北师大版高中数学必修第二册知识点

数学知识点汇总

一.三角函数

角度与弧度制

一个圆，弧长和半径相等时所对应的角度是1弧度.弧度和角度的换算关系:

弧度*180/(2*兀)=角度

诱导公式

常用的诱导公式有以下几组：

公式一：

设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2k;i+a)=sina

cos(2k7i+a)=cosa

tan(2k兀+a)=tana

cot(2k?i+a)=cota

公式二：

设a为任意角，兀+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:

sin(71+a)=­sina

cos(兀+a)=­cosa

tan(兀+a)=tana

cot(兀+a)=cota

公式三：

任意角a与-a的三角函数值之间的关系：

sin(—a)=­sina

cos(—a)=cosa

tan(—a)=­tana

cot(—a)=­cota

公式四：

利用公式二和公式三可以得到7i-a与a的三角函数值之间的关系：

sin(7i—a)=sina

cos(K—a)=­cosa

tan(兀—a)=­tana

cot(兀-a)=­cota

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2兀-a与a的三角函数值之间的关系:

sin(2K—a)=—sin.a

cos(2K—a)=cosa

tan(2兀-a)=­tana

cot(2兀-a)=­cota

公式六：

兀/2±a及37i/2±a与a的三角函数值之间的关系:

sin（兀/2+a）==cosa

cos（兀/2+a）=­sina

tan（兀/2+a）==­cota

cot（兀/2+a）==­tana

sin（.7T/2—a）-=cosa

cos（K/2—a）二二sina

tan（兀/2—a）==cota

cot（兀/2-a）=tana

sin（37t/2+a）=­cosa

cos（3兀/2+。）=sina

tan（3兀/2+。）=­cota

cot（37t/2+a）—■tana

sin（3K/2—a）=­cosa

cos（3K/2—a）二­sina

tan（3K/2—a）-cotci

cot（3K/2—a）=tana

（以上k£Z）

函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限

正弦++————

余弦4-————+

正切4-——4-——

余切4-——4-——

三角函数的图像与性质

1.正弦函数

正弦函数的性质：

解析式：y=sinx

正弦函数的图像

波形图像(由单位圆投影到坐标系得出)

值域：［-1,1］最值：①最大值：当x=(?i/2)+2k兀时，y(max)=l②最小值：当x=-(7t/2)+2k7r时,y(min)=-l

零值点：(版,0)

对称性：1）对称轴：关于直线x=（?i/2）+k兀对称2）中心对称：关于点（kn,。）对称周期：2兀

奇偶性：奇函数

单调性：在［-（兀/2）+21＜%,（兀/2）+21™］上是增函数，在［（无/2）+21＜%,（3兀/2）+21™］上是减函数

2余弦函数

余弦函数的性质：

余弦函数图像：

波形图像

定义域：R

值域：［-1,1］

最值：

1）当x=2k?t时,y（max）=l

2）当x=2k%+元时,y（min）=-l

零值点：（兀/2+尿,0）

对称性：

1）对称轴：关于直线x=k?t对称

2）中心对称：关于点（兀/2+1＜私0）对称

周期：2兀

奇偶性：偶函数

单调性：

在兀,2k?t］上是增函数

在［2E,21＜兀+兀］上是减函数

3正切函数

正切函数的性质：

正切函数的图像：

\f\Vr

定义域：{x|x/（K/2）+kn,kGZ}

值域：R

最值：无最大值与最小值

零值点：（k私0）

对称性：

轴对称：无对称轴

中心对称：关于点（k%,。）对称

周期：兀

奇偶性：奇函数

单调性：在（-兀/2+1＜私71/2+1™）上都是增函数

二.平面向量

向量有关概念:

(1)向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不

能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。如已知A(1,2),B(4,2),则把向量按向量=(-

1,3)平移后得到的向量是(答：(3,0))

(2)零向量：长度为。的向量叫零向量，记作：0,注意零向量的方向是任意的；

(3)单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；

(4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

(5)平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作：aMb,规定零向量

和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直

线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平

行向量无传递性！；④三点共线；

(6)相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

坐标表示法

平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由

平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成a,由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)

叫做向量的坐标，记作a=(x,y),其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。

在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向.在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分

别用来表示平面内的各个方向

AB

向量的表示向量的表示，殖向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大

小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点

和终点字母表示.

向量a的大小，也就是向量a的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1

个单位长度的向量，叫做单位向量.

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b、c平行，记作a〃b〃c.。向量长度为零，是起

点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行.

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b.零向量与零向量相等.任意两个

相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

向量的运算

1、向量的加法：

AB+BC=AC

设2=(x,y)b=(x',y')

则a+b=(x+x',y+y')

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质：

交换律：

a+b=b+a

结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的减法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y!)

若a//b

则a=eb

则xy'-xy=0

若a垂直b

则ab=O

贝I]xx'+yy'=O

3、向量的乘法

设2=(x,y)b=(x',y')

a-b(点积)=x-x'+y-y'=|a|-|b|*cos夹角

平面向量的应用

步骤L

在锐角AABC中，设三边为a,b,c。作CHJ_AB垂足为点D

CH=asinB

CH=b-sinA

a-sinB=bsinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在AABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交。O于D.

