2024年中考数学模拟卷五（含解析）

备战2024年中考数学模拟卷（全国通用）

卷05

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。

4.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过

程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要

求的）

1.四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

2.下列计算正确的是（）

A.x2^x3=x6B.x64-x3=x3

C.X3+X3=2X6D.（-2x）3=-6^3

3.有理数〃，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

ab

-3-2-10123

A.a<-3B.\a\<bC.a+b>0D.\ab\>l

4.有三张正面分别写有数字1,2,-3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取两张,

记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（）

5.如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD=8,过点。作DE_L54交54的延长线于点E,则线段DE的长为（）

E

6.中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几

何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，

问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（）

9x-y=49%—y=4y—9x=4y—9x=4

y—6%=56x-y=5y-6x=56x-y=5

7.如图，点A、B、C、。在。。上,ZC=120°,AB=AD=8,则点。到ED的距离是()

A-#

8.如图，将半径为2,圆心角为120。的扇形绕点A逆时针旋转60°,点、O,B的对应点分别为O',连接88',

则图中阴影部分的面积是（）

A.2^3――B.4A/3——

33

9.如图，在正方形A3CD中，AB=4,AN±DM,则下列结论：①△DAGs^ANB：②5虫〃二S四边形；③连接

MN'DN，若的面积为万，则出的长为5.其中正确的结论是（）

A.①②B.①②③

10.若一个点的坐标满足亿2人），我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于x的二次函数y=（r+l）f+（r+2）x+s

（s，r为常数，rw-1）总有两个不同的倍值点，贝卜的取值范围是（）

A.5<-1B.5<0C.0<5<1D.-1<5<0

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.分解因式：2加.

12.如图，圆的半径是2,扇形BAC的圆心角为60。，若将扇形BAC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的

半径为—.

Ik

13.如图，矩形Q4BC的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上，点。在AB上，且=反比例函数y=j%>0）

的图象经过点D及矩形Q4BC的对称中心跖连接OD,OM,DM.若△COW的面积为2,则左的值为

14.如图①，在正方形ASCZ）中，点尸以每秒2cm的速度从点A出发，沿f的路径运动，到点C停止.过

点、P作PQ〃BD,PQ与边AD（或边8）交于点Q,PQ的长度Am与点尸的运动时间无（秒）的函数图象如

图②所示，当点P运动3.5秒时，P。的长是cm.

15.如图，抛物线y=一4与％轴交于A、B两点，P是以点C（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段

PA的中点，连结OQ.则线段的最小值是.

16.如图，在AABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为.

17.如图，在四边形ABCD中，NBCD=90。,对角线相交于点。.若AB=AC=5,BC=6,ZADB=2NCBD,

则AD的长为.

三、解答题（本大题共8小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18.（6分）计算：

(1)(2024-

a2-9

⑵力

19.(7分)如图，在YA3CD中，AD=12,AB=6.

A

D

BL-----------------fC

（1）用尺规作图法作，AZ5C的平分线@V,交BC于点M,交AB的延长线于点N.（标明字母，保留作图痕迹，

不要求写作法）

（2）在（1）的条件下，求的长.

20.（7分）勤俭节约一直是中华民族的传统美德，某中学校团委准备以“勤俭节约”为主题开展一次演讲比赛，为

此先对同学们每月零花钱的数额进行一些了解，随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个

尚不完整的统计图表.

组别分组（单位：元）人数

A0<x<304

B30<x<60a

C60<x<90b

D90<x<1208

E120<x<1502

根据以上图表，解答下列问题：

（1）填空：这次调查的同学共有人，a+b=,m=；

（2）求扇形统计图中扇形B的圆心角的度数；

（3）该校共有1200名学生，请估计每月零花钱的数额在60女<90范围的人数.

