新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第六章概率 知识点考点重点难点解题规律归纳总结

第六章概率

1随机事件的条件概率...................................................-1-

1.1条件概率的概念.................................................-1-

1.2乘法公式与事件的独立性........................................-5-

1.3全概率公式.....................................................-5-

2离散型随机变量及其分布列............................................-9-

2.1随机变量.......................................................-9-

2.2离散型随机变量的分布列.......................................-12-

3离散型随机变量的均值与方差.........................................-16-

3.1离散型随机变量的均值..........................................-16-

3.2离散型随机变量的方差.........................................-21-

4二项分布与超几何分布...............................................-24-

4.1二项分布......................................................-24-

4.2超几何分布....................................................-27-

5正态分布...........................................................-30-

1随机事件的条件概率

1.1条件概率的概念

1.条件概率

(1)条件概率的定义

在事件A发生的条件下事件B发生的概率，称为事件A发生条件下事件B发

生的条件概率，记作尸(BIA).

(2)条件概率公式

当P(A)>0时，有P(阴A)=!票).

1.如何从集合角度看条件概率公式？

[提示]若事件A已发生，则为使事件8也发生，试验结果必须是既在A中

又在B中的样本点，即此点必属于A3.由于已知A已经发生，故A成为计算条件

概率P(B|A)新的样本空间，因此，有乌黑.

2.条件概率的性质

(l)P(BL4)e[0,1].

(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(BUC|A)=P(B\A)+P(C\A).

思考k2.尸(3H)与P(B)有何大小关系？

f提示］P(B|A)>P(8).

疑难问题

□类型1利用定义求条件概率

【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事

件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为艮

(1)分别求事件A,B,A8发生的概率；

(2)求P(B|A).

［思路点拨］可先求尸(A),P(B),P(AB),再用公式尸已⑷:曦或2求概率.

［解］由古典概型的概率公式可知

Q2

⑴P(A)=|,P(B)=2X1+3X22X11

==5

5X4205尸(A8)=5X4lo-

(2)/W)=

厂.......・o反思领悟•...........................

用定义法求条件概率P(BH)的步骤是：

(1)分析题意，弄清概率模型；

(2)计算尸(A),P(AB)；

(3)代入公式求P(B|A)=U禁.

类型2利用基本事件个数求条件概率

【例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目,

如果不放回地依次抽取2个节目，求：

(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；

(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.

［思路点拨］第(1)、(2)问属古典概型问题，可利用古典概型的概率计算公式

求解；第⑶问为条件概率，可以利用定义P(8|A)="^求解，也可以利用公式

〃(岫

P(B\A)=求解.

”(A)

［解］设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件8,则第

1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.

⑴从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为〃(Q)=AW=30,

209

根据分步计数原理〃(A)=AjAg=20,于是2(4)=花=而=1.

八c“Aa=十R〃AB122

(2)因为n(AB)=A412,于TC.P(A3)=f。=诃\J=彳J，

(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节

目的概率为

2

P(AB)53

P(B|A尸P(A)=2=5-

3

法二：因为〃(AB)=12,〃(A)=20,所以「但⑷=笠彳=而=之.

1.......思领悟................................

如果随机试验属于古典概型，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B\A)

=@黑，其中〃(A8)表示事件包含的基本事件个数，〃(㈤表示事件A包含的基本事

件个数.

□类型3条件概率的性质及应用

［探究问题］

1.掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机

事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？

［提示］掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3

点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥.“大于4的点”包含“5

点”“6点”两个基本事件.

2在“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二

枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？

［提示】“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”.

3.先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率

的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？

［提示】设第一枚出现4点为事件A,第二枚出现5点为事件8,第二枚出现

6点为事件C则所求事件为BUCIA.

/.P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)=|+|=|.

【例3】有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个.其中，第一个盒子中

有7个球标有字母A,3个球标有字母&第二个盒子中有红球和白球各5个；第

三个盒子中则有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中

任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次

取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，

则称试验为成功.求试验成功的概率.

［思路点拨］先设出基本事件，求出基本事件的概率，再求试验成功的概率.

