苏科版八年级数学下册举一反三专题9.7三角形的中位线两大题型同步练习(学生版+解析)

专题9.7三角形的中位线两大题型【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对三角形的中位线两大题型的理解！【题型1一条中位线的问题】1．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长为（

）A．24 B．18 C．12 D．92．（2023上·重庆忠县·八年级统考期末）在如图所示的△ABC中，点D，E在边AB上，∠BAC的平分线AF⊥CE于F，∠ABC的平分线BH⊥CD于H，若AB=8，FH=2，则△ABC的周长为（

）A．10 B．12 C．18 D．203．（2023下·黑龙江伊春·八年级校联考期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC=3，AC=4，A．32 B．2 C．524．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB=9，AC=8，BC=7，则GD的长为（）A．5.5 B．5 C．6 D．6.55．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，OD=AD，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作FP∥BE交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（

）

A．CD=2AP B．PF⊥AC C．BE=PF D．2∠BAC=∠DAC6．（重庆市万州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F，若AC=6，BC=14，则DF的长为．7．（2023上·广东河源·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=45°，E，F分别是过CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为．8．（2023上·山东烟台·八年级校考期末）如图，▱ABCD中，AB=3，BC=4，BE平分∠ABC，交AD于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，交BE于点O，点G，H分别是OF和OE的中点，则9．（2023上·山东淄博·八年级淄博市淄川实验中学校考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接10．（2023上·江苏南京·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF=OF，连接EF交OA于点G，若OG=1，连接CE，S△BEC=12，则线段CE的长为11．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A=120°，点F、点N分别为CD、AB的中点，点E在边AD上运动，将△EDF沿EF折叠，使得点D落在D'处，连接BD'，点M为BD'

12．（2023下·河南漯河·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别时边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别时EC，FD的中点，这接GH，苦AB=4，BC=6，则GH的长度为．

13．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E分别为边BC、AC的中点，连接DE，点F为边AB上一动点，且CF=DE，则AF

14．（2023上·上海静安·八年级上海田家炳中学校考期末）如图，直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D是BC边的中点，点E是AB边上的一个动点（不与A，B重合），DF⊥DE交AC于点F，设BE=x，FC=y．(1)求证：DE=DF；(2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)写出x为何值时，EF∥BC？15．（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期末）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，点D在AB边上（不与点A，B合），分别过A，C作AB，CD的垂线交于点E，

(1)依题补全图形；(2)求证：CE=CD；(3)用等式表示线段AE，【题型2多条中位线的问题】1．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=270°，点E、F分别是AD、BC上的中点，EF=3，则AB2+DC2的值是（

）

A．36 B．27 C．18 D．92．（2023下·河南商丘·八年级统考期末）边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，连接EC、FD，点G，H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长为(

)A．22 B．1 C．2 D．3．（2023下·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，▱ABCD中，BD=12，∠AOB=60°，点F为AB中点，点E为AO边上一点，若AE=OE+OB，则EF的长为（

）

A．5 B．32 C．25 4．（2023下·浙江台州·八年级校联考期中）如图，线段AB=6，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边△APC、等边△BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是（

）

A．3 B．2.8 C．2.5 D．25．（2023上·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F6．（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线7．（2023下·云南文山·八年级统考期末）如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，依次类推，第2023次组成的三角形的周长．8．（2023下·广东阳江·八年级校联考期中）如图，AD=4，在AD边上有一动点C，分别以AC、CD为边在AD边的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接BE，取BE边上的中点F，连接CF，则CF的最小值为．

9．（2023下·广东佛山·八年级校考期末）如图1所示，△ABC是等边三角形，点D和点E分别在边AB和AC上（D，E均不在所在线段的端点上），且AD=AE，点M，P，N分别是线段DE，DC，

(1)请说明PM=PN．并求出∠MPN的大小；(2)把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，(3)把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出10．（2023上·辽宁辽阳·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH．

(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)当AB=CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由；11．（2023下·湖南长沙·八年级统考期末）定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”．(1)线段PF与PG的数量关系是___________，位置关系是___________；(2)把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接PF，PG，FG，判断△FPG的形状，并说明理由；(3)若AD=3，AB=7，△ADE绕点A在平面内旋转过程中，请直接写出△FPG的面积取得最大值时BD的长．14．（2023上·江西南昌·八年级校考期中）【综合与实践】老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，点M，P，N分别为DE，AD，AB的中点．试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系．甲小组发现：PM=PN，PM⊥PN．并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程（片段前后证明过程已省略）：【片段1】∵点P，M分别是AD，DE的中点，∴PM∥AE，【片段2】∵∠BCA=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°（理由2）．反思交流(1)①填空：理由1：______________________；理由2：______________________；③图1中，MN与AB的位置关系是．(2)乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置．请判断△PMN的形状并证明：(3)两小组的同学继续探究：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，当CD=4，CB=10时，直接写出线段MN长度的最大值．15．（2023下·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）如图1：平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，OA绕O点旋转至OB，过B作BC⊥OB交x轴于C点．

