2021年新教材高中数学第8章 学案新人教A版必修第二册

第八章立体几何初步

8.1基本立体图形

第1课时棱柱、棱锥、棱台

［目标］1.记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征；2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的

关系；3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题.

［重点］棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征.

［难点］棱柱、棱锥、棱台之间关系的理解.

要点整合夯基础

知识点一空间几何体

［填一填1

1.空间几何体的定义

空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的续和大小，而不考虑

其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.

2.空间几何体的分类

(1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个钮彪

叫做多面体的面：两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共息叫做多面体的顶点.

(2)旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定亘线旋转所形成的曲面

叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做施技体，这条定直线叫做旋转体的轴.

［答一答］

I.多面体与旋转体的主要区别是什么？

提示：多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的

几何体.

2.多面体最少有几个面，几个顶点，几条棱？

提示：多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱.

知识点二棱柱的结构特征

［填一填］

I.有两个面互相亚，其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相

平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面,

它们是全等的多边形:其余各面叫做棱柱的侧向,它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边

叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的项息.

2.一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直援挂，侧棱不垂直于底面的棱柱叫

做斜棱柱,底面是正多边形的直多柱叫做正棱柱,底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六

面体.

［答一答］

3.棱柱的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面的关系是怎样

的？

提示：根据棱柱的定义，棱柱的各侧棱互相平行，恻面是平行四边形，两个底面是全

等的多边形.

4.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？

提示：不一定，因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于"相邻两个四边形的公

共边都互相平行”，如图所示.

知识点三棱锥的结构特征

［填一填］

有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面

体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的恻面:

相邻侧面的公共边叫做棱锥的鲤陵；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.底面是正多边形,

并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正技筵.

［答一答］

5.棱锥的侧面是什么样的多边形？有什么特征？

提示：根据棱锥的定义，棱锥的侧面一定是三角形，且各个三角形有公共顶点.

6.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？

提示：不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共

顶点的三角形”，如图所示.

知识点四棱台的结构特征

［填一填］

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做

棱台.在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的上底面和上底面.

I答一答I

7.桂台的各侧槌是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？

提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形.

8.观察下面的几何体，思考问题：

图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到核台吗？

提示：题图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点.不一定，题图②中只有用平

行于底面的平面去截才能得到棱台.

典例讲练破题型

类型一棱柱的结构特征

［例1］下列关于棱柱的说法：

(1)所有的面都是平行四边形；

(2)每一个面都不会是三角形；

(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；

(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.

其中正确说法的序号是.

［分析］根据棱柱的结构特怎进行判断.

［解析］(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；

(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；

(3)正确，由棱柱的定义易知；

(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.

所以说法正确的序号是(3)(4).

［答案］(3)(4)

通法提炼

棱柱的结构特征：(1)有两个面互相平行；(2)其余各面是四边形；(3)相邻两个四边形

的公共边都互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特

征.

［变式训练1］如图，已知长方体ABCD-A1BCQ1.

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果

是，是几棱柱？如果不是，请说明理由.

解：(1)是棱柱，并且是四棱柱.因为以长方体相对的两个面作为底面，则底面都是四

边形，其余各面都是矩彩，矩彩当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行.

(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEB「CFC|,其中4BEB］和△CFC1是

底面.

城面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA「DCFDi,其中四边形ABEA1和

四边形DCFD1是底面.

类型二棱锥、棱台的结构特征

［例2］(1)下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；

②棱锥的侧面只能是三角形；

③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

其中正确说法的序号是.

(2)如图，在三棱台A'8'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是()

A.三棱锥B.四棱锥

C.三棱柱D.三棱台

［分析］根据棱锥、棱台的结构特征进行判断.

［解析］

(1)①正确，棱台的侧面都是梯形.

②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.

③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.

④错误，如图所示，四棱锥被平面极成的两部分都是棱锥.