调查结果扇形统计图

21.（8分）如图，堤坝A8长为15m,坡度，为1:0.75,底端入在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶。

处立有高25m的铁塔8.小明欲测量山高。石，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线A3上，又在坝顶8处

测得塔底。的仰角a为26。35<求堤坝高及山高£>E.（sin26O35"045,cos26。35'々0.89,tan26°35'a0.50,

小明身高忽略不计，结果精确到1m）

c

rn

22.(8分)如图在平面直角坐标系中，一次函数，=豆+》的图象经过点A(0,-4)、8(2,0)交反比例函数y=—(x>0)

X

的图象于点C(3,。)，点尸在反比例函数的图象上，横坐标为“(0<〃<3),P。〃y轴交直线A2于点Q,连接Q?、

OQ.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)求△。尸。面积的最大值.

23.(8分)如图，。是ABC的外接圆，点。在8c边上，/3AC的平分线交(。于点。，连接8。、CD,过

点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.

(1)求证：PD是O的切线；

⑵求证：ABDjDCP；

(3)当AB=12,AC=16时，求CO和。P的长.

24.(8分)如图1,在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC=2近，点、D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=^AB,

连接。E.将VAZ组绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为凡

(1)［问题发现］

①当。=0。时，筹BF=；

BF

②当6=180。时，布的值是多少？请给出证明过程.

(2)［拓展研究］

BF

试判断：当0。46<360。时，布的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

(3)［问题解决］

在旋转过程中，8E的最大值是多少？请直接写出答案.

25.(10分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线>=办2+法+。的顶点是A(l,3),将OA绕

点O顺时针旋转90°后得到OB,点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)P是线段AC上一动点，且不与点A,C重合，过点P作平行于x轴的直线，与AOAB的边分别交于M,

N两点，将AAMN以直线MN为对称轴翻折，得到AA为W.

设点P的纵坐标为m.

①当A/VMN在AtMB内部时，求m的取值范围；

②是否存在点P，使若存在，求出满足m的值；若不存在，请说明理由.

备战2024年中考数学模拟卷（全国通用）

卷05

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。

4.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过

程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要

求的）

1.四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的

定义.如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图

形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就

是它的对称中心.根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可.

【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；

故选：D.

2.下列计算正确的是（）

6

A.元2.兀3=%6B.X-i-X3=X3

3

C.+%3=2%6D.（-2%）3=-6x

【答案】B

【分析】根据同底数幕乘法运算法则计算并判定A；根据同底数塞除法运算法则计算并判定B；根据合并同类项法

则计算并判定C；根据积的乘方法则计算并判定D.

【详解】解：A、x2?^3V,故此选项不符合题意；

B、故此选项符合题意；

C、尤3+尤3=2^,故此选项不符合题意；

D、（-2x）3=-8%3,故此选项不符合题意；

故选:B.

3.有理数。，6在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

ab

I■IIII■II»

-3-2-10123

A.a<-3B.\a\<bC.a+b>0D.\ab\>l

【答案】D

【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断各选项的正负，然后比较即可，解题的关键是结合

数轴判断绝对值符号里面代数式的正负和正确理解数轴的特点.

【详解】A、根据数轴可知-3<。<-2,此选项判断错误，不符合题意；

B、根据数轴可知-3<"-2,l<b<2,则同>"此选项判断错误，不符合题意；

C、根据数轴可知-3<。<-2,\<b<2,则。+人<0,此选项判断错误，不符合题意；

D、根据数轴可知—3<a<—2,l<b<2,则|阔>1,此选项判断正确，符合题意；

故选：D.

4.有三张正面分别写有数字1,2,-3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取两张，

记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（）

A.-B.-C.：D.-

3923

【答案】A

【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符号条件的结果数，然后利用概率公式即可得出答案.

【详解】根据题意画图如下：

开始

I2-3

AAA

2-31-312

由树状图知，共有6种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有2种

则记录的两个数字乘积是正数的概率是2:=41

63

故选A.

5.如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD=8,过点。作交54的延长线于点E,则线段OE的长为（）

【答案】C

【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得AC的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长.

【详解】解：如图，设80与AC的交点为0,

,四边形ABCD是菱形，

:.AO^OC,OB=OD=-BD=4,AC1BD,

2

:.OA=-JAB2-OB2=底3=3，

AC=2OA=6,

S菱形ABCD=A3DE=—AC-BD,

故选：c.

