用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时-2020-2021学年高二数学人教A版选择性必修第一册

142用空间向量研究距离、夹角问题

第2课时

课堂检测­周双基

I.平面。的斜线,与它在这个平面上射影/'的方向向量分别为。=(1,0,1),^=(0,1,1),

则斜线/与平面a所成的角为()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

2.已知向量〃z,〃分别是直线，和平面a的方向向量和法向量，若cos{m,n)=一

则/与a所成的角为()

A.30°B.60°

C.1200D.150°

3.直线人的方向向量0=(1，-1,1),直线/2的方向向量。2=(12,-1),设直线与

办所成的角为"贝立)

人.a亚口.正

A.sin0—B・sin

「a也「心也

C.cos6=-^-D.cos3

4.在三棱锥P-A8C中，ABLBC,AB=BC=；%,点O,。分别是AC,PC的中点,

OP_L底面ABC,则宜线0。与平面PBC所成角的正弦值为一.

5.如图，在四棱锥P—A8CD中，P8_L底面ABC。，CDLPD,底面ABCO为直角梯

形，AD//BC,ABA,BC,AB=AD=PB=3.点E在棱网上，RPE=2EA.求平面ABE与

平面OBE夹角的余弦值.

DA

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

I.（多选题）己知。为直线/的方向向量,n\,〃2分别为平面a，4的法向量3，少不重

合），则下列选项中，正确的是（）

A.«|//n-^a//pB._1_〃2<=>。_1_尸

C.v//n\^l//aD.o_L/i]0/〃a

2.若平面a的一个法向量为力=（1,0,1）,平面p的一个法向量是〃2=（-31,3）,则平

面a与尸所成的角等于（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

3.已知A(0,l,l),BQ,-1,0),C(3,5,7),0（124）,则直线AB和直线CD所成角的余

弦值为（)

5叵

A.

66B-

5岳

C.D•-嚼

22

4.已知正方形ABCD所在平面外一点P,附_L平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB

与平面PCO的夹角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

5.在正方体A5cO-A]B]GO[中，M,N分别为AO,G"的中点，O为侧面BCG©

的中心，则异面直线A/N与OG所成角的余弦值为（）

—1

--

A.6B.4

二、填空题

6.如图，在正三棱柱ABC—AiBCi中，已知A8=l,点。在棱881上，且8。=1,则

AD与平面A4CC所成角的正弦值为一.

7.在空间中，已知平面a过点(3,0,0)和(040)及z轴上一点(0,0,〃)伍＞0),如果平面a

与平面xO)，的夹角为45。，则。=____.

8.如图，已知在一个二面角的棱上有两个点4、B,线段4C、BO分别在这个二面角

的两个面内，并且都垂直于棱A8,48=4cm,AC=6cm,BD=8cm,CD=2A/T7cm,则

这个二面角的度数为一.

三、解答题

9.(2020•衡阳市高三联考)如图1,平面四边形84DE中，C为BE上一点,Z\ABC和

△OCE均为等边三角形，EC=2CB=2,M,N分别是EC和CB的中点，将四边形8AOE

沿8E向上翻折至四边形ATD'E的位置，使二面角。'一8七一0为直二面角，如图2

所示.

图1图2

(1)求证A'4〃平面O'MQ；

⑵求平面4'A8与平面。'DE所成角的正弦值.

10.(2020•全国HI卷理，19)如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，点E,尸分别在棱

DD\,8S上，且2DE=EA，

⑴证明：点G在平面内；

(2)若AB=2,AD=l,A4i=3,求二面角人一所一4的正弦值.