(2)由题图知，在三棱台A'B'C'-ABC中，城去三棱维A'・ABC,剩下的部分如

图所示，故剩余部分是四棱般A'-BB'CC.故选区

［答案］⑴①②③(2)B

通法提炼

判断棱锥、棱台形状的两个方法

(I)举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.

(2)直接法：

棱锥棱台

定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

［变式训练2］下列特征不是棱台必须具有的是（C）

A.两底面平行

B.侧面都是梯形

C.侧棱长都相等

D.侧棱延长后相交于一点

解析：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台，A,B,D

正确，选C.

课堂达标练经典

I.有两个血平行的多曲体不可能是（B）

A.棱柱B.棱锥

C.棱台D.长方体

解析：棱锥的任意两个面都相交，不可能有两个面平行，所以不可能是棱锥.

2.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（B）

A.棱柱的侧棱长都相等

B.四棱锥有五个顶点

C.三棱台的上、下底面是相似三角形

D.有的棱台的侧棱长都相等

解析：根据枝锥顶点的定义可知，四棱锥只有一个顶点，故B不正确.

3.下列几何体中，①®④是棱柱,⑥是棱锥，⑤是棱台（仅填相应序号）.

解析：结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.

4.一个棱台至少有&个面，面数最少的棱台有2个顶点，有£条棱.

解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱.

5.如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成，有几个面、几个

顶点、几条棱?

S]

解：这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的

正三角形；有6个顶点；有】2条棱.

(5—«

.课堂小结

——本课须掌握的四大问题

1.对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：

(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面.

(2)多面体是一个“封闭”的几何体.

2.对于棱柱的定义注意以下三个方面：

(1)有两个面互相平行，各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形.

(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱.

(3)从运动的观点看，棱柱可以看成是一个平面多边形，从一个位置沿一条不与其共面

的直线运动到另一位置时，形成的几何体.

3.对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,

必须强调其余各面是共顶点的三角形.

4.棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.

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柱、锥、台结构特征判断中的误区

*3开讲啦(1)解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而

不注意逻辑推理.

(2)解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断.

I典例]如图所示，几何体的正确说法的序号为.

（1）这是一个六面体；（2）这是一个四棱台；（3）这是一个四棱柱；（4）此几何体可由三棱

柱截去一个小三棱柱得到；（5）此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.

［解析］（1）正确，因为有六个面，属于六面体的范围；（2）错误，因为侧棱的延长线不

能交于一点，所以不正确：（3）正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；（4）（5）都正

确，如图①②所示.

图①图②

［答案］（1）⑶（4）（5）

［对应训练］如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜

后水槽中的水形成的儿何体是（A）

A.棱柱B.棱台

C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定

解析：符合棱柱的定义.

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体

［目标］1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征；2.能用圆柱、圆锥、

圆台的定义及结构特征解答一些相关问题；3.了解组合体的概念.

［重点］圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征.

［难点］圆柱、圆锥、圆台之间关系的理解.

要点整合夯基础

知识点一圆柱

［填一填］

1.以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫

做圆柱.

2.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴

的边旋转而成的曲面叫做圆柱的刨面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面

的母线.

3.棱柱和圆柱统称为柱体.

［答一答］

1.(1)在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？

(2)在圆柱中，过轴的截面是轴截面，圆柱的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要

的量？

(3)圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？

提示：(。圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形，

(2)圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面直径与圆柱的母线.

(3)不一定.圆柱的母线与轴是平行的.

知识点二圆锥

［填一填］

1.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所困

成的旋转佟叫做圆锥.

2.棱锥与圆锥统称为锥体.

［答一答］

2.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都

s

sr

是圆锥吗？

提示：不是.当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体

不是圆锥，如图所示，它是由两个同底面圆锥组成的几何体.

知识点三圆台

［填一填］

I.用班于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

2.棱食与小统称为台体.

I答一答I

3.类比圆柱、圆锥的形成过程，圆台可以由平面图形旋转而成吗？

提示：(1)圆台可以看作是直角梯形以垂直底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋

转一周而成的曲面所围成的几何依.