6.中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几

何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问

组团人数和物价各是多少？若设无人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（）

f9x—y=4f9x—y-4^y—9x—4fy—9x-4

[y—6元=5-16x-y=5-[y-6尤=5-16x-y=5

【答案】A

【分析】设组团人数为无人，物价为y元，根据等量关系“每人出9元，则多了4元；每人出6元，则少了5元”

列出方程组即可.

【详解】设组团人数为x人，物价为y元，由题意可得，

j9.x—y=4

[y—6x=5

故选A.

7.如图，点A、B、C、。在。。上，NC=120。，AB=AD=8,则点。到比）的距离是（）

C

4L8

A.-V3B.-V3C.3D.4

33

【答案】A

【分析】根据内接四边形得出NA=60。，进而得出△ABD是等边三角形，进而即可求解.

【详解】解：：点A、B、C、。在。上，ZC=120°,

：.ZA=60°,

•；AB=AD=8,

△AB。是等边三角形，

连接03,0D,过点。作于点E,

A

C

：.BE=-BD=4,ZBOE=-ZBOD=ZA=60°,

22

."V3473

..OE=——BE=-----

33

...点。到如的距离是生8,

3

故选：A.

8.如图，将半径为2,圆心角为120。的扇形045绕点A逆时针旋转60°,点O,8的对应点分别为连

接88',则图中阴影部分的面积是（）

A.2^--B.4A/3--C.273-—D.4A/3--

3333

【答案】C

【分析】连接OO',8（7,根据旋转的性质得到/。40，=60。，推出△OAO,是等边三角形，得到乙4。0，=60。，推出△008

是等边三角形，得到NAO5=120。，得到夕=30。，根据图形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：连接。。，BO',

:将半径为2,圆心角为120。的扇形绕点A逆时针旋转60°,

ZOAO'=60°,

...△OA。'是等边三角形，

r

・・・NAOO'=60。，OO=OA9

・••点O,中。。上，

•・・ZAOB=120°,

JZOrOB=60°,

・•・△003是等边三角形,

ZAOrB=n0o

NAO®=120。,

・•・ZBrOrB=120°,

・•・ZO,B,B=ZO,BB,=30°,

・••图中阴影部分的面积二S/3,0,氏(S扇形OOB-SAOOB)

=2g一g

故选：C.

9.如图，在正方形ABCD中，AB^4,AN±DM.则下列结论：①△DASAANB；②5人灰=S四边形BMGN;③连接

MN,DN，若加N的面积为耳，则期的长为5.其中正确的结论是()

A.①②B.①②③C.①③D.②③

【答案】A

【分析】根据正方形的性质得到NZMB=N3=90。，ZADG^ZBAN,即可证明△ZMGSA4VB,进而判断①；证

明出△ABN丝△ZMM(ASA),即可判断②；设AM=BN=x,贝l|BM=CV=4-x,然后由

S^DMN=S正方形ABC。—SAADA?一^^MBN—^^DCN代数求出BN=3或3N=1,然后利用勾股定理求出AN=5或AN=折,

即可判断③.

【详解】提示：；四边形ABCD是正方形，

:.ZDAB=ZB=90°.

AN±DM,即NAGD=90°,

:.ZGAM+ZGAD=90°=ZGAD+ZGDA,

,ZADG=/BAN,

:./\DAG^/\ANB,故①正确；

在/ABN与中，

"/BAN=ZADM

<AB=DA

ZB=ADAM

.△ABN咨ADAM（ASA）,

…S4ADG-S四边形5MGN，故②正确;

设==，贝ijBM=C7V=4—工，

一S&DMN=§正方形A8CD-S/XADM-^MBN~^DCN

=4x4一;x4x-gx（4-x）-；x4（4-x）

1

16-2x—2xH—x9—8+2x

2

1,

=-x—2%+8,

2

113

j—2x+8=—,解得x=3或x=1,

\BN=3或BN=L

AN2=AB2+BN2,

\AN=5或AN=后，故③错误.