B组素养提升

一、选择题

1.（2021•福建泉州市普通高中质量检测）正方体ABCO—ASGR中，动点M在线段

4C上，E,尸分别为DDi，A。的中点.若异面直线E尸与8W所成的角为仇则。的取值

范围为（）

2.如图，己知四棱锥P—A5co的底面A8CO是等腰梯形，AB//CD,且AC_LBO,AC

与B。交于0,尸0_1_底面48。。，尸。=2,AB=2y[2,E,产分别是/IB,AP的中点.则平

面尸。E与平面OEA夹角的余弦值为（）

3.正方体ABCO—AiBiCjd中，二面角4一8。]一分的大小为（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

4.（多选题）如图，多面体O48OC中，AB=CD=2,AD=8C=2小，AC=BD=y[W,

旦OA,OB,OC两两垂直，则下列结论正确的是（）

A.三棱锥O—A8C的体积是定值

B.球面经过点A,B,C,力四点的球的直径是回

C.直线03〃平面ACO

D.二面角A-OC—。等于30。

二、填空题

5.已知在长方体ABCO—A|B£D]中，AB=\,BC=2,A4]=4,E是侧棱CG的中点,

则直线AE与平面AiED所成角的正弦值为一.

6.如图，四面体ABCO中，E,尸分别为AB,OC上的点，且AE=BE,CF=2DF,

设为l=a,DB=b,DC=c.

(1)以｛a,b,c｝为基底表示筐，则后=；

(2)若N4DB=NBOC=NAOC=60。，且|而|=4,|而|=3,15bl=3,则|两=.

7.在正方体4BCO—481Gd中，则与平面4BC。所成角的大小为.

三、解答题

8.如图，四棱柱ABCO—AiBGDi的所有棱长都相等，AC^BD=O,4cm囱。1=。|,

四边形ACG4和四边形BDDxBx均为矩形.

(1)证明：OQ_L底面A8CO；

(2)若NC8A=60。，求平面CQBi与平面08Q夹角的余弦值.

9.如图，在四棱锥P—ABC。中，平面ABC。，AD//BC,ADLCD,且AO=CO

=蜴BC=2®PA=2.

(1)取PC的中点N,求证：ON〃平面％&

(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；

(3)在线段尸。上，是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACO的夹角为45。？如果存

在，求出与平面M4。所成角的大小；如果不存在，请说明理由.

L4.2用空间向量研究距离、夹角问题

第2课时

课堂检测二同双基

1.平面。的斜线/与它在这个平面上射影/'的方向向量分别为。=（1,0,1）,d=（0,l,l）,

则斜线/与平面a所成的角为（C）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］/与a所成的角即为。与b所成的角（或其补角），因为cos<a,b>

所以<%b>=60°./与a所成的角为60。.

2.已知向量〃2,〃分别是直线/和平面a的方向向量和法向量，若cos{m,n）=一菱，

则/与a所成的角为（A）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

［解析1由已知得直线/的方向向量和平面a的法向量所夹锐角为60。，因此/与a所成

的角为30，

3.直线/|的方向向量0=（1，-1,1）,直线的方向向量。2=（12,-1）,设直线/］与

，2所成的角为"则（D）

A.sin6=—当B.sin3

C.cos0=一坐D.cos0=当

I副**../、aa1—2—1—2啦

|解析］.cos（«.,例）=丽2=^5^=砺=-3.

.应

..COS夕一寺.

4.在三棱锥P—A8C中，AB±BC,AB=5C=，％，点O，。分别是AC,PC的中点,

OP_L底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为一噜

［解析］以。为原点，射线。4OB,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

设则OP=^a,而=(一乎a,0,乎,，可求得平面P8C的法向量为〃=

所以cos(0。，n)=------=J,

\ODM

设而与平面尸8c所成的角为仇则sin，=^^^.

5.如图，在四棱锥FA3CD中，FB_L底面ABC。，CD±PD,底面A3CD为直角梯

形，AD//BC,AB±BC,AB=AD=PB=3.点七在楂以上，且PE=2E4.求平面44七与

平面OBE夹角的余弦值.

[解析I以8为原点，以直线8C,BA,8P分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角

坐标系.则尸(0,0,3),A(0,3,0),0(330).