［解］设4=｛从第一个盒子中取得标有字母A的球｝,

8=｛从第一个盒子中取得标有字母B的球｝,

C=｛第二次取出的球是红球｝,

D=｛第二次取出的球是白球｝,

则容易求得尸(A)=焉,尸⑻=焉P(C|A)=1,P(D|A)=1,P(C|B)=1,P(D\B)

=5-

事件“试验成功”表示为CAUCB,又事件CA与事件CB互斥，故由概率的加

1743

法公式，得P(CAUCB)=P(CA)+P(CB)=P(C［A)P(A)+P(C\B)-P(B)=^x—+-x^

=0.59.

］.......思领悟...........................

1.应用概率加法公式的前提是事件互斥.

2.为了求复杂事件的概率，往往可以先把该事件分解成两个或多个互斥事件

的和，求出简单事件概率后，相加即可得到复杂事件的概率.

归纳总结

1.由条件概率的定义可知，尸(BH)与P(A|B)是不同的.另外，在事件A发生

的前提下，事件8发生的概率不一定是P(B),即P(B|A)与P(8)不一定相等.

2.在条件概率的定义中，要强调P(A)>0.当P(A)=O时，P(B|A)=O.

P(AB)

3.P(B|A)=可变形为P(A3)=P(矶4>P(A),即只要知道其中的两个值就

P(A)

可以求得第三值.

1.2乘法公式与事件的独立性

1.3全概率公式

1.概率的乘法公式

当P(A)>0时，P(AB)=P(B\A)P(AY

2.相互独立事件的概率

(1)一般地，事件A,B相互独立㈡P(A3)=P(A)P(3).

(2)如果事件4,A2,…，4相互独立，那么RAM…A”)=P(AI)P(A2)…P(4).

3.相互独立事件的性质

若A与6是相互独立事件，则A与万，B与彳，彳与下也相互独立.

思考上若A,B相互独立，则A与石也相互独立，为什么？

［提示］VA,B相互独立，

.•.P(A8)=P(A)•尸(B)=P(A)(1-P(•))=P(A)-P(4)P(。),

JP(A)P(石)=P(A)—P(AB)=P(A)—P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(~B),

与石相互独立.

3.全概率公式

⑴全概率公式

设Bi，B2，…,以为样本空间Q的一个划分，若P(3)>0(i=l,2,…，〃),

则对任意一个事件A有

P(A)=£P(B)P(A匹).

*(2)贝叶斯公式

设Bi，历，…，反为样本空间。的一个划分，若P(A)>0,P(3)>0(i=l,2,…,

办则f⑸尸0㈣.

石P(砌尸(川勘

疑难问题

□类型1互斥事件与相互独立事件的判断

【例1】判断下列各对事件是互斥事件，还是相互独立事件.

(1)运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；

(2)甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；

(3)甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射

中目标”；

(4)甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，

但乙没有射中目标”.

［思路点拨］利用独立事件、互斥事件的意义判断.

［解］(1)甲射击1次，''射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，

二者是互斥事件；

(2)甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否，对“乙射中9环”的概率

没有影响，二者是相互独立事件；

(3)甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”

不可能同时发生，二者是互斥事件；

(4)甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有

射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件.

厂.....七反思领悟.............................

判断两事件相互独立的方法

(1)若则事件A和8相互独立.

(2)由事件本身的性质直接判定是否相互影响，从而得出事件是否相互独立.

类型2相互独立事件同时发生的概率

【例2】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进

入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问

4321

题的概率分别为5,亍5,且各轮问题能否正确回答互不影响.

(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

［思路点拨］(1)先找出第四轮被淘汰的事件，再看它是独立事件还是互斥事

件；(2)至多进入第三轮含有第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰三个互

斥事件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解.

［解］(1)记”该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为4a=1,2,3,4),

4321

则P(Ai)=§,尸(A2)=M，P(A3)=§,P(A4)=g.”该选手进入第四轮才被淘汰”记

,——432496

XXX=

为B,尸(3)=尸(A1A2A3A4)=P(AI)P(A2)P(A3)P(A4)=5555625-

(2)法一：“该选手至多进入第三轮考核”记为C,

P(O=P(7T+4石+A1A2AT)=P(7T)+P(4)P(T)+P(A»P(A2)P(T)

法二：“该选手进入第四轮没有被淘汰”记为。，

432124

则^)=5X5X5X5=625-

而C与为对立事件，8与。为互斥事件，

：.P(Q=1-P(BUD)=1~P(B)~P(D)=1-怒一急=畏

厂.......'c反思领悟.............................

