2025年甘肃省武威市凉州区中考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年甘肃省武威市凉州区中考数学模拟试卷

一、选择题（共30分）

1.（3分）|-2|的相反数是（

1

A.-2B.C.一D.2

2

2.（3分）下列运算正确的是（

A.2。+4=6。B.小/:/C.(2a)2=2/D.a3-•a3=_a

3.（3分）如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（)

-3-2-10123

A.12-6x<0B.12-6x^0C.12-6x>0D.12-6x20

4.（3分）下列图形中，由N1=N2能得到的是（)

%2—1

5.（3分）若分式苫的值为°,则x的值为（)

A.0B.1C.-1D.±1

6.（3分）如图，已知矩形纸片ABC。，AB=4,3c=3,点尸在3C边上，将△CD尸沿。尸折叠，点。落

在点E处，PE、OE分别交于点0、F,且OP=O尸，则。尸的长为（）

1757

A.——B.—C.—D.——

1113517

7.（3分）已知一组数据：1,2,a,b,5,8的平均数和中位数都是4（mb均为正整数），在去掉其中

的一个最大数后，该组数据的（）

A.中位数不变B.众数不变

C.平均数不变D.方差不变

8.（3分）如图，A8是。。的直径，点。，C在。。上，连接AD,DC,AC,如果NC=65°,那么/BA。

C.25°D.30°

9.（3分）如图，己知点P（6,3）,过点尸作PM,无轴于点PNLy轴于点N,反比例函数y=兄的图

象交于点A,交PN于点、B.若四边形。1PB的面积为12,则上的值为（）

A.6B.-6C.12D.-1

10.（3分）如图，已知CD为的直径，CD_LAB于点孔AE_LBC于点E.若AE过圆心O,OA=\.则

四边形BEOF的面积为（）

二、填空题（共24分）

X—777,271

11.（3分）己知关于无的方程-----x+—与3%-（尤-1）=5的解相同，则m—

23---------------------------------

12.（3分）计算：V4-V9=.

13.（3分）因式分解：3/-27=.

14.（3分）如图，点8、E、C、产在一条直线上，AB//DE,且AB=QE,请添加一个条件

使AABC咨ADEF.

15.（3分）如图，在RtzXABC中，ZBAC=90°,/ABC的平分线交AC于D过点A作AE_LBC于E,

交BD于G,过点。作。凡L8C于尸，过点G作G//〃BC,交AC于点”，则下列结论：

①NBAE=/C；

@5AABG：S^EBG=AB：BE；

③/ADF=2NCDF；

④四边形AGFD是菱形；

⑤CH=DF.

16.（3分）如图，AB,8C是。。的两条弦，AB垂直平分半径OD,ZABC=75°,BC=4mcm,则。C

17.（3分）y关于x的二次函数y^ajc+a2,在一1<x<±时有最大值6,则a=.

18.（3分）如图，在四边形ACBD中，对角线AB,CD相交于点0,ZACB=90°,BD=CD且s讥乙DBC=j,

^ZDAB=2ZABC,则二7的值为.

AB-------------------------------

三、计算题（共8分）

19.（8分）（1）计算：sin60°-V12XV3-（TT-3.14）°+2-2；

⑵解不等式组产+721-%①

16-3（1-%）>5x（2）

四、作图题（共4分）

20.（4分）如图，在10X6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,线段A3、线段EF的端点均在

7

⑴在图中以为边画RtA48C,点C在小正方形的格点上，使/BAC=90°,且tan/AC8=（；

（2）在（1）的条件下，在图中画以防为边且面积为3的△OEF,点。在小正方形的格点上，使/CBD

=45°,连接CD,直接写出线段CO的长.

五、解答题（共54分）

21.（6分）已知：如图，点。在△ABC的BC边上，AC//BE,BC=BE,/ABC=/E,求证：AB=DE.

22.（8分）诗词从来不是曲高和寡的阳春白雪，而是无数中国人“日用而不知”的精神滋养之所在.某中

学组织九年级学生参加“黔城读书月诗词大赛”区级选拔赛.为了解该年级学生参赛成绩的情况，随机

抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60Wx<70；B-.70Wx<80；C：80Wx<90；D：90WxW100,

并绘制出如下统计图.

人数

解答下列问题：

(1)本次调查的学生共有多少人？请补全条形统计图；

(2)学校将从。组最优秀的4名学生甲、乙、丙、丁中随机选取2人参加下一轮比赛，利用画树状图

或列表的方法，求刚好抽到甲和丁参赛的概率.