故选A.

10.若一个点的坐标满足(匕24)，我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于x的二次函数y=U+l)/+«+2)x+s

(si为常数，，w-1)总有两个不同的倍值点，则$的取值范围是()

A.sv—1B.5<0C.OvsvlD.-l<5<0

【答案】D

【分析】利用“倍值点”的定义得到方程(r+l)/+fx+s=。，则方程的A〉。，可得『一4rs-4s>0,利用对于任意

的实数,总成立，可得不等式的判别式小于0,解不等式可得出$的取值范围.

【详解】解：由“倍值点”的定义可得：2x=a+i)/+a+2)x+S,

整理得，（^+l）x2+tx+s=0

•.•关于X的二次函数y=（f+l）/+a+2）x+s（取为常数，年-1）总有两个不同的倍值点,

\二q—4（/+l）s=产—4/s—4s>0,

•・,对于任意实数s总成立，

:.（4）2-4x（Ts）vO,

整理得，16?+165<0,

**.s2+§v0,

s（s+l）<0,

.p<°J〉。

••[s+l〉（fL[s+l<0，

L<0,

当《1八时，解得T<s<。，

[5+l>0

[s>0

当1八时，此不等式组无解，

[5+1<0

.,.-1<5<0,

故选：D.

二：填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.分解因式：2加2-8〃2=.

【答案】2（m+2n）（m-2n）

【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式2,进而用平方差公式因式分解即可.

【详解】2m2-Sn2=2（m2-4n2）=2（m+2n）（m-2n）,

故答案为：2（m+2n）（m-2n）.

12.如图，圆的半径是2,扇形BAC的圆心角为60°,若将扇形BAC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的

半径为一.

BC

【答案】B

3

【分析】由题意根据圆的半径为2,那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而

求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径二圆锥的弧长+2n进行计算即可求解.

【详解】解：作ODLAC于点D,连接OA,

AZOAD=30°,AC=2AD,

AC=2OAxcos30°=2下,

.“60TTx2^32y/3

••BC=-------------=------7i,

1803

圆锥的底面圆的半径=3叵万+(2万)=立.

33

故答案为：立.

3

1”

13.如图，矩形Q4BC的顶点A,C分别在y轴、入轴的正半轴上，点。在上，且的=745,反比例函数丁二'(4>0)

的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M,连接OD,OM,DM.若△QDM的面积为2,则左的值为.

【答案】I

【分析】由题意知延长则经过点2,设2(〃,9，则确定点然后结合图形及反比例函数

的A的几何意义，得出入。加=5△.-再代入求解即可.

•..四边形ABC。是矩形,

AB=OC,OA=BC,

设点2（。，3，

矩形OABC的对称中心为M,

延长则经过点8,M

AD=-AB

49

qa"/），

3

***BD=—a,

4

过点M作于点M

11313

S/\BDM=—BD'MN=—x—ax—b=——ab

224216

k

・・,反比例函数y=-（k>o）的图象经过点D,

x

:.k=—ab,

4

113

S/\ODM~S4OAB.~S&DBMT7=2

ZZlo

・171737c

・・一ab—abab—2

2816

32

解得：ab=?

._1,_132_8

,•Kz——ab——x———.

4433

故答案为：g.

14.如图①，在正方形A3co中，点尸以每秒2cm的速度从点A出发，沿f的路径运动，到点C停止.过

点尸作PQ〃5O,P。与边AD（或边CD）交于点Q,P。的长度Am与点。的运动时间x（秒）的函数图象如图②

所示，当点尸运动3.5秒时，尸。的长是cm.

【答案】V2

【分析】由题意知，当P运动到B时，尸。最长，PQ=BD,由图象可知，当x=2时，尸。=40,即正方形边长为

4,当x=3.5时，PC=8-2x3.5=l,由，可知△PCQ是等腰直角三角形，CQ=PC=1,由勾股定理得，

PQ=y/CQ2+PC2,计算求解即可.

