版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
湖南省汨罗第二中学2024-2025学年高三元月联考数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设等差数列的前n项和为,且,,则()A.9 B.12 C. D.2.数列的通项公式为.则“”是“为递增数列”的()条件.A.必要而不充分 B.充要 C.充分而不必要 D.即不充分也不必要3.如图,在中,点为线段上靠近点的三等分点,点为线段上靠近点的三等分点,则()A. B. C. D.4.已知表示两条不同的直线,表示两个不同的平面,且则“”是“”的()条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要5.已知,,分别为内角,,的对边,,,的面积为,则()A. B.4 C.5 D.6.若不相等的非零实数,,成等差数列,且,,成等比数列,则()A. B. C.2 D.7.如图所示点是抛物线的焦点,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围是()A. B. C. D.8.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,三角形AOB的面积为,则p=().A.1 B. C.2 D.39.若函数()的图象过点,则()A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴10.已知向量,则()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()11.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是()A.2 B.3 C.4 D.112.已知三棱锥的外接球半径为2,且球心为线段的中点,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上移动时,的内心的轨迹方程为__________.14.若点为点在平面上的正投影,则记.如图,在棱长为1的正方体中,记平面为,平面为,点是线段上一动点,.给出下列四个结论:①为的重心;②;③当时,平面;④当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的表面积为.其中,所有正确结论的序号是________________.15.已知数列{an}的前n项和为Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,则数列{}前2020项和为_____16.如图,在矩形中,为边的中点,,,分别以、为圆心,为半径作圆弧、(在线段上).由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若点是直线的一点,过点作曲线的切线,切点为,求的最小值.18.(12分)已知(1)当时,判断函数的极值点的个数;(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:.19.(12分)如图,四棱锥中,四边形是矩形,,为正三角形,且平面平面,、分别为、的中点.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,是的中点,平面,且,.()求与平面所成角的正弦.()求二面角的余弦值.21.(12分)已知函数.(1)讨论函数f(x)的极值点的个数;(2)若f(x)有两个极值点证明.22.(10分)2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年,是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年,是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际,学校组织“五四运动100周年”知识竞赛,竞赛的一个环节由10道题目组成,其中6道A类题、4道B类题,参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答,现有甲同学参加该环节的比赛.(1)求甲同学至少抽到2道B类题的概率;(2)若甲同学答对每道A类题的概率都是,答对每道B类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.现已知甲同学恰好抽中2道A类题和1道B类题,用X表示甲同学答对题目的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由,可得以及,而,代入即可得到答案.【详解】设公差为d,则解得,所以.故选:A.本题考查等差数列基本量的计算,考查学生运算求解能力,是一道基础题.2.A【解析】
根据递增数列的特点可知,解得,由此得到若是递增数列,则,根据推出关系可确定结果.【详解】若“是递增数列”,则,即,化简得:,又,,,则是递增数列,是递增数列,“”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选:.本题考查充分条件与必要条件的判断,涉及到根据数列的单调性求解参数范围,属于基础题.3.B【解析】
,将,代入化简即可.【详解】.故选:B.本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算、数乘运算,考查学生的运算能力,是一道中档题.4.B【解析】
