新教材人教版高中数学必修第二册 第六章 综合测试卷B卷（解析版）

第六章平面向量及其应用综合测试卷B卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求。

1.下列说法正确的是()

A.方向相同的向量叫做相等向量

B.共线向量是在同一条直线上的向量

C.零向量的长度等于0

D.而〃丽就是福所在的直线平行于丽所在的直线

【答案】C

【详解】

方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，A错；

共线向量只要方向相同或相反，表示向量的有向线段不一定在同一直线上，B错；

长度等于。的向量是零向量，C正确；

15〃①就是通所在的直线与表示前所在的直线平行或重合，D错.

故选：C.

2.在AABC中，0,b=l,A=60°,贝()

A.30°B.60°C.30。或150。D.60。或120。

【答案】A【详解】

在AABC中，因为a=V3,b=l,A=60°,

,V3_1

所以由正弦定理二=、，可得而一击万，解得：sinB=-,

smAsinB---2

2

因为6<a,可得5vA,

则5=30。.故选：A.

3.已知向量£,[满足同第=归_*2,则W+2+()

A.2B.4C.2非D.2不

【答案】D【详解】

因为卜卜|@=卜-目，?Jx^a2=a-2a-b+b=2a-2a-b所以=贝(I

^a+2^=\a2+4a-b+4b=-74+4x2+4x4=25/7.

故选：D.

4.已知。，E分别是“IBC的边BC和AC的中点，若而=£,AC=b,则丽=

()

1——Ip1-

A.—b+aB.—b——a

223

一3—3—一

c.2b--aD.-b-2a

22

【答案】D【详解】

如图，因为。，E分别是AABC的边BC和AC的中点，

BE=BC+CE=2DC——AC=2(AC-AD]——AC=-AC-2AD=-b-2a.

21>222

故选：D

5.东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东

一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，"双塔烟雨”成为明

清时的“昆明八景"之一.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做

成的鸟，俗称金鸡，所以也有"金鸡塔”之称.如图，从东到西的公路上有相距80（单

位：m）的AB两个观测点，在A点测得塔在北偏东60。的点。处，在8点测得塔在北

偏西30。，塔顶C的仰角为45。，则塔的高度。约为（）

A.40mB.37mC.35mD.23m

【答案】A【详解】

如图，依题意，ZCDB=ZCDA=90°,ZCBD=45°,ZBAD=30,ZABD=60°,

于是得ZAT>B=90。，BD=ABcosZABD=80cos600-40,在RtA^CZ）中，

CD=BD=40,

所以塔的高度8约为40m.

故选:A

6.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点2E分别是边ABIC的中点，且

DE=3EF;则通•就的值为（）

【答案】B【详解】

把八ABC如下图放在直角坐标系中,

由于△ABC的边长为1,故b(O,O),C(l,O),A(；,争，•.•点。,石分别是边AB1。的中

点、，，DWL，设/(无,>),DE=(-,--),EF=(x--,y),v~DE=3EF-

442'

7

-=3(x--)%=/~

42

=><i'W通=),BC=(1,Q),AFBC=^

卜彳=3yy二---

12

故选：B.

uuur1umiuuu

7.已知点M是AABC所在平面内一点，^AM=-AB+-AC,则AABM与ABCM的面

积之比为()

854

A.—B.-C.2D.一

323

【答案】c【详解】

不妨设AABC中，ZA=90°,边长c=2,边长b=3,

以A为原点、A3为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系

则40,0)、8(2,0)、C(0,3),

AB=(2,0),AC=(0,3),设M(x,y),则而=(x,y)

___.1.1—.11

AM=-AB+-AC=-(2,0)+-(0,3)=(1,1)

/fx=l,

可得，，故MCM)

b=i

^ABM的面积为gx2xl=l,

ABCM的面积为一x2x3—x3x1—x2xl=—

2222

-1=2

则^ABM与ABCM的面积之比为X

2

故选：C

8.已知A、B是单位圆。上的两点(0为圆心)，NAOB=120。，点C是线段AB上不

与A、B重合的动点.MN是圆0的一条直径，则④彳.,的取值范围是

3311

A.[-“。)B.[-*0]C.1)D.,1]