【详解】解：•••正方形ABC。，

是等腰直角三角形，

由题意知，当P运动到B时，P。最长，PQ=BD,

由图象可知，当x=2时，PQ=40,

，AB=4,

当x=3.5时，PC=8-2x3.5=l,

PQ//BD,

••.△PC。是等腰直角三角形，CQ=PC=1,

由勾股定理得，PQ=^CQ2+PC2=72cm,

故答案为：0.

15.如图，抛物线y=；V-4与％轴交于A、B两点,尸是以点C（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，。是线段

出的中点，连结。。•则线段。。的最小值是.

【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识;

连接PB,根据函数解析式，求8坐标，然后求出BC=5,Q是线段E4的中点，。是线段他的中点，故。。是-ASP

的中位线，当B、C、尸三点共线，且点尸在CB之间时，PB最小，即可求解.

【详解】连接P3,

因为抛物线＞与x轴交于A、B两点，

4

令y=0即32-4=0,

4

解得玉=-4或％=4,

."(-4,0),8(4,0),

..03=4,

C(0,3),

OC-3,

BC=5,

。是线段E4的中点，。是线段钻的中点，

故。。是ABP的中位线，

OQ=^PB,

。。最小，即PB最小,

即8、。、P三点共线，且点尸在CB之间时，M最小,

:.PB=BC-PC=3,

13

OQ=-PB=-,

3

故答案为：—.

16.如图，在aABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为

A

【分析】取AC的中点F,过F作FG_LBC于G,延长FG至E,使EG=FG,连接AE交BC于D,则

FD+AD=AD+DE=AE,此时AD+ED最短，证明此时D为BC的中点，证明CD=2DF,从而可得答案.

【详解】解：如图，ZBAC=90°,ZB=60°,=2,

ZC=30°,BC=4,AC=2"

取AC的中点F,过F作FG_L3C于G,延长FG至E,使EG=FG,连接AE交BC于D,则FD+AD=AD+DE=AE,

此时AD+FD最短，

,ZC=30°,CF=-AC=V3,

2

:.FG=EG=—,CG=~,

22

过A作3c于H,则由LAB・AC=12C・A8,

22

/.AH=5/3,

33

:.BH=1,HG=4-1——=-,

22

AH1BC.FG-LBC,

:.AH//FG

:.\EDG^\ADH,

.EGDG

'AH~DH~29

DG=-,DH=1,

2

:.BD=2,

二。为BC的中点,

:,AD=-BC=2,FD=-AB=1=DE,

22

AD+FD=3,

/.2DF=DC,

2AD+CD=2AD+2DF=2(AD+DF)=6,

即2AD+CD的最小值为6.

故答案为：6.

17.如图，在四边形ABCD中，NBCD=9Q。,对角线AC/。相交于点0.ABAC=5,BC=6,ZADB=2ZCBD,

则的长为.

【分析】过点A作AH，3c于点H,延长AD,BC交于点E,根据等腰三角形性质得出BH=HC==3,根

据勾股定理求出AH=VAC2-CH2=4，证明NCBD=Z.CED，得出DB=DE,根据等腰三角形性质得出CE=3C=6,

证明CD〃AH,得出*=g,求出CD=g,根据勾股定理求出£>E=JCE2+C£>2=、62+(§[=2叵,根据

AHHE3丫⑶3

2历

得唠噜

CD//AH,即_6,求出结果即可.

AD^3

【详解】解：过点A作AH,3c于点打，延长AD,BC交于点E,如图所示:

则4田C=NAHB=90。,

■：AB=AC=5,BC=6,

：.BH=HC=-BC=3,

2

AH=7AC2-CH2=4，

ZADB=ZCBD+ZCED,ZADB=2ZCBD,

:./CBD=/CED,

:.DB=DE,

•・•ZBCD=90°,

：.DC.LBE,

：.CE=BC=6,

：.EH=CE+CH=9,

•:DC上BE,AH±BCf

：.CD//AH,

：・_ECD~EHA,

.CDCE

**AH-HE?

CD6

即Rn——=-,

49

Q

解得：CD=-,

DE=^CE2+CD2=卜+(|]=,

'：CD//AH,

.DECE

••布一乐’

2质

即3_6,

AD-3

解得：AD=叵.

