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文档简介
湖南省汨罗第二中学2024-2025学年高三元月联考数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设等差数列的前n项和为,且,,则()A.9 B.12 C. D.2.数列的通项公式为.则“”是“为递增数列”的()条件.A.必要而不充分 B.充要 C.充分而不必要 D.即不充分也不必要3.如图,在中,点为线段上靠近点的三等分点,点为线段上靠近点的三等分点,则()A. B. C. D.4.已知表示两条不同的直线,表示两个不同的平面,且则“”是“”的()条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要5.已知,,分别为内角,,的对边,,,的面积为,则()A. B.4 C.5 D.6.若不相等的非零实数,,成等差数列,且,,成等比数列,则()A. B. C.2 D.7.如图所示点是抛物线的焦点,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围是()A. B. C. D.8.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,三角形AOB的面积为,则p=().A.1 B. C.2 D.39.若函数()的图象过点,则()A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴10.已知向量,则()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()11.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是()A.2 B.3 C.4 D.112.已知三棱锥的外接球半径为2,且球心为线段的中点,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上移动时,的内心的轨迹方程为__________.14.若点为点在平面上的正投影,则记.如图,在棱长为1的正方体中,记平面为,平面为,点是线段上一动点,.给出下列四个结论:①为的重心;②;③当时,平面;④当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的表面积为.其中,所有正确结论的序号是________________.15.已知数列{an}的前n项和为Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,则数列{}前2020项和为_____16.如图,在矩形中,为边的中点,,,分别以、为圆心,为半径作圆弧、(在线段上).由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若点是直线的一点,过点作曲线的切线,切点为,求的最小值.18.(12分)已知(1)当时,判断函数的极值点的个数;(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:.19.(12分)如图,四棱锥中,四边形是矩形,,为正三角形,且平面平面,、分别为、的中点.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,是的中点,平面,且,.()求与平面所成角的正弦.()求二面角的余弦值.21.(12分)已知函数.(1)讨论函数f(x)的极值点的个数;(2)若f(x)有两个极值点证明.22.(10分)2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年,是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年,是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际,学校组织“五四运动100周年”知识竞赛,竞赛的一个环节由10道题目组成,其中6道A类题、4道B类题,参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答,现有甲同学参加该环节的比赛.(1)求甲同学至少抽到2道B类题的概率;(2)若甲同学答对每道A类题的概率都是,答对每道B类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.现已知甲同学恰好抽中2道A类题和1道B类题,用X表示甲同学答对题目的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由,可得以及,而,代入即可得到答案.【详解】设公差为d,则解得,所以.故选:A.本题考查等差数列基本量的计算,考查学生运算求解能力,是一道基础题.2.A【解析】
根据递增数列的特点可知,解得,由此得到若是递增数列,则,根据推出关系可确定结果.【详解】若“是递增数列”,则,即,化简得:,又,,,则是递增数列,是递增数列,“”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选:.本题考查充分条件与必要条件的判断,涉及到根据数列的单调性求解参数范围,属于基础题.3.B【解析】
,将,代入化简即可.【详解】.故选:B.本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算、数乘运算,考查学生的运算能力,是一道中档题.4.B【解析】
根据充分必要条件的概念进行判断.【详解】对于充分性:若,则可以平行,相交,异面,故充分性不成立;若,则可得,必要性成立.故选:B本题主要考查空间中线线,线面,面面的位置关系,以及充要条件的判断,考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题,关键是要弄清楚谁是条件,谁是结论.5.D【解析】
由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出,结合余弦定理即可求出的值.【详解】解:,即,即.,则.,解得.,故选:D.本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面积公式,考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件,得到角的正弦值余弦值.6.A【解析】
由题意,可得,,消去得,可得,继而得到,代入即得解【详解】由,,成等差数列,所以,又,,成等比数列,所以,消去得,所以,解得或,因为,,是不相等的非零实数,所以,此时,所以.故选:A本题考查了等差等比数列的综合应用,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.7.B【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,结合定义表示出;根据抛物线与圆的位置关系和特点,求得点横坐标的取值范围,即可由的周长求得其范围.【详解】抛物线,则焦点,准线方程为,根据抛物线定义可得,圆,圆心为,半径为,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上,总是平行于轴,因而两点不能重合,不能在轴上,则由圆心和半径可知,则的周长为,所以,故选:B.本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用,圆的几何性质应用,属于中档题.8.C【解析】试题分析:抛物线的准线为,双曲线的离心率为2,则,,渐近线方程为,求出交点,,,则;选C考点:1.双曲线的渐近线和离心率;2.抛物线的准线方程;9.A【解析】
