2024-2025学年北京师大附属实验中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京师大附属实验中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列二次根式中，最简二次根式是(

)A.3 B.23 C.2.下列曲线中，能表示y是x的函数的是(

)A. B.

C. D.3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断∠A=90°的是(

)A.a=3，b=4，c=5 B.a=6，b=5，c=4

C.a=2，b=2，c=2 D.a=14.用配方法解一元二次方程x2−4x+1=0，配方正确的是(

)A.(x−1)2=12 B.(x−2)5.已知A(−2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)三点都在二次函数y=−2(x−1)A.y1<y2<y3 B.6.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=4，OH=2，则菱形ABCD的面积为(

)A.8 B.16 C.24 D.327.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是A.(32−x)(20−x)=32×20−570 B.32x+2×20x=32×20−570

C.(32−2x)(20−x)=570 D.32x+2×20x−28.如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，BC的延长线上，且BE=CF，设AD=a，AE=b，AF=c.给出下面三个结论：①a+b>c；②2ab<c2；③a2+A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.若3−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是

．10.已知函数y=(k−2)x+1，y随x的增大而增大，则实数k的取值范围是____．11.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若OE=3，则CD的长为______．12.直线y=kx+3k−2(k≠0)一定经过一个定点，这个定点的坐标是______．13.2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元.设人均可支配年收入的平均增长率为x，根据题意列出方程得______．14.如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将矩形的一角沿CE向上折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上.若△AEF的周长为12，△CDF的周长为24，则AF的长为______．15.在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式：

s2=(3−x−)2+(3−x−)2+(4−x−)2+(6−x−)2n16.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1.直线y=−x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3.有下列结论：①abc<0；②a−b+c>0；③(am+b)m<a+b(m为任意实数)；④a<−1.其中正确的是______(三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

用适当的方法解关于x的一元二次方程：

(1)(3x+2)2=8；

(2)9x2=6x−1；

(3)218.(本小题8分)

已知：如图，在△ABC中，AB=AC．

求作：以AC为对角线的矩形ADCE．

作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP与BC交于点D；

②以点A为圆心，CD的长为半径画弧；再以点C为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AC的右侧交于点E；

③连接AE，CE．

四边形ADCE为所求的矩形．

(1)根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成以下证明．

证明：∵AE=CD，CE=AD，

∴四边形ADCE为平行四边形(______).(填推理的依据)

由作图可知，

AD平分∠BAC，

又∵AB=AC，

∴AD⊥BC(______).(填推理的依据)

∴∠ADC=90°．

∴平行四边形ADCE是矩形(______).(填推理的依据)19.(本小题8分)

如图，▱ABCD中，∠BAC=90°，E，F分别是BC，AD的中点

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)如果AB=2，BC=4，求四边形AECF的面积．20.(本小题8分)

已知二次函数y=−x2−2x+3．

(1)x…______________________________…y…______________________________…(2)根据图象回答下列问题：

①当y<0时，x的取值范围是______；

②当−3<x<0时，y的取值范围是______．

21.(本小题8分)

在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(4,3)，(−2,0)，且与y轴交于点A．

(1)求该函数的解析式及点A的坐标；

(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．22.(本小题8分)

某专卖店销售山核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可出售100kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天可销售可增加20kg.若该专卖店销售这种山核桃要想平均每天获利2240元，且尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？23.(本小题8分)

为增强居民的反诈骗意识，A，B两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动.现从A，B小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

a.A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)；

b.A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在80≤x<90这一组的是：

84 85 85 86 86 88 89

c.B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如表：分数738182858891929496100人数1323131411根据以上信息，解答下列问题：

(1)补全a中频数分布直方图；

(2)A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是______；B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是______；

(3)为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖品.已知A，B两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．24.(本小题8分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2−1与y轴交于点C．

(1)试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；

(2)将抛物线y=x2−2mx+m2−1沿直线y=−1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D.若m>0，CD=8，求m的值；

(3)已知A(2k,0)，25.(本小题8分)

如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．

(1)计算∠AEF的度数；

(2)如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG.用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明．26.(本小题8分)

在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点Q，给出如下定义：若在直线y=x上存在点P，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点Q为线段AB的“相随点”．

(1)已知，点A(1,3)，B(5,3)．

①在点Q1(1,5)，Q2(−1,3)，Q3(0,4)，Q4(−5,0)中，线段AB的“相随点”是______；

②若点Q为线段AB的“相随点”，连接OQ，BQ，直接写出OQ+BQ的最小值及此时点Q的坐标；

(2)已知点A(−2,3)，点B(2,−1)，正方形CDEF边长为2，且以点(t,1)为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形CDEF上的任意一点，都存在线段AB上的两点

