本册综合学业质量标准检测

第页本册综合学业质量标准检测本检测仅供教师备用，学生书中没有本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·泰安二中高一检测)直线y＝kx与直线y＝2x＋1垂直，则k等于eq\x(导学号09025121)(C)A．－2 B．2C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)[解析]由题意，得2k＝－1，∴k＝－eq\f(1,2)．2．空间中到A、B两点距离相等的点构成的集合是eq\x(导学号09025122)(B)A．线段AB的中垂线 B．线段AB的中垂面C．过AB中点的一条直线 D．一个圆[解析]空间中线段AB的中垂面上的任意一点到A、B两点距离相等．3．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线；④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．其中正确的命题有eq\x(导学号09025124)(D)A．①② B．②③C．③④ D．②④[解析]垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选D．4．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是eq\x(导学号09025125)(C)[解析]当a>0时，直线y＝ax的斜率k＝a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距等于a>0，此时，选项A、B、C、D都不符合；当a<0时，直线y＝ax的斜率k＝a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距等于a<0，只有选项C符合，故选C．5．已知圆x2＋y2＋4x－4y＋m＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为2，则实数m的值是eq\x(导学号09025126)(C)A．3 B．4C．5 D．7[解析]圆x2＋y2＋4x－4y＋m＝0的圆心(－2,2)，半径r＝eq\r(8－m)(m<8)．圆心(－2,2)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f(|－2＋2＋2|,\r(12＋12))＝eq\r(2)由题意，得m＝5．6．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是eq\x(导学号09025127)(D)[解析]如图所示，由图可知选D．7．(2019·天水市高一检测)圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是eq\x(导学号09025128)(C)A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0[解析]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心C1(2，－3)，圆x2＋y2－6x＝0的圆心C2(3,0)，AB的垂直平分线过圆心C1、C2，∴所求直线的斜率k＝eq\f(0＋3,3－2)＝3，所求直线方程为y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0．8．(2019·南平高一检测)已知直线l与直线2x－3y＋4＝0关于直线x＝1对称，则直线l的方程为eq\x(导学号09025129)(A)A．2x＋3y－8＝0 B．3x－2y＋1＝0C．x＋2y－5＝0 D．3x＋2y－7＝0[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋4＝0,x＝1))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))．由题意可知直线l的斜率k与直线2x－3y＋4＝0的斜率互为相反数∴k＝－eq\f(2,3)，故直线l的方程为y－2＝－eq\f(2,3)(x－1)即2x＋3y－8＝0．9．某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积是eq\x(导学号09025130)(B)A．eq\f(3\r(3),2) B．eq\f(13\r(3),6)C．eq\f(2\r(3),3) D．eq\f(11\r(3),6)[解析]该几何体是一个正三棱柱和一个三棱锥的组合体，故体积V＝eq\f(\r(3),4)×22×eq\f(3,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×2＝eq\f(13\r(3),6)．10．(2019·河北定州中学高一期末)曲线y＝1＋eq\r(4－x2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是eq\x(导学号09025196)(D)A．(eq\f(5,12)，＋∞) B．(eq\f(1,3)，eq\f(3,4)]C．(0，eq\f(5,12)) D．(eq\f(5,12)，eq\f(3,4)][解析]根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线l过A(2,4)又曲线y＝1＋eq\r(4－x2)图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，即eq\f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(5,12)．当直线l过B(－2,1)时，直线l的斜率为eq\f(4－1,2－－2)＝eq\f(3,4)则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为(eq\f(5,12)，eq\f(3,4)]．故答案选D．11．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2eq\r(2)，则c的取值范围是eq\x(导学号09025132)(C)A．[－2eq\r(2)，2eq\r(2)] B．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))C．[－2,2] D．(－2,2)[解析]圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0整理为(x－2)2＋(y－2)2＝(3eq\r(2))2，∴圆心坐标为C(2,2)，半径长为3eq\r(2)，要使圆上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2eq\r(2)，如右图可知圆心到直线l的距离应小于等于eq\r(2)，∴d＝eq\f(|2－2＋c|,\r(1＋1))＝eq\f(|c|,\r(2))≤eq\r(2)，解得|c|≤2，即－2≤c≤2．12．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为eq\x(导学号09025133)(A)A．5eq\r(2)－4 B．eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D．eq\r(17)[解析]两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5eq\r(2)，所以(|PM|＋|PN|)min＝5eq\r(2)－(1＋3)＝5eq\r(2)－4．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(2019·曲阜师大附中高一检测)△ABC中，已知点A(2,1)、B(－2,3)、C(0,1)，则BC边上的中线所在直线的一般方程为__x＋3y－5＝0__.eq\x(导学号09025134)[解析]BC边的中点D的坐标为(－1,2)∴BC边上的中线AD所在直线的方程为eq\f(y－2,1－2)＝eq\f(x＋1,2＋1)，即x＋3y－5＝0．14．(2019·南安一中高一检测)已知直线y＝kx＋2k＋1，则直线恒经过的定点__(－2,1)__.eq\x(导学号09025135)[解析]解法一：直线y＝kx＋2k＋1，即k(x＋2)＋1－y＝0由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0,1－y＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝1))．∴直线恒经过定点(－2,1)．