新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类第3讲三角函数与解三角形(2022-2023年高考真题)(原卷版+解析)

第3讲三角函数与解三角形一．选择题1．（2023•乙卷）已知函数在区间，单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则A． B． C． D．2．（2023•甲卷）“”是“”的A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件3．（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是A．， B．， C．， D．，4．（2023•新高考Ⅱ）已知为锐角，，则A． B． C． D．5．（2023•新高考Ⅰ）已知，，则A． B． C． D．6．（2023•乙卷）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则A． B． C． D．7．（2022•北京）已知函数，则A．在，上单调递减 B．在，上单调递增 C．在上单调递减 D．在，上单调递增8．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，A． B． C． D．9．（2022•新高考Ⅰ）记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则A．1 B． C． D．310．（2022•甲卷）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是A． B． C． D．11．（2022•新高考Ⅱ）若，则A． B． C． D．12．（2022•甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，二．多选题13．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的图像关于点，中心对称，则A．在区间单调递减 B．在区间，有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线三．填空题14．（2023•乙卷）若，，则．15．（2023•新高考Ⅱ）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则．16．（2023•新高考Ⅰ）已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是．，，函数的周期为，，可得，17．（2023•甲卷）在中，，，为上一点，为的平分线，则．18．（2023•上海）已知中，角，，所对的边，，，则．19．（2022•上海）函数的周期为．20．（2022•浙江）若，，则．21．（2022•北京）若函数的一个零点为，则1．22．（2022•乙卷）记函数，的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为．四．解答题23．（2023•乙卷）在中，已知，，．（1）求；（2）若为上一点．且，求的面积．24．（2023•甲卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，求面积．25．（2023•天津）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．26．（2023•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．（1）若，求；（2）若，求，．27．（2023•新高考Ⅰ）已知在中，，．（1）求；（2）设，求边上的高．28．（2022•天津）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．29．（2022•浙江）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积．30．（2022•北京）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长．31．（2022•乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）证明：．32．（2022•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．33．（2022•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知，．（1）求的面积；（2）若，求．34．（2022•乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）证明：；（2）若，，求的周长．第3讲三角函数与解三角形（2022-2023年高考真题）一．选择题1．（2023•乙卷）已知函数在区间，单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则A． B． C． D．【答案】【解析】根据题意可知，，取，，又根据“五点法“可得，，，，，．故选：．2．（2023•甲卷）“”是“”的A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】【解析】，可知，可得，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：．3．（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】由给定区间可知，．区间，与区间，相邻，且区间长度相同．取，则，，区间，，可知，，故可能；取，则，，，区间，，，可知，，故可能；取，则，，，区间，，，可知，，故可能．结合选项可得，不可能的是，．故选：．4．（2023•新高考Ⅱ）已知为锐角，，则A． B． C． D．【答案】【解析】，则，故，即，为锐角，，．故选：．5．（2023•新高考Ⅰ）已知，，则A． B． C． D．【答案】【解析】因为，，所以，所以，则．故选：．6．（2023•乙卷）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则A． B． C． D．【答案】【解析】由得，得，即，即，得，在中，，，即，则．故选：．7．（2022•北京）已知函数，则A．在，上单调递减 B．在，上单调递增 C．在上单调递减 D．在，上单调递增【答案】【解析】，周期，的单调递减区间为，，单调递增区间为，，对于，在，上单调递增，故错误，对于，在，上单调递增，在上单调递减，故错误，对于，在上单调递减，故正确，对于，在，上单调递减，在，上单调递增，故错误，故选：．