中考数学一轮复习第二讲图形的对称与折叠（解析版）

模块七图形与变换

第二讲图形的对称与折叠

知识梳理夯实基础

知识点1:轴对称与轴对称图形

1.轴对称与轴对称图形

轴对称图形轴对称

如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够

旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫与另一个图形重合，那么就说这两个图

定义做__________________,这条直线就是它形_____________________________，这条直

的____________o这时，我们也说这个图形线叫做___________,折叠后重合的点是对应

关于这条直线对称。点，叫做__________o

A__A'

Ac

图示-A

B[DC

B

(1)AB=_________(1)AB=____________

BD=___________AC=____________

对应线

(2)如果对应线段或其延长线相交，那么交BC二________

段相等

点在对称轴上。(2)如果两个图形的对应线段或其延长线相

交，那么交点在对称轴上。

NB=____________ZA=______________

对应角

ZBAD=______________NB=______________

相等

性ZADB=______________ZC=______________

质对应图△ABD0______________△ABC丝________

形全等

(1)点A与点_____(1)点A与点_____

点B与点_____点B与点_____

对应点点D与点_____点C与点_____

(2)非重合对应点的连线被对称轴垂直平(2)非重合对应点的连线被对称轴垂直平分。

分。

(1)轴对称图形是指具有特殊形状的一个图(1)轴对称是指两个全等图形之间的位置关

区别形.系.

(2)对称轴不一定只有一条(2)对称轴只有一条.

把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴

联系分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称.

2.常见的轴对称图形及其对称轴

图形对称轴数量对称轴

角______条角平分线所在的直线

等腰三角形______条顶角平分线所在的直线（或底边上

的高所在的直线或底边上的中线

所在的直线）

等边三角形______条三个内角平分线所在的直线（或任

一条边上的高或中线所在的直线）

矩形______条相邻两边的垂直平分线

正方形______条相邻两边的垂直平分线和对角线

所在的直线

正n边形（n为正整数）______条奇数边：一个顶点和该顶点所对的

边的中点所在的直线即为对称轴；

偶数边：一条边的中点与图形中心

所在的直线或一个顶点与图形中

心所在的直线是对称轴.

圆______条任何一条直径所在的直线

3.作轴对称图形的一般步骤

⑴找:在原图形上找关键点（如线段的端点、线与线的交点等）；

⑵作：作各个关键点关于已知直线（对称轴）的对称点；

⑶连:按原图形依次连接各关键点的对称点.

知识点2:折叠的性质

（1）位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；

（2）折叠前后的两部分图形全等，对应边、对应角、对应线段、周长、面积等均相等;

（3）折叠前后，非重合对应点的连线均被折痕所在直线垂直平分。

直击中考胜券在握

1.（2023•陕西中考）下列图形中，是轴对称图形的是（）

A.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据轴对称图形的概念可直接进行排除选项.

【详解】

解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；

B、是轴对称图形，故符合题意；

C、不是轴对称图形，故不符合题意；

D、不是轴对称图形，故不符合题意；

故选B.

【点睛】

本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键.

2.（2023•宿迁中考）对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属

于中心对称图形的是（）

人标g0

【答案】A

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的定义即可作出判断

【详解】

解：A、是中心对称图形，故选项正确;

2、不是中心对称图形，故选项错误；

C、不是中心对称图形，故选项错误；

。、不是中心对称图形，故选项错误.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

3.（2023•广西梧州中考）下列图形中,.既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可作出判断.

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；

2、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；

是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握是解题的关键.

4.（2023•湖南省益阳中考）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（

【答案】A

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的定义即可得.

【详解】

A、不是中心对称图形，此项符合题意;

B、是中心对称图形，此项不符题意；

C、是中心对称图形，此项不符题意；

D、是中心对称图形，此项不符题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题关键.

5.（2023-自贡中考）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（)

A©BC©JD0

【答案】D

【解析】

【分析】

利用轴对称图形的定义逐一判断即可.

【详解】

解：A是轴对称图形，对称轴有1条；

B不是轴对称图形；

C不是轴对称图形；

D是轴对称图形，对称轴有2条；

故选：D.

【点睛】

本题考查识别轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键.

6.（2023•山西中考）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会.在此之前进行了冬

奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是

（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项.

【详解】

解：A、文字上方的图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意;

B、文字上方的图案既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；

C、文字上方的图案是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；

D、文字上方的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；

故选B.

【点睛】

本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关

键.