(1)如图1，若A点坐标为0,6，∠AOB=30∘，直接写出(2)如图2，若B点坐标为6,23，C点坐标为8,0，以OB,BC为边构造矩形OBCD，连AD，求AD(3)如图3，点M、N、Q分别为AB,OC,OB的中点，点P为MN的中点，且MP=5，PQ=3，求OC．专题9.7三角形的中位线两大题型【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对三角形的中位线两大题型的理解！【题型1一条中位线的问题】1．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长为（

）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】B【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得BC=2EF=6，然后根据菱形的性质即可求解．【详解】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴BC=2EF=6，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=6，∴菱形ABCD的周长=4×6=24，2．（2023上·重庆忠县·八年级统考期末）在如图所示的△ABC中，点D，E在边AB上，∠BAC的平分线AF⊥CE于F，∠ABC的平分线BH⊥CD于H，若AB=8，FH=2，则△ABC的周长为（

）A．10 B．12 C．18 D．20【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．证明△CAF≌△EAFASA，推出AC=AE，CF=EF，同理BC=BD，CH=HD，得到FH是△CDE【详解】解：∵AF平分∠BAC，且AF⊥CE，∴∠CAF=∠EAF，AF=AF，∠CFA=∠EFA=90°，∴△CAF≌△EAFASA∴AC=AE，CF=EF，同理可证BC=BD，CH=HD，∴FH是△CDE的中位线，∴DE=2FH=4，∴△ABC的周长为AB+AC+BC=2AB+DE=20，故选：D．3．（2023下·黑龙江伊春·八年级校联考期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC=3，AC=4，A．32 B．2 C．52【答案】B【分析】延长BC到E使BE=AD，则四边形ACED是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到CM=12DE=【详解】：延长BC到E使BE=AD，∵AD∥∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=6，AB=DE∵BC=3，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM=1∵AC⊥BC，∴AB=A∴CM=1【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB=9，AC=8，BC=7，则GD的长为（）A．5.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】A【分析】本题主要考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．问题的难点在于过关键点作辅助线构造△APQ．延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，依据等腰三角形的判定与性质，即可得到PQ的长；再根据三角形中位线定理，即可得到DG的长等于PQ的长的一半．【详解】如图所示，延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，∵CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，∴∠ACD=∠PCD，∠ABG=∠QBG，又∵AD⊥CF,AG⊥BE，∴∠ADC=∠PDC，∠AGB=∠QGB，∴∠CAP=∠P,∠BAG=∠Q，∴AC=PC=8,AB=QB=9，又∵BC=7，∴PQ=BQ+PC−BC=9+8−7=10，∵AC=PC,CD平分∠ACP，∴点D是AP的中点，同理可得，点G是AQ的中点，∴DG是△APQ的中位线，∴DG=15．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，OD=AD，点E、F分别是OC、OD的中点，连接BE，过点F作FP∥BE交边AB于点P，连接PE，则下列结论中不一定正确的是（

）

A．CD=2AP B．PF⊥AC C．BE=PF D．2∠BAC=∠DAC【答案】D【分析】如图，连接EF，由三角形的中位线定理结合平行四边形的性质可证明四边形BEFP为平行四边形，可得CD=2EF=2BP=2AP，可判断A选项；由平行四边形的性质可得OB=BC，再结合等腰三角形的性质可判断B选项；由四边形BEFP为平行四边形，可得BE=PF，可判断C选项；只有当▱ABCD是矩形时，2∠BAC=∠DAC，可判断D选项．【详解】解：如图，连接EF，

∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF=1∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴PB∥EF，又∵FP∥BE，∴四边形BEFP为平行四边形，∴CD=2EF=2BP=2AP，故A正确，不符合题意；在▱ABCD中，OB=OD，BC=AD，OD=AD，∴OB=BC，又∵E为OC中点，∴BE⊥AC，∴PF⊥AC，故B正确，不符合题意；∵四边形BEFP为平行四边形，∴BE=PF，故C正确，不符合题意；∵OD=AD，∴∠DAC=∠AOD=∠BOC，又∵∠BOC=∠BAC+∠ABO，当2∠BAC=∠DAC时，则∠BAC=∠ABO，∴OA=OB=OD=OC，则此时▱ABCD是矩形，即：只有当▱ABCD是矩形时，2∠BAC=∠DAC，故结论错误，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．6．（重庆市万州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F，若AC=6，BC=14，则DF的长为．【答案】4【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，角平分线的定义，等边对等角，根据三角形中位线定理和定义得到DE=12BC=7，CE=12AC=3，DE∥BC，进而证明【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，AC=6，BC=14∴DE=12BC=7，CE=∴∠EFC=∠BCF，∵∠ACB的角平分线交DE于点F，∴∠ECF=∠BCF，∴∠EFC=∠ECF，∴EF=EC=3，∴DF=DE−EF=4，故答案为：4．7．（2023上·广东河源·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=45°，E，F分别是过CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为．【答案】2【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF【详解】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=8，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=1当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB=90°，∵∠B=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=2∴GH=22即GH的最小值为22故答案为：22【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．8．（2023上·山东烟台·八年级校考期末）如图，▱ABCD中，AB=3，BC=4，BE平分∠ABC，交AD于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，交BE于点O，点G，H分别是OF和OE的中点，则【答案】1【分析】本题考查了平行四边形的性质及三角形中位线定理，根据平行四边形的性质得出AB=CD=3，BC=AD=4，AD∥【详解】解：▱ABCD中，AB=3，∴AB=CD=3，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3，∵AE+DF=AD+EF，∴EF=2，∵点G，H分别是OF和OE的中点，∴GH是△OEF的中位线，∴GH=故答案为：1．9．（2023上·山东淄博·八年级淄博市淄川实验中学校考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接【答案】1【分析】本题考查了三角形的中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，首先证明△ACG是等腰三角形，则AG=AC=3，FG=CF，则EF是【详解】解：∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG=AC，∵AC=3，∴AG=AC=3∵AF为∠CAG的角平分线，∴FG=CF，即点F为CG的中点，∵AE为△ABC的中线，∴点E为CB的中点，∴EF是△BCG的中位线，∴EF=1∵AB=5，∴BG=AB−AG=5−3=2．∴EF=1故答案为：1．10．（2023上·江苏南京·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF=OF，连接EF交OA于点G，若OG=1，连接CE，S△BEC=12，则线段CE的长为【答案】3【分析】取AO中点M，连接EM，可证明EM是ABO的中位线，得到EM=12OB，EM⊥OA，因此OF=EM，推出△EMG≌△FOG，得到MG=OG=1，从而求出OA的长，得到AC的长，求出CM的长，由三角形面积公式求出OB【详解】解：取AO中点M，连接EM，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥OA，OD=OB，OA=OC，∵点E为AB的中点，M为AO中点，∴EM是△ABO的中位线，∴EM=12OB∴EM⊥AC，∠MEG=∠OFG，∵DF=OF，∴OF=1∴EM=OF，∵∠MEG=∠OFG，∠MGE=∠OGF，∴△EMG≌∴MG=OG=1，∴OM=2OG=2，∴OA=2OM=4，∴AC=2OA=8，∵AE=BE，∴S△BAC∴12∴OB=6，∴EM=1∵CM=OM+OC=2+4=6，∴CE=C故答案为：35【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．11．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A=120°，点F、点N分别为CD、AB的中点，点E在边AD上运动，将△EDF沿EF折叠，使得点D落在D'处，连接BD'，点M为BD'

【答案】7【分析】根据三角形中位线定理可得MN=12AD'，可知当AD'取得最小值时，MN取得最小值，根据折叠可知D'在以点F为圆心，DF的长为半径的半圆弧上运动，当点D'运动到线段AF上时，此时AD'取得最小值，最小值为AF−D'F，过点F作FH⊥AD于点H，根据【详解】解：连接AD

∵点N为AB的中点，点M为BD∴MN为△BAD∴MN=1∴当AD'取得最小值时，在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥∴∠A+∠D=180°，∵AB=4，AD=6，∠A=120°，∴CD=4，∠D=60°，∵点F为线段CD的中点，∴DF=CF=2，根据折叠可知D'∴点D'在以点F为圆心，DF当点D'运动到线段AF上时，此时AD'过点F作FH⊥AD于点H，如图所示：则∠FHD=90°，∴∠HFD=30°，∴DH=1在Rt△DHF中，根据勾股定理，得FH=∵AD=6，∴AH=6−1=5，在Rt△AFH中，根据勾股定理，得AF=∴AD'的最小值为∴MN的最小值为7−1故答案为：7−1【点睛】本题考查了翻折变换，线段最小值问题，平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，找出线段AD'最小时点12．（2023下·河南漯河·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别时边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别时EC，FD的中点，这接GH，苦AB=4，BC=6，则GH的长度为．

