<=x23;x31+t31<=x32;x32+t32<=x33;x41+t41<=x42;x42+t42<=x43;求解模型这个模型可以如下输入LINGO：

x11+t11-x21<=T*y12; x21+t21-x11<=T*(1-y12);x12+t12-x22<=T*y12;x22+t22-x12<=T*(1-y12);x13+t13-x23<=T*y12;x23+t23-x13<=T*(1-y12);x11+t11-x31<=T*y13;x31+t31-x11<=T*(1-y13);

x12+t12-x32<=T*y12;x32+t32-x12<=T*(1-y13);x13+t13-x33<=T*y13; x33+t33-x13<=T*(1-y13);x11+t11-x41<=T*y14; x41+t41-x11<=T*(1-y14);x12+t12-x42<=T*y14;x42+t42-x12<=T*(1-y14);x13+t13-x43<=T*y14;x43+t43-x13<=T*(1-y14);x21+t21-x31<=T*y23;x31+t31-x21<=T*(1-y23);x22+t22-x32<=T*y23;x32+t32-x32<=T*(1-y23);x23+t23-x33<=T*y23;x33+t33-x23<=T*(1-y23);x21+t21-x41<=T*y24;x41+t41-x21<=T*(1-y24);x22+t22-x42<=T*y24;x42+t42-x22<=T*(1-y24);x23+t23-x43<=T*y24;x43+t43-x23<=T*(1-y24);x31+t31-x41<=T*y34;x41+t41-x31<=T*(1-y34);x32+t32-x42<=T*y34;x42+t42-x32<=T*(1-y34);x33+t33-x43<=T*y34;x43+t43-x33<=T*(1-y34);t11=13;t12=15;t13=20;t21=10;t22=20;t23=18;t31=20;t32=16;t33=10;t41=8;t42=10;t43=15;@bin(y12);@bin(y13);@bin(y14);@bin(y23);@bin(y24);@bin(y34);End用LINGO求解得到：Localoptimalsolutionfoundatiteration:4357Objectivevalue:84.00000

VariableValueReducedCost

T84.000000.000000X1336.000000.000000T1320.000000.000000X2356.000000.000000T2318.000000.000000X3374.000000.000000T3310.000000.000000X4321.000000.000000T4315.000000.000000X118.0000000.000000T1113.000000.000000X1221.000000.000000T1215.000000.000000VariableValueReducedCostX2121.000000.000000T2110.000000.000000X2236.000000.000000T2220.000000.000000X3137.500000.000000T3120.000000.000000X3257.750000.000000

T3216.000000.000000X410.0000000.9999970T418.0000000.000000X4211.000000.000000T4210.000000.000000Y120.000000-83.99950Y130.0000000.000000Y141.00000083.99950Y230.000000-83.99950Y241.0000000.000000Y341.0000000.000000

即所有面试完成至少需要84分钟，面试顺序为4-1-2-3(即丁-甲-乙-丙)。早上8:00面试开始，最早9:24面试可以全部结束。

同样，如果利用LINGO的建模语言，可以编写一个更一般的LINGO模型。先准备一个数据文件(文本文件exam0505.txt)，其中的内容如下：!被面试者集合;1234~!面试阶段的集合;123~!已知的面试所需要的时间;13 15 2010 20 1820 16 108 10 15!数据结束;

LINGO模型如下：

Model:Title面试问题;SETS:!Person=被面试者集合，Stage=面试阶段的集合;Person/@FILE(exam0505.txt)/;Stage/@FILE(exam0505.txt)/;!T=已知的面试所需要的时间，X=面试开始时间;PXS(Person,Stage):T,X;!Y(i,k)=1:k排在i前，0：否则;PXP(Person,Person)|&1#LT#&2:Y;ENDSETSDATA:T=@FILE(exam0