7.（2023•凉山州中考）如图，ABC中，NAC3=90。,AC=8,8C=6,将，ADE1沿OE翻折，使点A与点

8重合，则CE的长为（）

【答案】D

【解析】

【分析】

先在RZABC中利用勾股定理计算出AB=10,再利用折叠的性质得到AD=BD=5,设则

CE=AC-AE=8-x,BE=x,在R/MCE中根据勾股定理可得到N=62+（8-x）2,解得x,可得CE.

【详解】

解：E0ACB=9O°,AC=8,BC=6,

<3AB^y/AC2+BC2=10,

SHADE沿DE翻折，使点A与点8重合，

SAE=BE,AD=BD=^AB=5,

设AE=x,则CE=AC-AE=8-x,BE=x,

在Rl^BCE中

0BE2=BC2+CE2,

25

[?lx2=62+(8-x)2,解得——,

4

团山-”上

44

故选：D.

【点睛】

本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等.也考查了勾股定理.

8.（2023•嘉兴中考）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部

分，则阴影部分展开铺平后的图形是（

A.等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形

【答案】D

【解析】

【分析】

此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪.

【详解】

解：由题可知，平分44C,折叠后△AEO与Y4ro重合，故全等，所以EO=OQ

又作了AO的垂直平分线，即EO垂直平分A。，所以40=00,且EO0AD；

由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以为平行四边形;

又AQ0E凡所以平行四边形A皮甲为菱形.

故选：D.

【点睛】

本题主要考察学生对于立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中"能以实物的形状想象出几

何图形，有几何图形想象出实物的图形"的要求相一致，充分体现了实践操作性原则.

9.（2023•广西北部湾经济开发区中考）如图，矩形纸片ABCD,AD:AB=y/2A,点E,尸分别在AD,

3c上，把纸片如图沿跖折叠，点A,B的对应点分别为H,B',连接A4'并延长交线段。于点G,则与

AG

的值为（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据折叠性质则可得出EF是A4'的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得BFHE

=SD=90。，根据相似三角形判定推出SE加回G4D,再利用矩形判定及性质证得切=AB,即可求得结果.

【详解】

解：如图，过点尸作尸网。于点H,

EIE4=E4',FB=FB，

团所是AA'的垂直平分线.

回财0氏90°.

团四边形ABCD是矩形，

酿入4。=回3=回。=90°.

酿OAE+0AEO=团。AE+MGO,

^1AEO=^AGD.

^FH^\AD,

回航7迁；=回。=90°.

^\EFHWGAD.

「EFFH

团--=---.

AGAD

^1AHF=^BAD=团5=90°,

回四边形ABFW是矩形.

SFH=AB.

cEFFHAB172

团===—7==；

AGADAD.J22

故选：A.

【点睛】

本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

10.（2023•通辽中考）如图，已知AW/3C,AB1BC,钻=3,点E为射线2C上一个动点，连接AE,

将△/WE沿AE折叠，点B落在点8'处，过点8,作A。的垂线，分别交AD,3C于M,N两点，当B'为线

段MN的三等分点时，BE的长为（）

A.—B.—y/2C.—或一D.—A/^或—

222225

【答案】D

【解析】

【分析】

因为点B为线段MN的三等分点，没有指明线段的占比情况，所以需要分两种情况讨论：①

12

B'M=-MN；②B'M=-MN.然后由一线三垂直模型可证AMB,HE,再根据相似三角形的性

质求得EN的值，最后由BE=BN-EN即可求得跳;的长.

【详解】

当点Q为线段的三等分点时，需要分两种情况讨论：

①如图1,当时,

0ADHBC,AB1BC,MN1BC,

回四边形为矩形，

HB'M=-MN=^AB=l,B'N=-MN=-AB=2,BN=AM.

3333

由折叠的性质可得A'3=AB=3,ZAB'E^ZABC=90°.

在mAB'M中，AM=y/AB2-3B'M2=732-l2=2^2-

0ZAB'M+ZAi4fi'=9O°,ZAB'M+NEB'N=90。,

BZEB'N=ZMAB',

0B'NE®4AMB',

ENB,NEN_2即/日及

团----=----,即an—-=—7=，解得EN=—，

B'MAM12V22

^BE=BN-EN=2y/2--=^~.

22

2

②如图2,当时，

回AD回BC,AB±BCfMN1BC,

团四边形ABNM为矩形，

^\B'M=—MN=—AB=2,B'N=—MN=—AB=1,BN=AM.

3333

由折叠的性质可得AB'=AB=3,ZAB'E=ZABC=9Q°.

在W.AB'M中，AM=dAB，2—B，M27学-于=6.

