函数性质（易错点+七大题型）（原卷版）-2024年高考数学复习（新高考专用）

函数性质

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数

【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称

【题型三】轴对称

【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性

【题型五】画图：类周期函数

【题型六】恒成立和存在型问题

【题型七】嵌套函数

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆☆

考向预测函数图像的画法与零点问题

应试

函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称

轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代

数问题，包括抽象函数的理解和图像的变化。对于高三的学生，需要把常见的结论以及数学语言的理解熟

练于心，才能保证做题的速度与准确度。

误区点拨

易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题

若f(x)都可以唯一表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，当h(x)=m时，则f(x)关于

点(0,m)中心对称，即可以理解为将奇函数g(x)向上平移了m个单位，即f(x)+f(-x)=2f(0)=2m；

当h(x)wm时,则有f(x)+f(-x)=2h(x).

推论若f(x)=g(x)+m,则f(x)max+f(x)min=2f(0)=2m.

例(1)已知f(x)=ax+@—2,则f(ln3)+f(In-)=~4.

x3

(2)已知f(x)=ax+P-csinx+3,则f(ln3)+f(In—)=6.

x3

(3)已知函数f(x)=ln(Vl+x2-x)+2，则f(lg5)+f(lg1)=4.

(4)已知函数f(x)=ln(71+9X2-3X)+1，则f(lg2)+f(lg|)=2.

注意辨别奇函数g(x)和常数项m后直接用f(x)+f(-x)=2f(0)=2m来破解.

变式1：(2024.浙江绍兴.二模)己知定义在R上的函数在区间［-1,0］上单调递增,且满足/(4-力=/⑺,

/(2-x)=-/(%),贝IJ()

10

A.㈤=0B./(0.9)+/(1.2)<0

k=\

c./(2.5)>/(log280)D.〃sinl)</「nj

变式2：(2024・广西•二模)已知定义在R上的函数满足/(2+x)2-x)=4x.若“2彳-3)的图象关

于点(2,1)对称，且"0)=0,则()

A.〃x)的图象关于点(U)对称

B.函数g(x)=〃x)-2x的图象关于直线尤=2对称

C.函数g(x)=/(x)-2x的周期为2

D./(1)+/(2)++"50)=2499

<抢分通关

【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数

中心对称的数学语言：

若"X)满足“a+x)+/伊-x)=2c,则/⑺关于］货,1中心对称

特殊的奇函数：(考试难点)：

,“wr—uu/Mi代人1m-nx-m+nx.,1-x,1-kx,x-1

1、对数与反比例复合：y=log-----,y=log-----,如：loga；—,log―—,log--

am+tvcam-nx1+xa1+kxax+1

2、指数与反比例复合：y=-^^-,y=-^4，y=^—y=p?

a-1a+11+a1-a

22

3、对数与无理式复合：y=loga(V(kx)+l±kx),如：y=loga(V(x)+l+x)

三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。

典例精讲

【例1】(2024•陕西西安.三模)已知函数“xbig+lNTTI-q,^/(fl-l)+/(2a2)>2,则°的取

值范围为.

【例2】(多选)(2024・重庆•模拟预测)函数〃X)=2：21g")=ln(jl+9f_3@,那么()

A./(x)+g(x)是偶函数B.〃办g(x)是奇函数

g")

C.是奇函数D.g(7(x))是奇函数

“X)

【例3】(多选)(2024•湖南娄底•一模)已知函数〃x)的定义域和值域均为{xU#0,xeR},对于任意非

零实数尤,％尤+y30,函数满足：/(x+y)(/(x)+/(y))=/(%)/(>>),且〃x)在(一双0)上单调递减,

/(1)=1,则下列结论错误的是()

2023

B.=22023-2

Z=1

c./(x)在定义域内单调递减D.y(x)为奇函数

名校模拟

【变式1］(2024.江西上饶.二模)定义在R上的奇函数〃x)满足/(2-x)=f(x),且在［0,1］上单调递减,

若方程〃x)=l在(T0］上有实数根，则方程/(力=-1在区间［3,11］上所有实根之和是()

A.28B.16C.20D.12

【变式2］(2024•全国•模拟预测)函数〃x)=的部分图象为()

2+

【变式3](2024.上海徐汇.二模)已知函数y=/(x),其中/(x)=bgi三.

