2025届高三数学一轮复习 指数函数 专项训练

基础课11指数函数

【课时评价・提能】

£基础巩固练

1.若函数y=a2(2-a)x是指数函数，贝ij().

A.a=±lB.a=l

C.a=-1D.a>0,a^l

答案C

解析由条件可知2—a〉0,解得a=-l.故选C.

、2—aWL

_________i

2.函数f(x)="l—3XT+T^的定义域为().

V2X_]

A.(0,1]B.(-oo,1]

C.(0,1)D.(-oo,0)U(0,1]

答案D

解析欲使函数f(X)有意义，须满足除3'T2°,解得已：

所以函数f(x)的定义域为O,0)U(0,1].故虚D.

3.函数f(x)=(g-&)x在R上是().

A.偶函数B.奇函数C.减函数D.增函数

答案C

解析易得f(x)Wf(-x),且f(x)齐f(-x),所以函数岖)=(遮-鱼》是非奇非偶函数.

因为0<V3-V2<L所以函数f(x)=(V^-V^)x在R上是减函数.故选C.

4.若a>l,-l<b<0,则函数y=ax+b的图象一定经过().

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限

答案A

解析因为a>l,-l<b<0,所以函数y=ax+b的大致图象如图所示.故选A.

解析由题意得f(x)="的定义域为R,f(0)=0,排除A,C；

2x+2-x

因为f(-x)=#\=f(x),所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B.故选

Z-x+2A

D.

6.(2024.唐山模拟)已知函数。)夕-()，若f(m)+f(n)>0,贝lj().

A.m+n>0B.m+n<0

C.m-n>0D.m-n<0

答案A

解析因为y=2x在R上单调递增，y=(J在R上单调递减，所以岖)=2、(力

在R上单调递增.又f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以f(x)=2x-2-x为奇函数，所以f(m)+f(n)>0

可转化为f(m)>-f(n)=f(-n),所以m>-n,即m+n>0.故选A.

7.已知在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y(单位：h)与储存温度x(单

位：℃)之间满足函数关系y=ekx+b(e为自然对数的底数，k,b为常数)，若该食品

在0℃时的保鲜时间为120h,在30℃时的保鲜时间为15h,则该食品在20℃

时的保鲜时间为().

A.60hB.40hC.30hD.20h

答案C

120=e)

由题意可得［解得ek=(［)表,b

解析15=e3°K+be=120,所以当x=20时,

y=ek20+b=(ek)20-eb=(-)表、2。*120=30.故选C.

\8，

8.已知@=0.3%b=0.3°-6,c=(|)则a,b,c的大小关系为().

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

答案B

解析因为函数y=0.3x是R上的减函数，且0.5<0.6,所以a>b.

又因为函数y=x8在(0,+oo)上单调递增，且0.3<|,所以a<c.所以b<a<c.故选

B.

。综合提升练

9.(多选题)若当xe［-2,2］时,ax<2(a>0且a^l),则实数a的取值范围可以是(

A.(l,V2)B.(0,巧

C.(f，1)D.(争+s)

答案AC

解析若a>l,则函数y=ax在［-2,2］上单调递增，欲使ax<2,则a2<2,即l<a<V2;

若0<a<l,则函数y=ax在［-2,2］上单调递减，欲使ax<2,则/<2,即曰<a<l.

故实数a的取值范围是(¥，1)U(1,遮).故选AC.

10.(多选题)已知函数f(x)=Wp则().

A.f(x)是R上的减函数

B.f(x)的值域为(①，1］

C.f(x)+f(-x)=l

D.f(x)的图象关于点(0,中心对称

答案ACD

解析因为函数y=2x+l是R上的增函数，所以f(x)是R上的减函数,故A正确;

因为函数y=2x+l的值域为(1,+CO),所以f(x)的值域为(0,1),故B错误；

11nX_

因为f(-x)、F•三匚=/菽，所以f(x)+f(-x)=l,故C正确；

2-x+l/十，1+2X

由C可知f(x)的图象关于点(0,§中心对称，故D正确.

故选ACD.

H.若曲线y=2冈+1与直线y=b没有公共点，则实数b的取值范围是.

答案(。，2)

解析

作出函数丫=2*+1的图象，再利用奇偶性作出曲线y=2冈+1,如图所示，要使该曲

线与直线y=b没有公共点，只需b<2.

