江苏省扬州市仪征市2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

2024年江苏省扬州市仪征市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）若苹果每千克x元，小明买了2千克苹果需要支付的费用用代数式表示为（）A．2×x B．2x C． D．2+x2．（3分）如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且OA＝OB，若AB＝4，那么点A表示的数是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣23．（3分）样本数据2，4，﹣2，8，0的中位数是（）A．0 B．2 C．4 D．﹣24．（3分）若一个多边形的内角和为720°，则该多边形为（）边形．A．四 B．五 C．六 D．七5．（3分）将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放．若∠1＝28°，则∠2的度数为（）A．48° B．20° C．23° D．17°6．（3分）酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是NaOH溶液、Ca（OH）2溶液、稀盐酸、稀硫酸，随机选一瓶溶液滴入一滴酚酞试剂，溶液变红色是（）事件．A．随机 B．必然 C．不可能 D．确定7．（3分）已知a、b是两个不相等的正数，在交换a与b的位置后，下列代数式的值保持不变的是（）A．（a﹣b）2 B．a2﹣b2 C． D．8．（3分）某小组为了研究一组数据变化规律，将数据通过描点、连线得到相应的图象如图所示，若选择的函数模型是y＝+b，则（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）9．（3分）据大数据显示，扬州“五一”假期共接待游客约5480000人次．数据5480000用科学记数法表示为．10．（3分）若有意义，则x的取值范围是．11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于x轴对称点P1的坐标是．12．（3分）函数y＝kx+3的图象经过点（﹣2，5），则函数值y随着x的增大而．（填“增大”或“不变”或“减小”）13．（3分）点A、B、C都在⊙O上，∠B＝40°，OA⊥BC，则∠BCO的度数是°．14．（3分）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值为．15．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围是．16．（3分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝，BE＝6，则tan∠DBE的值是．17．（3分）如图，点M是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若AB＝2，则阴影部分的面积为．18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△ABC，△ADC，△DBC的内切圆半径分别记为r，r1，r2，若r1＝1，r2＝，则r＝．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤）19．（8分）计算与化简：（1）﹣12024+|﹣2|+2sin45°；（2）÷（﹣）．20．（8分）解不等式组，并写出满足条件的正整数解．21．（8分）随着科技的进步和网络资的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：（1）直接写出本次调查的学生总人数；（2）补全条形统计图；（3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；（4）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？22．（8分）扬州早茶是一种民间饮食风俗，曾令乾隆皇帝也念念不忘．某早餐店提供虾籽馄饨、蟹黄汤包、千层油糕等美食，现有小明和小华两名学生，每人从虾籽馄饨、蟹黄汤包、千层油糕中随机选择一种进行品尝．（1）小明恰好品尝到蟹黄汤包的概率为；（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小华两名同学恰好品尝同一种美食的概率．23．（10分）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种20%，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48稞．实际每天种多少棵树？本题所列的方程可以是：①；②．（1）x表示的实际意义是，y表示的实际意义是．（2）选择其中一种方程解答此题．24．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）连接AE．若BD＝4，AE＝2，求菱形ABCD的面积．25．（10分）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长．26．（10分）在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．（1）若点（1，0）和（2，1）在该函数的图象上，则函数图象的顶点坐标是；（2）若点（2，1）在该函数的图象上，且该函数图象与x轴有两个不同的交点A、B（A在B的左边），OB＝3OA，则a＝；（3）已知a＝b＝1，当x＝m，n（m，n是实数，m≠n）时，该函数对应的函数值分别为M，N．若m+n＝2，求证：M+N＞6．27．（12分）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：【结论探究】（1）从“数”的角度证明：a2+b2≥2ab；（2）从“形”的角度说明：当a＞0，b＞0时，a2+b2≥2ab；【结论应用】（3）若△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝2．△ABC的两个顶点A、B（A在第一象限，B在第三象限）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB经过原点O．①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的△ABC；②请用探究的结论证明所作的△ABC周长最小．28．