专题07数列通项公式与数列求和（考点清单14题型解读）（原卷版）

清单07数列通项公式与数列求和【考点题型一】观察法求数列的通项由数列的前几项求数列的通项公式（1）各项的符号特征，通过或来调节正负项．（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征．（4）拆项、添项后的特征．（5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律．【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.【例1】（2324高二下·四川广元·期中）下列不能作为数列的通项公式的是（

）A． B．C． D．【变式11】（2324高二下·吉林长春·期中）数列，3，，9的一个通项公式是（

）A． B．C． D．【变式12】（2324高二下·北京·期中）数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（

）A． B． C． D．【变式13】（2324高二下·辽宁大连·月考）数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【考点题型二】由Sn与an的关系求数列通项已知求的三个步骤：（1）先利用求出.（2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．【例2】（2324高二下·广东惠州通·月考）设数列的前项和为，若，则（

）A．65 B．127 C．129 D．255【变式21】（2324高二下·河北衡水·月考）已知为等比数列的前项和，，则（

）A．12 B．24 C．48 D．96【变式22】（2324高二下·辽宁·期中）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．【变式23】（2324高二下·吉林长春·期中）已知数列是正项数列，且，则（

）A．216 B．260 C．290 D．316【考点题型三】累加法求数列通项若an+1-an=f(n)，则an-两边分别相加得：a【例3】（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（

）A．43 B．46 C．37 D．36【变式31】（2324高二下·宁夏吴忠·月考）已知数列首项为，且，则（

）A． B． C． D．【变式32】（2324高二下·河南·月考）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．【变式33】（2324高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，则等于（

）A． B． C． D．【考点题型四】累乘法求数列通项若an+1an=fn，则anan-1两边分别相乘得：a【例4】（2324高二下·河南南阳·月考）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【变式41】（2324高二上·福建福州·期末）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．【变式42】（2324高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（

）A． B．15 C． D．10【变式43】（2223高二下·广东佛山·期中）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（

）A． B．C． D．【考点题型五】待定系数法求数列通项1、形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．2、形如，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．3、形如，通过配凑转化为，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得【例5】（2324高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（

）A． B． C． D．【变式51】（2324高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，且，若，则（

）A．253 B．506 C．1012 D．2024【变式52】（2324高二下·河南周口·月考）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（

）A．9 B．21 C．45 D．93【变式53】（2223高二下·江西萍乡·期末）已知正项数列中，，则数列的通项（

）A． B． C． D．【考点题型六】取倒数法求数列通项对于，取倒数得．当时，数列是等差数列；当时，令，则，可用待定系数法求解．【例6】（2324高二上·湖北黄冈·月考）已知数列满足递推关系：，，则（

）A． B． C． D．【变式61】（2324高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．【变式62】（2324高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（

）A． B． C． D．【变式63】（2324高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（

）A． B． C． D．【考点题型七】公式法求和（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）一些常见的数列的前n项和：①；②；③；=4\*GB3④【例7】（2324高二下·四川成都·期中）等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）设，记为数列前项的和，若，求．【变式71】（2324高二下·北京顺义·期中）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和的最值；（3）设，求数列的前项和．【变式72】（2324高二下·北京·期中）在等差数列中，，．（1）求数列的首项和公差；（2）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值．【变式73】（2324高二下·陕西西安·月考）（1）已知数列满足，，求．（2）等比数列的前项和为，已知、、成等差数列．（i）求的公比；（ii）若，求．【考点题型八】分组转化法求和（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．（2）常见类型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；=2\*GB3②通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.【例8】（2324高二下·四川达州·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【变式81】（2324高二下·广东江门·月考）在递增等比数列中，，，数列的前n项和为，．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前n项和．【变式82】（2324高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且.（1）若，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．【变式83】（2324高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列满足，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）设求数列的前项和.【考点题型九】并项法求和并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，．【例9】（2324高二下·陕西西安·月考）在数列中，已知，则的值为？【变式91】（2324高二下·广东佛山·期中）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，．（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【变式92】（2324高二下·广东佛山·月考）已知数列满足.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【变式93】（2324高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前30项的和.【考点题型十】逆序相加法求和倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．【例10】（2324高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【变式101】（2324高二下·云南·月考）函数，则的值为（

）．A．2012 B． C．2013 D．【变式102】（2324高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（

）A．4050 B．2025 C．4052 D．2026【变式103】（2324高二下·辽宁沈阳·月考）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为.【考点题型十一】裂项相消法求和1、用裂项法求和的裂项原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．2、裂项相消法中常见的裂项技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【例11】（2324高二下·河南·月考）已知正项数列前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【变式111】（2324高二下·广东佛山·期中）已知数列的首项，前项和为，且，．（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和．【变式112】（2324高二下·河北石家庄·月考）已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论.【变式113】（2324高二下·河南·月考）已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，求证：.【考点题型十二】错位相减法求和1、解题步骤2、注意解题“3关键”①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．①②得：．整理得：．【例12】（2324高二下·重庆·期中）已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式以及前项和；（2）若，求数列的前项和.【变式121】（2324高二下·山东潍坊·期中）在数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列.（1）求的值;（2）求数列的通项公式:（3）求数列的前项和.【变式122】（2324高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，，数列的前项和为，且．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和．【变式123】（2324高二下·江西南昌·期中）已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，（1）求的通项公式及；（2）设，为数列的前项和，求.【考点题型十三】数列求和与不等式成立问题数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解；二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。【例13】（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）设，证明：.【变式131】（2324高二下·贵州铜仁·月考）已知数列的前n项和为，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）记数列的前n项和为，若对任意都成立，求实数m的取值范围.【变式132】（2324高二下·辽宁大连·期中）已知数列中，，设为前项和，，已知数列，设的前项和．（1）求；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．【变式133】（2324高二下·江苏南京·月考）已知数列的前项和满足．（1）求的通项公式；（2）设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围．【考点题型十四】数列中的探究性问题数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．【例14】（2023·广东·模拟预测）记为数列的前项和，已知的等差中项为.（1）求证为等比数列；（2）数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.【变式141】（2324高二下·黑龙江双鸭山·月考）数列满足：是等比数列，，且．（1）求；（2）求集合中所有元素的和；（3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定