1.求尸(A3)时，要注意事件A,8是否相互独立，求尸(A+8)时，应注意事件

A,B是否互斥.对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路：①分类讨论；

②转化为求对立事件的概率，利用P(X)=1—P(A)来计算.

2.复杂问题可考虑分解为等价的几个事件的概率问题，同时结合对立事件的

概率求法进行求解.

类型3全概率公式的应用

【例31设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为

0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第

一二车间生产的成品比例为2：3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求

该产品合格的该概率.

［解］设8=｛从仓库中随机提一台是合格品｝,4=｛提出的一台是第i车间生

产的｝,i=l,2,

则有

由题意则P(A1)=O.4,尸(42)=0.6,P(B|A1)=O.85,P(B|A2)=0.88,

由全概率公式得，

P(B)=P(Ai)P(B\A!)+P(A2)P(B\A2)=0.4X0.85+0.6X0.88=0.868.

1.......七反思领悟.............................

1.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题

转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.

2.从以上典型例题的分析可以看出，应用全概率公式解决问题时，准确、迅

速寻找完备事件组是解决此类问题的关键，其应用的一般方法和步骤归纳如下：

(1)认真分析题目中的条件，找出完备事件组4,A2,…，A”；

(2)求出4发生的条件下8发生的条件概率P(B\Ai),这样就可以直接利用全概

率公式解决此类问题了.

归纳总结

1.两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有

影响；两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件可以

同时发生.

2.如果事件A”A2,…，4相互独立，那么这"个事件同时发生的概率等于

每个事件发生的概率的积.

3.利用全概率公式可以将复杂事件的概率转化为简单事件的概率的求和问

题，寻找完备事件组是求解的关键.

2离散型随机变量及其分布列

2.1随机变量

1.随机变量

(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本

点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变

化.像这种取值随着试验结果变化而变化的量称为随机变量.

(2)表示：随机变量常用字母X,K用"等表示.

2.离散型随机变量

所有取值可以一一列举出来的随机变量,称为离散型随机变量.

里造工(1)任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？

(2)离散型随机变量的取值一定是有限个吗？

［提示］(1)可以.实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对

应关系，根据问题的需要选择相应数字.

(2)不一■定.可以是无限个，如1,2,3,…，n,….

疑难问题

□类型1随机变量的概念

【例1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理

由.

(1)北京国际机场候机厅中2022年5月1日的旅客数量；

(2)2022年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；

(3)2022年6月1日上海到北京的某次动车到北京站的时间；

(4)体积为1000cm3的球的半径长.

［思路点拨］判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机

变量.

［解］(1)旅客人数可能是0,1,2,…，出现哪一个结果是随机的，因此是随

机变量.

(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2,出现哪一个结果是随机的，因此是随

机变量.

(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量.

(4)球的体积为1000cn?时，球的半径为定值，不是随机变量.

厂......•(/S•思领悟.........................

1.解答本题主要是运用随机变量的定义，透彻理解定义是解此类题的关键.

2.随机变量X满足三个特征：(1)可以用数来表示；(2)试验之前可以判断其

可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值.

类型2离散型随机变量的判定

【例2】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由.

(1)某超市5月份每天的销售额；

(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差。

(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29］这一范围内变化，该水位监

测站所测水位自

［解］(1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量.

(2)实际测量值与规定值之间的差值无法——列出，不是离散型随机变量.

(3)不是离散型随机变量，水位在(0,29］这一范围内变化，不能按次序——列

举.

厂.......•庆思领悟............................

判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法：

(1)明确随机试验的所有可能结果；

(2)将随机试验的试验结果数量化；

(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，

则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.

类型3用随机变量表示随机试验的结果

【例3】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示

的随机试验的结果.

(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取

出的球是白球为止，所需要的取球次数；

(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和.