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，动点E，F同时从A点出发，点E以每秒2个单位长度沿AD向终点D运动；点F以每秒个单位长度沿对角线AC向终点C运动．连接BE，EF，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）利用图1证明：EF∥AB；（2）将△ABE沿BE翻折到△A′BE，当t＝时，∠A′EF＝30°；（3）如图3，设点O为BE的中点，连接OF，以O为圆心，OF为半径作⊙O，当⊙O面积最小时，求t．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1．【解答】解：∵苹果每千克x元，小明买了2千克苹果∴需要支付的费用用代数式表示为：（2x）元，故选：B．2．【解答】解：∵AB＝4，OA＝OB，∴OA＝OB＝2，∴点A表示的数为﹣2．故选：D．3．【解答】解：从小到大排列此数据为：﹣2、0、2、4、8，处在中间为中位数．所以本题这组数据的中位数是2．故选：B．4．【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得（n﹣2）•180°＝720°，解得n＝6，故选：C．5．【解答】解：∵矩形纸片的对边平行，∴CD∥EA，∴∠CAE＝∠1＝28°，∵△ABC是等腰直角三角形纸片，∴∠BAC＝45°，∴∠2＝45°﹣28°＝17°．故选：D．6．【解答】解：由题可知，将酚酞试剂滴入NaOH溶液、Ca（OH）2溶液、稀盐酸、稀硫酸四种溶液中是随机事件．故选：A．7．【解答】解：（a﹣b）2＝（b﹣a）2，则A符合题意；a2﹣b2＝﹣（b2﹣a2），则B不符合题意；﹣＝﹣（﹣），则C不符合题意；≠，则D不符合题意；故选：A．8．【解答】解：y是有函数y1＝向上平移b个单位得到的，∵y随x的增大而增大，∴a＜0，∵x＞0时，y＞0，∴b＞0，故选：C．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）9．（3分）据大数据显示，扬州“五一”假期共接待游客约5480000人次．数据5480000用科学记数法表示为5.48×106．【解答】解：5480000＝5.48×106．故答案为：5.48×106．10．（3分）若有意义，则x的取值范围是x≥1．【解答】解：根据题意得x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于x轴对称点P1的坐标是（5，3）．【解答】解：点P（5，﹣3）关于x轴的对称点点P1坐标为：（5，3），故答案为：（5，3）．12．（3分）函数y＝kx+3的图象经过点（﹣2，5），则函数值y随着x的增大而减小．（填“增大”或“不变”或“减小”）【解答】解：∵函数y＝kx+3的图象经过点（﹣2，5），∴5＝﹣2k+3，解得：k＝﹣1．∵k＝﹣1＜0，∴函数值y随着x的增大而减小．故答案为：减小．13．（3分）点A、B、C都在⊙O上，∠B＝40°，OA⊥BC，则∠BCO的度数是10°．【解答】解：∵∠B＝40°，∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝80°，∵OA⊥BC，∴∠AOC+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝10°，故答案为：10．14．（3分）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值为6．【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6．故答案为：6．15．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围是k≥0且k≠2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，∴，解得：k≥0且k≠2．故答案为：k≥0且k≠2．16．（3分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝，BE＝6，则tan∠DBE的值是2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∵cosA＝，∴cosA＝＝，设AE＝3k，则AD＝AB＝5k，∴DE＝＝＝4k，BE＝AB﹣AE＝2k，∴tan∠DBE＝＝＝2，故答案为：2．17．（3分）如图，点M是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若AB＝2，则阴影部分的面积为6．【解答】解：如图，连接AC，过点B作BG⊥AC于点G，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝＝120°，AB＝BC＝CD＝AF＝2，∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝60°，在Rt△ABG中，AB＝2，∠ABG＝60°，∴BG＝AB＝，AG＝AB＝，∴AC＝2AG＝2，∴S阴影部分＝S△ABC+S△AMC＝×2×+×2×2＝6．18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△ABC，△ADC，△DBC的内切圆半径分别记为r，r1，r2，若r1＝1，r2＝，则r＝．【解答】解：令BC＝a，CA＝b，AB＝c，在△ABC中，CD⊥AB，可得：∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，即：AC2＝AD×AB，∴AD＝，同理可得：△BDC∽△BCA，∴，∴BC2＝BD×AB，即：BD＝，∵△ACD、△BCD与△ABC的内切圆半径分别为r1，r2，r，∴r＝（a+b﹣c），r1＝（+﹣b）＝r，r2＝（+﹣a）＝r，∴+＝（r）2+（r）2＝r2；∴＝r2，∵r1＝1，r2＝，∴r＝＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤）19．【解答】解：（1）﹣12024+|﹣2|+2sin45°＝﹣1+2﹣+2×＝﹣1+2﹣+＝1；（2）÷（﹣）＝＝＝．20．【解答】解：解不等式2x+3≤5，得：x≤1，解不等，得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，则不等式组的正整数解为1．21．