【答案】13【分析】连接CH并延长交AD于点P，连接PE，由矩形的性质得∠A=90°，AD∥BC，AD=BC=6，从而得到∠DPH=∠FCH，通过AAS证明△DPH≌△FCH可得PD=CF=3，PH=CH，由勾股定理进行计算可得EP=13，再由三角形中位线定理即可得到GH【详解】解：如图，连接CH并延长交AD于点P，连接PE，

，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC=6，∴∠DPH=∠FCH，∵点E，F分别时边AB，BC的中点，AB=4，BC=6，∴AE=12AB=2∵点H为DF的中点，∴DH=FH，在△DPH和△FCH中，∠DPH=∠FCH∠DHP=∠FHC∴△DPH≌△FCHAAS∴PD=CF=3，PH=CH，∴AP=AD−PD=6−3=3，∴PE=A∵点G是CE的中点，CH=PH，∴GH是△CEP的中位线，∴GH=1故答案为：132【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形，是解题的关键．13．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E分别为边BC、AC的中点，连接DE，点F为边AB上一动点，且CF=DE，则AF

【答案】2.5或1.1【分析】根据三角形的中位线定理，可知DE=12AB【详解】解：∵点D、E分别为边BC、∴DE=1又∵CF=DE，∴CF=1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4∴AB=A即CF=1种：当F点运动到AB中点时，∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴CF=1∵点F是AB中点，则AF=1

；种：如图，作CH⊥AB，交AB于点H，

，∵S△ABC∴CH=AC⋅BC∵AF=5在Rt△CHF中，HF=在Rt△CHF中，AH=∴AF=AH−HF=1.8−0.7=1.1，综上所述：AF的长为2.5或1.1，故答案为：2.5或1.1．【点睛】本题考查了三角形的中位线、勾股定理以及直角三角形斜边中线，解题的关键在于运用分类讨论思想进行求解．14．（2023上·上海静安·八年级上海田家炳中学校考期末）如图，直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D是BC边的中点，点E是AB边上的一个动点（不与A，B重合），DF⊥DE交AC于点F，设BE=x，FC=y．(1)求证：DE=DF；(2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)写出x为何值时，EF∥BC？【答案】(1)见详解(2)y=2−x，0<x<2(3)x=1【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明△EDH≌△FDN是关键．（1）取AB的中点记为H，取AC的中点记为N．根据三角形中位线的性质可得DH=DN，根据余角的性质可得∠EDH=∠FDN，根据ASA可证△EDH≌△FDN，根据全等三角形的性质即可证明DE=DF；（2）根据全等三角形的性质可得HE=NF，从而得到y关于x的函数关系式，以及x的定义域；（3）连接HN，根据三角形中位线的性质可得x为1时，EF∥BC．【详解】（1）解：取AB的中点记为H，取AC的中点记为N．连接DH，DN∵∠A=90°，点D是BC边的中点，∴DH，DN都是三角形中位线∴DN∥AB，DN=∵AB=AC=2，∴DH=DN=1，∴∠NDH=90°，∵∠NDF+∠NDE=90°，∴∠EDH=∠FDN在△EDH与△FDN中，∠EDH=∠FDNDH=DN∴△EDH≌△FDN，∴DE=DF；（2）解：∵△EDH≌△FDN，∴HE=NF，∴x−即y=2−x∵E是AB边上的一个动点（不与A、B重合），∴0<x<2；（3）解：连接HN，当E与H重合时，EF∥BC，∵此时x=BH=1，∴当x=1时，EF∥BC．15．（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期末）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，点D在AB边上（不与点A，B合），分别过A，C作AB，CD的垂线交于点E，

(1)依题补全图形；(2)求证：CE=CD；(3)用等式表示线段AE，【答案】(1)见解析(2)证明见解析(3)AF+1【分析】（1）依题意作图即可；（2）根据等腰三角形的性质可得∠EAC=∠DBC=45°，再根据同角的余角相等可得出∠ECA=∠DCB，即可利用ASA证明△ECA≌△DCB，即可得出结论；（3）取AB的中点为Q，连接CQ交BE于点H，过点C作AE的垂线交延长线于点K，先利用ASA证明△FQC≌△HQB，得出FQ=HQ，再证明HQ是△EAB的中位线，可得出HQ=12AE，然后证明四边形AKCQ【详解】（1）解：依题意补全图形如下：

（2）证明：∵△ABC中，AC=BC，∴∠FAC=∠DBC=45°又∵EA⊥AB，∴∠EAF=90°，∴∠EAC=∠EAF−∠FAC=90°−45°=45°，∴∠EAC=∠DBC=45°，∵∠ECD=∠ECA+∠ACD=90°，∴∠ECA=∠DCB，在△ECA和△DCB中，∠ECA=∠DCBAC=BC∴△ECA≌△DCB(ASA∴CE=CD；（3）解：线段AE，AC，取AB的中点为Q，连接CQ交BE于点H，过点C作AE的垂线交延长线于点K，如图所示：