设平面EB。的一个法向量为〃i=(x,y,z),

-►—►—>—>2—2—>

因为8E=BP+PE=8P+§H=(0,0,3)+Q(0,3,-3)=(0,2,1),80=(3,3,0),

MI-B£=0,j2y+z=0,

、川•昉=0,l3^+3y=0-

取z=i,所以卜二々于是”尸&_》).

[y=~2-

又因为平面ABE的一个法向量为»2=（1,0,0）,

设平面ABE与平面DBE的夹角为H,

则COS®=|COS<Mi,〃2>1=乎,故所求夹角的余弦值为手.

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1.（多选题）已知。为直线/的方向向量，〃I，〃2分别为平面a,6的法向量（a,£不重

合），则下列选项中，正确的是（AB）

A.n\//a//PB.

C.v//n^l//aD.V.Ln\^l//a

［解析］对于A,平面a,0不重合，所以平面a,£的法向量平行等价于平面a,少平

行，A正确；对于B,平面a,夕不重合，所以平面a,4的法向量垂直等价于平面a,£垂

直，B正确；对于C,直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，C错误;

对于D,直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，D错

误.故选AB.

2.若平面"的一个法向量为口平面人的一个法向量是"2=（一？13）,则平

面a与£所成的角等于（D）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］因为M1/I2=(1,0,1)(-3,1,3)=0,所以a_L£,即平面a与4所成的角等于90。.

3.已知4(0,1,1),8(2,—1,0),3(3,5,7),£）（1,2,4）,则直线AB和直线CD所成角的余

弦值为（A）

A・嚼

66

C・嚼D--嚼

［解析］嬴=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),

_ABCD_5_5A/22

而cos(AB,CD)一|曲曲一森而一66'

故直线AB和CD所成角的余弦值为鬻

4.已知正方形ABCD所在平面外一点P,B4_L平面A8CQ,若％=45,则平面以8

与平面PCD的夹角为(B)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］如图所示，建立空间直角坐标系.设%=AB=1,

则4(000),0(01,0),P(OA1),

，病=(0,1,0).

取尸。的中点E,

则40,号，

・••恁=(0,；),

易知能是平面附8的一个法向量，能是平面PCO的一个法向量，所以cos(AD,AE)

=与，故平面与平面PCO的夹角为45。.

5.在正方体ABCO-AliGG中，M,N分别为AQ,Gd的中点，0为侧面BCGBi

的中心，则异面直线MN与0。所成角的余弦值为(A)

\_

A.B.

6

cD.

-4~4

［解析］如图，以。为坐标原点，分别以。A,DC,05所在直线为x,y,z轴建立空

间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则"(1,0,0),M0J2),0(121],Di(0.0,2),

，加=(-1,1,2),而尸(一1,-2,1).则cos〈雨，ODy>=MNODI=1£...

\MN\\ODi\#6X466

异面直线MN与0£>i所成角的余弦值为看故选A.

二、填空题

6.如图，在正三棱柱ABC-AiBiCi中，已知48=1,点。在棱8省上，且BO=1,则

4。与平面A4CC所成角的正弦值为_乎_.

［解析］解法一：取AC、4G的中点M、Mi,连接MM1、BM.过。作ON〃8M,则

容易证明ONJ_平面A4CC.连接AN,则NZMN就是A。与平面A4CC所成的角.

在RtADAN中，

亚L

./2―蛇_2_亚

smZDAN-AD-^-4.

解法二：取AC、4G中点0、E,则0B_L4C,OE_L平面ABC,以0为原点OA、08、

0E为x轴、)，轴、z轴建立空间直角坐标系，

在正三角形ABC中，BM=2AB=2,

0,0),电,喙,0l,z/o,祭1)，

坐，1)，

又平面A4CC的法向量为e=(0,l,0),

设直线人力与平面44GC所成角为仇则

sin^lcos(AD,e>=血=乎.

|AD|.|e|

解法三：设防=4BC=a,BD=c,

由条件知aac=O,bc=Ot

又病=丽一函=c—b,

平面AA\C\C的法向量8M=](〃+».