［思路点拨］分析题意一写出X可能取的值一分别写出取值所表示的结果

［解］(1)设所需的取球次数为X,则X=l,2,3,4,…，10,11,

X=i表示前i—l次取到红球，第，次取到白球，这里i=l,2,…，11.

(2)设所取卡片上的数字和为X,则X=3,4,5,…，11.

X=3,表示取出标有1,2的两张卡片；

X=4,表示取出标有1,3的两张卡片；

X=5,表示取出标有2,3或标有1,4的两张卡片；

X=ll,表示取出标有5,6的两张卡片.

］......・我思领悟.............................

1.解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X=l,2,…，11所表示

的结果不需要分别列出来，引入变量i,可写成X=i.

2.在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值

表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果.

归纳总结

1.随机变量可将随机试验的结果数量化.

2.随机变量与函数的异同点：

随机变量函数

都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的

相同点

取值范围相当于函数的值域

把试验结果映射为实数，即随机变把实数映射为实数，即函数的

不同点

量的自变量是试验结果自变量是实数

2.2离散型随机变量的分布列

1.离散型随机变量

取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量X的分布列

(1)定义：若离散型随机变量X的取值为X],X2，…，随机变量X取

方的概率为pM=l,2,…，〃，…)，记作：P(X=Xi)=pi(i=1,2,,,,,n,…)，①,

把①式列成如下表格：

X=xiX\X2・・・Xn•••

P(X=x»piP2・・・Pn•・・

上述表格或①式称为离散型随机变量X的分布列.

如果随机变量X的分布列为上述表格或①式，我们称随机变量X服从这一分

X|X2…Xn…

布列，并记作X〜.

_p\P2…Pn

(2丁性质：

在离散型随机变量X的分布列中，

®/?,>0(z=1,2,…，n,…)；

②pi+p2H-----Fp"-|—=1.

3.伯努利试验

若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”

和“失败”，每次“成功”的概率均为艮,每次“失败”的概率均为上二卫，则称

这样的试验为伯努利试验.

4.两点分布

如果随机变量X的分布列如表

X10

ppq

其中0<p<l,q=l—p,那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又

称0—1分布或伯努利分布).

两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率分布模型，在实际生活中有着

广泛的应用.

gh在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为什么为1?

［提示］因为离散型随机变量所有取值对应的事件之和是必然事件，所以所有

概率之和为1.

疑难问题

类型1离散型随机变量的分布列

【例1】一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,现

从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码.

(1)求乂的分布列；

(2)求X的取值不小于4的概率.

［解］(1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6,

Cg1C|C*3ClCi3/C©

P(X=3)=^=而，P(X=4)=背=而，P(X=5)=K=75,P(X=6)=铉

所以随机变量X的分布列为

X~5~T

-

D~r"I~T

r2020lo2

33

(2)X的取值不小于4的概率为P(X24)=尸(X=4)+尸(X=5)+尸(X=6)=而+6

厂.....••七反思领悟.......

求离散型随机变量分布列的一般步骤:

(1)确定X的所有可能取值刘(i=l,2,…)以及每个取值所表示的意义；

(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率尸(X=H)=p,(i=l,2,-);

(3)写出分布列；

(4)根据分布列的性质对结果进行检验.

类型2离散型随机变量分布列的性质

【例2］设随机变量X的分布列—ak(Jc—1,2,3,4,5).

⑴求常数a的值;

⑵求P(X2|)；

(3)求P(^<X<部

［思路点拨J(1)先求出X的分布列，再根据分布列的性质确定a.(2)、(3)中

的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解即可.

［解］依题意,

⑴由a+2a+3a+4a+5a=1,得七

3454

十-

+-5

151515=

7123

(3)因为正<X<m，所以X=5,不g.

故p(京忌)=电=,+/=|)+电=04+合4=4

「匕反思领悟•••••...................

1.随机变量的取值不一定是整数，它的取值一般来源于实际问题，并有特定

的含义.

2.随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个值的概率之

和.

类型3离散型随机变量分布列的应用

【例3】袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个

小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X

表示取出的3个小球上的最大数字，求：

(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)随机变量X的分布列；

(3)计算介于20分到40分之间的概率.

