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文档简介
河南省周口市扶沟县包屯高级中学2025届学业水平考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过直线上一点作圆的两条切线,,,为切点,当直线,关于直线对称时,()A. B. C. D.2.将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像,则的最小值为()A. B. C. D.3.已知曲线且过定点,若且,则的最小值为().A. B.9 C.5 D.4.已知奇函数是上的减函数,若满足不等式组,则的最小值为()A.-4 B.-2 C.0 D.45.记的最大值和最小值分别为和.若平面向量、、,满足,则()A. B.C. D.6.双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.67.集合的子集的个数是()A.2 B.3 C.4 D.88.已知为圆:上任意一点,,若线段的垂直平分线交直线于点,则点的轨迹方程为()A. B.C.() D.()9.已知四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形,,平面平面ABCD,当点C到平面ABE的距离最大时,该四棱锥的体积为()A. B. C. D.110.若复数满足(是虚数单位),则()A. B. C. D.11.若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.“角谷猜想”的内容是:对于任意一个大于1的整数,如果为偶数就除以2,如果是奇数,就将其乘3再加1,执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的()A.6 B.7 C.8 D.9二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设复数满足,其中是虚数单位,若是的共轭复数,则____________.14.在中,角,,的对边分别为,,,若,且,则面积的最大值为________.15.若,则=____,=___.16.已知抛物线的焦点为,过点且斜率为1的直线与抛物线交于点,以线段为直径的圆上存在点,使得以为直径的圆过点,则实数的取值范围为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆E:()的离心率为,且短轴的一个端点B与两焦点A,C组成的三角形面积为.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)若点P为椭圆E上的一点,过点P作椭圆E的切线交圆O:于不同的两点M,N(其中M在N的右侧),求四边形面积的最大值.18.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点P是椭圆上异于短轴端点A,B的任意一点,过点P作轴于Q,线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N,D为线段BN的中点,设O为坐标原点,试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.19.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于两点A,B,求线段的长.20.(12分)已知函数.(1)若在处取得极值,求的值;(2)求在区间上的最小值;(3)在(1)的条件下,若,求证:当时,恒有成立.21.(12分)的内角所对的边分别是,且,.(1)求;(2)若边上的中线,求的面积.22.(10分)已知椭圆:(),与轴负半轴交于,离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设直线:与椭圆交于,两点,连接,并延长交直线于,两点,已知,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
判断圆心与直线的关系,确定直线,关于直线对称的充要条件是与直线垂直,从而等于到直线的距离,由切线性质求出,得,从而得.【详解】如图,设圆的圆心为,半径为,点不在直线上,要满足直线,关于直线对称,则必垂直于直线,∴,设,则,,∴,.故选:C.本题考查直线与圆的位置关系,考查直线的对称性,解题关键是由圆的两条切线关于直线对称,得出与直线垂直,从而得就是圆心到直线的距离,这样在直角三角形中可求得角.2.B【解析】
根据三角函数的平移求出函数的解析式,结合三角函数的性质进行求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位,得到,此时与函数的图象重合,则,即,,当时,取得最小值为,故选:.本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键.3.A【解析】
根据指数型函数所过的定点,确定,再根据条件,利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,,当且仅当时等号成立,即时取得最小值.故选:A本题考查指数型函数的性质,以及基本不等式求最值,意在考查转化与变形,基本计算能力,属于基础题型.4.B【解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域,画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】奇函数是上的减函数,则,且,画出可行域和目标函数,,即,表示直线与轴截距的相反数,根据平移得到:当直线过点,即时,有最小值为.故选:.本题考查了函数的单调性和奇偶性,线性规划问题,意在考查学生的综合应用能力,画出图像是解题的关键.5.A【解析】
设为、的夹角,根据题意求得,然后建立平面直角坐标系,设,,,根据平面向量数量积的坐标运算得出点的轨迹方程,将和转化为圆上的点到定点距离,利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得,则,,,建立平面直角坐标系,设,,,由,可得,即,化简得点的轨迹方程为,则,则转化为圆上的点与点的距离,,,,转化为圆上的点与点的距离,,.故选:A.本题考查和向量与差向量模最值的求解,将向量坐标化,将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,考查化归与转化思想与数形结合思想的应用,属于中等题.6.A【解析】
由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y=±22x,圆心坐标为(3,0).由题意知,圆心到渐近线的距离等于圆的半径r,即r=±答案:A本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系,属于基础题.7.D【解析】