连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角，所以/DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等，所以/D等于/C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=CD=2R

类似可证其余两个等式。

正弦定理的变形公式

⑴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;

C

a

aA2=bA2+cA2-2*b*c*CosA

bA2=aA2+cA2-2*a*c*CosB

cA2=aA2+bA2-2*a*b*CosC

CosC=(aA2+bA2-cA2)/2ab

CosB=(aA2+cA2-bA2)/2ac

CosA=(cA2+bA2-aA2)/2bc

证明：

•・,如图,有a+b=c

.*.c-c=(a+b)-(a+b)

cA2=a-a+2a-b+b-bcA2=aA2+bA2+2|a||b|Cos(兀-0)

整理得到c八2二a八2+b八2-2|a||b|Cos0(注意：这里用到了三角函数公式)

再拆开，得c八2=a八2+b八2-2*a*b*CosC

同理可证其他，而下面的CosC=(cA2-bA2-aA2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

三.三角恒等变换

同角三角函数间的基本关系式：

平方关系：

sinA2(a)+cosA2(a)=1

tanA2(a)+l=secA2(a)

cotA2(a)+1=cscA2(a)

积的关系：

sina=tana*cosa

cosa=cota*sina

tana=sina*seca

cota=cosa*csca

seca=tana*csca

csca=seca*cota

倒数关系：

tanacota=l

sinacsca=l

cosaseca=l

两角和差公式

两角和与差的三角函数公式

sin(a+P)=sinacosP+c-osasinp

sin(a—P)=sinacosP—cosasinp

cos(a+0)=cosacosp-sinasinp

cos(a—p)=cosacosp+sinasinp

tana+tanp

tan(a+p)=-------------------

1—tanatanp

tana-tan|3

tan(a—p)=-------------------

1+tana-tanp

倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幕缩角公式)

sin2a=2sinacosa

cos2a=cosA2(.a)—sinA2(a)=2cosA2(a)—1=1—2sinA2(a)

2tana

tan2a=----------------

1—tanA2(a)

半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式(降塞扩角公式)

1—cosa

sinA2(a/2)=----------------

2

1+cosa

cosA2(a/2)=----------------

2

1—cosa

tanA2(a/2)=----------------

1+cosa

万能公式

5.万能公式

2tan(a/2)

sina=-------------------

l+tanA2(a/2)

1—tanA2(a/2)

cosa=-------------------

1+tanA2(a/2)

2tan(a/2)

tana=-------------------

1—tanA2(a/2)

四.复数

复数的相等

a+bi=c+di<=>a=c.b=d.(G7?)

复数z=a+Z?i的模(或绝对值)

Iz\=\a+bi\=-Ja2+b2.

复数的四则运算法则

(1)(a+bi)+(c+di)=(tz+c)+(Z?+d)i;

(2)(Q+4)一(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i;

/八/7.、/ac+bdbe-ad.八、

(4)(a+bi)+(c+di)=-----+—：------zz(c+dzw0).

c+dc+d

复数的乘法的运算律

对于任何4/2*3£C,有

交换律：Z]•Z2=Z2•4.

结合律：((

4•Z2)•Z3=4•Z2•Z3).

分酉己律：Zj•(z2+z3)=Zj-Z2+Zj-z3•

复平面上的两点间的距离公式

-石

d=[Z]—z21=y+(%-%)2(Z]=X]+yxi,z2=x2+y2i).

向量的垂直

非零复数马=。+方，Z2=c+dz•对应的向量分别是OZ1,OZ2,贝。

，的实部为零o三为纯虚数o|『=|22

OZ｝QZ,o£•Z24+Z2z,|+1z21

zi一_

22为非零实数).

o|4121=|Z]/+|Z?|o|Zj+z21=|Z1121oac+bd=0o4=Aiz2(X

实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程依2+bx+c=0,

①若A=〃-4ac>0,则无i，=-"扬-4竺;

’2a

A

②若A=Z?2-4ac=0,则％=%=----；

2a

③若A=/—4ac<0,它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轨复数根

2a

五.立体几何初步

1、常见几何体的面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.

圆柱的侧面积S恻=2兀口表面积S=27rr(r+1).

圆锥的侧面积S恻=7irl,表面积S=7tr(r+1).

圆台的侧面积S硼』(r'+r)l,表面积S=7t(r-2+r2+r'l+rl).

球的表面积S=4兀J3

其中r',r分别为上、下底面半径,1为母线长,R为球的半径.

2、常见几何体的体积

柱体的体积V=Sh;

锥体的体积V=3Sh;

1

台体的体积v=3(S'+',-+S)h;

4

球的体积v=，R3.

其中S',S分别为上、下底面面积,h为高,R为球的半径.

3、平面的基本事实

基本事实1:过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.

基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.

4、空间点、直线、平面之间的位置关系

1.空间中直线与直线的位置关系

(拄面吉线|相交宜线:在同一平面内.有且只有一个公共点

1都直绿在所平面内.没有会点

(异面直线:不同在任何一个平面内.没有公共点

2.空间中直线与平面的位置关系

(1)直线在平面内一一有无数个公共点；

(2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点；

(3)直线与平面平行一一没有公共点.

当直