⑴求证：y=/(x)是奇函数；

(2)若关于x的方程/⑶=log1(尤+人)在区间[3,4]上有解，求实数k的取值范围.

2

【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称

1.三角函数的对称中心(对称轴)有无数个，适当结合条件确定合适。

2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与

坐标轴交点，或则别的合适的点

«—I

典例精讲

【例1】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=e2i-ef+singx-[+1,则不等式

/(2x+l)+/(2-x"2的解集为()

A.(—8,2]B.[2,+cc)C.[—2,2]D.[―2,+co)

【例2】(2024.湖南.模拟预测)已知函数〃力满足〃尤+8)=/(%),/(%)+/(8-x)=0,当年«0,4)时,

/(x)=ln[l+si吟X)则函数万(x)=〃3x)-“X)在(0,8)内的零点个数为()

A.3B.4C.5D.6

।—।

名校模拟

【变式1](多选)(2024.江苏.一模)已知函数〃x)=K，则()

2-cos2x

A.〃x)的最小正周期为兀B.〃x)的图象关于点(私0)对称

C.不等式/(x)>x无解D.的最大值为孝

【变式2](2024.河南.一模)已知函数〃尤)及其导函数尸(x)的定义域均为R,记g(x)=/'(x).且

2024

/(l-3x)+/(3x-l)=0,g(l+x)+g(l-x)=0,当/(x)=sin^x,贝|士|/。)|=_____.(用数字作

2z=i

答)

【题型三】轴对称

数学语言：

1.函数f（x）对于定义域内任意实数X满足〃a+x）=/W-x）,则函数/⑺关于直线无=答对称，特别

地当〃x）=/（2a-x）时，函数/（X）关于直线无=。对称;

2.如果函数y=/（x）满足f（a+x）=f（a-x）,则函数y=/（*）的图象关于直线”=。对称.

3.y=于（a—%）与y=（%-。）关于直线x=对称。

常见的偶函数：

偶函数:①函数/。）=±（/+。-'）.

②函数/（x）=log/aH+l）_登.

③函数/（⑼类型的一切函数.

典例精讲

【例1】（多选）（23-24高三下.山东荷泽•阶段练习）已知函数的定义域为R,且

/（x+y）-/（x-y）=产⑺―产（力/（1）=2,〃X+1）为偶函数，贝।（）

A./（3）=2B./（X）为奇函数

2024

C./（2）=0D.Z/（幻=°

k=l

【例2】（2024•宁夏银川•二模）定义域为R的函数,⑴满足/（x+2）为偶函数，且当不<马<2时，

"（三）-/（占）］（三-%）>0恒成立，若a=/（l）,b=f（lnl0）,c=y（3j）,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【例3】（2024•全国•模拟预测）设〃x）是定义域为R的偶函数，且/（2x+l）为奇函数.若/1）=g,，£|=T

皿/2023、/2023、，、

A.-B.—cD

66-4-i

।—।

名校模拟

【变式1］（2024•全国.模拟预测）若定义在R上的函数〃x）满足川x|）=f（",且

〃2+x）+〃2—x）=6,〃3）=6,则下列结论错误的是（）

A.〃8+x)=/(x)B.〃x）的图象关于直线x=4对称

C."201)=3D.y=〃x+2）-3是奇函数

【变式2](多选)(2024•全国•模拟预测)已知函数y=^(x+l)为偶函数,ja/(l-x)=/(x+3),当

时，/(x)=2-2\贝U()

A.的图象关于点(1,0)对称B.的图象关于直线x=2对称

C.的最小正周期为2D./(1)+/(2)+-+/(30)--1

【变式3](多选)(2024•河北邢台.一模)已知函数和函数g(x)的定义域均为R,若〃2x-2)的图

象关于直线x=l对称，g(x)=f(x+l)+x-l,g(x+l)+f(-x)=x+2,且40)=0,则下列说法正确的是

()

A.〃x)为偶函数

B.g(x+4)=g(x)

C.若在区间(0,1)上的解析式为/W=log2(%+l),则/⑺在区间(2,3)上的解析式为

y(x)=i-iog2(x-i)

20

D.'⑺=210

i=l

【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性

基本规律

关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论

1.若函数有两个对称中心(a,0)与(b,0)),则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。

2.若函数有两条对称轴x=a与x=b,则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。

3.若函数有一个对称中心(a,0)与一条对称轴x=b,,则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。

I—I

典例精讲

【例1】(2023・浙江・一模)设函数y=的定义域为R,且/(x+1)为偶函数，”尤-1)为奇函数，当xe[-1,1]

2023

时，/(x)=l-x2,则£〃左)=.

k=l

【例2】(2024•陕西西安•二模)已知函数/(x)满足/(x+y)=/(x)+/(y)+2q,；则八100)=.