(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其两底边的中点连线为轴，各边旋转半周形成的曲面

所围成的几何体.

知识点四球

［填一填］

生圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做毯面，球面所围成的旋

转体叫做球体,简称球.半圆的圆心叫做球的球心:连接球心和球面上任意一点的线段叫做

球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.

［答一答］

4.半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？它与球有区别吗？

提示：半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面.球面是一曲面，它只能度量

面积而不能度量体积；球是由球面围成的几何体，它不仅可以度量球的表面积，还可以度量

其体积.

5.用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？

提示：不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部.

知识点五简单组合体的结构特征

［填一填］

I.定义：由简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体.

2.简单组合体构成的两种基本形式

由简单几何体拼接而成:

简单组合体，

由简单几何体截去或挖去一部分而成.

I答一答I

6.组合体的形式有哪些？

提示：(1)多面体与多面体的组合体.

(2)旋转体与旋转体的组合体.

(3)多面体与旋转体的组合体.

典例讲练破题型

类型一旋转体的结构特征

［例IJ下列命题正确的是.

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线：

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围

成的几何体是圆锥；

⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；

⑦球面上任意三点可能在一条直线上；

⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

［分析］准确理解旋转体的定义，在此基础上掌握各旋转体的性质，才能更好地把握

它们的结构特征，以作出准确的判断.

［解析］①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥，故①错误；②

圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的线段，且这条坡段与轴平行，故②错

误；③它们的底面为圆面，故③错误；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四

点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定

不共线，故⑦错误：用一个平面去板球，一定截,得一个圆面，故⑧正确.

［答案］④⑥⑧

通法提炼

简单旋转体判断问题的解题策略,(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其

特征性质是解决此类概念问题的关键.,(2)解题时要注意两个明确：，①明确由哪个平面图形旋

转而成；，②明确旋转轴是哪条直线.

［变式训练1J下列命题：①任意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面

圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点

的连线是圆台的母线，其中正确的是(O)

A.B.®®C.D.②

解析：过圆柱两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错误；圆台的母线不

是上底面和下底面上任意两点的连线，③错误；由圆锥母线的定义知②正确，故选D.

类型二旋转体的有关计算

命题视角1：圆柱、圆锥、圆台的计算问题

［例2］已知一个圆台的母线长为12cm,两底面的面积分别为4乃°52和25乃。疗，求:

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长.

［分析］在解答有关台体的问题时，一般要把台体还原成锥体，这就是常应用的“还

台为锥”的思想，不仅在作图时应用，而且在计算时也常应用此思想寻求元素间的关系，以

便解决问题.

［解］(1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示).

S

由题意可得上底的一半O|A=2c/n,下底的一半0B=5an,腰长AB=12cm,所以

圆台的高AM=^/122-(5-2)2=3V15(cm).

(2)如图，延长BA,00),CD,交于点S,设极得此圆台的圆锥的母线长为law,

1—122

则由△SAO］S/\SBO,得—j-=予

解得1=20.

故我得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

通法提炼

旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.

对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法.

［变式训练2］如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、

卜底面的面积之比为116,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台O'O的母线长.

解：设圆台的母线长为1cm,由截得圆台上、下底面面积之比为116,可设截得圆

台的上、下底面的

半径分别为r、4r.过轴SO作截面,

如图所示.则△SO'A'^ASOA,SA'=3cm.

.SA，_O,A，.3_r_l

-SA=0A'•，3+i=4r=4-

解得1=9.

即圆台的母线长为9cm.

命题视角2：球的截面问题

［例3］已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12%和16兀，求这两个截面

间的距离.

［分析］画出球的截面图，球心与极面圆心连线垂直于截面所在的平面，构造直角三

角形解决.对于球的两个平行截面要注意讨论它们在球心同侧还是异侧，否则容易漏解.

［解］设球的大圆为圆O,C,D两点为两截面圆的圆心，AB为经过C,0,D三点

的直径且两截面圆的半径分别是6和8.