23.(8分)如图，8E是。。的直径，点C为。。外一点，过点C作COLBE于点。，交。。于点R连

接BC,与。。相交于点A,点尸为线段FC上一点，且AP=CP.

(1)求证：AP为O。的切线；

(2)若点尸为屈的中点，OO的半径为5,48=6,求。E的长.

24.(8分)如图，四边形ABC。为。。的内接四边形，AC为。。的直径，且NACZ)与互余.

(1)求证：CD=BD；

(2)若CD=2求,BC=4,求AB的长.

R

25.(6分)为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，

该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为

了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%,请你利用所学知识帮助超

市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元.

26.(8分)如图，在RtZVIBC中，ZACB=90°,。是AC边上一点，连接30,E是△A2C外一点且满

足BE〃AC,AE//BD,AB平分/D4E,连接OE交AB于点O.

(1)求证：四边形ADBE是菱形；

(2)连接。C,若四边形AZJ8E的周长为20,cos^EAD=求0c的长.

27.(10分)如图，已知抛物线y=/+fcv+c经过A(-1,0)、B(3,0)两点.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)当0<x<3时，求y的取值范围；

(3)点尸为抛物线上一点，若S△出B=10,求出此时点P的坐标.

2025年甘肃省武威市凉州区中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共30分）

1.（3分）|-2|的相反数是（）

11

A.-2B.一方C.-D.2

22

【解答】解：：|-2|=2,

•••2的相反数是-2.

故选：A.

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.2a+4=6aB.a2,a3=a5C.（2a）2=2a2D.a'^a'=a

【解答】解：A.2a与4不是同类项，所以不能合并，原式错误，不符合题意；

B.a2a3—a5,计算正确，符合题意；

C.（2a）2=4/，原式错误，不符合题意；

D.原式错误，不符合题意；

故选：B.

3.（3分）如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（）

-3-2-10123

A.12-6x<0B.12-6x^0C.12-6x>0D.12-6尤20

【解答】解：A.12-6x<0的解集为x>2,不符合题意；

B.12-6xW0的解集为x》2,不符合题意；

C.12-6x>0的解集为尤<2,不符合题意；

DA2-6xN0的解集为xW2,符合题意；

故选：D.

4.（3分）下列图形中，由Nl=/2能得到AB〃CD的是（）

B

D

A.B.CD

AB

故A不符合题意;

B.VZ1=Z2,

：.AB//CD（内错角相等，两直线平行）,

故2符合题意；

C.VZ1=Z2,

.•.AC〃m（内错角相等,两直线平行）,

故C不符合题意；

D.由Nl=/2不能得到A2〃C。，

故。不符合题意；

故选：B.

%2—1

5.（3分）若分式——的值为0,则x的值为（）

x-1

A.0B.1C.-1D.±1

汽2―1

【解答】解：・・•分式一厂的值为6

x-1

'.X2-1=0,且x-1W0,

解得：x=-1.

故选：C.

6.（3分）如图，已知矩形纸片ABC。，AB=4,BC=3,点尸在8C边上，将△CQ尸沿。尸折叠，点。落

在点E处，PE、QE分别交于点0、F,且。尸=0凡则。尸的长为（）

【解答】解：根据折叠可知：LDCP义LDEP,

：.DC=DE=4,CP=EP.

在△OEF和△OBP中，

NEOF=Z.BOP

Z-B=/-E=90°,

OP=OF

:•△OEF^AOBP(AA5),

：・OE=OB,EF=BP,

：・BF=EP=CP,

设BF=EP=CP=x,则AF=4-x,BP=3-x=EF,DF=DE-EF=4-(3-x)=尤+1,

VZA=90°,

RtAADF中，AF2+AD2=DF2,

即(4-x)2+32=(1+无)2,

故选：C.

7.（3分）已知一组数据：1,2,a,b,5,8的平均数和中位数都是4（a,b均为正整数），在去掉其中

的一个最大数后，该组数据的（）

A.中位数不变B.众数不变

C.平均数不变D,方差不变

【解答】解：根据数据1,2,a,b,5,8的平均数为4,得（l+2+a+b+5+8）=6X4,解得a+b=8；

.■.a=l,6=7或a=2,6=6或。=3,6=5或。=4,6=4,

,/中位数是4,

；.a=b=4或。=3,b=5；

去掉一个最大数8后，该组数据的平均数和方差都变小，中位数可能是4,也可能是3,

当a=b=4时，众数与原来相同，都是4；

当a=3,6=5时，众数与原来也相同，都是5.

