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2023-2024学年浙江省宁波市余姚市六校联考七年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列计算正确的是(

)A. B. C. D.2.世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅厘米，其质量也只有克.数用科学记数法表示为(

)A. B. C. D.3.下列所示的四个图形中，和不是同位角的是(

)A. B.

C. D.4.下列式子正确的是(

)A. B.

C. D.5.下列各式中是二元一次方程的是(

)A. B. C. D.6.如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果，那么的度数为(

)

A. B. C. D.7.《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛斛：古代容量单位；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是(

)A. B. C. D.8.已知，则代数式的值为(

)A.2023 B.2024 C.2025 D.20269.如图，在三角形ABC中，，把三角形ABC沿射线AB方向平移个单位至三角形EFG处，EG与BC交于点若，则图中阴影部分的面积为(

)A.

B.

C.

D.10.将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①、图②所示的方式放置在长方形ABCD内，图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①、图②中阴影部分的面积为分别为、，当时，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是(

)A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.已知，用x的代数式表示y，则______.12.如图，AE交DF于点C，，则______.

13.若，，则______.14.若，则______.15.如图，长方形纸片ABCD分别沿直线OP、OQ折叠，若，则______.

16.若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为______.三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题6分

计算：

；

18.本小题6分

解方程组：

；.

19.本小题6分

先化简，再求值：，其中20.本小题8分

已知，，求下列代数式的值：

；

21.本小题8分

如图，已知，

求证：；

若AC平分，于点E，，求的度数．22.本小题10分

某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗40棵，B种树苗15棵，共花费1750元；第二次购进A种树苗20棵，B种树苗6棵，共花费860元．两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变

，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？

因受季节影响，A种树苗价格下降，B种树苗价格上升，计划购进A种树苗25棵，B种树苗20棵，问总费用是多少元？23.本小题10分

若两个正整数a，b，满足，k为自然数，则称a为b的“k级”数.例如，，，则2为3的“11级”数.

是6的“______”级数；正整数n为1的“______”级数用关于n的代数式表示；

若m为4的“”级数，求m的值；

是否存在a，b的值，使得a为b的“级”数？若存在，请举出一组a，b的值；若不存在请说明理由.24.本小题12分

如图，已知C为两条互相平行的直线AB，ED之间一点，和的角平分线相交于F，

求证：

连接CF，当，时，求的度数.

若时，将线段BC沿射线AB方向平移，记平移后的线段为PQ，B，C分别对应P，Q，当时，求的度数.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A、，故该项不正确，不符合题意；

B、，故该项不正确，不符合题意；

C、，故该项不正确，不符合题意；

D、，故该项正确，符合题意；

故选：

根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．

本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．2.【答案】B

【解析】解：，

故选：

将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．

本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．3.【答案】C

【解析】解：选项A、B、D中，与在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；

选项C中，与的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．

故选：

在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．

本题考查了同位角的定义，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角．4.【答案】C

【解析】解：A、，故此选项不符合题意；

B、，故此选项不符合题意；

C、，故此选项符合题意；

D、，故此选项不符合题意；

故选：

根据平方差公式逐项计算判断即可．

本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．5.【答案】B

【解析】解：属于二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，即A项错误，

B.符合二元一次方程的定义，属于二元一次方程，即B项正确，

C.属于分式方程，不符合二元一次方程的定义，即C项错误，

D.属于二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，即D项错误，

故选：

根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可．

本题考查了二元一次方程的定义，正确掌握二元一次方程的定义是解题的关键．6.【答案】C

【解析】解：如图：过点A作，

，

，

，

，

，

，

故选：

过点A作，利用猪脚模型进行计算，即可解答．

本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．7.【答案】B

【解析】解：由题意得：，

故选：

根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，列出关于x、y的二元一次方程组即可．

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8.【答案】B

【解析】解：

，

，

原式

故选：

利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．

本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．9.【答案】A

【解析】解：三角形ABC沿射线AB方向平移个单位至三角形EFG，

，，≌，

，

即，

故选：

利用平移的性质得到，，≌，则，所以，然后根据梯形的面积公式计算．

本题考查了平移的性质：把求图中阴影部分的面积转化求为梯形BFGM的面积是解决问题的关键．10.【答案】A

【解析】解：设，则，

故选：

根据图中阴影部分的长度与正方形边长的数量关系，表示出的代数式，再根据整式的运算法则求出答案即可．

本题考查了列代数式和整式的混合运算，能灵活运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键．11.【答案】