参考答案1.A

2.A

3.C

4.B

5.B

6.B

7.C

8.A

9.x≤3

10.k>2

11.6

12.(−3,−2)

13.6.58(1+x)14.4

15.①③④

16.①④

17.解：(1)(3x+2)2=8，

∴3x+2=±22，

∴x1=−2+223，x2=−2−223；

(2)9x2=6x−1，

9x2−6x+1=0，

(3x−1)2=0，

∴x1=1318.(1)解：图形如图所示：

(2)证明：∵AE=CD，CE=AD，

∴四边形ADCE为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，

由作图可知，

AD平分∠BAC，

又∵AB=AC，

∴AD⊥BC(三线合一)，

∴∠ADC=90°，

∴平行四边形ADCE是矩形(有一个角是90°的平行四边形是矩形)．19.证明：(1)∵在▱ABCD中，

∴BC=AD，BC//AD，

又∵E，F分别是边BC，AD的中点，

∴EC=12BC，AF=12AD，

∴EC=AF，且EC//AF

∴四边形AECF为平行四边形．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是BC边中点，

∴AE=EC，

∴四边形AECF是菱形；

(2)∵∠BAC=90°，AB=2，BC=4，

∴AC=BC2−AB2=23

∴S△ABC=1220.(1)列表：x…−3−2−101…y…03430…描点、连线：

(2)观察图象，①当y<0时，x的取值范围是x<−3或x>1；

②当−3<x<0时，y的取值范围是0<y≤4；21.解：(1)把(4,3)，(−2,0)分别代入y=kx+b得4k+b=3−2k+b=0，

解得k=12b=1，

∴函数解析式为y=12x+1，

当x=0时，y=12x+1=1，

∴A点坐标为(0,1)；

(2)当n≥122.解：设该店应按原售价的x折出售，则每千克的销售利润为(60×0.1x−40)元，平均每天可售出(100+60−60×0.1x2×20)千克，

根据题意得：(60×0.1x−40)(100+60−60×0.1x2×20)=2240，

整理得：9x2−165x+756=0，

解得：x123.(1)由题意可知，A小区“70≤x<80”的频数为：20−1−1−7−9=2，

补全a中频数分布直方图如下：

(2)88.5；94；

(3)920×2000+1020×2000=1900(份)24.解：(1)∵y=x2−2mx+m2−1=(x−m)2−1，

∴抛物线的顶点坐标为(m,−1)；

(2)由对称性可知，点C到直线y=−1的距离为4，

∴OC=3，

∴m2−1=3，

∵m>0，

∴m=2；

(3)∵m=2，

∴抛物线为y=x2−4x+3，

当抛物线经过点A(2k,0)时，k=12或k=32；25.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠ABC=∠DAB=90°，

∴∠D=∠ABF=90°，∠DAE+∠BAE=90°，

∵AE⊥AF，

∴∠EAF=90°，

∴∠BAE+∠BAF=90°，

∴∠DAE=∠BAF，

∴△ADE≌△ABF(ASA)，

∴AF=AE，

∴△AEF是等腰直角三角形

∴∠AEF=45°；

(2)CF=2DG.理由如下：

如图2，取CE的中点M，连接GM，GC，

∵△AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF，

∴G是EF的中点，

∴AG=12EF，

同理，在Rt△EFC中，CG=12EF，

∴AG=CG，

∵AD=CD，DG=DG，

∴△ADG≌△CDG(SSS)，

∴∠ADG=∠CDG，

∵∠ADG+∠CDG=90°，

∴∠ADG=∠ADC=45°；

∴GM为△GEC的中位线，

∴GM//CF，GM=12CF，

∴∠DMG=∠DCB=90°，

在Rt△DGM中，∠GDM=∠ADG=45°，

∴△DMG为等腰三角形，

∴DM=GM，

∴DM2+GM226.(1)①∵点A(l,3)，B(5,3)．

∴AB=5−1=4，

∵四边形ABPQ为平行四边形，

∴AB//PQ，AB=PQ=4，

∵点P在直线y=x上，

∴设P(x,x)，

当Q1(1,5)时，若PQ1//AB，且PQ1=AB，

∴x−1=4，x=5，

∴x=5，

∴P(5,5)符合题意，

∴Q1(1,5)是线段AB的“相随点”；

当Q2(−1,3)时，若PQ2//AB，且PQ2=AB，

∴x−(−1)=4，x=3，

∴x=3，

∴P(3,3)，此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；

当Q3(0,4)时，若PQ3//AB，且PQ3=AB，

∴x−0=4，x=4，

∴x=4，

∴P(4,4)符合题意，

∴Q3(0,4)是线段AB的“相随点”；

当Q4(−5,0