3

故答案为：叵.

3

三、解答题(本大题共8小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.计算

(1)(2024”)。一2一3卜[J；⑵一2-泻；

【答案】(l)V5-ll(2)^f

a-3

【详解】(1)解：原式=1-3+右一9=6一11；

(a+3)(a—3)/—4〃+4—2。+5

(2)原式=

a—2、。一2,

(a+3)(a-3)/—6a+9

a—2、ci—2

(〃+3)(〃-3)a—2

〃-2(〃-3)2

a+3

ci—3

19.如图，在YABCD中，AD=12,AB=6.

⑴用尺规作图法作/ADC的平分线rw,交8C于点交回的延长线于点N.（标明字母，保留作图痕迹，不

要求写作法）

⑵在（1）的条件下，求3N的长.

【答案】（1）见解析

⑵6

【分析】本题考查作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的性质：

（1）以。为圆心画圆弧分别交AD,CD交于一点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接点与D即可得到答

案;

（2）根据平行四边形的性质及角平分线得到△ADN是等腰三角形即可得到答案;

【详解】（1）解：以。为圆心画圆弧分别交A£>,CD交于一点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接点与。

交A5于一点即为N点，如图，DN即为所求,

(2)解：：四边形A3CD是平行四边形,

Z.ABCD,

：.Z.CDM=ZN,

Z)N平分/ADC,

ZADM=ZCDM,

:.ZN=ZADM,

:.AD=AN=12,

：.BN=AN—AB=6.

20.勤俭节约一直是中华民族的传统美德，某中学校团委准备以“勤俭节约”为主题开展一次演讲比赛，为此先对

同学们每月零花钱的数额进行一些了解，随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的

统计图表.

组别分组(单位：元)人数

A0<x<304

B30<x<60a

C60<x<90b

D90<x<1208

E120<x<1502

根据以上图表，解答下列问题：

(1)填空：这次调查的同学共有人，a+b=,m=；

(2)求扇形统计图中扇形B的圆心角的度数；

(3)该校共有1200名学生，请估计每月零花钱的数额在60Wx<90范围的人数.

i班结果扇形统计图

A\SCm%\

【答案】(1)50,36,52；(2)72°；(3)864.

【分析】(1)根据A组的频数是4,对应的百分比是8%,据此求得调查的总人数，利用百分比的意义求得a,然后

求得a的值，m的值；

(2)利用360°乘以对应的比例即可求解；

(3)利用总人数1200乘以对应的比例即可求解.

【详解】解：(1):被调查的同学共有4・8%=50人，

.,.a=50X20%=10,b=50-(4+10+8+2)=26,

则a+b=36,m%=—xl00%=52%,即m=52,

故答案为50、36、52；

(2)扇形统计图中扇形B的圆心角的度数为360°X20%=72°；

(3)估计每月零花钱的数额在60^x<90范围的人数为1200X型箸=864人.

21.如图，堤坝长为15m,坡度i为1:0.75,底端入在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶。处立有高

25m的铁塔CD.小明欲测量山高OE,他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶8处测得塔底。的

仰角。为26。35'.求堤坝高及山高DE.(sin26。35'。0.45,cos26°35,«0.89,tan26035,-0.50,小明身高忽略不

计，结果精确到1m)

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过8作于H，设BH=4x,AH=3x,根据勾股定理

得到AB=VAH2+BH2=5x=15,求得AH=9m,BH=12m,过B作3尸_LCE于F,则EF=BH=12m,BF=EH,

设。尸=a,解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：过3作于“，

.,.设3H=4x,AH=3x,

AB=VAH2+BH2=5x=15，

二.x=3,

：.AH=9m,BH=12m,

过5作于R

则EF=5H=12m,BF=EH,

设=

・・・。=26。35'.

