山东省中学联盟2024届高考考前热身押题数学试卷及答案

数学2024.5

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设随机变量夕〜N(O,(y2),p(0<-2)=0.3,则函数f(x)=/—0x+1无零点的概率为

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

2.已知复数z满足z(2-i)=1+i,贝核的虚部是

3333

A.——B.—C.——iD.—i

3.已知等差数列的公差为d,前n项和为Sn.设甲：d>0；乙：｛SQ是递增数列，则

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B,甲是乙的必要条件但不是充分条件

C,甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

4.已知函数fO)=sinx(l+/、)是偶函数，则小的值是

A.-2B.-1C.1D.2

5.已知双曲线。马―马=l(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为Fl,，。为原点，若以旧砌为直径的

ab

圆与C的渐近线的一个交点为P,且|%P|=b|0P|,则C的离心率为

A.V3B.2C.V5D.V6

6.已知a>0,b>0,且a+b=a瓦则下列不等式成立的是

A.a+Z?<4B.log2a+log2b>2C.blna>1D,+Vh>3

7.已知s讥%cosy+cosxsiny=cos2x—cos2y=-,^\sin(%—y)=

24

8.已知函数f(久),g(x)均是定义在R上的连续函数,g'(x)为g(x)的导函数，且八久+1)+g(x+2)=

2)(久一l)—g(4-x)=4,若/(0为奇函数，则下列说法正确的是

A./(久)是周期函数B.y=g(久+2)为奇函数

C.y=g'O)关于x=2对称D.存在x6N,使/'(久)=2024

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线C:/=8%

阿基米德三角形P4B,弦力B过C的焦点F,其中点4在第一象限，则下列说法正确的是

A.点P的纵坐标为-2B.C的准线方程为x=-2

C.若|力罚=8,则力B的斜率为旧D.小力8面积的最小值为16

10.如图在四棱柱ZBCD—4181的。1中，底面四边形A8CD是菱形，NADC=120°,ACHBD=0,ArO1

平面ABCD,41。=8。=2,点C'与点C关于平面BCi。对称，过点C,做任意平面a,平面a与上、下

底面的交线分别为k和％，则下列说法正确的是

A.lj/l2B.平面BQ。与底面4BCD所成的角为30°

C.点C到平面8的。的距离为1D,三棱锥C'-4BD的体积为日

11.在几次独立重复试验(即伯努利试验)中，每次试验中事件4发生的概率为p,则事件4发生的次数

X服从二项分布B(n,p),事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的应用也很广泛，即

事件A首次发生时试验进行的次数匕我们称丫服从“几何分布”，经过计算E(，=；,由此推广在

无限次伯努利试验中，试验进行到事件4和方都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z,则

P(Z=fc)=(1-p)kTp+pkT(l_p),k=2,3,…，那么下列说法正确的是

A.P(X=5)=5p(l—p)4B.P(y=k)=p(l—p)"i,k=1,2,3,…，

C.P(Y=3)的最大值为白D.E(Z)=-1

27p(l-p)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量9=(1,2),将左绕原点。顺时针旋转90°到西的位置，则西•行=.

13.已知圆M:/+y2=4,圆N：(x—4)2+(y-4)2=4,直线2与圆M、N分别相交于4B、C、1四点,

若SA4BM=S.DN=V3,则直线I的方程可以为(写出一条满足条件的即可).

14.在A4BC中，角4B,C所对的边分别为a,瓦c,函数/'(%)=2sin(0>%+3)(3>0,0<3<］),f(x)

图象的相邻两对称轴间的距离为多且/=1,将y="X)的图象向右平移巳个单位得到y=g(x)

的图象且g(4)=2,AABC的内切圆的周长为27r.则2V1BC的面积的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知四名选手参加某项比赛，其中4B为种子选手，C,D为非种子选手，种子选手对非种子

选手种子选手获胜的概率为］种子选手之间的获胜的概率为［非种子选手之间获胜的概率为:•比

4Z2

赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军。

(1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？

(2)选手a与选手。相遇的概率为多少？

(3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？

方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；

方案二；第一轮比赛种子选手与种子选手比赛.

16.（15分）

如图，在五面体ABCDEF中，面4DE1面力BCD,N4DC=90°,EF//平面4BCD,AE=DE=DC=

2EF,AB=3EF,二面角A-DC-F的平面角为60°.