设直线A。与平面A4CC成角为仇则

sinJ=|cos<40,BM)\=

\AD\-\BM\

■:布•俞=(c-仍g®+b)

=^ac-^ab-i^bc—^b\1=—

|AD|2=(C-Z>)2=|C|2+|^|2-2^C=2,

二丽=小，

|的2=；3+》)2=；(同2+步|2+2。/)=3，

・•.丽=零Asin0=^-.

7.在空间中，已知平面a过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,〃)(〃>0),如果平面a

与平面直力的夹角为45。，则以=_号_.

［解析］平面xOy的一个法向量为〃=(0,0,1),设平面a的一个法向量为m=(x,y,z),

(―3x+4y=0,(aa\

则J\,八即3x=4y=az,取z=l,则x=Qa,y=Ta,q1I.

—3x+az=0,J今，

IA/?

由题意得|cos<n,m)\=—i,■>==0.

又因为a>0,所以a=y.

8.如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B,线段AC、BD分别在这个二面角

的两个面内，并且都垂直于棱AB,A8=4cm,4C=6cm,BD=8cm,CD=2y[Y7cm,则

这个二面角的度数为

［解析］设〈/，BD)=&VC4±AB,ABA.BD,

：.ACAB=BbAB=O,<CA,BD>=180°—仇

A|CD|2=(8+赢+丽尸

=|G4|2+|AB|2+|BD|2+2|CA||sb|cos(180°-^).

A(2VF7)2=62+42+82+2X6X8X(-cos0,

/.cos0=y0=60°.

因此，所求二面角的度数为60。.

三、解答题

9.(2020•衡阳市高三联考)如图1,平面四边形8AOE中，C为BE上一点,△4BC和

△OCE均为等边三角形，EC=2CB=2,M,N分别是EC和CB的中点，将四边形84OE

沿BE向上翻折至四边形BA'D'E的位置，使二面角D'-BE-D为直二面角，如图2

所示.

⑴求证A'A〃平面£>'MDx

(2)求平面A'AB与平面O'DE所成角的正弦值.

［解析］(1)在等边△7)'CE和△OCE中，D'M_LC£,DMICE,D'MCiDM=M,

所以直线CE_L平面O'MO,即直线5E_L平面O'MQ,同理可证直线8E_L平面4'NA,

故平面O'A/O〃平面4'NA.

又A'AU平面A'NA,从而有A'A〃平面O'MD.

(2)如图，以M为坐标原点，MO,ME,MD)所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直

角坐标系M一种,易知M(0,0,0),E(0,l,0),D巾,0,0),D'(0,0,®3(0,—2,0),A咨,

—I，0),A'(0,-I，鸣.

则曲=(o,+乎)，函=(坐，0),

设平面A'48的一个法向量为/n=(x,j,z),

mBA1=0Jy+小z=0

令z=l,得x=l,y=-小,所以平面A'AB的一

由，得[5x+y=0

jn-BA—0

个法向量为相=（1,一小，1）.

a-ED=0

同理，设平面O'OE的一个法向量为〃=（即，ji,zi）,由，

n-ED1=0

产f=0,

〔―yi+小zi=0

令zi=l,得即=1,》=小，

所以平面O'OE的一个法向量为〃=（1,小，1）.

从而|cos（///,而尸瑞=卜三=/

故千面A'与平面。'所成角的正弦值为

10.（2020•全国III卷理，19）如图,在长方体ABCD-AiBiCiDi中，点E,F分别在棱

DDi，88］上，且2DE=EOi，BF=2FB\.

⑴证明：点G在平面4M内；

（2）若A8=2,AD=\,A4i=3,求二面角人一所一4的正弦值.

［解析］设A3=a,AD=b,AA）=c,如图，以G为坐标原点，的方向为x轴正方

向，建立空间直角坐标系Cixyz.