【解析】解：，

，

即

故答案为：

把x看作已知数求出y即可．

此题考查了解二元一次方程，熟练掌握“解方程的步骤”是解本题的关键．12.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

故答案为：

先利用平角定义可得，然后利用平行线的性质即可解答．

本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．13.【答案】

【解析】解：，，

，

故答案为：

根据已知条件逆用同底数幂相乘法则进行计算即可．

本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则．14.【答案】

【解析】解：，

，

，，

解得：，，

故答案为：

利用多项式乘多项式的法则对式子进行整理，从而可求m，n的值，即可求解．

本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．15.【答案】

【解析】解：长方形纸片ABCD沿直线OQ，OP折叠，

，，

，

，

，

故答案为：

由折叠的性质可得，；然后由角的和差关系即可得到答案．

此题考查的是折叠的性质，掌握其性质是解决此题的关键．16.【答案】

【解析】解：利用整体思想可得，解得

利用整体思想可得，

本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是学会利用整体的思想解决问题．17.【答案】解：

；

【解析】先算零指数幂，负整数指数幂，乘方，再算加减即可；

先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可．

本题主要考查整式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．18.【答案】解：，

①，得③，

②+③，得

解得，

将代入①，得

解得，

方程组的解为；

，

①，得③，

②+③，得，

解得，

将代入①，得

解得，

方程组的解为

【解析】先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．

本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．19.【答案】解：原式

；

当时，原式

原式

【解析】首先根据整式相乘的法则和平方差公式、完全平方公式去掉括号，然后合并同类项，最后代入数据计算即可求解．

此题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是利用整式的乘法法则及平方差公式、完全平方公式化简代数式．20.【答案】解：，，

；

【解析】利用完全平方公式进行求解即可；

结合进行求解即可．

本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．21.【答案】证明：，

，

又，

，

，

；

解：平分，

，

由知，

，

，

，

，

，，

，

，

【解析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义求出是解题的关键．

由已知可证得，根据平行线的判定得到，根据平行线的性质即可得到；

根据角平分线的定义得到，即，由平行线的性质可求得，再由平行线的判定和性质定理求出，继而求出22.【答案】解：设A种树苗每棵的价格是x元，B种树苗每棵的价格是y元，

依题意得：，

解得：

答：A种树苗每棵的价格是40元，B种树苗每棵的价格是10元．

元

答：总费用为1140元．

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；利用总价=单价数量，求出购买所需总费用．

设A种树苗每棵的价格是x元，B种树苗每棵的价格是y元，根据“第一次购进A种树苗40棵，B种树苗15棵，共花费1750元；第二次购进A种树苗20棵，B种树苗6棵，共花费860元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A，B两种树苗每棵的价格；

利用总价=单价数量，即可求出购买所需的总费用．23.【答案】

【解析】解：，

是6的”23级“数，

，

正整数n为1的“”级数，

故答案为：23，；

由题意可得：，

，

，

，

；

假设存在a，b的值，使得a为b的“级”数．，则a为b的“级”数，

则，

，

，

，

，

，b是正整数，

，，

，，

，

这与假设产生矛盾，

不存在a，b的值，使得a为b的“级”数．

根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算或分解因式即可；

根据已知条件中新定义列出关于m的方程，解方程求出m的值即可；

假设存在a，b的值，使得a为b的“级”数，根据新定义列出算式，进行分解因式，然后再根据a，b为正整数，k为自然数，求出的取值，从而判断假设是否成立即可．

本题主要考查了因式分解及其运用，解题关键是理解新定义的含义，熟练掌握几种常见的分解因式的方法．24.【答案】解：证明：，

，

平分，

，

，

，

，

；

解：，

设，则，

，

，

平分，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

如图，

，

，

，

，

，

，

，BE分别平分，，

，，