(1)求证：力BCD是梯形；

(2)点P在线段上，且力P=2PB,求二面角P—FC—B的余弦值.

17.(15分)

已知椭圆C的两个顶点分别为力(0,1)、8(0,-1),焦点在工轴上，离心率为当直线〃y=fcx-|(/c<0)

与椭圆C交于M、N两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当k变化时，是否存在过点力的定直线小，使直线小平分NAL4N?若存在，求出该定直线的方程;

若不存在，请说明理由.

18.(17分)

已知函数/'(x)=emx(x2—3"二3%+2m^m+3^,其中m丰0.

(1)求曲线y=f(x)在点(2,/⑵)处切线的倾斜角；

(2)若函数f(x)的极小值小于0,求实数m的取值范围；

(3)证明：2ex—2(%+l)Znx—%>0.

19.（17分）

设a”EZ,aW0.如果存在qGZ使得b=aq,那么就说b可被。整除(或a整除b),记做且称b是a的

倍数，。是b的约数(也可称为除数、因数).b不能被。整除就记做Q1尻由整除的定义，不难得出整除

的下面几条性质：①若a|b,b|G则可c；②a,/?互质，若a|c,b|G贝③若a®,则a|££。四,其中

CieZ,i=1,2,3,…，几

(1)若数列｛册｝满足，,册=2九-1,其前几项和为%,证明：2791s3ooo；

(2)若几为奇数，求证:a九+加能被a+b整除；

2k

(3)对于整数九与k,F(_nfk)=^=1r-\求证：尸(几1)可整除F(n,

山东中学联盟2024年高考考前热身押题

数学答案解析2024.5

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.答案：B

解析：因为函数八%)=%2一Sx+1无零点，所以△=伊一4<0,解得—2<夕<2,且P(0<—2)=0.3,

所以P(—2</?<2)=1—2P(夕<-2)=0.4.故B项正确.

2.答案：A

解析：因为z=U=空智=：+"所以2=5—3，所以Z的虚部是—之故A正确.

2—1555555

3.答案：D

解析：若公差d>0,如数列-10,-9,-8,-7,0,1,2,则数列的前n项和%先减再增;

若｛Sj是递增数列，如Sn=n,则册=1为常数列，故d=0；

所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D项正确.

4.答案:A

解析：因为函数/'(%)=5讥%(1+合：)是偶函数，所以/'(r)=f(久)，即/'(一幻=5皿(一无)(1+W三)=一

sinx(1+若，=sinx(1+金，，所以方言竺=2,即m=—2,故A正确.

5.答案:B

解析：由题意知：|OP|=|。%|=c,且|%P|=g|OP|=gc,在△OPFi中，

由余弦定理知乙％OP=等

所以立92。2=兀一名所以汝心尸2。2=2=次,离心率6=£=11+”=2,

33aaya2

故B正确.

6.答案：C

解析：因为a+b=ab,所以工+：=1,

ab

对于A项：a+6=(a+b)&+3=2+T+/22+2=4,当且仅当a=b=2时取“="，故A错误；

对于B项：因为ab—a+b>7.-4ab,所以ab>4,log2a+log2b—log2ab>log24-2,当且仅当a=b=2

时取“="，故B错误；

对于C项：因为ab=a+b,所以b=，->0,所以a>1,b/na>1等价于，-伍a>1,等价于ma>上工,

a—1a—1a

构造函数/(x)=lnx+^-1(%>1),/(%)=:一，=苗>0,所以/'(X)在(1,+8)上单调递增；

所以/■(>)>f(0)=0恒成立，所以不等式bbia>1成立，故C正确；

对于D项：取a=b=2,则8+VF=2衣<3,故D错误.

7.答案：D

解析：sinxcosy+cosxsiny—sin(久+y)=

数学答案解析第1页(共8页)

cos2x—cos2y=cos[(x+y)+(%—y)]—cos[(%+y)—(x—y)]=­2sin(%+y)sin(%—y)=—sin(x—

所以sin(%—y)=—右故D正确.