(1)(2)

当两截面在球心同侧时，如图(1),此时CD=OC-OD=，5匹市一45Pzz5诺=8

-6=2.

当两极面在球心两侧时，如图(2),此时CD=OC+OD=，6匹记+而产东=8

+6=14.

故两极面间的距离为2或14.

通法提炼

利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.

［变式训练3］一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为不，则球的直径为

2y［2.

解析：设球心到平面的距离为d,极面圆的半径为r,则一=元,Ar=l,

设球的半径为R,则R=^/d2+r2=V2,故球的直径为

类型三简单组合体

命题视角1：简单组合体的结构特征

［例4］(1)如图①所示的物体为燕尾槽工件，请说明该物体是1±哪些几何体构成的.

(2)指出图②中三个几何体的主要结构特征.

［分析］由多面体和旋转体的结构特征进行判断.

［解］(1)题图①中的几何体可以看作是一个长方体割去一个四枝柱所得的几何体，也

可以看成是一个长方体与两个四棱柱组合而成的几何体(如图所示).

5可/

补上两个

四棱柱四棱柱

(2)(A)中的几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余部分组合而成，其中圆柱内切于

三棱柱.

(8)中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱后剩余部分组合而成，其中四棱柱内接于圆

锥.

(C)中的几何体由一个球挖去一个三棱锥后剩余部分组合而成.其中三棱锥内接于球.

通法提炼

会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，我们应注意观察周围的物体，然后将

它们“分拆”成几个简单的几何低，进而培养我们的空间想象能力和识图能力.

［变式训练4］如图，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的？

解：如图所示，由一个圆锥0Q5，一个圆柱。3。4及一个圆台。1。3中挖去圆锥

组成的.

Os

命题视角2:与球有关的“切”与“接”问题

［例5］已知正方体的棱长为a,分别求出它的内切球及与各棱都相切的球的半径.

［分析I解决此题的关键是找准轴截面，建立半径与棱长的关系.

［解］（1）正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对

两面的中心且与棱平行的截面，则球的一个大圆是其正方形截面的内切圆，如图（1）所示，

设球的半径为Ri,易得R|=/

（2）与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点，故应作出经

过正方体一组平行棱中点的极面，则球的轴极面是其正方形截面的外接圆，如图Q）所示，

设球的半径为R2,易求得球的半径R2=^a.

通法提炼

组合体问题应分清各部分之间是如何组合起来的，以便转化为平面图形进行计算.正

方体的内切球直径等于正方体的棱长；外接球直径等于其体对角线的长；球与正方体各棱都

相切，则球的直径等于正方体面对角线的长.

［变式训练5］正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的

图形是（C）

解析：正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心，所以过一条侧棱和

高的横面必过该棱所对面的高线，故C正确.

课堂达标练经典

I.下列说法正确的是（C）

A.用一平面去截圆台，截面一定是圆面

B.通过圆台侧面上一点，有无数条母线

C.圆台的任意两条母线延长后相交于同一点

D.圆锥的母线可能平行

解析：对于A,用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，横面不是圆面；对于B,

通过圆台侧面上一点，只有一条母线：对于D,圆锥的母线延长后交于顶点，因此不可能平

行.

2.下图中的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点

的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是(D)

A.(1)(2)

C.(1)(4)D.(1)(5)

解析：由题图得当微面过旋转轴时，嵌面图形是(1);当我面不过旋转轴时，城面图形

是(5),故选D

3.已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高h=3.

解析：如图，•・•圆锥的底面直径AB=8,

又：SA=5,

・••圆锥的高h=SO=^52-42=3.

4.下列说法正确的是②③④.(填序号)

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②矩形任意一条边所在的直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱；

③半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；

④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

解析：①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②③④正

确.

5.已知圆锥底面半径r=lC7",母线I=6c〃?，现有一只蚂蚁，从圆锥底面圆周上的

点A沿侧面爬一周后又回到点A,求它至少要爬的路程.

解：如图，将圆锥侧面沿母线PA展开，所得扇形的圆心角吟

连接AA',则AA'的长度就是蚂蚁爬的最短距离.