∵CF⊥BE交AB于点F，即∠CGH=90°，又∵∠HQB=90°∴∠GCH=∠QBH，在△FQC和△HQB，∠FQC=∠HQB=90°CQ=BQ∴△FQC≌△HQB(ASA∴FQ=HQ，∵∠EAB=∠HQB=90°，∴EA∥HQ，又∵AQ=BQ，∴HQ是△EAB的中位线，∴HQ=1∴FQ=1∵△ABC中，AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∵Q为AB的中点，∴CQ垂直平方AB，则AQ=BQ=CQ，又∵∠EAF=90°，∴四边形AKCQ为正方形，∴AC=2∴AC=2即AF+1【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，三角形的中位线，同角的余角相等，等腰直角三角形的性质，解题的关键是能正确作出辅助线以及能熟练掌握三角形的判定方法．【题型2多条中位线的问题】1．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=270°，点E、F分别是AD、BC上的中点，EF=3，则AB2+D

A．36 B．27 C．18 D．9【答案】B【分析】连接AC，取AC的中点M，连接EM，FM，根据三角形的中位线定理可以得到EM∥DC，MF∥AB，EM=1【详解】连接AC,取AC的中点M，连接EM，

则EM∥DC，MF∥AB，EM=1∴∠EMA=∠DCA，∠B=∠MFC，∴∠EMF=∠EMA+∠AMF=∠EMA+∠ACF+∠MFC=∠DCA+∠ACF+∠B=∠DCB+∠B=360°−=360°−270°=90°∴EM∴AB故选A．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，作辅助线利用平行线构造直角三角形是解题的关键．2．（2023下·河南商丘·八年级统考期末）边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，连接EC、FD，点G，H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长为(

)A．22 B．1 C．2 D．【答案】D【分析】连接AC、BD交于点O，连接GO、HO，可得GO、HO分别是△ACE、△BDF的中位线，从而求出GO，HO的长，在通过证明△GOH是直角三角形，利用勾股定理求出GH的长．【详解】解：连接AC、BD交于点O，连接GO、HO，如图所示，∵点E、F分别是AB、BC的中点．∴AE=12AB=2，BF=12∵点O是正方形ABCD对角线的交点．∴点O是AC、BD的中点．∵点G是EC的中点．∴GO是△ACE的中位线．∴GO=12AE=1，且GO∥AB同理，HO=1，且HO∥BC．∵∠ABC=90°．∴AB⊥BC．∴GO⊥HO．∴∠GOH=90°．在Rt△GOH中，GH=GO故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质与三角形的中位线性质定理，通过作辅助线把GH归纳到直角三角形中是解题的关键．3．（2023下·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，▱ABCD中，BD=12，∠AOB=60°，点F为AB中点，点E为AO边上一点，若AE=OE+OB，则EF的长为（

）

A．5 B．32 C．25 【答案】D【分析】由平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BD=12，得OB=OD=12BD=6，在AO上截取AI=OB=6，连接BI，取BI的中点H，连接EH、FH，可证明IE=OE，根据三角形的中位线定理得EH∥OB，EH=12OB=3，FH∥AI，FH=12AI=3，延长EH到点G，使GH=EH=FH=3，连接FG，则EG=2EH=6，可证明△FGH是等边三角形，则FG=FH=3【详解】∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BD=12，∴OB=OD=1在AO上截取AI=OB=6，连接BI，取BI的中点H，连接EH、FH，

∵AE=IE+AI=OE+OB，∴IE=OE，∵取BI的中点H，∴IH=BH，∵点F为AB中点，∴AF=BF，∴EH∥OB，EH=12OB=3，FH∥AI延长EH到点G，使GH=EH=FH=3，连接FG，则EG=2EH=6，∵∠FHG=∠AEG=∠AOB=60°，∴△FGH是等边三角形，∴FG=FH=3，∠HFG=60°，∵∠HFE=∠HEF，∴2∠HFE=∠HFE+∠HEF=∠FHG=60°，∴∠HFE=30°，∴∠EFG=∠HFE+∠HFG=90°，∴EF=E故选：D．【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．4．（2023下·浙江台州·八年级校联考期中）如图，线段AB=6，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边△APC、等边△BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是（