解法二：原方程可化为y－1＝k(x＋2)∴直线恒经过定点(－2,1)．15．(2019·全国卷Ⅰ文，15)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝__2eq\r(2)__.eq\x(导学号09025217)[解析]根据题意，圆的方程可化为x2＋(y＋1)2＝4所以圆的圆心为(0，－1)，且半径是2根据点到直线的距离公式可以求得d＝eq\f(|0＋1＋1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，结合圆中的特殊三角形，可知|AB|＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2)，故答案为2eq\r(2)．16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P在面对角线BC1上运动，则下列四个命题：eq\x(导学号09025137)①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确命题的序号是__①②④__．[解析]①因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面AD1C，所以直线BC1上任一点到平面AD1C的距离都相等所以VA－D1PC＝VP－AD1C＝VB－AD1C为定值，正确；②因为AC∥A1C1，AD1∥BC1，AC∩AD1＝A，A1C1∩BC1＝C1，所以平面ACD1∥平面A1BC1，因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，正确；③假设DP⊥BC1，因为DC⊥BC1，DC∩DP＝D，所以BC1⊥平面DPC，所以BC1⊥CP，因为P是BC1上任一点，所以BC1⊥CP不一定成立，错误；④因为B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以B1B⊥AC，又AC⊥BD，BD∩B1B＝B，所以AC⊥平面BB1D，所以AC⊥DB1，同理可知AD1⊥DB1，因为AC∩AD1＝A，所以DB1⊥平面ACD1，因为DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，正确．故填①②④．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l1：ax－by－1＝0(a、b不同时为0)，l2：(a＋2)x＋y＋a＝0.eq\x(导学号09025138)(1)若b＝0且l1⊥l2，求实数a的值；(2)当b＝2，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．[解析](1)若b＝0，则l1：ax－1＝0l2：(a＋2)x＋y＋a＝0．∵l1⊥l2，∴a(a＋2)＝0，∴a＝－2或0(舍去)，即a＝－2．(2)当b＝2时，l1：ax－2y－1＝0l2：(a＋2)x＋y＋a＝0∵l1∥l2，∴a＝－2(a＋2)，∴a＝－eq\f(4,3)．∴l1：4x＋6y＋3＝0，l2：2x＋3y－4＝0∴l1与l2之间的距离d＝eq\f(|\f(3,2)＋4|,\r(22＋32))＝eq\f(11\r(13),26)．18．(本小题满分12分)自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程.eq\x(导学号09025139)[解析]连接OP，则OP⊥BC，设P(x，y)，当x≠0时，kOP·kAP＝－1即eq\f(y,x)·eq\f(y,x－4)＝－1．即x2＋y2－4x＝0.①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，所以BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．19．(本小题满分12分)(2019·葫芦岛高一检测)已知半径为2，圆心在直线y＝x＋2上的圆C．eq\x(导学号09025140)(1)当圆C经过点A(2,2)且与y轴相切时，求圆C的方程；(2)已知E(1,1)、F(1,3)，若圆C上存在点Q，使|QF|2－|QE|2＝32，求圆心横坐标a的取值范围．[解析](1)设圆心坐标为(a，－a＋2)∵圆经过点A(2,2)且与y轴相切∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＋[2－－a＋2]2＝4,|a|＝2))解得a＝2．∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4．(2)设Q(x，y)，由已知，得(x－1)2＋(y＋3)2－[(x－1)2＋(y－1)2]＝32即y＝3.∴点Q在直径y＝3上．又∵Q在圆C上，∴圆C与直线y＝3相交∴1≤－a＋2≤5，∴－3≤a≤1．∴圆心横坐标a的取值范围为－3≤a≤1．20．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，斜率为1的直线l与圆C交于A、B两点.eq\x(导学号09025141)(1)化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；(2)是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由；(3)当直线l平行移动时，求△CAB面积的最大值．[解析](1)(x－1)2＋(y＋2)2＝9.圆心C(1，－2)，r＝3．(2)假设存在直线l，设方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)∵以AB为直径的圆过圆心O∴OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m,x2＋y2－2x＋4y－4＝0))消去y得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0．Δ＞0得－3eq\r(2)－3＜m＜3eq\r(2)－3．由根与系数关系得：x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝eq\f(m2＋4m－4,2)y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2∴x1x2＋y1y2＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0．解得m＝1或－4．直线l方程为y＝x＋1或y＝x－4．(3)设圆心C到直线l：y＝x＋m的距离为d|AB|＝2eq\r(9－d2)S△CAB＝eq\f(1,2)×2eq\r(9－d2)×d＝eq\r(9d2－d4)＝eq\r(\f(81,4)－d2－\f(9,2)2)≤eq\f(9,2)，此时d＝eq\f(3\r(2),2)，l的方程为y＝x或y＝x－6．21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ文，18)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.eq\x(导学号09025142)(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为eq\f(8,3)，求该四棱锥的侧面积．[解析](1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD．因为AB∥CD，所以AB⊥PD．又AP∩DP＝P，且AP，DP⊂平面PAD所以AB⊥平面PAD．因为AB⊂平面PAB所以平面PAB⊥平面PAD．(2)解：如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为点E．由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，又∵AD∩AB＝A．可得PE⊥平面ABCD．设AB＝x，则由已知可得AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x．故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3．由题设得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2．从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝2eq\r(2)．可得四棱锥P－ABCD的侧面积为eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2s