先确定集合中元素的个数,再得子集个数.【详解】由题意,有三个元素,其子集有8个.故选:D.本题考查子集的个数问题,含有个元素的集合其子集有个,其中真子集有个.8.B【解析】
如图所示:连接,根据垂直平分线知,,故轨迹为双曲线,计算得到答案.【详解】如图所示:连接,根据垂直平分线知,故,故轨迹为双曲线,,,,故,故轨迹方程为.故选:.本题考查了轨迹方程,确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.9.B【解析】
过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设,将表示成关于的函数,再求函数的最值,即可得答案.【详解】过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因为底面ABCD是边长为1的正方形,,所以.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.易证平面平面ABE,所以点H到平面ABE的距离,即为H到EF的距离.不妨设,则,.因为,所以,所以,当时,等号成立.此时EH与ED重合,所以,.故选:B.本题考查空间中点到面的距离的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意辅助线及面面垂直的应用.10.B【解析】
利用复数乘法运算化简,由此求得.【详解】依题意,所以.故选:B本小题主要考查复数的乘法运算,考查复数模的计算,属于基础题.11.A【解析】
化简复数,求得,得到复数在复平面对应点的坐标,即可求解.【详解】由题意,复数z满足,可得,所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限故选:A.本题主要考查了复数的运算,以及复数的几何表示方法,其中解答中熟记复数的运算法则,结合复数的表示方法求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.12.B【解析】
模拟程序运行,观察变量值可得结论.【详解】循环前,循环时:,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,满足条件,退出循环,输出.故选:B.本题考查程序框图,考查循环结构,解题时可模拟程序运行,观察变量值,从而得出结论.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由于,则.14.【解析】
利用正弦定理将角化边得到,再由余弦定理得到,根据同角三角函数的基本关系表示出,最后利用面积公式得到,由基本不等式求出的取值范围,即可得到面积的最值;【详解】解:∵在中,,∴,∴,∴,∴.∵,即,当且仅当时等号成立,∴,∴面积的最大值为.故答案为:本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面积公式的应用,以及基本不等式的应用,属于中档题.15.12821【解析】
令,求得的值.利用展开式的通项公式,求得的值.【详解】令,得.展开式的通项公式为,当时,为,即.本小题主要考查二项式展开式的通项公式,考查赋值法求解二项式系数有关问题,属于基础题.16.【解析】
由题意求出以线段AB为直径的圆E的方程,且点D恒在圆E外,即圆E上存在点,使得,则当与圆E相切时,此时,由此列出不等式,即可求解。【详解】由题意可得,直线的方程为,联立方程组,可得,设,则,,设,则,,又,所以圆是以为圆心,4为半径的圆,所以点恒在圆外.圆上存在点,使得以为直径的圆过点,即圆上存在点,使得,设过点的两直线分别切圆于点,要满足题意,则,所以,整理得,解得,故实数的取值范围为本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用,以及直线与圆的位置关系的应用,其中解答中准确求得圆E的方程,把圆上存在点,使得以为直径的圆过点,转化为圆上存在点,使得是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ);(Ⅱ)4.【解析】
(Ⅰ)结合已知可得,求出a,b的值,即可得椭圆方程;(Ⅱ)由题意可知,直线的斜率存在,设出直线方程,联立直线方程与椭圆方程,利用判别式等于0可得,联立直线方程与圆的方程,结合根与系数的关系求得,利用弦长公式及点到直线的距离公式,求出,得到,整理后利用基本不等式求最值.【详解】解:(Ⅰ)可得,结合,解得,,,得椭圆方程;(Ⅱ)易知直线的斜率k存在,设:,由,得,由,得,∵,设点O到直线:的距离为d,,,由,得,,,∴∴,∴而,,易知,∴,则,四边形的面积当且仅当,即时取“”.∴四边形面积的最大值为4.本题考查了由求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查了学生的计算能力,综合性比较强,属于难题.18.(1)(2)点在以为直径的圆上【解析】
(1)根据题意列出关于,,的方程组,解出,,的值,即可得到椭圆的标准方程;(2)设点,,则,,求出直线的方程,进而求出点的坐标,再利用中点坐标公式得到点的坐标,下面结合点在椭圆上证出,所以点在以为直径的圆上.【详解】(1)由题意可知,,解得,椭圆的标准方程为:.(2)设点,,则,,直线的斜率为,直线的方程为:,令得,,点的坐标为,,点的坐标为,,,,又点,在椭圆上,,,,点在以为直径的圆上.本题主要考查了椭圆方程,考查了中点坐标公式,以及平面向量的基本知识,属于中档题.19.(1)l:,C:;(2)【解析】
(1)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换;
(2)由(1)可得曲线是圆,求出圆心坐标及半径,再求得圆心到直线的距离,即可求得的长.【详解】(1)由题意可得直线:,由,得,即,所以曲线C:.(2)由(1)知,圆,半径.∴圆心到直线的距离为:.∴本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法,考查弦长的求法、运算求解能力,是中档题.20.(1)2;(2);(3)证明见解析【解析】
(1)先求出函数的定义域和导数,由已知函数在处取得极值,得到,即可求解的值;(2)由(1)得,定义域为,分,和三种情况讨论,分别求得函数的最小值,即可得到结论;(3)由,得到,把,只需证,构造新函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.【详解】(1)由,定义域为,则,因为函数在处取得极值,所以,即,解得,经检验,满足题意,所以.(2)由(1)得,定义域为,当时,有,在区间上单调递增,最小值为,当时,由得,且,当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以在区间上单调递增,最小值为,当时,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以在处取得最
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