【答案】A【详解】

建立如图所示的坐标系,

2

.：OA=OB=1,ZAOB=120。,;.O至！J直线AB的距离c?=!<|oc|<1,1<|oc|<1,

则由■.西=(加-㈣.(而-㈣=西.丽一(丽+丽)./+国2=一1+|同，

由•国<0,.•.两'•国的取值范围是一,。］,

4L4)

故选A.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求；全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错得。分。

9.已知平面向量2=(1,0),5=(1,273),则下列说法正确的是()

A.|a+^|=16B.(a+B),a=2

C.向量Z+B与Q的夹角为30。D.向量a+后在〃上的投影向量为2〃

【答案】BD【详解】

解：a+b=(2,2^,则口+4=A/?7^=4,故A错误；

(a+b^-a=2,故B正确；

/--7(a+b\-a1._,

cos(a+6,a)=；_-台=孑，又0°VV180。，所以向量。+石与°的夹角为60。，

\ci+b\\d\，

故C错误;

a+bya__

向量2+B在£上的投影向量为rzna—2〃，故D正确.

故选：BD.

.1—•—.1__.

10.在平行四边形ABCD中，若AE=]A3,Ab=54。，贝U（）

—.1—•

A.EF=-BD

2

B.AD+CD+BE=0

C.AC+2DF+2BE=0

D.若AC_L3R丽.通=反?L2函,

【答案】ACD

【详解】

—.1—.—.1—.

・•,在平行四边形ABCD中，AE=-AB,AF=-AD,

.E尸分别为A3、的中点，

.EF=^BD,故A正确；

因为通+函+砺=诟+丽+|丽=丽+；丽/0,故B错误;

^^)AC+2DF+2BE=AB+AD+DA+BA=6,故C正确;

若ACLBF,则在方=0，5LAC=AB+AD,BF=AF-AB=^AD-AB,

：,AC-BF=(AB+AD)-QAD-AB^=O,

1----»21----►---»---»2

-AD——ADAB-AB=0

22

•••ABAD=AD-TAB2=BC-2CD-故D正确•

故选：ACD.

11.下列说法错误的是()

A.若二加，则存在唯一实数丸使得£=肪

B.两个非零向量九b,若卜-q=同+忖，贝上与B共线且反向

C.已知；=(1,2),k(M),且2与£+焉的夹角为锐角，则实数彳的取值范围是

[泊

D.在AABC中，BCCA=CAAB,则AABC为等腰三角形

【答案】AC

【详解】

对于A：若£=分=6满足；〃力，则实数4不唯一，故选项A错误；

对于B：两个非零向量A,B，若,-]=忖+欠，贝!1(£-后『=(同+忖)，

所以/+片_2公.B+2忖W，可得%•B=2忖W-cos=-2RM,

cos(a-^=-l,因为04。•方n,所以〈词=兀，所以々与后共线且反向，故选项B

正确；

对于c：已知。=(i,2),z?=(i,i),所以〃+4=(1+42+2)，若Z与£+4的夹角为锐

角，贝！J〃,("+")=1+之+2(2+2)>。，解得：2>,当2=0时，£+0=〃，止匕时〃

与£+4的夹角为0,不符合题意，所以XwO,所以2的取值范围是

,§，。）口（。，+°°）,故选项C不正确；

对于D：在AABC中，取AC的中点。，由元.e=百.通，得

C4（BC-AB）=C4（BC+BA）=C4-2BD=0,故3D垂直平分AC,所以AABC为等腰三

角形，故选项D正确.

故选：AC.

12.已知面积为12,BC=6,则下列说法正确的是（）

A.若COSB=2^,贝Ijsin4=]B.sinA的最大值为得

5313

C.：c+2h的值可以为9:D.cJ+吆2b的值可以为9:

bc2bc2

【答案】AD【详解】

设A,5,C所对的边为a,"c,因为△ABC面积为12,故;acsin5=12,

故acsinB=24.

对于A,若cosB=逆,结合B为三角形内角可得sin8=好，故℃=24^后.

55

2/7

因为。=6,故。=4正，故户=36+80-2x24国-^-=20,故6=2逐.

6262小

由正弦定理可得sinA一sin8一石,故sin4=。，故A正确.

T

对于B,由余弦定理可得炉+C2-2/JCCOSA=36,

2

所以〃+C=2Z?CCOSA+3622历即182加。-cosA）,当且仅当6=c时等号成立.