根据函数的图像过点,求出,可得,再利用余弦函数的图像与性质,得出结论.【详解】由函数()的图象过点,可得,即,,,故,对于A,由,则,故A正确;对于B,当时,,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,当时,,故D错误;故选:A本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质,需熟记性质与公式,属于基础题.10.D【解析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则,两个向量平行、垂直的性质,得出结论.【详解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐标对应不成比例,故、不平行,故排除A;显然,•3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),显然,和的坐标对应不成比例,故和不平行,故排除C;∴•()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正确,故选:D.本题主要考查两个向量坐标形式的运算,两个向量平行、垂直的性质,属于基础题.11.B【解析】
将问题转化为等比数列问题,最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题,在等比数列中,公比,前项和为,,,求的值.因为,解得,,解得.故选B.本题考查等比数列的实际应用,难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算,对于解决实际问题很有帮助.12.C【解析】
由题可推断出和都是直角三角形,设球心为,要使三棱锥的体积最大,则需满足,结合几何关系和图形即可求解【详解】先画出图形,由球心到各点距离相等可得,,故是直角三角形,设,则有,又,所以,当且仅当时,取最大值4,要使三棱锥体积最大,则需使高,此时,故选:C本题考查由三棱锥外接球半径,半径与球心位置求解锥体体积最值问题,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
考查更为一般的问题:设P为椭圆C:上的动点,为椭圆的两个焦点,为△PF1F2的内心,求点I的轨迹方程.解法一:如图,设内切圆I与F1F2的切点为H,半径为r,且F1H=y,F2H=z,PF1=x+y,PF2=x+z,,则.直线IF1与IF2的斜率之积:,而根据海伦公式,有△PF1F2的面积为因此有.再根据椭圆的斜率积定义,可得I点的轨迹是以F1F2为长轴,离心率e满足的椭圆,其标准方程为.解法二:令,则.三角形PF1F2的面积:,其中r为内切圆的半径,解得.另一方面,由内切圆的性质及焦半径公式得:从而有.消去θ得到点I的轨迹方程为:.本题中:,代入上式可得轨迹方程为:.14.①②③【解析】
①点在平面内的正投影为点,而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直,所以直线垂直于平面,而为正三角形,可得为正三角形的重心,所以①是正确的;②取的中点,连接,则点在平面的正投影在上,记为,而平面平面,所以,所以②正确;③若设,则由可得,然后对应边成比例,可解,所以③正确;④由于,而的面积是定值,所以当点到平面的距离最大时,三棱锥的体积最大,而当点与点重合时,点到平面的距离最大,此时为棱长为的正四面体,其外接球半径,则球,所以④错误.【详解】因为,连接,则有平面平面为正三角形,所以为正三角形的中心,也是的重心,所以①正确;由平面,可知平面平面,记,由,可得平面平面,则,所以②正确;若平面,则,设由得,易得,由,则,由得,,解得,所以③正确;当与重合时,最大,为棱长为的正四面体,其外接球半径,则球,所以④错误.故答案为:①②③此题考查立体几何中的垂直、平行关系,求几何体的体积,考查空间想象能力和推理能力,属于难题.15.【解析】
由已知可得•4Sn﹣n(n+3)=0,可得Sn,n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.可得:2().利用裂项求和方法即可得出.【详解】∵⊥,∴•4Sn﹣n(n+3)=0,∴Sn,n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.,满足上式,.∴2().∴数列{}前2020项和为2(1)=2(1).故答案为:.本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.【解析】由题意,可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成;其中,圆柱的底面半径为1,母线长为2;体积为;两个半球的半径都为1,则两个半球的体积为;则所求几何体的体积为.考点:旋转体的组合体.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),;(2)见解析【解析】
(1)消去t,得直线的普通方程,利用极坐标与普通方程互化公式得曲线的直角坐标方程;(2)判断与圆相离,连接,在中,,即可求解【详解】(1)将的参数方程(为参数)消去参数,得.因为,,所以曲线的直角坐标方程为.(2)由(1)知曲线是以为圆心,3为半径的圆,设圆心为,则圆心到直线的距离,所以与圆相离,且.连接,在中,,所以,,即的最小值为.本题考查参数方程化普通方程,极坐标与普通方程互化,直线与圆的位置关系,是中档题18.(1)没有极值点;(2)证明见解析【解析】
(1)求导可得,再求导可得,则在递增,则,从而在递增,即可判断;(2)转化问题为存在且,使,可得,由(1)可知,即,则,整理可得,则,设,则可整理为,设,利用导函数可得,即可求证.【详解】(1)当时,,,所以在递增,所以,所以在递增,所以函数没有极值点.(2)由题,,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,即存在且,使.由可得,,由(1)可知,可得.,所以,即,下面证明,只需证明:,令,则证,即.设,那么,所以,所以,即本题考查利用导函数求函数的极值点,考查利用导函数解决双变量问题,考查运算能力与推理论证能力.19.(1)见解析;(2)【解析】
(1)取中点,中点,连接,,.设交于,则为的中点,连接.通过证明,证得平面,由此证得平面平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出二面角的余弦值.【详解】(1)取中点,中点,连接,,.设交于,则为的中点,连接.设,则,,∴.由已知,,∴平面,∴.∵,∴,∵,∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)由(1)及已知可得平面,建立如图所示的空间坐标系,设,则,,,,,,,,设平面的法向量为,∴,令得.设平面的法向量为,∴,令得,∴,∴二面角的余弦值为.本小题主要考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.20.(1).(2).【解析】分析:(1)直接建立空间直角坐标系,然后求出面的法向量和已知线的向量,再结合向量的夹角公式求解即可;(2)先分别得出两个面的法向量,然后根据向量交角公式求解即可.详解:()∵是矩形,∴,又∵平面,∴,,即,,两两垂直,∴以为原点,,,分别为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,由,,得,,,,,,则,,,设平面的一个法向量为,则,即,令,得,,∴,∴,故与平面所成角的正弦值为.()由()可得,设平面的一个法向量为,则,即,令,得,,∴,∴,故二面角的余弦值为.点睛:考查空间立体几何的线面角,二面角问题,一般直接建立坐标系,结合向量
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