12.已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)-g(x)=2x.若对任意的x©[-l,|]

都有不等式mf(x)+g(x)<0成立，则实数m的最大值为.

答案-|

解析易得f(-x)-g(-x)=2-x,

,；f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，，f(x)+g(x)=2-x,

又f(x)-g(x)=2x,.,.f(x)=3且，g(x)=主

当1时，mf(x)+g(x)<0,即m义士生+至2之)，化简得皿2*+2"长2*-尸,

L2」22

V2x+2-x>0,・・・ms上二二min.

V2x+2-xZ

1

令仁2X£产，V2L贝舁=1-2，

1-2」2x+2-xt+1t2+lt2+l

令函数f(t)=l-岛，易得f(t)在《，奁］上单调递增,

当t\时，m<2x2-x)3=(1岛W嗪-|

2x+2-x

故实数m的最大值为-|.

。应用情境练

13.已知函数h(加就鲁,若存在实数XI,X2,…，Xn,其中nez且吟2,使

得h(Xn)=h(Xl)+h(X2)+...+h(Xn-l),则n的最大值为.

答案7

x18

解析由题意得h(X)=l+-：：=1+

2xx+1

e+e+le+ex

因为ex>0,所以ex+5+G2「[工+1=3,当且仅当x=0时，取等号.

ex・ex

18

所以1<1+装百不7，即h(x)的值域为(1，7],

由题意知，存在实数Xi,X2,…，Xn,其中nez且近2,

使得h(Xn)=h(Xl)+h(X2)+...+h(xn-i).

因为h(Xn)G(l,7],且h(xi)>l,h(x2)>l,h(xQ>l,

所以h(x)max=7>h(xn)=h(xi)+h(X2)+...+h(xn.i)>(n-1)-1,Bp(n-1)-1<7,

所以2Wn<8,又nGZ,所以n的最大值为7.

14.已知函数f(x)=l-与a是奇函数，且x@(3b-5,2b).

7X+1

⑴求a,b的值.

(2)证明：f(x)是区间(3b-5,2b)上的减函数.

⑶若f(m-l)+f(2m+l)>0,求实数m的取值范围.

解析⑴因为f(x)=l-高音，xG(3b-5,2b)是奇函数，

所以f(O)=l-|=O,且(3b-5)+2b=0,解得a=2,b=l.

此时f(x)=l-怒,xe(-2,2),经验证f(x)是奇函数.

(2)设任意的Xi,X2G(-2,2),且xi<X2,则

〃、〃12x7X1\(12X7*2\_2X7X1」2X7X2_2(7X2

(X2)一1L7X1+J-：hxz+l1--7X1+17x2+l-(-7xl+1)(7X2+1)*

因为X1<X2,所以7X2>7X1,即7X2-7X1X),

又7Xl+l>0,7X2+l>0,所以f(Xl)-f(X2)>0,

即f(Xl)>f(X2).

故f(x)是区间G2,2)上的减函数.

(3)因为f(m-l)+f(2m+l)>0,所以f(m-l)>-f(2m+l),

因为f(x)是(-2,2)上的奇函数，所以-f(2m+l)=f(-2m-l),

故f(m-l)>f(-2m-l),

又f(x)是区间(-2,2)上的减函数，

m—1<—2m—1,

所以m-1>-2,解得

故实数m的取值范围是(-1,0).

15.已知函数f(x)满足：①Vm,n©R,f(m)f(n)=f(m+n)恒成立；②f(1)=2.

请写出一个符合上述两个条件的函数f(x)：.

答案f(x)=8x(答案不唯一)

解析因为指数函数y=ax(a>0,a^l)对于Vm,n@R,f(m)f(n)=f(m+n)恒成立，

所以不妨设f(x)=ax(a>0,a次1).又f(§=2,所以£=2,解得a=8,故f(x)=8x.(答案

不唯一)

16.若函数y=M(x)对定义域内的每一个值xi,在其定义域内都存在唯一的X2,使

得M(XI)M(X2)=1成立，则称该函数为“Y函数”.

(1)判断定义在[2,3]上的函数f(x)=x+2是否为“Y函数”，并说明理由；

(2)若函数g(x)=2x+1在定义域[m,n](m<0)上是"Y函数"，求m+n的值；

(3)若函数h(x)=ax+r(a>l,且实数r