【例3】(多选)(2023•江西•模拟预测)设函数〃x)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函

数，当xe[l,2]时，/(x)=a-log2x.则下列结论正确的是()

A./(1)=1B./(8)=-1

206100

c.Z〃%)=TD.优)=50

k=lk=\

I—1

名校模拟

【变式1](多选)(2024.吉林白山.二模)己知函数/(x)的定义域为R,其图象关于(L2)中心对称，若

""一"=则()

4

A.八2—3力+/(3力=4B.f(x)=f(x-4)

20

C.7(2025)=^046D.^/(z)=-340

i=l

【变式2](多选)(2024.广东韶关二模)已知定义在R上的函数/(x),g(力的导函数分别为(⑺,g'(x),

且〃x)=/(4—x),/(l+x)-g(x)=4,/,(x)+g,(l+x)=0,则()

A.g(x)关于直线x=l对称B.g'⑶=1

C.尸(x)的周期为4D.尸(〃)H5)=0(〃eZ)

【变式3](2024.全国.模拟预测)已知定义在R上的函数的图象关于点(1,0)对称，“x+l)+〃x+2)=0,

13

且当xe0,-时，/(x)=^-+log2(3x+l).若八租+1)<-=,则实数机的取值范围为()

_，」X+12

A.（24+；,2々+：）（左e：e

B.々一；，左一g](左z)

C.（4一/,/+/]（左eZ）2*-|,2^+|WeZ）

D.

【题型五】画图：类周期函数

基本规律

“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析:

1.是从左往右放大，还是从右往左放大。

2.放大(缩小)时，要注意是否函数值有0。

3.放大(缩小)时，是否发生了上下平移。

।—।

典例精讲

【例1】定义：若存在非零常数鼠T,使得函数式尤)满足/0+。=/(尤)+左对定义域内的任意实数无恒成立，则

称函数八尤)为*距周期函数“，其中T称为函数的“类周期则()

A.一次函数均为常距周期函数”

B.存在某些二次函数为"距周期函数”

C.若“1距周期函数比x)的“类周期”为1,且/⑴=1,贝：加尸尤

D.若g(x)是周期为2函数，且函数yu)=x+g(x)在[0,2]上的值域为[0,1],则函数y(x)=x+g(x)在区间[2",

2"+2]上的值域为⑵?，2«+1]

名校模拟

【变式1】定义“函数y=/（x）是。上的。级类周期函数”如下：函数y=〃x）,xeD,对于给定的非零常数

。，总存在非零常数T,使得定义域。内的任意实数X都有4（X）=/（X+T）恒成立，此时T为〃X）的周期.

若y=〃x）是[1，内）上的“级类周期函数，且7=1，当xe[l,2）时，〃x）=2x+l,且y=〃x）是[1,+向上的

单调递增函数，则实数。的取值范围为（）

A.B.[2,+co）C.g'+s]D.[10,+oo）

【变式2】（多选）（2023・山东济南•模拟预测）已知函数定义域为R,满足f（x+2）=；/（无），当-

时,〃x）=|x|.若函数y=〃x）的图象与函数g（x）=-2023<x<2023）的图象的交点为（孙兀），

（%%），（%，%），（其中因表示不超过x的最大整数），贝！1（）

A.8（力是偶函数8.〃=2024C.£玉=0

【题型六】恒成立和存在型问题

基本规律

常见不等式恒成立转最值问题：

(1)VxeD,/(x)>相o/(%)^„>m.

(2)3xeD,/(x)>mO/(x)max>m；

(3)V尤eDf{x}>g(x)<=>(/(%)-g>0；

(4)BxeD,f(x)>g(x)^>(f(x)-g(x))imx>0；

(5)VjqeD,x2&M,/(%)>g(%)o/(为"山>gO^max;

(6)&D,X2^M,/(%1)>g(x2)>g(x2)min.