12424A3

而7Z?csinA=12,故Z?c=^—-,故18之^--（1-cosA）,整理得到tan^W：,

2sinAsinA'724

2ctan—A

.4c・AAAA22

〜sinA=2sin—cos—=--------J

而22MA,

1+tan--+tan—

2,tan—A2

2

A1A、25〜

m、r八A,3,,--------Ftan—2—.».,,口■、[24

因为。＜tan,W],故34?12,故sinA的取大值为不，

当且仅当b=c=5时等号成立，故B错误.

3

—besinA-2bccosA

对于C,cbb2+c236-2/?ccosA

—I—二---,2________________

bcbebebe

cb33

故一十—二—sinA+2cosA,[fU-sinA+2cosA＜J-+4=-,

bc2-242

故c:+h9斐5，故c错误.

bc2

对于D,若:+殳T，则可得［=4或：=:，

bc2bb2

c=4b

b2sinA=6

若J=4,则＜besinA=24,消元后得到:

b17b2—8必cosA=36'

b1+c2—2Z?ccosA=36

qinAI

所以万足二,整理得到6SMA+88SA=17,

但65由4+8854410,故矛盾即，=4不成立.

b

b=2c

c2sinA=12

若则bcsinA=24,消元后得到:

b2。。5c2-4c2cosA=36

b2+c2-2bccosA=36

cir»A1

所以FT“整理得到3sinA+4cos2

34「「

结合sinz4+852人=1可得51114=1,©0024=1,止匕时c=2«,Z?=4«,

故D正确.

故选：AD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量万=。,2),5=(2,-2),c=(2,A).若(』+2力)〃上贝壮=.

4

【答案】【详解】

M：5+2*=(1,2)+(4,-4)=(5,-2),c=(2,2),

(a+2^)Z/c«52-2x(-2)=0<=>52=4<»A=-1

4

故答案为：

14.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3=30。，a=4,且AABC

的面积为百，贝l」b=.

【答案】百【详解】

由题意知鼠的=；ocsin30°=6,贝/二君，由余弦定理得/+c?-2accos30°=/，

即16+3-12=",贝lJb=V7.

故答案为:6.

15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶

。在西偏北30。的方向上，行驶600m后到达3处，测得此山顶在西偏北75。的方向上,

仰角为300,则此山的高度8=m.

【答案】1006

【详解】

试题分析:由题设可知在A/t8c中,NCAB=30°,乙18C=105°,由此可得ZACB=45°,

由正弦定理可得％，解之得0=30072，又因为NCfiD=30°,所以

sin30sin45

CD=CBtzn300=100、后,应填10。"•

考点：正弦定理及运用.

16.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=5,AD=4,CD=2,ZDAB=60°,

⑴ADDC=.

(2)尸是AB上的动点，则定.而的最小值为.

【答案】411【详解】

(1)由题设知：而•觉=|而||觉|cos60°=4x2x；=4.

(2)若西=4而且0W/W1,

PD=PA+AD，~PC=PD+DC=PA+AD+DC,

PCPD=(PA+AD+DC)(PA+AD)=PA+ADPA+DCPA+PAAD+AD+DCAD

9

_,__.3

/.PC-PD=2522-302+20=25(2--)2+11,

3

故当力=二时，POP。的最小值为11.

故答案为：4,11.

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。

17.已知W=3,W=4.

⑴若Z与B的夹角为60。，求(£+2孙£；

⑵若Z与B不共线，当Z为何值时，向量2+必与z-法互相垂直？

3

【答案】(1)21(2)^=+-

⑴解：(a+2^)-a=|a|2+2^-a=9+2x3x4x1=21

(2)解：,向量2+4后与2-防'互相垂直，

(2+防)(2-防)=0,整理得，一产企=0,又14=3,W=4,

3

9—16左2=0,角|得左=±二.

4

3

.•.当左=±二时，向量2+初与2-初互相垂直.

4

18.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知储=廿+片+根，且的面

积为叵

2

⑴求角A；

(2)若2sinB=sinC,求AABC的周长.

【答案】⑴g(2)3+77

(1)因为=人2+02+Ac,所以匕2+°2_〃2=—be,

由余弦定理得C"二•三-be_1

2bc2

又Ae(0,兀)，所以A=子.

⑵

由2sinB=sinC及正弦定理可得2Z?=c,

又△筋(?的面积为无.