）

A．3 B．2.8 C．2.5 D．2【答案】B【分析】分别延长AC、BD交于点H，易证四边形HCPD为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HAB的中位线NJ．最后运用中位线的性质求出NJ的长度即可解答．【详解】解：如图：分别延长AC、BD交于点H，则△ABH是等边三角形，∴∠AHB=60°,∵等边△APC、等边△BPD，∴∠ACP=∠BDP=60°∵∠ACP=∠AHB=60°,∠BDP=∠AHB=60°，∴DH∴四边形HCPD为平行四边形，∴HP与CD互相平分．M为CD的中点，∴M也正好为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，∴M的运行轨迹为三角形HAB的中位线NJ．∴NJ=1

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线，发现点M移动的规律，判断出其运动轨迹是解答本题的关键．5．（2023上·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F【答案】1【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质，探究规律．根据三角形中位线定理可求出S1的值，进而可得出S2的值，找出规律即可得出【详解】解：由题意得S△ABC∵E为BC的中点，ED∥AB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=1∴S同理S△BEF∴S∵取BE中点E1，作E1D1∥∴S四边形∴S同理可得S3∴S∴S2024故答案为：146．（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线【答案】2【分析】根据正方形性质求出CM1=A1M1，∠COA1=∠M1A2A1=90°，推出【详解】解:∵四边形OA1B∴CM1∴A∴O∴A2M1即M1的坐标是同理A3M∴OA即M2的坐标是2同理M3的坐标是23−123,123M6的坐标是26−12故答案为：2【点睛】本题主要考查了正方形性质,三角形的中位线的应用,解决本题的关键是能根据求出的结果得出规律.7．（2023下·云南文山·八年级统考期末）如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，依次类推，第2023次组成的三角形的周长．【答案】1【分析】以△ABC的三边中点为顶点组成的新三角形的三边是原三角形的中位线，根据三角形的中位线定理可得：三角形的中位线等于第三边的一半．故第一个新三角形的周长为△ABC周长的一半．按照这个规律，即可得第2023个三角形的周长．【详解】解：如下图：点D，E是AB和BC的中点，∴DE是△ABC的一条中位线，∴DE=1同理可得：DF=12BC∴△DEF的周长为：12∴第一个小三角形的周长为：12同理可得：第二个小三角形的周长为：12第三个小三角形的周长为：12依次类推：第2023个小三角形的周长为：12故答案为：12【点睛】本题考查的是三角形中位线的定义及定理，识别中位线并熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．连接三角形两边中点的线段叫做中位线．中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．8．（2023下·广东阳江·八年级校联考期中）如图，AD=4，在AD边上有一动点C，分别以AC、CD为边在AD边的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接BE，取BE边上的中点F，连接CF，则CF的最小值为．

【答案】3【分析】延长AB，DE交于点G，P，Q分别是AG，DG的中点，连接PF，QF，GF，可知当CF⊥PQ时，CF最小，则此时CG⊥AD，亦即当点C为AD的中点时，CF最小，证明△BCE是等边三角形，利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：延长AB，DE交于点G，取P，Q分别是AG，DG的中点，连接PF，QF，GF，

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB=BC=AC，CD=DE=CE，∠A=∠D=60°，则△ADG也是等边三角形，∴AD=DG=AG=AC+CD=4，∴BG=CE，BC=GE，则四边形BCEG是平行四边形，∵F为BE的中点，∴BF=EF，即F为平行四边形BCEG对角线的交点，∴GF=CF，即F为CG的中点，∵P，Q分别是AG，DG的中点，∴PF∥AC，FQ∥CD，∴F，P，Q三点在一条直线上，即：F在线段PQ上运动，当CF⊥PQ时，CF最小，则此时CG⊥AD，亦即当点C为AD的中点时，CF最小，则AB=BC=AC=2，CD=DE=CE=2，∵P，Q分别是AG，DG的中点，∴AP=DQ=2，即点B，E与点P，Q重合，

又∵∠ACB=∠DCE=60°，则∠BCE=60°∴△BCE是等边三角形，∴BE=CB=2，∵点F是BE边上的中点，∴BF=1∴CF=B故答案为：3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是添加辅助线得到当CF⊥PQ时，CF最小．9．（2023下·广东佛山·八年级校考期末）如图1所示，△ABC是等边三角形，点D和点E分别在边AB和AC上（D，E均不在所在线段的端点上），且AD=AE，点M，P，N分别是线段DE，DC，