8.答案：C

解析：/(%+1)+g(%+2)=2①

f(x-1)-g(4-%)=4②

将②式中工换为2-x得f(l一％)-g(2+%)=4③

①+③得f(%+D+/(1-％)=6,所以/(%)关于(1,3)中心对称；

将②式中无换为2+%得：/(%+1)-g(2-x)=4④

1-④得：g(2+、)+g(2-％)=-2。。，所以y=g(%+2)不是奇函数，故B错误；

g,(2+%)-g,(2-%)=0即g'(2+久)=g'(2-%),所以y=g'Q)关于第=2对称，故C正确;

又f(0)=0,f(l)=3"(2)=6,••・"(%)=3%=2024无解，且/(%)无周期，故A和D均误。

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.答案:AD

解析：对于A项，设4（西,必）,3（、2,%）,直线4S：y=kx+2,

联立C：x?=8y,消去乂得X?-8日一16=0,A=64左之+64>0,所以，xx+x2=Sk,xxx2=-16,

由C:%2=8y,得y'=，x,则点/处的切线：y=\xxx-^-x^,①同理点5处的切线：y=^-x2x-^-xlf®

44848

联立①②，得》=五产，j=-2,所以，点尸（4人2）,故A正确;

对于B项，准线方程为y=-2,故B错误;

6-2_V3

对于C项，|4F|=.%+2=8，得y=6,所以0(4后,6)，kAB=kAF

4百一3

故C错误;

,4左2+4

对于D项,=%+y2+4=k(X[+x2)+8=8-2+8,点尸到直线45的距禺为:U-—/

71+F

23

所以S/UBP="=；(8k2+8)--=16(1+左2)2,

22J1+后2

当左=0时，A45尸有最小值16.故D正确.

10.答案：ABD

解析：对于A项，因为力BCD-是四棱柱，上、下底面平行且平面a与上、下底面的交线分别为人和％，

所以，1/〃2，故A正确；

数学答案解析第2页（共8页）

对于B项，因为力i。1平面ABCD,所以4。1BD,又因为4BCD是菱形，所以BD_LAC,且八（3。&。=。，

所以BDJ_平面力CC遇1，0clU平面力CCia,所以BD±0Cv平面BQ。n底面4BCD=BD,所以4。。的是平面

BCiD与底面力BCD所成角的平面角。

又因为41。=8。=2,^ADC=120°,所以4C=&Ci=2K，在RTAO&Ci中，

tanz.A10C1—V3,

所以乙LOR=60°,所以NCOCi=90°-60°=30°,故B正确；

对于C项,VC1_BDC=VC_BDC1.即,义肾2*百*2=兴兴2义4义11,所以卜=当

故C错误；

对于D项，因为点C'与点C关于平面BSD对称，由B项知NCOS=30°,所以C,到平面BgD的距离与C到平

面BSD的距离相等，即d=OCsin30°=y,所以C'到平面ABD的距离h=2dsin60°=2XyX^=|,

UC，YBD=3*：*2*店*|=亨,故口正确.

11.答案：BCD

解析：对A项，因为X〜B(n,p),所以P(X=5)=%p5(i—「尸-5,故八错误；

对B项，Y=k表示进行了k次，前k-1次未发生，所以P(Y=k)=p(l故B正确；

对C项，P(Y=3)=p(l—p)2=p3—2P2+p=(p(p),

所以？'(p)=3P2-4p+1=(3p-l)(p-1)=0解得p=^,p=1(舍)

当p6(0,1)时，？'(p)>04(p)在(0；)单调递增，当p£弓，1)时，”(p)V04(p)在(g,l)单调递减,

所以0(P)ma%=0G)=5即P(y=3)的最大值为名故C正确；

对D项，E(K)=p+2P(1-p)+3p(l-p)2d—=i

所以2P(1-p)+3p(l-p)2+・.•=工-p,用l-p代换p得：2(1-p)p+3(1-p)/+——(1一p),

pi-p

E(Z)=2[(1—p)p+p(l—p)]+3[(1—p)p2+(1—pYp]4—

=2P(1-p)+3P(1—p)2+—F2(1—p)p+3(1-p)p2H—

二工一p+----(1-p)=1-1,故D正确.

P1-PP(I-P)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.答案：-5

解析：因为加=（1,2）,所以西=（2,—1）,

_____2

故西•降=西（而一西）=西•加一西=-5o

13.答案：x—y±&=0或％-丫±n=0或（4+V7）x-3y-2-2巾=0或（4-V7）x-3y-2+2夕=

0或（4+V15）x-y-6-2V15=0或（4-V15）x-y-6+2V15=0（写出一条直线即可）

解析：因为圆M,圆N的半径相等且均为2,SMBM=S、CDN=W，所以直线I与作平行（如图1）或过MN的

中点（2,2）（如图2）,

数学答案解析第3页（共8页）

SMBM=Ix2x2xsin^AMB=<3,所以则圆心到直线I的距离为百或1.