【解答】解：（1）本次调查的学生总人数：18÷20%＝90，故答案为：90；（2）在线听课的学生有：90﹣24﹣18﹣12＝36（人），补全的条形统计图如图所示；（3）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是：360°×＝48°，即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是48°；（4）3000×＝800（人），答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人．22．【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中小明恰好品尝到蟹黄汤包的结果有1种，∴小明恰好品尝到蟹黄汤包的概率为．故答案为：．（2）将虾籽馄饨、蟹黄汤包、千层油糕分别记为A，B，C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小华两名同学恰好品尝同一种美食的结果有3种，∴小明和小华两名同学恰好品尝同一种美食的概率为＝．23．【解答】解：（1）∵青年志愿者的支援，每天比原计划多种20%，∴方程①中的x表示的实际意义是原计划每天种树的棵数，（1+20%）x表示的实际意义是实际每天种树的棵数；∵青年志愿者的支援，提前1天完成任务，∴方程②中的y表示的实际意义是实际种树的天数，y+1表示的实际意义是原计划种树的天数．故答案为：原计划每天种树的棵数，实际种树的天数；（2）选择方程①＝﹣1，∴480+48＝480×（1+20%）﹣（1+20%）x，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，∴实际每天种40棵树；选择方程②＝（1+20%）•，∴（480+48）（y+1）＝（1+20%）×480y，解得：y＝11，经检验，y＝11是所列方程的解，且符合题意，∴＝＝40（棵），∴实际每天种40棵树．24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，∴OC＝OA＝AC，AC⊥BD，∵DE∥AC，DE＝AC，∴DE∥OC，DE＝OC，∴四边形OCED是平行四边形，∵∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形．（2）解：∵BD＝4，AE＝2，∴OD＝OB＝BD＝2，∴CE＝OD＝2，∵∠ACE＝90°，∴AC＝＝＝6，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×4＝12，∴菱形ABCD的面积为12．25．【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°，又∵∠DCB＝∠CAD，∵∠CAD＝∠OCA，∴∠OCA＝∠DCB，∴∠DCB+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2+CD2＝OD2，∴OB2+42＝（OB+2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线，∵CD是⊙O的切线；∴AE＝CE，∵AD2+AE2＝DE2，∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2，解得AE＝6．26．【解答】（1）解：由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+1，则顶点坐标为：（1，0），故答案为：（1，0）；（2）解：将（2，1）代入抛物线表达式得：y＝4a+2b+1＝1，则b＝﹣2a，则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax+1，则抛物线的对称轴为直线x＝1，当点A在y轴左侧时，设点A（m，0），则点B（﹣3m，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x+3m）＝a（x2+2mx﹣3m2）＝ax2﹣2ax+1，则x＝1＝﹣m且﹣3am2＝1，解得：a＝﹣，当点A在y轴右侧时，设点A（m，0），则点B（3m，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣3m）＝a（x2﹣4mx+3m2）＝ax2﹣2ax+1，则x＝1＝2m且3am2＝1，解得：a＝，故答案为：﹣或；（3）证明：a＝b＝c＝1时，y＝x2+x+1，∵m+n＝2，m≠n，∴n＝2﹣m，m≠1，∴M＝m2+m+1，N＝n2+n+1＝（2﹣n）2+（2﹣n）+1，∴M+N＝m2+m+1+（2﹣m）2+（2﹣m）+1＝2m2﹣4m+8＝2（m﹣1）2+6，∵m≠1，∴2（m﹣1）2+6＞6，∴M+N＞6．27．【解答】（1）证明：∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab；（2）从“形”的角度说明：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE为△ABC的中线，且AD＝a，BD＝b，则a2+b2≥2ab；证明：∵∠ACB＝90°，CE为中线，∴CE＝（AD+BD）＝（a+b），∵∠ACD+∠A＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴CD2＝AD•BD＝ab，根据垂线段最短，可得CE≥CD，∴CE2≥CD2，即[（a+b）]2≥ab，∴a2+b2≥2ab；（3）①作直线y＝x，交反比例函数图象于A、B两点，过点B作BC⊥AB，使BC＝AB，连接AC，如图所示，△ABC即为所求；②△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝2，∴AB＝BC•tan∠ACB＝2BC，∴BC＝AB，∴AC＝＝AB，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+AB+AB＝AB，设A（a，），则B（﹣a，﹣），∴AB＝＝2≥2，当且仅当a＝，即a＝时，AB取得最小值2，此时，△ABC的周长最小值为AB＝×2＝（3+），即A、B均在直线y＝x上，故①中所作△ABC周长最小．28．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝2，∴AC＝＝＝2，∵动点E，F同时从A点出发，点E以每秒2个单位长度沿AD向终点D运动，点F以每秒个单位长度沿对角线AC向终点C运动，∴AE＝2t，AF＝t，∴，，∴，∵∠EAF＝∠DAC，∴△EAF∽△DAC，∴∠AFE＝∠ACD，∴EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB；（2）解：①当A′E在EF的右侧时，如图2，由（1）知