因为AAA'P是等边三角形，

所以AA'=AP=6cm,

即蚂蚁至少要爬6cm.

课堂小结

本课须掌握的四大问题

I.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.

上底缩小

上底扩大至：顶点拓展为

与下底面全等k二：与底面平行

但不全等的

上底面

2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.

3.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几

何平面化的思想.

4.简单组合体的构成有两种基本形式：一种是拼接而成；一种是由简单几何体截去

或挖去一部分而成.具体可以分为以下三类：

(1)多面体与多面体的组合

由两个或两个以上的多面体组合而成，如图(1)是一个正方体截去一个三棱锥的组合

体.

(2)多面体与旋转体的组合

由多面体和旋转体组合而成，如图Q)是一个六棱柱与一个圆柱的组合体.

(3)旋转体与旋转体的组合

由两个或两个以上的旋转体组合而成，如图(3)是一个圆柱挖去一个圆锥的组合体.

8.2立体图形的直观图

［目标］1.掌握斜二测画法的步躲；2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图

形的直观图.

［重点］用斜二测画法画简单的平面图形与几何体的直观图.

［难点］用斜二测画法画简单的平面图形与几何体的直观图.

要点整合夯基础

1.画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和)，轴，两轴相交于点0.画直观图时，把

它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交于点0',且使0')，'=45。(或135。),它

们确定的平面表示水壬面.

2.画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于/轴或

y'轴的线段.

3.取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变,平行于y

轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.

［答一答］

1.斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？

提示：“斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与/

轴成45。或135。：“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于/轴的线段长度不

变；平行于＜轴的线段长度变为原来的一半.

2.相等的角或线段在直观图中仍然相等吗？

提示：不一定相等，如正方形的边长和内角分别相等，但是它的直观图是平行四边形，

相邻两边边长不相等，相邻两内角也不相等.

知识点二空间几何体直观图的画法

［填一填］

1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个二轴.

2.画平面：平面xOy表示水平平面,平面yOz和xOz表示竖直平面.

3.取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度

都不变.

4.成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.

I答一答］

3.画直观图时，如何区别实线和虚线？

提示：直观图是一个平面图形，我们用它表示空间图形，为了增强空间感，画图要分

实线和虚线，其中被面挡住的部分要画成虚线.看得见的部分要画成实线.

4.空间几何体的直观图唯一吗？

提示：不唯一.作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同.

典例讲练破题型

类型一水平放置的平面图形直观图的画法

［例I］如图所示，梯形ABCD中，AB〃CD,AB=4cm,CD=2cm,ZDAB=30°,

AD=3cm,试画出它的直观图.

［分析］以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系.只需确定四个顶

点A,B,C,D在直观图中的相应点即可.

［解］画法步骤：

(1)如图甲所示，在梯形A8CO中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平

面直角坐标系xOy.如图乙所示，面出对应的『轴，y'轴，使Nx'O'y'=45°.

丙

(2)在图甲中，过。点作。及Lx轴，垂足为E.在/轴上取A'B'=AB=4cm,A'E'

=AE=¥勺2.598(cm);过点E'作E'O'//y1轴，使E'O'=^ED=1X|=0.75(cm),

再过点O'作O'CHx'轴，且使O'C=DC=2cm.

(3)连接4'D：B，C‘，并擦去f轴与y'轴及其他一些辅助线，如图丙所示，

则四边形4'B'CD'就是所求作的直观图.

通法提炼

在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键，一般要使

得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线

点；原图中的共点线，在直观图口仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.

本题中，关键在于点。'的位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E的对

应点E',再去确定的位置.

［变式训练1］画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图.

解：(1)如图①所示，以边所在直线为x轴，以边上的高线AO所在直线为y

轴，再画对应的/轴与y轴，两轴相交于点O',使O'y'=45°,如图②所示.

1yK

(2)在一轴上极取O'B'=。'C=0.5cm,在4轴上截取。'A'=那。=当

cm,连接A'8'、A'C',则△/!'B'C即为正三角形ABC的直观图.