(7)VX]GD,3X,&M,>g(X2)min；

(8)招eO,Vx2eAf,/(%)>g(%)o/(再).>g(%)„1ax;

典例精讲

—尤2+ax+20—4<无<0

【例1】（2024•上海黄浦・二模）设函数〃x）=2\"~，若/。）>0恒成立，则实数a的取

ax-2x+3,0<x<4

值范围是（

A.(1,+8)

【例2】(2024.全国.模拟预测)已知函数〃尤)对任意x,yeR恒有/(x+y)=/(x)+〃y),且当x<0时,

/(x)<0,/(2)=3.若存在尤4-2,2],使得/(x)>“—2根成立，则实数加的取值范围为()

A.(-3,3)B.(-3,1)C.(-1,1)D.(-1,3)

【例3】(2024•广东深圳•模拟预测)已知函数/(x)=『一若弱eR,使得了(%)<10m+4M成

[log3x,x>3

立，则实数小的取值范围为()

-

911r5n

L44j2」

(9]「1'/5]「八、

C.IU,+^ID.I-oo,--D[0,+8)

i—i

名校模拟

【变式1](多选)(2024•全国•模拟预测)已知定义在R上的函数满足：对任意x,yeR,

三斗苴小)+小)]恒成立，且/(1)=T，则()

A.函数〃尤)的图象过点(。,1)

B.函数“X)的图象关于原点对称

C.g(x)=[〃x)T的图象关于点D)对称

D./(98)+2/(99)+/(100)=0

【变式2](2024•上海奉贤•二模)已知定义域为R的函数y=/(x),其图象是连续的曲线，且存在定义域

也为R的导函数y=/'(x).

⑴求函数=e，+e』在点(0,/(0))的切线方程；

(2)已知/(x)=acosx+bsinx,当。与》满足什么条件时，存在非零实数%,对任意的实数尤使得

"r)=—矿⑺恒成立？

⑶若函数y=/(x)是奇函数，且满足/(x)+〃2r)=3.试判断_f(x+2)=r(2-”对任意的实数x是否恒

成立，请说明理由.

【变式3](21-22高三上•全国•阶段练习)已知函数〃司=|4尤+4-|4尤+斗

(1)若a=2,求不等式〃x)+；x<l的解集；

(2)若mccR,3ae[0,2],使得机能成立，求实数根的取值范围.

【题型七】嵌套函数

在某些情况下，我们可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.在函数里面调用

另外一个函数，就叫做函数嵌套.如果调用自己本身，就叫做递归调用，也叫递归嵌套.

一嵌套函数解析式问题的解题方法：

换元法：将被嵌套的部分换为一个主元3即求出y=f(t)解析式，属于通法.

待定系数法：将被嵌套部分换成一个常数，最后解出这个常数即可.

二不动点与稳定点

不动点：对于函数f(x)(xeD),我们把方程f(x)=x的解x称为函数f(x)的不动点，即y=f(x)-^y=x

图象交点的横坐标.

例如：函数f(x)=2x-l有一个不动点为1,函数g(x)=2x2—1的不动点.有两个不动点一；，1.

稳定点：对于函数f(x)(xeD),我们把方程f[f(x)]=x的解x称为函数f(x)的稳定点，即y=f[f(x)]

与y=x图象交点的横坐标。很显然，若X。为函数y=f(x)的不动点，则X。必为函数y=f(x)的稳定点.

证明：因为f(Xo)=Xo，所以f(f(Xo))=f(x())=x0,故X。也是函数y=f(x)的稳定点.

I—I

典例精讲

-xex+1,x<0

【例1】(2024•全国模拟预测)已知函数,1°/?（无）=-2/（x）+4（aeR）,若

Inx——,x>0

4

函数恰有6个零点，则实数。的取值范围是()

A.g'+s]B.2C.(1,+8)D.(0,+8)

【例2】(2024•安徽池州•模拟预测)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定

理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函

数“X)，存在一个点看，使得/(x())=Xo，那么我们称“X)为“不动点”函数.若存在"个点为(i=l,2,

满足了(%)=%，则称/(X)为“〃型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是()

A./(x)=l-lnxB./(x)=5-lnr-ex

Ax—2

C.f(x}=-------D.f(x)=2sinx+2cosx

x

【例3】(2023•浙江温州二模)定义：对于函数〃x),若/1)=%,则称与为的