设直线】的方程为久-y+c=0或y-2-k（x-2）,若d=号=1或旧，所以c=+鱼或土V6

若d=^=l或禽，所以k=芋或4±屁

所以满足条件的直线有：x-y±V2=0^x-y±V6=0或（4+d7）x-3y—2-2y[7=0或（4—近）无一

3y—2+2夕=0或（4+V15）x-y-6-2V15=0或（4-V15）x-y-6+2V15=咻？

14.答案：3百

解析：因为函数f（x）图象的相邻两对称轴间的距离为今所以T=兀，可得3=2,/（x）=2sin（2%+=

2sin偿+a）=1,且。<a<会所以W=£,即/（%）=2sin（2x+J

所以g（x）=2sin（2久一*由gQ4）=2,得2sin（24-巳）=2,且0<力<兀，所以力=今

由题意知AABC的内切圆的半径为1,贝！^（a+6+c）x1=所以a+b+c=曰bc,

即a=—be-b-c,在AABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos^,

所以丫。2+©2—2bc=与be-b-c,所以，2bc—be<-bc—2，无，所以VFZ>2b，即be>12,当且仅当匕=

©=2日时取等号，所以AASC的面积的最小值为3V5.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分13分）

解：（1）第一轮选手的对战情况分别为｛AB,CD｝,[AC,BD｝,｛AD,BC｝,

故总方案数3；.............................3分

（2）设事件M="选手力与选手。相遇”，

当对战为｛AD,BC｝时，A,。两选手相遇的概率为1；

111

当对战为｛AB,CD｝时，A,。两选手相遇的概率为5X3=7；

ZZ4

当对战为｛AC,BD｝时，A,D两选手相遇的概率为口[=*..............6分

抽到三种对战的概率均为（；......................................................7分

数学答案解析第4页（共8页）

综上可知选手力与选手。相遇的概率为掾............................................8分

48

(3)设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为P1，P2,则

>gr>33,313r27八

方案一：pl=;xj+ixjx;x2=^........................................................................................10分

方案二：P2=-|；..................................................................................................................................12分

因此方案一种子选手夺冠的概率更大................................................13分

16.(本题满分15分)

解：(1)在五面体A8CDEF中,EF//平面A8CD,EFc®C£)EF,\^ABCD(\\^CDEF=CD,

所以CD〃EF同理可证4B〃EF.................................................................................................2分

所以皿/AB且AB=3EF丰2EF=CD；

所以4BCD是梯形......................................................4分

(2)取4。中点。，BC中点M,连结。E,OM.

因为面力DE_L面2BCD,交线为力D,CDu面ZBCD,^ADC=90°,

所以。。_1面4。£;

所以4WE是二面角4-DC-F的平面角.即乙4DE=60°6分

以。为原点，以瓦5,丽，灰分别为x,y,z轴(如图)建立空间直角坐标系。-xyz,设EF=1,

贝U4E=DE=DC=2,AB=3,B(l,3,0),C(-l,2,0),F(0,l,V3),P(l,2,0),

CB=(2,1,0),CF=(1,-1,V3),PF=(-1,-1,V3)..........................................................8分

设面BCF的一个法向量为元=Cq,yi，zi),由元1CB,n1而，得

n-CB—2%1+y1=0

取Zi=A/3,得-1,为=2,

J?.CF=X]—y]+V3zx=0

所以元=(—1,2,V3)..............................................10分

设面PCF的一个法向量为记=(.x2,y2,z2),由布1CF,m1而，得

m■CF=%—72+V3Z=0

22取z2—1,得工2。>yi=V3,

m-FP=—%2一为+V3Z3=0

所以记=(0,百,1)..........................................12分

m-n_2V3+V33V6

所以cos<m,n>—14分

|m||nj2X2A/28

所以二面角P—“一8的平面角的余弦值为乎...............................................15分

17.(本题满分15分)

解：⑴由题意得力=1,0=£=且="，解得：a=2,

aa2

2门

所以椭圆c的方程的标准方程为?v+y2=i.....................................................................................................3分

(2)假设存在定直线小，显然直线机的斜率存在，设为V,设M(%i，y。、可(久2，乃)，

数学答案解析第5页(共8页)

联立方程组《23,消y得：(1+徽2)/—当依+3=0,

旨+V=1

40,64

,~3kT

%1+%2=再，％62=由，5分

后久1久2一葭卜(X1+%2)+粤

_y1—i

*AN

”2

=N—5/+1+4/=1.............................................8分

设直线4M、4N及直线小的倾角分别为a,0,y,设直线机与直线I交于点P.

