2024年中考数学复习分类讨论思想经典考题讲练

分类讨论思想经典考题讲练

解题要点剖析

当所研究的对象具有某种不确定性，难以用统一的方法进行研究时，需要分不同情况进行讨论，简单地说，分类讨论就是“化

整为零，逐个击破”.分类讨论问题往往是综合性比较强的问题，也是创新型问题之一.我们经常会遇到“不知如何下手”或“结论不完整,

有漏解”的情况.本文以近几年中考压轴小题为载体，主要探究以下三种分类讨论类型：结论不确定型、图形位置不确定型和无图几

何题.希望大家在赏析中体会分类讨论思想，在实践中应用分类讨论的方法思考问题.

经典考题解析

例1如图10-1所示，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数.y

=孑口y=［在第一象限的图象于点A,B,过点B作BDJ_x轴，垂足为点D,交y=［的图象于

点C,连接A。若八ABC是等腰三角形，则k的值是

分析因为等腰三角形八ABC没有指明哪条边是腰，哪条边是底，所以需要分三种情况讨论：AB是底，BC是底和AC是底.

联立方程组，求出直线与双曲线的交点A,B,C的坐标.根据两点间距离公式以及等腰三角形两腰相等建立方程，即可求出k的值.

,•,点B是y=kx和y=糊交点，令kx=，解得:x=%y=3限

•・•点B的坐标为3的.

••,点人是丫=心和.y=［的交点，令心=3解得:x=^=,y=y［k.

•••点A的坐标为仁，皿)

•.,BD_Lx轴，

•••点C的横坐标为靠纵坐标为|=当.

•・•点C的坐标为隰*).

若^ABC是等腰三角形:

⑴当AB=BC时，则JC?+(3小包)2=3Vfc-当解得:k=浮

⑵当AC=BC时，则+(合用*=3a-当

解得：女吟;

(3)当AB=AC时，由等腰三角形三线合一性质可得：点A的纵坐标等于点B和点C纵坐标之和的一半，即迎='嬖，故k=

0,矛盾,舍去.

综上可得：上=学或上=¥.

小结本题综合考查了一次函数，反比例函数，求一次函数与反比例函数的交点，等腰三角形的性质以及分类讨论思想方法

等知识.求解的关键是先联立方程组求出直线与曲线的交点坐标，然后把等腰三角形分三种情况讨论，最后建立关于k的方程并求出

k的值.

A

例2如图10-2所示NAOB=45。,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点，若/

X

使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的取值范围是—./

M/

分析假如点M,N位置确定，寻找使点P,M,N构成等腰三角形的点P的方法是“两圆一线”、“两/

OB

圆”指的是分别以点M、N为圆心，以MN的长为半径画圆，与射线OB有几个不同的交点就意味着有几个符图10_2

合条件的点P；“一线”指的是线段MN的垂直平分线与射线OB的交点就是所求的点P.因为要求符合条件的

点P只有三个，故只需保证“两圆”与射线OB的交点只有2个；又因为MN是射线OA上的运动的定长线段，故可以考虑让点M从

点。出发，慢慢地向前移动，观察并思考“两圆”与射线OB的交点个数.

分三种情况讨论：

①如图10-3所示，当M与O重合时,以M为圆心,以4为半径的。M与射线OB交于点P】；；以N为圆心，以4为半径的。N与

射线OB交于点，Pz；；线段MN的中垂线交射线OB于点.P3,故当久=0时，点P恰好有三个.

②如图10-4所示，以N为圆心，以4为半径画圆，当ON与射线OB相切时，切点为Pi；以M为圆心，以4为半径的。M与

射线OB交于P2；线段MN的中垂线与射线OB交于P3.故此时点P恰好有三个.

•/ZAOB=45°,

/.△NOPt是等腰直角三角形NPt=0Pl=4.

ON=4V2x=ON-MN=4V2-4.

③如图10-5所示以M为圆心，以4为半径画。M;以N为圆心，以4为半径画。N.设。Mi恰好经过点OQM?恰好与射线OB相

切.