8．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，A． B． C． D．【答案】【解析】，，，是的中点，在上，，延长可得在上，，．故选：．9．（2022•新高考Ⅰ）记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则A．1 B． C． D．3【答案】【解析】函数的最小正周期为，则，由，得，，的图像关于点，中心对称，，且，则，．，，取，可得．，则．故选：．10．（2022•甲卷）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是A． B． C． D．【答案】【解析】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则对应函数为，的图象关于轴对称，，，即，，则令，可得的最小值是，故选：．11．（2022•新高考Ⅱ）若，则A． B． C． D．【答案】【解析】解法一：因为，所以，即，所以，所以，所以，所以，，所以，所以．解法二：由题意可得，，即，所以，故．故选：．12．（2022•甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】当时，不能满足在区间极值点比零点多，所以；函数在区间恰有三个极值点、两个零点，，，，求得，故选：．二．多选题13．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的图像关于点，中心对称，则A．在区间单调递减 B．在区间，有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线【答案】【解析】因为的图象关于点，对称，所以，，所以，因为，所以，故，令，解得，故在单调递减，正确；，，，，根据函数的单调性，故函数在区间，只有一个极值点，故错误；令，，得，，显然错误；，求导可得，，令，即，解得或，故函数在点处的切线斜率为，故切线方程为，即，故正确．直线显然与相切，故直线显然是曲线的切线，故正确．故选：．三．填空题14．（2023•乙卷）若，，则．【答案】．【解析】，，令，，设终边上一点的坐标，则，则．故答案为：．15．（2023•新高考Ⅱ）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则．由题意：设，，，，则，由的图象可知：，即，，又，，，即，，观察图象，可知当时，满足条件，．故答案为：．16．（2023•新高考Ⅰ）已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是．，，函数的周期为，，可得，函数在区间，有且仅有3个零点，可得，所以．故答案为：，．17．（2023•甲卷）在中，，，为上一点，为的平分线，则．【答案】2．【解析】如图，在中，，，由正弦定理可得，，又，，，又为的平分线，且，，又，，．故答案为：2．18．（2023•上海）已知中，角，，所对的边，，，则．【答案】．【解析】，，，由余弦定理得，，又，，．故答案为：．19．（2022•上海）函数的周期为．【答案】【解析】，．故答案为：．20．（2022•浙江）若，，则．【答案】；．【解析】，，，，，，解得，，．故答案为：；．21．（2022•北京）若函数的一个零点为，则1．【答案】1；．【解析】函数的一个零点为，，，函数，，故答案为：1；．22．（2022•乙卷）记函数，的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为．【答案】3．【解析】函数，的最小正周期为，若，，则，所以．因为为的零点，所以，故，，所以，，因为，则的最小值为3．故答案为：3．四．解答题23．（2023•乙卷）在中，已知，，．（1）求；（2）若为上一点．且，求的面积．【解析】（1）在中，由余弦定理可知，，由余弦定理可得，又，，（2）由（1）知：，，，，，的面积为．24．（2023•甲卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，求面积．【解析】（1）因为，所以；（2），所以，所以，所以，即，由为三角形内角得，面积．25．（2023•天津）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【解析】（Ⅰ），，，则；（Ⅱ），，，则，化简整理可得，，解得（负值舍去）；（Ⅲ），，，，则，故，所以．26．（2023•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．（1）若，求；（2）若，求，．【分析】（1）根据已知条件，推得，过作，垂足为，依次求出，，即可求解；（2）根据已知条件，求得，两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）为中点，，则，过作，垂足为，如图所示：中，，，，解得，，，故；（2），，，，则，①，，即②，由①②解得，，，又，．27．（2023•新高考Ⅰ）已知在中，，．（1）求；（2）设，求边上的高．【解析】（1），，，，，，，，，，即，又，，解得，又，，；（2）由（1）可知，，，，，，设边上的高为，则，，解得，即边上的高为6．28．（2022•天津）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【解析】解（1）因为，，，由余弦定理可得，解得：；（2），，所以，由，可得，由正弦定理可得，即，可得，所以；（3）因为，，所以，，，可得，所以，所以的值为．29．（2022•浙江）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积．【解析】（Ⅰ）因为，所以，且，由正弦定理可得：，即有；（Ⅱ）因为，所以，故，又因为，所以，所以；由正弦定理可得：，所以，所以．30．（2022•北京）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长．【解析】（Ⅰ），，又，，，，；（Ⅱ）的面积为，，又，，，，又，，，，的周长为．31．（2022•乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）证明：．【解析】（1）由，又，，，，即（舍去）或，联立，解得；证明：（2）由，得，由正弦定理可得，由余弦定理可得：，整理可得：．32．（2022•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．【解析】（1），，．，化为：，，，，，，．（2）由（1）可得：，，，，为钝