人教版九年级数学上册《解一元二次方程（第5课时）》示范教学设计

解一元二次方程（第5课时）教学目标1．灵活运用因式分解法(提公因式法、公式法)解一元二次方程．2．体会因式分解法对于解一元二次方程的简便性．教学重点根据题目特点，分析并选择合适的因式分解的方法解方程．教学难点因式分解法解一元二次方程的灵活应用．教学过程新课导入根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为：10x－4.9x2．【问题】根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？【师生活动】学生独立思考，列出方程．【答案】若设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x－4.9x2＝0．【设计意图】引导学生列出方程，为下面新课的学习作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】你能利用学过的方法，解方程10x－4.9x2＝0吗？【师生活动】教师引导学生观察方程，并提示：可以用配方法和公式法解方程．【答案】解：①配方法：整理，得4.9x2－10x＝0．二次项系数化为1，得x2－x＝0．配方，得，，由此可得，x1＝0，x2＝≈2.04．②公式法：方程化为4.9x2－10x＝0．a＝4.9，b＝－10，c＝0．Δ＝b2－4ac＝(－10)2－4×4.9×0＝100＞0．方程有两个不等的实数根即x1＝0，x2＝≈2.04．【设计意图】通过让学生借助已经学过的方法解方程，既考查了学生对已学知识的掌握程度，同时也让学生体会到计算的繁琐，对后面新知识的探究产生兴趣．【问题】观察方程10x－4.9x2＝0的左右两边，有什么发现？【师生活动】学生独立观察方程，找到式子左右两边的特点，并回答：方程的左边是一个二项式，且这个二项式可以进行因式分解，即10x－4.9x2＝x(10－4.9x)．方程的右边是0，所以x(10－4.9x)＝0．【问题】在上面问题的基础上，怎样解方程x(10－4.9x)＝0？【师生活动】教师带领学生回忆前面学过的知识：在实数范围内，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．即如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0．通过回顾旧识，引导学生找到解这个方程的思路．【答案】解：因为x(10－4.9x)＝0，所以x＝0或10－4.9x＝0．所以方程的两个根是x1＝0，x2＝≈2.04．【新知】观察解方程的过程，由方程10x－4.9x2＝0得到方程x＝0或10－4.9x＝0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法的理论依据：若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0．实质：将一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程．适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点：方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式．利用因式分解法解一元二次方程的常用方法（2）逆用平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2和完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2来分解因式．【设计意图】通过寻找简便方法解方程，引出因式分解法解一元二次方程的概念．二、典例精讲【例1】解下列方程：（1）x(x－2)＋x－2＝0； （2）5x2－2x－＝x2－2x＋．【师生活动】学生独立解题，教师巡视纠错．【答案】解：（1）因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0．于是得x－2＝0，或x＋1＝0．x1＝2，x2＝－1．（2）移项、合并同类项，得4x2－1＝0．因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0．于是得2x＋1＝0，或2x－1＝0，x1＝－，x2＝．【归纳】在用因式分解法解一元二次方程时，千万不要急于把方程化成一般形式，要先观察方程的特点，能提公因式进行因式分解的就提公因式进行因式分解．如本例中把x－2看作一个整体提公因式进行因式分解的方法比较简单．【设计意图】通过例1，考查学生对因式分解法解一元二次方程的掌握程度，同时让学生能够意识到使用因式分解可以简化运算，提高运算效率．【问题】【师生活动】学生先独立思考，再以小组为单位讨论交流，对解题步骤进行归纳．【答案】第1步：移项，将方程的右边化为0；第2步：将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；第3步：令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程；第4步：解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的根．简记为“一移二分三化四解”．【新知】两种常见的用因式分解法求解的方程的解（1）解形如x2＋bx＝0的一元二次方程时，将方程的左边运用提公因式法因式分解为x(x＋b)＝0，则x＝0或x＋b＝0，即x1＝0，x2＝－b．（2）解形如x2－a2＝0的一元二次方程时，将方程的左边运用平方差公式因式分解为(x＋a)(x－a)＝0，则x＋a＝0或x－a＝0，即x1＝－a，x2＝a．【例2】用因式分解法解方程：x2＋2019x－2020＝0．【师生活动】教师带领学生对所给方程进行观察，找到解题思路：可以利用x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)进行因式分解．要设法找到两个数p，q，使p＋q＝2019，pq＝－2020．【答案】解：原方程可化为(x－1)(x＋2020)＝0，于是得x－1＝0或x＋2020＝0，所以x1＝1，x2＝－2020．【归纳】利用因式分解法解x2＋(p＋q)x＋pq＝0型一元二次方程形如x2＋(p＋q)x＋pq＝0的一元二次方程可尝试利用因式分解法求解．进行因式分解时，必须保证常数项拆成的两个因数的和为一次项系数，两个因数的积为常数项，另外两根的符号与拆成的两因数的符号正好对应相反．【设计意图】设置本题，使学生掌握利用求根公式解决含有字母系数的一元二次方程的相关问