当点M和Mi重合时,即。M恰好经过点O时,此时x=4,OMi与射线OB只有一个交点（点O除外）.此时ON】=8,ON1与射

线OB无交点，线段MiNi的中垂线与射线OB有一个交点，故符合条件的点P有两个；

当点M和M2重合时，即。M恰好与射线OB相切，此时久=4V2,OW2=4V2+4,ON2与射线OB无交点，线段M2N2的中

垂线与射线OB有一个交点，故符合条件的点P有两个；

当4Vx<4四时，即点M在线段MiM2之间运动，OM与射线0B有两个交点，ON与射线OB无交点，线段MN的中垂

线与射线0B有一个交点，故满足条件的点P恰好有三个.

综上所述，若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个，贝Ux=0或工=4&-4或4〈久V4或.

解答0或4立一4或4c久<4V2.

小结本题以动点问题为载体，综合考查了等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、“两圆一线”找

等腰三角形以及分类讨论思想等知识.求解的关键是让点M从点O出发，观察。M和。N与射线0B的交点个数的变化，在整

个运动过程中发现三种满足题意的情况：点M和点O重合，ON与射线OB相切，OM与射线OB有两个交点，ON与射线O

B无交点.

例3如图10-6所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴.y轴于A,B两

点,已知点C的坐标为(2,0).

(1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是___;

(2)设点P为线段OB的中点，连接PA,PC,若LCPA=NABOTHm的值是—.

图10-6

分析当直线AB经过点C时，点A与点C重合，易求m的值，进而求出点B的坐标；最后根据RtAAOB的等面积法求

出点。至U直线AB的距离；因为本题没有告诉m的范围，故需要分m>0和m<0(由题可知m=0不需考虑)，当m>0时，易知Z.CPA

=ZABO=45°,故可以构造“一线三等角”模型，在y轴负半轴上取(0D=0C,易知△PCDCO&APB,然后借助相似三角形的性质即

可建立关于m的方程，最后求出m的值；当m<。时,NCPA=NABO不可能成立.

⑴当x=2时,y=-2+m=0,即m=2.

所以直线AB的解析式为y=-x+2,故点B的坐标为(0,2).

所以OB=OA=2,AB=2V2.

设点O到直线AB的距离为d.

2

由S0AB=l0A=lAB-4得4=2鱼d,则d=V2.

⑵由y=-x+m可得A、B的坐标分另U为(m,0),(0,m).所以OA=OB,故NOBA=NOAB=4

5°.

当m<0时，如图10-7所示,NAPC>NAPO>NOBA=45。,这与NCPA=NABO矛盾故不

合题意.

当m>0时，如图10-8所示，作OD=OC=2,连接CD故NPDC=45。，

因为NCPA=NABO=45。，

所以NBPA+NOPC=NBAP+NBPA=135。,即/OPC=NBAPjil!UPCD^AAPB.

所以9=霁，艮警=注解得m=12.

ABPBy/2m-m

2

综上可得:m=12.解答⑴V2;(2)12.

10-8

小结本题综合考查了一次函数、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、构造“一线转角”模型、相似三角形的判定和

性质、分类讨论思想及数形结合思想方法等方法.本题的难点在于第⑵问，首先根据数形结合排除X)的情况；当m>0时，求解的

\EW风⑷

困难点在于如何使用NCPA-ABO,当题目给出相等的角，需求边长(线段OB的长，即m的嚼匕鲤需要借助冕后改缰立

方程模型求解，考虑到NCPA=NABO=45。，故可以构造“一线三等角”模型找到包含PB的相似三保病

AB

图10-9图10-10

例4在三角形纸片ABC中,NA=90。,NC=30。,AC=30cm,将该纸片沿过点B的直线

折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（图10-9）,剪去△CDE后得到双层

ABDE（图10-10）,再沿着过八BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面

图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为—cm.