［思路点拨］(1)利用古典概型公式求解即可；求解(2)的关键在于确定X的所

有可能取值及取每个值的概率；(3)由题意知计算介于20分到40分之间的概率等

于X=3与X=4的概率之和，由(2)易得其概率.

［解］(1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则

Ocicici_2

P(A)=

Go=3,

法二：”一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“一次取出

的3个小球上有两个数字相同”的事件记为8,则事件A和事件8是对立事件.

C必己1

因为P(B)=

-c^=3,

匕12

所以P(A)=1-P(B)=1一1=亍

(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.

dcl+cic^_1

P(X=2)=

一瓦=30;

clcJ+cLG2

P(X=3)=15;

cQ+aca3

P(X=4)=10:

.......•。反思领悟......

离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合，古典概型、互斥事件、对立

事件的概率等知识，是较强的综合应用.

归纳总结

1.离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的

可能取值按一定次序一一列出.

2.求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点

(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事

件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率.

(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以

减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确.

3离散型随机变量的均值与方差

3.1离散型随机变量的均值

离散型随机变量的均值或数学期望

(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为

・・・

XX\X2•••Xi

・・・

PP'P2PiPn

则称EX=xi〃i+x2〃2~l-----l~xfH-----为随机变量X的均值或数学期望(简

称期望).

(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量X取值

的平均水平.

(3)性质：如果X为离散型随机变量，则丫=。乂+仅其中。，人为常数)也是随机

变量，且EY=E(aX+O)=遐土

思考(1)随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量？

(2)随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系？

f提示］(1)随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取：样本的平均

值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的.

(2)随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均值.

疑难问题

□类型1求离散型随机变量的均值

【例1】袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到

一个黑球记。分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用。表示得分

数.

⑴求4的分布列；

(2)求。的均值.

［思路点拨］首先根据取到的两个球的不同情况，确定。的取值为0,1,2,3,

4,再分别计算概率，即可得到分布列，然后利用均值的公式求解.

［解］(1)由题意知4的可能取值为0,1,2,3,4,

Cl1

当时，即取到2个黑球，则尸(。=0)=d=不

C'l1

当4=1时，即取至1个黑球和1个白球，则P(<=l)=-^p=3；

当4=2时，即取到1个红球和1个黑球或者取到2个白球，则P(c=2)=||+

Cl-C111

C9=36;

Cl。1

当4=3时，即取至U1个红球和1个白球，则尸(^=3)=-^=4;

C?1

当r=4时，即取到2个红球，则P«=4)=a=%.

所以4的分布列为

g01234

111111

p6336636

(2)均值E4=0X(+lxg+2x1|+3xt+4X亲=¥.

厂.......七反思领悟..........................

求离散型随机变量的均值的步骤

(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值.

(2)求概率：求X取每个值的概率.

(3)写分布列：写出X的分布列.

(4)求均值：由均值的定义求出破，

其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在.

类型2离散型随机变量均值的性质

【例2]已知随机变量X的分布列为：

X-2-1012

111

Pm

43520

⑴求EX；

(2)若y=2X—3,求EK

［解］⑴由随机变量分布列的性质，得I=1,解得m

IJJJLr\JU

所以EX=(—2)*J+(—I)xl+O><!+1XJ+2X；^=一叫.

45502U3。

(2)法一：由公式E(aX+b)=aEX+b,得

(⑺62

EY=EQX-3)=2EX-3=2x1-^jj-3=

法二：由于y=2x-3,所以y的分布列如下：

Y-7-5-3-11

P11111

435620

“1,1,1,1,162

所以后丫=(_7)乂工+(_5)义大+(_3)*1+(_1)*7+1*布=_次.

IJJV.ZIJ

［母题探究］

1.本例条件不变，若4=aX+3,且斯=—冷，求a的值.

1711

［解］Er=E(aX+3)=aE(X)+3=—%a+3=-E，所以a=15.

2.已知随机变量4的分布列为

e01

\

pm

23

7

若〃=琥+3,Et]=y则。=()

A.1B.2C.3D.4

B[由分布列的性质得g+；+/”=1,所以机=:,

所以£1<;=-1X；+OX；+1X^=—

17

法一：E〃=E(a4+3)="E<f+3=—乃+3=§.