⑴连接CiF,贝iJG(O,O,O),AS，b,c),E(ch0,韵，乖，b,；c),启=(0,b,例,

GF=(^0,b,|cj,得设=3>,

因此EA〃GF,即4,E,F,G四点共面，

所以点G在平面AE户内.

(2)由已知得4(2,1,3),£(2,0,2),严(0,1,1),4(2,1,0),AE=(0,-I,-1),赤=(一2,0,

-2),加=(0,-1,2),4>=(-2,04).

设m=(x,y,z)为平面AE尸治法向量，则

n\-AE=0t—y—z=0,

_即

—2x—2z=0,

nvAF=0f

可取«1=(—1,—1,1).

设小为平面AE尸的法向量，则

W2-/hE=0,同理可取〃2=q,2,i

,W2A|F=0,

a.、W1/12亚

因为cos〈叫，见〉=而两=一年，

所以二面角A-EF-Ai的正弦值为隼.

B组•素养提升

一、选择题

1.(2021•福建泉州市普通高中质量检测)正方体ABC。一A山CMi中，动点M在线段

4c上，E,尸分别为。回，AQ的中点.若异面直线E尸与8W所成的角为仇则〃的取值

范围为(A)

［解析］以。点为原点，04,DC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角

坐标系.设04=2,易得济=(1,0,-1),设用=/l/i=(22,-22,22)(O《4W1),BM=

(2z—2,—2x,2z),则cosO=|cos〈BM,EF)|,

…cos”一小q⑵-2)2+8#一近73乃一2入+1

1

gWl),

3(，—胡+，

当2=4时，cos。取到最大值乎，当2=1时，cos0取至U最小值

TTTT

所以。的取值范围为币］,故选A.

2.如图，已知四棱锥P-4BCO的底面4BC。是等腰梯形，AB//CD,旦4CJL8O,AC

与BD交于O,PO_L底面ABC。，PO=2,4B=2，1E,尸分别是AB,A尸的中点.则平

面尸OE与平面OE4夹角的余弦值为（B）

A.-当

D.孝

c・邛

［解析I由题意，以O为坐标原点,OB,0C,。尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴建

立如图所示的空间直角坐标系，由题知,OA=OB=2,

则4(0,—2,0),8(2,0,0),-1,1).

：.OE=(\y-1,0),5>=(0,-1,1),设平面OM的法向量为m=(x,y,z),

m-OE=0,fx—>*=0,

则＜即J,八令x=l,可得m=(1』」),

|-y+z=0,

,mOF=0,

易知平面O4E的一个法向量为w=（0,0J）,

mnL_g

则cos〈7〃，n),设平面尸OE与平面OEA夹角为仇则cos6=|cos

(m,〃>1=乎.

3.正方体中，二面角从一801一修的大小为（C）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

［解析］如图，以C为原点建立空间直角坐标系C—xyz,设正方体的棱长为〃，则4（小

a,0),B(a,0,0),Di(0,a,a),历(。,0,a),

.•.以=(0,a,0),访i=(一a,a,a),丽=(0,0,a),

设平面ABDi的法向量为〃=(K,ytz),

则n-BA=(xtytz)-(0,a,0)=t?y=0,

iiBD]=(xij,z)-(—a,ci,a)=—av+ay+az=0,

,.ZWO,，y=0,x=z,

令z=l,贝iJ〃=(l,O』)，

同理平面BiBDi的法向量，〃=(—1,—1,0),

,、nmI

cos〈〃,w=而加=一5,

而二面角A-5O1—Bi为钝角，故为120。.