分析沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，有三种情况：沿着过点D的直线剪，沿着过点B的直线剪和沿着过点

E的直线剪.因为展开后的平面图形中有一个是平行四边形，再根据折叠的性质可知，展开得到的平行四边形一定是菱形.沿着过点B

的直线将双层三角形剪开，得到的是一个“筝形”（两组邻边相等的四边形），不是平行四边形，故不符合题意；沿着过点D的直线D

F将双层三角形剪开，当DF=BF时，可以得到一个平行四边形；沿着过点E的直线EG将双层三角形剪开，当ED=EG时，可以得

到一个平行四边形.

NA=9（T,NC=3（r,AC=30,，AB=10V3,ZABC=60°.

VAADB^AEDB,

2LABD=乙EBD=^ABC=30°,BE=AB=10V3.

DE=10,BD=20.

如图10-11,平行四边形的边是DF,BF.由NE=9（P,NEDF=3（r,DE=10濯DF=BF=萼

故平行四边形的周长=竿；

如图10-12,平行四边形的边是DE,EG,且DE=EG=10,故平行四边形的周长=40.

综上所述：平行四边形的周长为40或竿.

解答40或等.

小结本题综合考查了折叠的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、

全等三角形的性质以及分类讨论思想方法等知识.求解的关键是：得到一个展开的平行四边形，本质上就是得到一个展开的菱形，根

据菱形的四条边相等可知，沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，必须得到一个等腰三角形才符合题意.

例5（沈阳）如图10-13所示，在RtAABC中，乙4=90°,AB=AC,BC=20/DE是AABC的中位线，点M是边BC上一点,BM=3,

点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,相交于点O.若△OMN是直角三角形，则DO的长是—.

分析因为△OMN是直角三角形，但没有指明哪个角是直角，故需要分类讨论，考虑到NOMN不可能是直角，故需要分

乙0NM=90。和AMON=90。.要求线段OD的长，需要借助相似三角形的判定和性质来求，故首先需要构造和△DOE相似的三角彩

当40NM=90。时,如图10-14所示作EF±BC于点F,易知DN||EF.

四边形DEFN是平行四边形.

VZEFN=90°,A四边形DEFN是矩形.

VDE是^ABC的中位线,DEBC,DE=^BC=10.

・・・EF=DN,DE=FN=10.

VAB=AC,ZA=90°,

JB=M=45I.BN=DN=EF=FC=W=5.

,:BM=3,MN=BN-BM=2.

pn

；诉OD10_OD

•••DOExsNOM,.ONi2-5-OD'

OD=空（或者利用△DOE~AFEM）.

6

当乙MON=90。时，如图10-15作EF1BC于F,易知EM=VEF2+FM2=13.v

图10-15

OD10OD

DOE〜EFM,—

EF13

50

•••OD

13,

综上可得：OD="或OD=

解答亲照.

小结本题综合考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、

相似三角形的判定和性质以及分类讨论思想方法等知识.求解的关键是：考虑到△DOE是直角三角形，故通过作垂线或识别“8字形”

基本图形可以构造和△DOE相似的三角形△EFM或ANOM,最后借助相似三角形的性质建立方程模型即可求解.

例6如图10-16所示在矩形ABCD中,AB=6,BC=8点P在矩形AB-CD的内部，点E在边BC上.满足△PBES/\DBC苕AAPD

是等腰三角形，则PE的长为—.

分析由八PBEs/\DBC,可得NPBE=NDBC,进而可知点P在BD上，然后再根据△APD是等腰

三角形，故分DP=DA、AP=DP两种情况进行讨论即可得.

四边形ABCD是矩形，二ZBAD=ZC=90°,CD=AB=6....BD=V62+82=10.

APBE^ADBC,，NPBE=/DBC..,.点P在BD上.

①如图10-16,当DP=DA=8时,BP=2.

VAPBE^ADBC,APE:CD=PB:DB=2:10.

PE:6=2:10..1.PE=1.2.

②如图10-17,当AP=DP时,易知点P为BD中点

APBE^ADBC,，PE:CD=PB:DB=1:2.

PE:6=1:2,/.PE=3.