(1)请说明PM=PN．并求出∠MPN的大小；(2)把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，(3)把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出【答案】(1)∠MPN=120°(2)△PMN是等腰三角形，理由见解析(3)△PMN的面积的最大值为49【分析】（1）由△ABC是等边三角形，可得AB=AC，∠A=60°，由AD=AE，可得BD=CE，由点M，P，N分别是线段DE，DC，BC上的中点，可得MP=12EC，PM∥EC（2）由AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ABC=∠ACB=60°，可得∠BAD=∠CAE，证明△ABD≌△ACESAS，则BD=CE，由点M，P，N分别是线段DE（3）由（2）可知，△ABD≌△ACE，则∠ABD=∠ACE，由点M，P，N分别是线段DE，DC，BC上的中点，可得PM∥EC，PN∥BD，∠MPD=∠DCE，∠PNC=∠DBC，则∠MPN=120°，△PMN是顶角为120°等腰三角形，由BD≤AB+AD，可得BD≤14，即BD的最大值为14，PN的最大值为7，如图2中，过点N作NJ⊥MP的延长线于J，则∠NPJ=60°，∠PNJ=30°，PJ=12PN【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵AD=AE，∴AB−AD=AC−AE，即BD=CE，∵点M，P，N分别是线段DE，∴MP=1∴PM=PN，∠MPD=∠ACD，∠NPD=∠ADC，∵∠ADC+∠ACD=180°−∠A=120°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=∠ACD+∠ADC=120°，∴∠MPN=120°．（2）解：△PMN是等腰三角形，理由如下：∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE，∵点M，P，N分别是线段DE，∴MP=1∴MP=PN，∴△PMN是等腰三角形．（3）解：由（2）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵点M，P，N分别是线段DE，∴PM∥EC，PN∥BD，∴∠MPD=∠DCE，∠PNC=∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠PNC+∠PCN=∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠PCN=∠ACD+∠PCN+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC=120°，∴△PMN是顶角为120°等腰三角形，∵BD≤AB+AD，∴BD≤14，即BD的最大值为14，PN的最大值为7，如图2中，过点N作NJ⊥MP的延长线于J，

∴∠NPJ=60°，∠PNJ=30°，∴PJ=1由勾股定理得，NJ=P∴△PMN的面积的最大值为12∴△PMN的面积的最大值为493【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，旋转的性质，含30°的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．10．（2023上·辽宁辽阳·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH．

(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)当AB=CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由；【答案】(1)见详解(2)EF⊥GH，理由见详解【分析】（1）因为E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，所以EG是△ABD的中位线，HF是△ABC的中位线，故EG∥AB，HF∥AB，EG=12AB，HF=12（2）因为E是AD的中点，H是AC的中点，所以EH是△ACD的中位线，则EH∥DC，EH=12DC，由（1）知EG=12AB，结合AB=CD，得【详解】（1）证明：因为E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，所以EG是△ABD的中位线，所以EG是△ABD的中位线，HF是△ABC的中位线，故EG∥AB，HF∥AB，EG=12AB那么EG∥HF，EG=HF，所以四边形EGFH是平行四边形；（2）解：EF⊥GH，理由如下：因为E是AD的中点，H是AC的中点，所以EH是△ACD的中位线，则EH∥DC，EH=1因为AB=CD，且结合由（1）知EG=1所以EH=EG，因为四边形EGFH是平行四边形，因为EH=EG因为四边形EGFH是平行四边形，故EF⊥GH【点睛】本题考查了中位线的性质、平行四边形的判定与性质，以及菱形的判定等知识内容；中位线的性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．11．（2023下·湖南长沙·八年级统考期末）定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”．

(1)概念理解：下列四边形中一定是“中正四边形”的是______；A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形(2)性质探究：如图1，四边形ABCD是“中正四边形”，观察图形，直接写出关于四边形ABCD对角线的两条结论；(3)问题解决：如图2，△ABC为锐角三角形，以△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC，求证：四边形BCGE是“中正四边形”．【答案】(1)D(2)①AC=BD，③AC⊥BD(3)见解析【分析】（1）根据中正四边形的概念得出结论即可；（2）根据三角形中位线的性质得出结论即可；（3）先根据三角形中位线的性质证四边形MNRL是平行四边形，再证△EAC≌△BAG，得出四边形MNRL是菱形，然后得出四边形MNRL是正方形即可得证结论．【详解】（1）平行四边形的“中点四边形”仍然是平行四边形，矩形的“中点四边形”是菱形，菱形的“中点四边形”是矩形，正方形的“中点四边形”是正方形，根据中正四边形的概念知，正方形的“中点四边形”一定是“中正四边形”，故答案为：D；（2）性质探究：∵四边形ABCD是“中正四边形”，∴四边形EFGH是正方形，∴EF=FG，且EF⊥FG，∵EF∥AC且EF=12AC，FG∥BD∴①AC=BD，（3）问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，

∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，∴MN∥BG，MN=12BG，RL∥BG，RL=12BG，RN∥CE，∴MN∥RL，MN=RL，RN∥ML∥CE，RN=ML，∴四边形MNRL是平行四边形，∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，