团NAB'A/+NM45'=90。，/AB，M+/EB'N=9伊,

⑦NEB'N=NMAB',

团B'NE^^AMB',

ENB,NEN1解得硒=孚

团-----=-----，BnPn=~/=

B'MAM2y]5

BBE=BN-EN=y/5-^-=^~.

55

综上所述，班的长为述或35.

25

故选：D.

【点睛】

本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由9为线段MN的三等分点，分两种情况

讨论线段3M的占比情况，以及利用K型相似进行相关计算是解决此题的关键.

11.如图，等边一ABC的边长为4,AD是BC边上的高，点£是45边的中点，点厂是AD上的动点，则线

段EF+Cb的最小值为

【答案】2上

【解析】

【分析】

连接CE,与4。交于点F,当点P与尸重合时，EF+CF=EF'+CF'=CE,此时a+CF最小，最小值

为CE的长，根据等边三角形的性质和正弦的性质求解即可.

【详解】

如图，连接CE,与AD交于点尸，当点P与F重合时，EF+CF=EF'+CF'=CE,此时EF+CF最小，

最小值为CE的长.

ABC为等边三角形，边长为4,点E是A3边的中点，

:.CE±AB,

.•.4=60°,

.•.CE=BC-sin60°=2V3,

即EF+CF的最小值为2白.

故答案为：26.

【点睛】

本题考查了三角形的动点问题，掌握等边三角形的性质和正弦的性质是解题的关键.

12.(2023•海南中考)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,将此矩形折叠，使点C与点A重合，点。

落在点£>’处，折痕为£F,则AD'的长为,DD'的长为.

14

【答案】6y

【解析】

【分析】

725

由折叠得，AD'=CD=6,DF=DF，设。F=x,则AF=8-x,D'F=x,由勾股定理得。尸=一，AF=—,

44

过作过。作。MUAD于根据面积法可得。归=!|,OM=||,再由勾股定理求出

AM=1号92，根据线段的和差求出DM=4右?，最后由勾股定理求出14

25255

【详解】

解：回四边形是矩形，

团CD=AB=6,

由折叠得，AD'=CD=6,DF=DF

设。F=x,则AF=8-x,D'F=x

又ZAD'F=ZADC

在放AD'户中，AF2=AD'2+D'F--HP(8-x)2=62+x2

77

解得，x=—,gpDF=-

44

7?5

团Ab=8=—

44

过Z)必乍。”，诙，过。作。A®AD于

0S.An,F=-AFD'H=-AD'D'F

AADF22

2574?

团一xD'"=6x—,解得，D'H=—

4425

团5MB0,=1AD.D^=1AD'.DM

08x—=6DM,解得，DM=—

2525

0AM=4AD2-DM2=卜4-(||)2=1

19242

回。=A0'=--------6=—

2525

DDf=^DrM2+DM2=J(—)2+(—)=—;

V25255

,14

故答案为：6；—.

【点睛】

此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解答

此题的关键.

13.如图，在菱形ABCDA8co中，AB=6AB=6,HABC=60°ZABC=60°,ACAC与BD8。交于点。，点N在

2

AC上且AN=2,点”在2C上且8M=13C,尸为对角线3D上一点，则PM-PN的最大值为.

【答案】2

【解析】

【分析】

作以3。为对称轴作N的对称点N',连接PN',MN',依据PM—PN=PM-PN；,MN，,可得当尸，M,

N'三点共线时，取再根据加加为等边三角形，即可得到CN=W=2.

【详解】

解：如图所示，作以8。为对称轴作N的对称点N',连接PN',MN',

根据轴对称性质可知，PN=PN,

©PM—PN=PM—PN；MN',

当尸，M,N'三点共线时，取"="，

团在菱形ABC©中，AB=6,ZABC=60°,

团AC=6,

团。为AC中点，

团AO=OC=3,

团4V=2,

团QN=1,

团ON'=1,CN'=2,

团W=4,

22

©BMBM=-BC=—x6=4,

33

^\CM=AB-BM=6-4=2,

!?|CM——,CN—'—,_1

BM~AN'~1'

SPM//AB//CD,NCMN'="。,

SZN'CM=60°,

回△N'CM为等边三角形，

0cM=MN'=2,

即尸M-PN的最大值为2,

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质以及线段差的最值问题，凡是涉及线段差（和）的最值问题，一般要考虑三角

形的三边关系，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

14.（2023•河南中考）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在RtA4BC中，NACB=90。，=30。,

AC=1.第一步，在A2边上找一点。，将纸片沿折叠，点A落在A，处，如图2,第二步，将纸片沿Q4'

折叠，点。落在以处，如图3.当点以恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段AD的长为

【解析】

【分析】

因为点以恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当然落在边上和3c边上两种情况分析，勾股定理

求解即可.