故选：B.

8.（3分）如图，是。。的直径，点。，C在。。上，连接A。，DC,AC,如果NC=65°,那么/BA。

的度数是（)

C

A

A.15°B.20°C.25°D.30°

【解答】解：连接5,

VZC=65°，

：.ZB=65°.

〈AB是。。的直径,

AZADB=90°.

：.ZBAD=90°-ZB=90°-65°=25°.

9.（3分）如图，已知点尸（6,3）,过点尸作PMLx轴于点M,PNLy轴于点N,反比例函数丫=1的图

象交于点A,交PN于点、B.若四边形。1PB的面积为12,则上的值为（）

A.6B.-6C.12D.-1

【解答】解：尤轴于点M,PNJ_y轴于点M

四边形OMPN是矩形，

又,：P（6,3）,

：.PM=3,PN=6,

S矩形OMPN=PM・PN=18，

..•点A、8在反比例函数y=5的图象上,

._1

・・SM)NB=^LOMA=2网

,**S四边形OAP5=S四边形OMPN-S/\OMA~S/\ONB=12,

即18-因=12,

・；k>0.

:.k=6,

故选：A.

10.（3分）如图，已知CQ为。。的直径，CD_LA8于点RAE_L3C于点£若AE过圆心O,OA=1.则

四边形5E0尸的面积为（）

C.立D.V3

2

・・・。£>为直径，COLA"

：.AD=BD,

：.ZAOD=2ZC,

VCDLAB,AE上BC,

：.ZAFO=ZCEO=90°,

VZAOF=ZCOEfOA=OC,

：.AAFO^ACEO(A4S),

：.ZC=NA,

・•・ZAOD=2ZAf

VZAFO=90°,

AZA=30°,

9：AO=1,

：.OF=^AO=^,AF=«OF=*,

同理CE=苧，0E=1,

\'CD±AB,AELBC,CD、AE过O,

由垂径定理得：BF=AF=BE=CE=^~,

四边形BEOF的面积S=SABFO+SABEO=iXiX噂+ixix*=卓.

LLLLLL41

故选：B.

二、填空题(共24分)

11.(3分)已知关于x的方程----=x+—与3x-(x-1)=5的解相同，则加=-

23~

【解答】解:：3尤-(尤-1)=5,

3x-x+l=5,

・・・2x=4,

•・x=2,

,八、x-mm…2-mm

把x=2代入----=%+—,得-----=2+—

2323

去分母，得3(2-m)=12+2m,

解得TH=

6

-

故答案为:5

12.(3分)计算：V4-V9=-1.

【解答】解：原式=2-3

=-1.

故答案为：-1.

13.(3分)因式分解：3/-27=3(x+3)(x-3)

【解答】解：原式=3(x2-9)=3(x+3)(x-3),

故答案为3G+3)(x-3).

14.（3分）如图，点B、E、C、尸在一条直线上，AB//DE,S.AB=DE,请添加一个条件

使AABCmADEF.

【解答】解：可添加条件为或或8E=C尸或

理由如下：'：AB//DE,

：.ZB=ZDEF.

;在△ABC和△Z）EF中，

4=ND

AB=DE,

/B=Z-DEF

:•△ABgXDEF（ASA）.

故答案为：8E=CP或NA=/Z）或8C=£F（填一个即可）.

15.（3分）如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,NA2C的平分线交AC于D过点A作AE_LBC于E,

交BD于G,过点。作。工LBC于尸，过点G作G//〃BC,交AC于点”，则下列结论：

①NBAE=NC；

@SAABG：SAEBG=AB：BE；

③NADF=2/CDF；

④四边形AGm是菱形；

⑤CH=DF.