所以。=2.

法二：因为〃=琥+3,所以〃的分布列如下：

>1—a+33。+3

111

P

236

1117

£〃=(—a+3)X]+3X]+(a+3)Xd=Q.

所以a=2.]

「.....思领悟••••........................

求离散型随机变量均值的解题思路

(1)若给出的随机变量y与X的关系为y=aX+Ra,b为常数.一般思路是

先求出EX,再利用公式E(aX+b)=aEX+b求EY.

(2)利用X的分布列得到丫的分布列，关键由X的取值计算丫的取值，对应的

概率相等，再由定义法求得EK

类型3离散型随机变量均值的应用

【例3】一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡

是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩

情况如下表：

摸5个球中彩发放奖品

有5个白球1顶帽子(价值20元)

恰有4个白球1张贺卡(价值2元)

恰有3个白球纪念品(价值0.5元)

其他同乐一次(无任何奖品)

试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率.

⑵按摸10000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？

［思路点拨］在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一

个随机变量，他能否赚钱，就要看该随机变量的均值是否大于0.

［解］(1)摸一次能获得20元奖品的概率是2=式=丘.

(2)如果把取到的白球作为随机变量X,则P(X=5)=#=而，P(X=4)=权

15C2&50,66

P(X=3)=a=7^5,P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=Y^,

所以博彩者的收入这一随机变量丫(可以为负数)的分布列为：

Y-19-10.51

1155066

P132132132132

所以收入的随机变量Y的均值为

1,15,50,66

Er=(-19)X-rrr+(-l)X-^r+0.5X—+IX—^0.4318.

故这个人可以赚钱，且摸10000次净收入的均值为4318元.

厂.......反思领悟............................

(1)实际问题中的均值问题，均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安

排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，

都可以通过随机变量的均值来进行估计.

(2)概率模型的解答步骤

①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公

式有哪些；

②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；

③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.

归纳总结

1.本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法，难点是均值的实际应用.

2.要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论

(1)E(0=C(C为常数)；

(2)E(aXi+bX2)=aEXi+hEX2；

(3)如果X],X2相互独立，则E(X-X2)=EXrEX2.

3.2离散型随机变量的方差

1.方差及标准差的定义

设离散型随机变量X的分布列为

・・・・・・

XX\X2XiXn

・・・・・・

PpiP2PiPn

n

(1)方差DX=y(Xi-EX)2Pi.(2)标准差ax=y[DX.

2.方差的性质

D(aX+b)=^DX.

思考()随机变量的方差和样本的方差是一个常数还是随机变量？

(2)随着样本容量的增加，样本的方差与总体方差有什么关系？

[提示](1)随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的方差

是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的.

(2)随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体方差.

疑难问题

□类型1求离散型随机变量的方差

【例1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上〃号的

有〃个(〃=1,2,3,4).现从袋中任取一球，4表示所取球的标号.求^的分布列、

均值和方差.

［解］由题意得，4的所有可能取值为0,1,2,3,4,

P(『)=射,「(1)=玄，

213

2(。=2)=而=而，P(。=3)=疝，

41

P《=4)=犷亍

故4的分布列为

01234

11131

P

220Io205

所以肉=0><4+1X白+2X^+3X2+4X!=1.5,

-22010205

1113

Df=(0—1.5)2X-+(1-1.5)2X—+(2-1.5)2X—+(3-1.5)2X+(4-

,1

1.5)2*5=2.75.

厂.......•庆思领悟......................

求离散型随机变量的方差的步骤

(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果.

(2)求出随机变量取各个值的概率.

(3)列出分布列.

n

(4)利用公式EX=Z无网求出随机变量的期望EX.

1=1

n

(5)代入公式DX=名(xi-EX^pi,求出方差。X.

/=1

口类型2方差的性质

【例2］已知随机变量X的分布列为

X01234

P0.20.2a0.20.1

求EX,DX,O(-2X—3).

［解］V0.2+0.24-4Z4-0.24-0.1=1,：.a=0.3.