又∵∠BAC=∠BAC，∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAG，在△EAC和△BAG中，AE=AB∠EAC=∠BAG∴△EAC≌△BAGSAS∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，又∵RL=12BG∴RL=RN，∴▱MNRL是菱形，∵∠EAB=90°，∴∠AEP+∠APE=90°，又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，∴∠ABG+∠BPK=90°，∴∠BKP=90°，又∵MN∥BG，ML∥CE，∴∠LMN=90°，∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中正四边形”．【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形与正方形的判定等知识是解题的关键．12．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）【操作】如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是其内部的一点，连接CD．将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE、BE，作直线AD交BE于点F．

（1）求证：△ADC≌△BEC；（2）设AF与BC交于点H，求∠AFE的度数；【探究】（3）如图2，连接图1中的AE，分别取AB、DE、AE的中点M、N、P，作△MNP．若BE=8，求△MNP的周长．【答案】（1）见解析；（2）90°；（3）8+4【分析】（1）由旋转的性质得∠DCE=90°,CD=CE，再证∠ACD=∠BCE，然后由SAS证△ADC≌△BEC即可；（2）由全等三角形的性质得∠CAD=∠CBE，再由三角形的外角性质得∠HFB=∠ACB=90°，即可得出结论；（3）由全等三角形的性质得AD=BE=8，再由三角形中位线定理得PM∥BE,PM=12BE=4，PN∥AD,PN=【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，由旋转的性质得：∠DCE=90°,CD=CE，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB−∠BCD=∠DCE−∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ADC和△BEC中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ADC≌△BEC(SAS（2）解：如图1，设AF与BC交于点H，

由（1）可知，△ADC≌△BEC，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AHB=∠CBE+∠HFB=∠CAD+∠ACB，∴∠HFB=∠ACB=90°，∴∠AFE=180°−∠HFB=90°；（3）解：由（1）可知，△ADC≌△BEC，∴AD=BE=8，∵M、N、P分别是AB、DE、AE的中点，∴PM是△ABE的中位线，PN是△ADE的中位线，∴PM∥BE,PM=1∴PM=PN，由（2）可知，∠AFE=90°，∴AF⊥BE，∴PM⊥PN，∴∠MPN=90°，∴△MNP是等腰直角三角形，∴MN=2∴△MNP的周长=PM+PN+MN=4+4+42【点睛】本题是几何变换的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．13．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AC，AB上，AD=AE，连接DE，BD，点F，P，G分别为DE，BD，BC(1)线段PF与PG的数量关系是___________，位置关系是___________；(2)把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接PF，PG，FG，判断△FPG的形状，并说明理由；(3)若AD=3，AB=7，△ADE绕点A在平面内旋转过程中，请直接写出△FPG的面积取得最大值时BD的长．【答案】(1)PG=PF，PG⊥PF(2)△FPG是等腰直角三角形，理由见解析；(3)58【分析】（1）根据三角形的中位线定理解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质可证明△ACD≌△ABE，推出CD=BE，∠ACD=∠ABE，根据三角形的中位线定理可得FP∥BE,FP=12BE，PG∥DC,PG=12DC，进而得出PG=PF，设CD的延长线交AB于O，交（3）由（2）结合等腰直角三角形的性质可得当PG最大时，△FPG的面积最大，由于PG=12CD，故当CD最大时，△FPG的面积最大，可得当D点旋转到CA【详解】（1）∵AB=AC，AD=AE，∴BE=CD，∵点F，P分别为DE，BD的中点．∴FP∥BE,FP=∵点P，G分别为BD，BC的中点．∴PG∥DC,PG=1∴PG=PF，∵CD⊥BE，∴PG⊥PF，故答案为：PG=PF，PG⊥PF；（2）△FPG是等腰直角三角形，理由如下：∵∠CAB=∠DAE=90°，∴∠CAD=∠BAE，∵AC=AB,AD=AE，∴△ACD≌△ABE，∴CD=BE，∠ACD=∠ABE，∵点F，P分别为DE，BD的中点．∴FP∥BE,FP=1∵点P，G分别为BD，BC的中点．∴PG∥DC,PG=1∴PG=PF，设CD的延长线交AB于O，交BE于H，如图，

∵∠ACD=∠ABE，∠AOC=∠BOH，∴∠BHO=∠BAC=90°，即BE⊥CD，∴PG⊥PF，即∠GPF=90°，∴△FPG是等腰直角三角形；（3）∵△FPG是等腰直角三角形，∴△FPG的面积=1∴当PG最大时，△FPG的面积最大，∵PG=1∴当CD最大时，△FPG的面积最大，由题意可得，当D点旋转到CA的延长线上时，CD最大，如图，

则在直角三角形ABD中，根据勾股定理可得BD=AB【点睛】