：.ZBAE+ZCAE=90°,

VAEXBC,

：.ZC+ZCAE=90°,

：.ZBAE=ZC,①正确；

②作。交C3的延长线于如图所示：

则NM=NC3。，NBAM=NABD,

,.,50平分NA8C,

：.ZCBD=ZABD,

：.NM=ZBAM,

9：AM//BD,

：.AG：GE=BM：BE,

：.AG：GE=AB：BE,

*.*S^ABG：SAEBG=AG：GE,

SAABG：SAEBG=AB：BE；②正确；

@VZAGD=ZABD+ZBAE,/ADG=/CBD+NC,NBAE=/C,/CBD=/ABD,

：.ZAGD=ZADGf

：.AG=AD,

9：ZBAC=90°,3。平分NA8C.DF_LBC,

：.AD=DF,

：.AG=DF,

VAE±BC,

：.AG//DFf

・•・四边形AGFD是平行四边形，

XVAG=AD,

・•・四边形AG即是菱形；④正确；

⑤・・•四边形AG/。是菱形；

AZAGD=ZFGD,GF=DF,NADB=NFDB,

：./AGB=/FGB,

在AABG和△尸BG中，

Z.ABG=乙FBG

BG=BG,

、乙AGB=乙FGB

:•△ABG"XFBG(ASA),

：.ZBAE=ZBFG,

；/BAE=NC,

：.ZBFG=ZC,

J.GF//CH,

'：GH//BC,

四边形GFCH是平行四边形，

：.GF=CH,

：.CH=DF,⑤正确；

③：ZADF^2ZADB,

当NC=30°,ZCDF=60°,

则/A。尸=120°,

：.ZADF=2ZCDF；③不正确;

故答案为：①②④⑤.

16.（3分）如图，AB,8c是。。的两条弦，垂直平分半径OD,N4BC=75°,BC=4y[2cm,则OC

【解答】解：连接04OB.

垂直平分半径。£),

11

・•・OE=^OD=*03,

：.ZOBE=30°,

XVZABC=75°,

：.ZOBC=45°,

又.：OB=OC,

：.ZC=ZOBC=45

则△OBC是等腰直角三角形.

17.（3分）y关于x的二次函数yuaW+d,在一1<%*时有最大值6,则a=2或-伤.

【解答】解：当。〈①函数的最大值为y=/=6,

解得：ai=V6（不合题意舍去），a2=—V6,

当〃>0,x=-1时，y最大值=〃+q2=6,

解得：4=2或〃=-3（舍去）.

综上所述，a的值是2或-e.

故答案为：2或-痣.

18.（3分）如图，在四边形AQ?。中，对角线A5、CZ）相交于点O,NAC5=90°,瓦）=CD且s讥/DBC=*

AD1

若NDA8=2NA5C,则一的值为一.

AB一2一

【解答】解：过。作于E,交A8于R如图所示:

：.ZDAB=2ZABC=2a,ZDBC=a+P，ZBDF+(a+0)=90°,

•；BD=CD,DELBC,

：.NDCB=Z£)BC=a+P，CE=BE,

在△D4。和△BC。中，由三角形内角和定理可知NAOO+2a=(a+p)+a,即/AOO=0,

VZACB=90°,

Z.ZACO+(a+p)=90°,

ZACD=ZFDB,

在AD4c和阳中，

/.ACD=4FDB

-BD=CD

ZADC=乙FBD

:.ADAC咨ABFD(ASA),

：.BF=AD,

\'AC±CB,DELCB,

BEBF

：.AC//DE,则一=—=1,即FA=FB,

CEFA

尸是AB的中点,

ADBF1

AB~AB~2

、……1

故答案为：

19.(8分)(1)计算：sin60°-V12xV3-(7r-3.14)°+2-2；

2x+7>1—%①

(2)解不等式组•

6-3(1-%)>5x@

【解答】解：(1)原式=9—2V^x—1+,

(2)由①得：龙》-2,

由②得:尤＜1.5,

则不等式组的解集为-2。＜15

四、作图题(共4分)

20.(4分)如图，在10义6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,线段A3、线段EF的端点均在

小正方形的顶点上.

B

\

E

7

⑴在图中以AB为边画Rt"BC,点C在小正方形的格点上，使NA4c=90°,且tan/AC8=早

(2)在(1)的条件下，在图中画以防为边且面积为3的△£)£；凡点。在小正方形的格点上，使/C8O

=45°,连接8,直接写出线段C。的长.

【解答】解：(1)如图,

由勾股定理得：AB=V22+22=2V2,

AC-V32+32=3y/2,BC=V52+I2=V26,

：.AB2+AC2=(2V2)2+(3V2)2=26,

BC2=(V26)2=26,

：.AB2+AC2=BC2,

.,.△ABC是直角三角形，且NBAC=90°,

c4B2V22

tanZACB=万=荻=芽

1

(2)如图，•"△DEF=/2X3=3,

VBC=V26,CZ)=V52+l2=V26,BD=V42+62=V52,

：.BC2+CD2^52,BD?=52,

.,.Bd+CIJ^^BD2,

AZBCD=90°,BC=CD,

：.ZCBD=45°,

五、解答题（共54分）

21.（6分）已知：如图，点。在△ABC的5C边上，AC//BE,BC=BE,NABC=NE,求证：AB=DE.