根据充分必要条件的概念进行判断.【详解】对于充分性:若,则可以平行,相交,异面,故充分性不成立;若,则可得,必要性成立.故选:B本题主要考查空间中线线,线面,面面的位置关系,以及充要条件的判断,考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题,关键是要弄清楚谁是条件,谁是结论.5.D【解析】
由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出,结合余弦定理即可求出的值.【详解】解:,即,即.,则.,解得.,故选:D.本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面积公式,考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件,得到角的正弦值余弦值.6.A【解析】
由题意,可得,,消去得,可得,继而得到,代入即得解【详解】由,,成等差数列,所以,又,,成等比数列,所以,消去得,所以,解得或,因为,,是不相等的非零实数,所以,此时,所以.故选:A本题考查了等差等比数列的综合应用,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.7.B【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,结合定义表示出;根据抛物线与圆的位置关系和特点,求得点横坐标的取值范围,即可由的周长求得其范围.【详解】抛物线,则焦点,准线方程为,根据抛物线定义可得,圆,圆心为,半径为,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上,总是平行于轴,因而两点不能重合,不能在轴上,则由圆心和半径可知,则的周长为,所以,故选:B.本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用,圆的几何性质应用,属于中档题.8.C【解析】试题分析:抛物线的准线为,双曲线的离心率为2,则,,渐近线方程为,求出交点,,,则;选C考点:1.双曲线的渐近线和离心率;2.抛物线的准线方程;9.A【解析】
根据函数的图像过点,求出,可得,再利用余弦函数的图像与性质,得出结论.【详解】由函数()的图象过点,可得,即,,,故,对于A,由,则,故A正确;对于B,当时,,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,当时,,故D错误;故选:A本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质,需熟记性质与公式,属于基础题.10.D【解析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则,两个向量平行、垂直的性质,得出结论.【详解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐标对应不成比例,故、不平行,故排除A;显然,•3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),显然,和的坐标对应不成比例,故和不平行,故排除C;∴•()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正确,故选:D.本题主要考查两个向量坐标形式的运算,两个向量平行、垂直的性质,属于基础题.11.B【解析】
将问题转化为等比数列问题,最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题,在等比数列中,公比,前项和为,,,求的值.因为,解得,,解得.故选B.本题考查等比数列的实际应用,难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算,对于解决实际问题很有帮助.12.C【解析】
由题可推断出和都是直角三角形,设球心为,要使三棱锥的体积最大,则需满足,结合几何关系和图形即可求解【详解】先画出图形,由球心到各点距离相等可得,,故是直角三角形,设,则有,又,所以,当且仅当时,取最大值4,要使三棱锥体积最大,则需使高,此时,故选:C本题考查由三棱锥外接球半径,半径与球心位置求解锥体体积最值问题,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
考查更为一般的问题:设P为椭圆C:上的动点,为椭圆的两个焦点,为△PF1F2的内心,求点I的轨迹方程.解法一:如图,设内切圆I与F1F2的切点为H,半径为r,且F1H=y,F2H=z,PF1=x+y,PF2=x+z,,则.直线IF1与IF2的斜率之积:,而根据海伦公式,有△PF1F2的面积为因此有.再根据椭圆的斜率积定义,可得I点的轨迹是以F1F2为长轴,离心率e满足的椭圆,其标准方程为.解法二:令,则.三角形PF1F2的面积:,其中r为内切圆的半径,解得.另一方面,由内切圆的性质及焦半径公式得:从而有.消去θ得到点I的轨迹方程为:.本题中:,代入上式可得轨迹方程为:.14.①②③【解析】
①点在平面内的正投影为点,而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直,所以直线垂直于平面,而为正三角形,可得为正三角形的重心,所以①是正确的;②取的中点,连接,则点在平面的正投影在上,记为,而平面平面,所以,所以②正确;③若设,则由可得,然后对应边成比例,可解,所以③正确;④由于,而的面积是定值,所以当点到平面的距离最大时,三棱锥的体积最大,而当点与点重合时,点到平面的距离最大,此时为棱长为的正四面体,其外接球半径,则球,所以④错误.【详解】因为,连接,则有平面平面为正三角形,所以为正三角形的中心,也是的重心,所以①正确;由平面,可知平面平面,记,由,可得平面平面,则,所以②正确;若平面,则,设由得,易得,由,则,由得,,解得,所以③正确;当与重合时,最大,为棱长为的正四面体,其外接球半径,则球,所以④错误.故答案为:①②③此题考查立体几何中的垂直、平行关系,求几何体的体积,考查空间想象能力和推理能力,属于难题.15.【解析】