(3)擦去％'、yr轴得直观图B'C,如图③所示.

类型二画空间几何体的直观图

［例2］用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体

ABCD-A'B'CD'的直观图.

［分析］利用画轴、画底面、画侧棱、成图进行作图.

［解］(1)画轴.如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O,使/x0y=45°,

ZxOz=90°.

(2)画底面.以点0为中心，在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在)，轴上取线段PQ,

使PQ=；cm,分别过点M和点N作)，轴的平行线，过点P和Q作工轴的平行线，设它们

的交点分别为A、B、C、D,四边形ABC。就是长方体的底面A8CD

(3)画侧棱.过A、8、C、。各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2

cm长的线段A4'、BB'、CC、DD'.

(4)成图.顺次连接A'、"、C'、O',并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改

为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②).

通法提炼

(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴.此外，坐标系

的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；

(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以

便可以又快又准的画出.

[变式训练2]一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底

面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm,高为4cm,圆锥的高为3cm,画出此几

何体的直观图.

图1图2

解：(1)画轴，如图1所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O,使Nx0y=45°,

ZxOz=90°.

(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使48的长度等于3cm,且。4=。8.选

择椭圆模板中适当的椭圆过4、8两点，使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O',使。0'

=4cm,过。'作Qr,Oy的平行线O'/，O'y',类似圆柱下底面的作法作出圆柱的

上底面.

(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使P0'等于圆锥的高3cm.

(4)成图.连接A'4、B'B、PA'、PB',擦掉辅助线，将其被遮挡的线改为虚线,

整理得到此几何体的直观图.如图2所示.

类型三由直观图还原成原图

［例3］如图所示，梯形Ai&GS是一平面图形A8CO的直观图.若A5〃。'y',

2

AB|=1CNi=2,4。］=0'1.求原四边形ABCO的面积.

［分析］利用斜二测画法的法则得到原图和直观图的关系.

［解］如图，建立平面直角坐标系X。)，，在x轴上截取0。=0'2=1,OC=O'G

在过点D的1y轴的平行线上截取DA=2D|A)=2.

在过点A的x轴的平行线上横取4?=4归1=2.连接BC,即得到了原图形(如图).

由作法可知，原四边形ABCO是直角梯形，上、下底长度分别为A8=2,8=3,直

角腰长度为40=2.

2+3

所以面积为5=方=X2=5.

通法提炼

由直观图还原为平面图的关键是找与X,轴，旷轴平行的直线或线段，且平行于广

轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，

由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.

［变式训练3］如图，矩形OA'B'C是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得

到的直观图，其中O'A'=6cm,O'C'=2cm,则原图形是(C)

B'

orAfx

A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形

解析：将直观图还原得到平行四边形。ABC,如图所示，由题意知。'=啦0'C

=2y[2cm,OD=2O,D'=4小cm,C'D'=O'C=2cm,：.CD=2cm,0C=

^/CD24-OD2=6cm,又0A=。'A'=6cm,：.OA=OC,・••原图形为菱形.

课堂达标练经典

1.利用斜二测画法画边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的（C）

33

AB

解析：选项A是平面图，选项8中角度有误，选项。中的边长有误.

2.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺

寸一样，己知长方体的长、宽、高分别为20〃?、5〃?、10m,四棱锥H勺高为8/〃，若按1

500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高分别为（C）

A.4cm,lcm,2cm,1.6cm

B.4cm,0.5cm,2cm,0.8cm

C.4cm,0.5cm,2cm,1.6cm

D.2cm,0.5cm,1cm,0.8cm

解析：由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm和

1.6cm,再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.

3.水平放置的AABC的直观图如图所示，已知A'C=3,B'C=2,则48边上

的中线的实际长度为空.

解析：由于在直观图中NA'CB'=45°,则在原图形中N4C8=90。，AC=3,BC

=4,AB=5tJAB边上的中线为2.5.