综上所述.PE的长为1.2或3.

解答1.2或3.

小结本题综合考查了相似三角形的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及分类讨论和数形结合思想等方法.

求解的关键是先根据相似三角形对应角相等，确定出点P在线段BD±,然后针对等腰三角形△APD进行分类讨论，并结合数形结

合思想进行求解.

例7在平面直角坐标系xOy中,已知点M,N的坐标分别为（-1⑵,（2,1）,若抛物线y=ax2-x+2（a0）与线段MN有两个不

同的交点，则a的取值范围是（）.

A.aW-1或；<a<|

。.。《［或。〉］口.20-1或（12：

分析题目没有说明a的符号，故需要分a>0和a<0两种情况讨论：

①当a>0时，抛物线的对称轴为x=»0.如图10-18,当抛物线经过点N时，即当x=2时,4a=1,所以a=土.又因为抛物线与

线段有两个不同的交点，故抛物线的开口应该变小，所以

MNa24

又易知直线MN的解析式为y=一？+|,如图10-19,令ax2-x+2=-|%+所以△>0,解得（a</所以：4a<去

②当a<0时，如图10-20,抛物线的对称轴为x=/<0,与y轴交点为（0,2）.

当抛物线经过点M时，即当x=-l时,a+3=2,所以a=-l.

观察图象可知:a±L

综上可知，［Va<5或a±l,故选A.

解答A.

小结本题综合考查了二次函数的图象和性质,二次函数中a,b,c只抛物线的作用，二次函数与一元二次方程之间的关系

（用判别式判断根或交点的情况）,以及分类讨论、数形结合思想等知识.求解的关键是先对抛物线开口方向进行讨论，对于每一种

情况，借助数形结合思想求出抛物线与直线存在交点时的临界情况，即求出a的边界值，最后再根据抛物线开口大小进而确定a的

取值范围.

_DE

例8如图10-21所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点E在CD上.DE=1,点F是边AB上一

动点，以EF为斜边作RtAEFP.若点P在矩形ABCD的边上,且这样的直角三角形恰好有两个，则A

F取值范围是—.B

图10-21

分析因为△EFP是以EF为斜边的直角三角形，所以可以借助辅助圆的思想来分析问题，即作出以EF为直径的

00,观察。O与矩形ABCD交点的情况，则。。与矩形ABCD的交点就是所求作的点P.

①当F与点A重合时，如图10-22所示，此时点P有两个，一个与D重合，另一个交点在边AB上.

②当00与AD相切时，如图10-23所示，此时EF_LAB.因为AD=2,DE=1.所以AF=1厕OO与AD边的切点为P,交点P只有一个.

③当。O与BC相切时,如图10-24所示，连接OP,此时存在3个交点P,则OPLBC.设AF=x，则.BF=P1C=4-x,EP1=x-l.

1Y—1

•••OP//EC.OE=OF,：.OG==半

.:OF=OP=OG+GP=^+4-X=^.

在RtAOGF中，由勾股定理得:OF2=OG2+GF2,BP

（,=（/+/，解得久罟

.•.当1<4F<三时,如图10-25所示，符合条件的直角三角形恰好有两个.

④当F与B重合时,如图10-26所示，同①的方法，符合条件的直角三角形恰好有两个.

综上所述,AF=0或4或1<4F<£.

解答AF=0或AF=4或1<AF

小结本题综合考查了矩形的性质、勾股定理、圆的切线的性质、构造辅助圆、三角形中位线定理、圆的性质（直径所对的

圆周角是直角）、分类讨论、数形结合思想等知识.求解的关键是构造以EF为直径的。O,让点F从点A运动到点B,观察动圆O

与矩形ABCD的交点情况，画出相应的临界情况，求出对应的边界值，最后通过数形结合得出结论.

全真模拟训练

1.如图10-27是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上一点，AE=5,现要剪下一张等腰

三角形纸片（（A4EP）,使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是—.

2.当a<x<a+l时，函数y=必-2x+1的最小值为1,则a的值为（