E

【解答】证明：・・・85〃AC,

:・NC=NDBE.

在△A3C和中，

2C=Z.DBE

BC=EB,

Z.ABC=Z-E

：.△ABCmADEB,

：.AB=DE.

22.（8分）诗词从来不是曲高和寡的阳春白雪，而是无数中国人“日用而不知”的精神滋养之所在.某中

学组织九年级学生参加“黔城读书月诗词大赛”区级选拔赛.为了解该年级学生参赛成绩的情况，随机

抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60Wx<70；B：70Wx<80；C：80Wx<90；D：90WxW100,

并绘制出如下统计图.

解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有多少人？请补全条形统计图；

（2）学校将从。组最优秀的4名学生甲、乙、丙、丁中随机选取2人参加下一轮比赛，利用画树状图

或列表的方法，求刚好抽到甲和丁参赛的概率.

【解答】解：（1）本次调查的学生人数为24+骡=54（人）.

A组的人数为54-6-20-24=4（人）.

甲乙丙丁

甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）

乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）

丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）

T（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）

由表格可知，共有12种等可能的结果，其中刚好抽到甲和丁参赛的结果有2种，

•••刚好抽到甲和丁参赛的概率为三=

126

23.（8分）如图，8E是。0的直径，点。为外一点，过点。作于点。，交。0于点R连

接5C,与。0相交于点A,点尸为线段尸C上一点，且AP=CP

（1）求证：AP为。。的切线；

（2）若点尸为屈的中点，OO的半径为5,AB=6,求OE的长.

：.ZOAB=ZOBA,

9：AP=CP,

：.ZFAC=ZPCA,

・・C0_L5E于点。,

\ZBDC=90°,

\ZOAB+ZPAC=AOBA-i-ZPCA=90°,

\ZOAP=180-(NOA8+N9C)=90°,

「04是。。的半径，且APLQA,

•.A尸为。。的切线.

(2)解：连接8歹交AE于点/,连接石/，作/GL8E于点G,

「BE是。。的直径，

\ZBAE=ZBFE=90°,

\IA±BA,EFLBL

：OB=OE=5,AB=6,

*.BE=OB+OE=5+5=10,

\AE=y/BE2-AB2=V102-62=8,

•,尸为屈的中点，

\AF=EF,

\/ABF=/EBF,

•・IA=IG,

SAABI+SAEBI=SAABE,

1ii

x6XM+4xlOX7G=4x6X8,

222

•・IA=IG=3,

\B1=y/AB2+IA2=V62+32=3V5,

11

:一BI・EF=多BE・IG=SAIBE,

2乙

1L1

x3V5EF=4x10X3,

22

，.EF=2底

\BF=yjBE2-EF2=J102-(2V5)2=4V5,

:NBDF=/EDF=90°,

,.BF2-BD2=EF2-DE2=DF2,

(4V5)2-(10-DE)2=(2V5)2-DE1,

解得DE=2,

的长是2.

24.(8分)如图，四边形A8CZ)为。。的内接四边形，AC为。。的直径，且NAC。与NBCO互余.

(1)求证：CD=BD,

(2)若CD=2遮，BC=4,求A3的长.

【解答】(1)证明：:AC为。0的直径，

ZADC=90°,

即/CAO+/ACO=90°

又「NAC。与/BCD互余，即NAa)+/BC£)=90°,

：.ZCAD=ZBCD,

：.CD=BD；

(2)解：如图，连接BO,DO,延长。。交BC于点E,则8。=(7£)=2强,

•：OD=OC,

J.ZODC^ZOCD,

,：AC是。。的直径

?.ZADC=90°,即/OCQ+/CAO=90°,

,：ZCAD^ZBCD,

：.ZBCD+ZODC=90°,

AZZ)£C=180°-90°=90°,KPDE±BC,

1

:・BE=CE=^BC=2,

：.DE=VCD2-CE2=4,

设半径为r,即OD=OC=r,则0E=4-r,

在RtZ\COE中，由0®+C戌=OC2得，

(4-r)2+22=^,

解得r=f，

.\AC=2r=5,

：.AB^yjAC2-BC2=3.

25.(6分)为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，

该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少1