4.（多选题）如图，多面体0月8。。中，AB=CD=2,AO=5C=2小，AC=BD=①,

且04,OB,0C两两垂直，则下列结论正确的是（AB）

A.三棱锥O—ABC的体积是定值

B.球面经过点4,B,C,。四点的球的直径是回

C.直线06〃平面ACO

D.二面角A-OC—。等于30。

［解析］由题意，构造长方体，如图，设OA=x,OB=yt0C=I,

则«+.廿=4,jt2+z2=10,>^+22=12,

解得x=l,y=，5,z=3,

对于A,三棱锥的体积为:OCx/oAX。△一害，故A正确；

对于B,球面经过点A,B,C,D四点的球的直径即为长方体的体对角线长，即为

•\/l2+32+(V3)2=VT3,故B正确；

对于C,由于。8〃4E,AE和平面AC。相交，则。8和平面4co相交，故C错误；

对于D,因为AOJ_OC,DCLOC,所以异面直线CD与。4所戌的角大小为二面角4

AC

一。。一。的二面角大小，连接0E,则NAOE即为所求，tanNAOE=^=小，所以NAOE

=60°,故D错误.

二、填空题

5.已知在长方体ABCO-AiBiGd中，AB=\,BC=2,A4i=4,E是侧棱CG的中点，

则直线AE与平面MED所成角的正弦值为

［解析］在长方体ABCO—ABiG。中，AB=1,BC=2,44=4,E是侧棱CG的中

点，以。为原点，分别以OA,DC,所在直线为工，y,z轴建立空间直角坐标系，4(2,

0,0),£(0,1,2),4(2,0,4),50,0,0),EA=(2,-1,-2),房尸(2,0,4),DE=(0J,2),设平

面4石。的法向量为〃=(x,ytz),则〃•QAi=2r+4z=0,nDE=y+2z=0,取z=l,得〃

=(—2,—2,1),

设直线AE与平面4EO所成角为仇则

44

sin0=cos(EA,n)一小义小F

\EA\\n\

4

，直线AE与平面4EO所成角的正弦值为g.

6.如图，四面体4BCO中，E,尸分别为AB,。。上的点，且AE=BE,CF=2DF,

设应=mDB=b,DC=c.

D

(1)以{〃，b,c}为基底表示能，则/=「%+%+,:

(2)若N4D8=N8DC=NADC=60。，且|而|=4,|加|=3,|的=3,则|的=_喳

［解析］(1)如图所示，连接

・61Q，■I.Q

因为尸E=FD+£>E,FD=~DF=~^DCfDE=^(DA^DB),

所以丽=—gc+&+；》.

(2)|FE|2=(jfl+^^—1c^2=^a2+1/>2+|c2+^a-Z>—1a-c—|Z>-C=1X42+1X32+^X32+1

X4X3X1-|X4X3X1-1X3X3X1=^.

所以|两=挈.

7.在正方体ABCQ-ABiGd中，则48与平面小场。所成角的大小为比.

［解析I解法一：连接BG,设与SC交于。点，连接40.

VBCi±B|C,AiBJBG,AtBtCiBtC=Bi,，BG_L平面ABC,

：.A}B在平面4SCO内的射影为A\O.ANOAB就是AiB与平面A}B\CD所成的角，

设正方体的棱长为1.

在RtZ\408中，AiB=巾,80=彳，

啦

BO21

sinZ.OA\B——2**,*N046=30。.

即4B与平面AiBCO所成的角为30。.

解法二：以。为原点，DA.DC,。。分别x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，设正方体的棱长为1,则4(1,0,1)、C(0,l,0).

・・・£>Ai=(l,O/)、DC=(0,1,0).

设平面43co的一个法向量为〃=(x,y,z),

H-DA\=0x+z=0

则《八,令z=—1得x=l.

y=0

nDC=0

A/i=(l,0,-1),又5(1,1,0),・••他=(0,1,-1),

aAiBn_1_1

cos〈〃，A\B)

南川小m’

・•・〈〃，病)=60°,与平面4SCO所成的角为30。.

三、解答题

8.如图，四棱柱A5co—A8GA的所有棱长都相等，4CCBO=O,4GC8］Oi=Oi，

四边形4CCA和四边形BDDxBx均为矩形.

(1)证明：。。_1_底面A8CD；

(2)若NCB4=60。，求平面CQBi与平面08。夹角的余弦值.

［解析］(1)证明：因为四边形ACCA和四边形均为矩形，所以CG_LAC,

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