【详解】

解:当M落在边上时，如图（1）：

设。。交AB于点E,

由折叠知：NE4'r>=NA=60。，

AD=AD=ND,DD±AE,AC=AC

ZACB=90°,ZB=30°,AC=1

AB=2,BC=C

设AD=x,则在用A£D中，A'E^-x

2

在RfECB中，EC=-BC=—

22

AC=AC

1

—x+=1

22

即％=2-5

B

当小落在BC边上时，如图（2）

因为折叠，ZACD=ZACD=ZA'CD'=30°,

A'D'=|A'C=1A'B,A!C=A!AC=\

:.AD=A'D'=~.

2

阳（2）

故答案为：；或2-指

【点睛】

本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中30。的性质，正确的作出图形是解题的关键.

15.（2023•湖南省常德中考）如图1,已知四边形A8CO是正方形，将△/ME,DCF分别沿DE,。尸向

内折叠得到图2,此时与。C重合（A、C都落在G点），若GP=4,EG=6,则。G的长为.

【答案】12

【解析】

【分析】

设正方形ABCD的边长为X,由翻折及已知线段的长,可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长;在咫△BEF

中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长.

【详解】

设正方形ABCD的边长为x,则AB=8C=OC=ZM=x,ZB=90°

由翻折的性质得：DG=DA=DC=x,AE=EG,CF=GF

SGF=4,EG=6

0AE=6,CF=4,EF=GF+EG=10

SBE^AB-AE=x-6,BF=BC-CF=x—4

如图，在RtABEF中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2

BP（x-6）2+（%-4）2=102

整理得：f一lOx—24=0,即（无一12）（尤+2）=。

解得x=12或x=-2（不符题意，舍去）

则DG=12

故答案为：12.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键.

16.（2023•成都中考）如图，在矩形A3CD中，AB=4,AD=8,点E,尸分别在边上，且AE=3,

按以下步骤操作：第一步，沿直线所翻折，点A的对应点4恰好落在对角线AC上，点B的对应点为方，

则线段8尸的长为；第二步，分别在ERA前'上取点N,沿直线肱V继续翻折，使点尸与点E重

合，则线段的长为.

ED

B'

【答案】175

【解析】

【分析】

第一步：设所与44'交于点。，连接A凡易证明她OESADC,利用对应边成比例可得到。4=2OE,由勾

aR

股定理可求出0E=4,从而求得0A及0C；由AASBC,易得SAOElfflCOG由对应边成比例可得AE、

5

FC的关系式，设BF=x,则BC=8-x,由关系式可求得尤的值；

第二步：连接NE,NF,根据折叠的性质，得到NF=NE,设B，N=m,分别在RZ0NB'尸和R/0EA'N中，利用

勾股定理及N4NE建立方程，可求得优,最后得出结果.

【详解】

如图所示，连接AR

A£D

设所与44支于点0,由折叠的性质得到44回ERA'E=AE=3

团四边形ABC。是矩形

团财。090°,CD=AB=4,AD^BC

团团AOE二团AOC,团OAE二团D4C

mAOE团ADC,

OECD1

团=——,

OAAD2

团0A=20E,

在直角0AOE中，由勾股定理得：OE2+4OE2=9,

回。氐垣，

5

团0A二述，

5

在用胡。。中，由勾股定理得到：AC=742+82=4A/5，

回0C=4石-述二电L

55

令BF=x,贝lj尸。=8-x,

[MD0BC,

团财。£0团COR

OAAE3

回---=---=一,

OCFC7

即7AE=3FC

[33(8-x)=7x3

解得：x=l,

回郎的长为1.

连接NE,NF,如图，

根据折叠性质得：BF=B'F=1,MW3£F,NF=NE,

设B'N=ni,

贝|JN/2=F+信=底=32+(4-附2,

解得：m=3,则NF=质，

0EF=722+42=2^/5，

0MF=5

^\MN=y[5，

故答案为：1,y/5.

【点睛】

本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知

识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用.

17.(2023•长春中考)实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片ABC。，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABC。

的内部，点8的对应点为点折痕为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠，使AO与AM重合，折痕为AF,

则ZEAF=度.

操作二：如图②，将正方形纸片沿历继续折叠，点C的对应点为点N.我们发现，当点E的位置不同时，

点N的位置也不同.当点E在边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则度.

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

(1)设AM与的交点为点P求证AANPHENE：.

(2)若