DF

BF=

tan26035f0.5

A£1=（9+2〃）m,

・・•坡度i为1:075,

・,.CE：AE=（25+tz+12）：（9+2a）=1:0.75,

••Ct—15,

ADF=15(米)，

：・DE=DF+EF=12+15=27(米)，

答：山高。石为27米.

22.如图在平面直角坐标系中，一次函数〉=乙+匕的图象经过点A(0,T)、8(2,0)交反比例函数y=—(x>0)的图象

x

于点C(3,a),点P在反比例函数的图象上，横坐标为“(0<"<3),2。〃》轴交直线钻于点。，连接0尸、OQ.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)求△OPQ面积的最大值.

【答案】⑴y=2x-4；y=-

X

(2)△OPQ面积的最大值是4

【分析】(1)由40,-4)、8(2,0)的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，代入y=”(x>0),求得

X

反比例函数解析式；

(2)设点尸卜3)点Q(",2w-4),得出关于PQ与〃的关系式，进而根据三角形面积公式求解，根据二次函数的

性质即可求得最大值.

【详解】(1)解：把A(0,-4)、8(2,0)代入一次函数y=^+b得：

。二一4

2左+6=0

k=2

解得:

b=-49

...一次函数的关系式为y=2x-4,

将点。(3,〃)代入y=2x—4,得Q=2X3—4=2,

・••点C(3⑵，

将点C(3,2)代入y='(x>0),

X

得出m=3x2=6

••.1

X

（2）・・,点尸在反比例函数的图象上，点。在一次函数的图象上，0<〃<3,

设点尸I",，］，点。（几，2〃一4）,

：.PQ=--(2n-4),

n

S/voe=；嘴-(2〃-4)：=-/+2〃+3=_(/_I)2+4,

V-l<0,

，当H=1时，S最大=4,

所以，△OPQ面积的最大值是4.

23.如图，。是，AfiC的外接圆，点。在BC边上，/SAC的平分线交。于点。，连接班）、CD,过点。作8c

的平行线与AC的延长线相交于点P.

DP

⑴求证：PD是。的切线；

⑵求证：ABDs^DCP；

⑶当筋=12,AC=16时，求CD和的长.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

⑶3MDP*

【分析】（1）先判断出N54C=2NBAT>,进而判断出N3OD=NBAC=90。，得出「D_LO。即可得出结论;

(2)先判断出NADB=NP,再判断出NOCF=NABD,即可得出结论；

(3)先求出5C,再判断出5D=CD,利用勾股定理求出比)=CD,最后用,ARDSQCP得出比例式求解即可得

出结论.

【详解】(1)解：如图，连接OD,

BC是。的直径，

AZBAC=90°,

AD平分/B4C,

ZBAC=2ZBAD,

ZBOD=2NBAD,

AZBOD=ZBAC=90°,

DP〃BC,

ZODP=ZBOD=90°,

PD1.OD,

OD是O半径，

•.PD是。的切线；

(2)DP〃BC,

ZACB=NP,

?ACB?ADB,

ZADB=ZP,

ZABD+ZACD=180°,ZACD+ZZ)CP=180°,

NDCP=ZABD,

•.ABD^DCP；

(3)BC是U。的直径，

ZBDC=ZBAC=90。,

在RtABC中，BC=7AB2+AC2=20，

AD平分NB4C,

ZBAD=ZCAD,

・•/BOD=/COD,

BD=CD，

在RtBCD中,BD2+CD2=BC2,

•••BD=CD=—BC=1OA/2,

2

ABDS/DCP,

,ABBD

,,=，

CDCP

/CDE=45。,

CE=DE=—CD=10，

2

根据勾股定理可得:PE=y/cP2-CE2=:.

70

DP=DE+PE=—.

3

24.如图1,在中，ZC=90°,AC=3C=2攻，点。、E分别在边AC、AB上，AD=DE=^AB,连

接DE.将VADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为，.

①当。=0。时，—=；

RF

②当8=180。时，一的值是多少？请给出证明过程.

(2)［拓展研究］

试判断：当0。《。＜360。时，五的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

(3)［问题解决］

在旋转过程中，BE的最大值是多少？请直接写出答案.

【答案】⑴