2

所以,bcsinA=，贝!J/?c=2,

2222

解得：b=l,c=2,

所以〃=J/+<:2+Z?c=币，所以A4BC的周长为3+V7.

19.已知坐标平面内厉=(1,5),05=(7,1),OM=(1,2),OP=AOM,/UR.

⑴当A,B,尸三点共线时，求力的值；

⑵当丽・丽取最小值时，求丽的坐标，并求cosNAPg的值.

【答案】⑴彳=巳⑵丽=(2,4),一处.

817

⑴1,砺=(1,5),砺=(7,1),OM=(1,2),OP=AOM,

：.OP=2OAf=(2,22),AB=OB-OA=(7,1)-(1,5)=(6,^),

AP=OP-OA=(2,22)-(1,5)=(2-1,22-5),

当A,B,P三点共线时，有荏〃而，

6(2^-5)-(^)(^-1)=0,

17

解得力=2.

O

(2)

PA=OA-OP=(\-^,5-2X),PB=OB-OP=(J-^,\-2X),

：.S4-PS=(l-2)(7-/L)+(5-22)(l-22)

=522-20A+12

=5(A-2)2-8

.•.当4=2时，丽.而取得最小值-8,止匕时加=(2,4),

R4=(-l,l),|PA|=V2,而=(5,-3),I而卜后，

停，网h双而-8_4A/17

cosZAPB=cos

近x取一17•

20.已知：£、碇是同一平面内的三个向量，其中£=(1,2)

(1)若=且2//£,求G的坐标；

⑵若网=等，且£+26与21万垂直，求£与石的夹角。.

(3)若方=(U),且公与不+"的夹角为锐角，求实数4的取值范围.

【答案】⑴(2,4)或(-2,-4)(2)n(3)。,0卜(0,+8)

【详解】

解：设1=(x,y),

•••0=2正，且7/i

(y—2x=0,[x=2[x=-2

二22”，解得/或/，

[x+y=20[y=4〔y=-4

e=(2,4)或1=(-2,-4)；

(2)•「£+2万与2£—否垂直，

二（1+25＞（2万-5）=0,

即2a2+3a-b-2b2=0,

5

⑷出|一有好

「•£与」的夹角为万;

(3)Q〃与〃+4的夹角为锐角

贝|/(£+彳@>0,且£与£+篇不同向共线,

a+XB)=’|+2a-5=5+(1+2)2>0,

解得：2>一，

若存在乙使。=4。+4)，t>0

•.-a+2S=(l,2)+2(l,l)=(l+2,2+2)

贝lJ(l,2)=«l+%,2+4),

[t+tA=l4,〃=1

+?9解得：I20,

IZr+rZ=2IZ=U

所以2>-§且2wO,

实数％的取值范围是‘；,0)"0,+⑹.

21.设a,b,c分别是44BC的内角A,B,C的对边，

(sinB-sinC)Z?=(o-c)(sinA+sinC).

⑴求角A的大小；

⑵从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分.

①设角A的角平分线交BC边于点D,且AD=1,求面积的最小值.

②设点。为3c边上的中点，且AD=1,求AABC面积的最大值.

【答案】⑴A=?;(2)①?；②乎.

⑴;^=熹=表且sinC,=(a—4(sinA+sinC)，

(b-c)b=(a-c)(a+c),gpb2+c2-a2=bc,

be£

cos」—〜,又人£(0㈤,

2bc2bc2

,九

..A=—；

3

⑵

选①•「AD平分NBAC,

17T

「.ZBAD=ZCAD=-ZBAC=-,

26

•S4AB口+S/\ACD=^/\ABC，

^-ABADsinZBAD+^ACADsmZCAD=^-b-c-sinA,

222

BPcsin+Z?sin=besin,

oo3

c+b=y/3bc

由基本不等式可得：

6bc=b+c>2y[bc，

bc>^,当且仅当6=c=2叵时取

33

=-^bcsinA=^-bc>^,

即IBC的面积的最小值为且；

3

②因为4。是3c边上的中线，

(^+l2-c2

在Z\ADB中由余弦定理得cosZADB=也------------，

2x|xl

在AADC中由余弦定理得cosZADC=也------------，

2x|xl

cosZADB+cosZADC=0,

^-+2=b2+c2,

TT

在△A