4.如图所示，XNBfC是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，则在

△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是这.

解析：画出原图形如图所示，△ABC为直角三角形，显然，4c边最长.

5.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD//AB,CD=AO=\t三角形AOO为等

腰直角三角形，。为A8的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.

解：在梯形A8CO中，48=2,高00=1,由于梯形A8CQ水二放鼠的直观图仍为梯

形，且上底CO和下底A3的长度都不变，在直观图中，O'D1=；0。，梆形的高。E1

=乎，于是梯形A'B'CD'的面积为义乂（1+2）乂乎=平.

.课堂小结

—本课须掌握的两大问题

1.画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可

以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在

轴上且不在与轴平行的线段上，确定这类顶点一般过此点作与轴平行的直线，将此点转到与

轴平行的线段上来.

2.要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中建立平面直角坐标系，尽量利

用原有线段或图形的对称轴画坐标轴，图形的对称中心作为坐标原点，让尽可能多的顶点在

坐标轴上.

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关于直观图面积的一个结论

*'开讲啦若设原平面图形的面积为S,则其直观图的面积为5'=昔5由于其他多

边形均可以划分为若干个三角形，故上述结论对其他多边形也成立.

［典例］证明：已知某三角形的面积为S,则其直观图的面积为S'=%.

［分析］利用三角形的底边和高的关系，找出两个面积的关系.

［证明］如图⑴，在△4BC中，AD±BCt其面积S=：AZ>BC,在其直观图（如图⑵）

中，作4'M_L夕C,则直观图的面积为S'=4B'C'M=；B'CrDfs加45。

=^义/BCAD=*S.

［对应训练］有一个长为5cm,宽为4cm的矩形，则其直观图的面积为5，5cm

解析：由于该矩形的面积为5=5X4=20(5?),所以由典例中的公式可得，其直观图

=^S=5y/2(cm2).

的面积为S

8.3简单几何体的表面积与体积

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

［目标］1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积；2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积.

［重点］求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积.

［难点］棱台的体积.

要点整合夯基础

知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积

［填一填］

1.棱柱的表面积

棱柱的表面积：S-=S俏+2S收.

①其中底面周长为C,高为人的直棱柱的侧面积：5蝴=0；

②长、宽、高分别为a,b,c的长方体的表面积：5%=2(ab+ac+bc)；

③棱长为a的正方体的表面积：5&=艇.

2.棱锥的表面积

棱锥的表面积：S夫=s/建：底面周长为C,斜高(侧面三角形底边上的高)为"的

1

26

正棱锥的侧面积:S用_

3.棱台的表面积

棱台的表面积：S&=S值+S1底+S卜&

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和.

［答一答I

1.几何体的侧面积与表面枳有何区别？

提示：侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整个几何体表面的面积.表面

积等于侧面积与底面积之和，因此，侧面积仅是几何体表面积的一部分.

知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积

［填一填］

1.棱柱的体积

(1)棱柱的高是指两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这

个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.

(2)棱柱的底面积S,高为儿其体积V=曲.

2.棱锥的体积

(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.

(2)棱锥的底面积为S,高为小其体积旷=如.

3.棱台的体积

(1)棱台的高是指两个底面之间的距离.

(2)棱台的上、下底面面积分别是S'、S,而为h,其体积V=<(S'飞+5).

［答一答］

2.对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面为底面？

提示：不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，关键是哪个底面的面积和

相应的高容易求出，就选哪个面为底面.

典例讲练破题型

类型一多面体的表面积

［例1］己知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面

的中心)的上、下底面边长分别为2cm和4cm,侧棱长是加cm,则该三棱台的表面积为

［分析］利用侧面是等腰梯杉求出棱台的侧面积，再求出其表面积.

［解析］正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个例面的面积和，其中三

个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为小cm,故三棱台的表面积为3X^X(2+4)X#+；X2

+小+^X4X2巾=5小+味.

［答案］(5小+味)5?

通法提炼

在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能

够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求

得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理.

［变