则/MAP=Y-a,ZNAP=夕一y,所以tcm/MAP=tanZNAP,

tany—tana_k—k^

即tan(y—a)==tan(/?—y)=tanp—tany_^AN~^10分

1+tanytana1+kk^M1+tanptany1+kk^N'

所以武=晟即(k‘一人)Q+5=0(1+”，

化筒得：k(ICAM+七〜)=C^AM+%N)且kAM+%N。。，12分

所以之2—1,k=1或々=—1(舍).

所以存在过点Z的定直线血，使直线和平分乙MZN,该定直线的方程为％-y+l=0；............15分

18.(本题满分17分)

解：(1)/'⑺=memx12_3T3%+网翼它■)+(2%—3T.=emx(x—2)(mx—m—1)

k=/(2)=e2m(2m—m—1)(2—2)=0=tanO；

所以曲线y=/(%)在点(2,/⑵)处切线的倾斜角为0..........................................3分

(2)由(1)知/'(%)=B加(％—2)(zn%—m—1)=0,解得：%=2或%=1+5,

当m<0时，]€(-8,1+5),/'(%)<0,%E(1+，2),/(%)>0,%6(2,+oo),/'(%)<0,

所以/(%)在(-8,1+J上单调递减，在(1+3,2)上单调递增,在(2,+8)上单调递减，

所以f⑺极小值=/(1+3)=即+i[a+J-等(1+5)+勺4=泮+1竽<o,解得他<-i,

所以m<-1；....................................................5分

当O<TH<I时，xe(—8,2),/'(%)>o,xe(2,1+、)，/(%)<0,%e(1+，+8),/'(%)>o,

所以/O)在(-8,2)上单调递增，在(2,1+()上单调递减，在(1+，+8)上单调递增，

所以f⑺极小值=/(1+!)=em+1[(!+9一片(1+5)+里察斗=〃+1竽<0不成立.

..................................................7分

当m=1时，/'(%)=ex(x一2尸20恒成立，所以/(%)在(一8,+8)上单调递增，无极值，不满足题意.

....................................................8分

当m>1时，xG(-8,1+f(%)>0,%E(1+，2),/(x)<0,%G(2,+oo),/'(%)>0,

所以f(久)在(-8,1+5)上单调递增，在(1+12)上单调递减,在(2,+8)上单调递增，

所以/'(久)极小值=y(2)=e2m*<0,解得6>3,

数学答案解析第6页(共8页)

综上可知实数TH的取值范围为TH<-1或m>3................................................10分

(3)由(2)知，当租=一1时，/(%)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

/(%)max=/(2)V1,即/(%)=3VL即e">/,两边取自然对数得：§<1.................11分

要证2g久—2(%+l)lnx—%>0成立，只需证2/—2(%+l)Znx—%>0,%e(0,+oo).

两边同除％得：2%—2lnx—迎^—1>0,即2%—2lnx>劲竺+1........................................13

XX

分

只需证：2%—2仇%>1+1=2,即证%一m％—1>0,...................................14分

令g(%)—x—Inx-1,%E(0,+8),g(x)=1—[==0,解得：x=1,

当％e(0,1)时，g'(x)<0,g(%)在(0,1)上单调递减，当％e(1,+8)时，/(%)>0,g(%)在(1,+=)上单调递增.

所以g(%)7n讥=g(D=0，经检验,当％=1时原不等式成立................................16分

综上可知不等式2e%-2(%+l)lnx-x>0得证..................................17分

19.(本小题满分17分)

解：(1)因为册=2nT,SOOO=^£7-=23OOO-1,.....................................1分

31—z

而279=31x9,且31与9互质;

100010009

S3000=23°0°-1=23x100°-1=81°°°—1=(9—I)-1=C?0009-Cl0009"+--C^o9+

C㈱(-1)】。。。-1=%。。9100。-嗨0。9999+c瑞09,

所以91s3ooo；....................................................3分

3000600600