由已知可得•4Sn﹣n(n+3)=0,可得Sn,n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.可得:2().利用裂项求和方法即可得出.【详解】∵⊥,∴•4Sn﹣n(n+3)=0,∴Sn,n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.,满足上式,.∴2().∴数列{}前2020项和为2(1)=2(1).故答案为:.本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.【解析】由题意,可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成;其中,圆柱的底面半径为1,母线长为2;体积为;两个半球的半径都为1,则两个半球的体积为;则所求几何体的体积为.考点:旋转体的组合体.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),;(2)见解析【解析】
(1)消去t,得直线的普通方程,利用极坐标与普通方程互化公式得曲线的直角坐标方程;(2)判断与圆相离,连接,在中,,即可求解【详解】(1)将的参数方程(为参数)消去参数,得.因为,,所以曲线的直角坐标方程为.(2)由(1)知曲线是以为圆心,3为半径的圆,设圆心为,则圆心到直线的距离,所以与圆相离,且.连接,在中,,所以,,即的最小值为.本题考查参数方程化普通方程,极坐标与普通方程互化,直线与圆的位置关系,是中档题18.(1)没有极值点;(2)证明见解析【解析】
(1)求导可得,再求导可得,则在递增,则,从而在递增,即可判断;(2)转化问题为存在且,使,可得,由(1)可知,即,则,整理可得,则,设,则可整理为,设,利用导函数可得,即可求证.【详解】(1)当时,,,所以在递增,所以,所以在递增,所以函数没有极值点.(2)由题,,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,即存在且,使.由可得,,由(1)可知,可得.,所以,即,下面证明,只需证明:,令,则证,即.设,那么,所以,所以,即本题考查利用导函数求函数的极值点,考查利用导函数解决双变量问题,考查运算能力与推理论证能力.19.(1)见解析;(2)【解析】
(1)取中点,中点,连接,,.设交于,则为的中点,连接.通过证明,证得平面,由此证得平面平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出二面角的余弦值.【详解】(1)取中点,中点,连接,,.设交于,则为的中点,连接.设,则,,∴.由已知,,∴平面,∴.∵,∴,∵,∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)由(1)及已知可得平面,建立如图所示的空间坐标系,设,则,,,,,,,,设平面的法向量为,∴,令得.设平面的法向量为,∴,令得,∴,∴二面角的余弦值为.本小题主要考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.20.(1).(2).【解析】分析:(1)直接建立空间直角坐标系,然后求出面的法向量和已知线的向量,再结合向量的夹角公式求解即可;(2)先分别得出两个面的法向量,然后根据向量交角公式求解即可.详解:()∵是矩形,∴,又∵平面,∴,,即,,两两垂直,∴以为原点,,,分别为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,由,,得,,,,,,则,,,设平面的一个法向量为,则,即,令,得,,∴,∴,故与平面所成角的正弦值为.()由()可得,设平面的一个法向量为,则,即,令,得,,∴,∴,故二面角的余弦值为.点睛:考查空间立体几何的线面角,二面角问题,一般直接建立坐标系,结合向量
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 重庆财经学院《形势与政策》2021-2022学年第一学期期末试卷
- 重庆三峡学院《机械制造技术基础》2021-2022学年第一学期期末试卷
- 重庆人文科技学院《中学思想政治教育课堂教学技能训练》2022-2023学年第一学期期末试卷
- 重庆人文科技学院《女性文学研读》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 重庆人文科技学院《计算机辅助制造实训》2023-2024学年期末试卷
- 2021年新教材高中数学第8章 学案新人教A版必修第二册
- 重庆财经学院《神经网络与深度学习综合实践》2023-2024学年期末试卷
- 重庆财经学院《冷链物流》2021-2022学年第一学期期末试卷
- 茶厂管理措施方案
- 策划活动流程问题研究报告
- 《线性代数》课后习题答案
- 许可证有效期内的辐射安全防护工作总结
- 教学设计 《寻找时传祥》
- 农村生活污水处理设施运行维护费用指导价格指南(示范文本)
- 凸透镜成像规律动画可拖动最佳版swf
- 贷款还款计划书范文6篇(6篇)
- 如何培养孩子的自信心课件
- 肌内效贴技术课件
- 幼儿园中班社会教育认识蒙古族课件
- 民族融合专题课件
- 数学教师的专业发展-课件
评论
0/150
提交评论