初中数学暑假作业 平方根与立方根 练习题

限时练习：40min完成时间：____月____日天气：.

作业04平方根与立方根类型题精练

；—■c^c<

知识点i.平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于。，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

（2）求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数。的正的平方根表示为“«”，负的平方根表示为“-

正数。的正的平方根，叫做。的算术平方根，记作4.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

知识点2.算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术

平方根.记为

（2）非负数。的算术平方根。有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根。本身是非负数.

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借

助乘方运算来寻找.

知识点3.非负数的性质：算术平方根

（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性.

（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不

等式求解.非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题.

知识点4.立方根

（1）定义:如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说，如果一=°,那

么x叫做a的立方根.记作：y[a.

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

（3）求一个数。的立方根的运算叫开立方，其中。叫做被开方数.

注意：符号圾中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一

个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

知识点5.计算器一数的开方

正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：

当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，

即。每扩大(或缩小)100倍，。相应扩大(或缩小)10倍.

W9巩固提升练

题型一：算术平方根的非负性

1.已知X,y满足Jx-2+|y+3|=0,则x+y=()

A.-1B.1C.5D.-5

【答案】A

【详解】解：：7^+|>+3|=0,

x-2=0,>+3=0,

•・X=2,y——3,

x+y=—1,

故选：A.

2.若b为实数，且|a-l|+加工=0,则仅+方严?：()

A.1B.-1C.-2023D.2023

【答案】B

【详解】解：：而工=0,

.".i7—1=0,6+2=0,

:.a=\,b=—2f

(a+b)2021=-1,

故选：B.

3.若|Q+2|+VF=+(C+3)2=0则2a+6-c等于()

A.-6B.0C.2D.3

【答案】B

【详解】解：v|^+2|+VF^T+(C+3)2=0,+2|>0，VT^i>0,(c+3)2>0,

/.|(7+2|=yjb—\=(c+3『=0,

「・a+2=0,6—1=0,c+3=0,

/.a=-2,b=1,c=—3f

2Q+b—c=-2x2+1-(-3)-0,

故选：B.

题型二：平方根的估算问题

4.估计正的值应在（）

A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间

【答案】C

【详解】解：；4<7<9,

2<V7<3,

故选：C.

5.若3（后<4,则满足条件的。可能是（）

A.8B.9C.15D.18

【答案】C

【详解】解：,；3<G<4,

V9<s[a<y/l6，

9<a<16,即选项C符合题意.

故选C.

6.根据下列表格，估计^的大小（）

X1.611.621.631.641.65

2

X2.59212.62442.65692.68962.7225

A.在1.61〜1.62之间B.在1.62〜1.63之间C.在1.63〜1.64之间D.在1.64〜1.65之间

【答案】B

【详解】解：V2.6244<2.65<2.6569

/.J2.6244<>^65<也.6569

由表格数据可知：在L62〜1.63之间

故选：B

7.有一款计算器，显示屏最多能显示14位（包括小数点）的数，例如：计算几时，显示2.449489742783

于显示屏.现在，想利用这款计算器知道2.449489742783中3的下一位数字是什么，可以用这款计算器计

算下面（）的值.

A.10A/6B.10（76-2）C.10076D.76-2

【答案】B

【详解】解：；&>2.449489742783,

二10&a24.49489742783,有14位，不符合题意；

10（76-2）«10x0.449489742783=4.49489742783,有13位，符合题意；

10076«100x2.449489742783=244.9489742783,有14位，不符合题意;

灰-2ao.449489742783,有14位，不符合题意；

故选B

8.小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表.

X1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916

X2225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256

下面有四个推断：①VI而■=1.51;②一定有3个整数的算术平方根在15.5〜15.6之间；③对于小于15的

两个正数，若它们的差等于0.1,则它们的平方的差小于3.01.所有合理推断的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【详解】解：根据表格中的信息知：7228.01=15.1,

J2.2801=1.51,故①正确；

根据表格中的信息知：15.52?=240.25<“<15.622=243.36，

正整数241或242或243的算术平方根在15.5〜15.6,

二一定有3个整数的算术平方根在15.5〜15.6之间，故②正确；

；由题意设。=6+0.1且0<6<。<15,

上一1=(a+6)(。-6)=(26+0.1)x0.1=0.2b+0.01,

由0<6<a<15,

0.2b<3,

0.26+0.01<3.01,

.•.对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1,则它们的平方的差小于3.01,故③正确;

故选：D

9.若J(x-3.5)2=3.5-x，则正整数x的值为.

【答案】1,2,3

【详解】解：:"3.5)2=3.5一x，

x-3.5<0,

x<3.5

，正整数x的值为1,2,3.

故答案为：1,2,3.

10.已知J2017八44.91,V201.7-14.10,则-20.172.

【答案】4.491

【详解】解：：J2017州44.91，

AV20.17«4.491,

故答案为：4.491.

11.已知。是旧的整数部分，6=3,则的平方根是.

【答案】±3

【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得

a=3,6=9,然后问题可求解.

【详解】解：：3<加<4，6=3,

a=3,6=9,

；•sJab+54=j3x9+54=M=9,

A9的平方根是±3；

故答案为±3.

12.已知J历-2的整数部分是加，小数部分是〃，则加=，〃=.

【答案】2V19-4

【详解】解：历-2的整数部分是加，小数部分是〃，4<M<5,

m=2,«=719-2-2=719-4,

故答案为：2,V19-4.

13.如图，在甲、乙两个4x4的方格图中，每个小正方形的边长都为1.

.

图甲阳乙

（I）求图甲中阴影正方形的面积和边长；

（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长,

及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）.

解：（1）甲：面积=；边长=.

（2）乙：边长=,该边长的整数部分为该边长的小数部分为.

【答案】（1）10；V10;（2）V5;2；V5-2

【详解】解：（1）面积为4x4-4xklx3=10,

2

边长为：V10:

故答案为：io；Vio；

（2）正方形如图所示,

面积为3x3-4x'xlx2=5,

2

边长为:V5;

2＜退＜3,

该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为行-2.

故答案为：；2；^5-2

题型三：求平方根

14.2^的平方根是（）

4

A.:B.±-C.-D-±|

222

【答案】D

10

【详解】解：2：=/

44

故选：D.

15.若&=3,4b=l,则的平方根等于（）

A.6B.13C.36D.±6

【答案】D

【详解】解：,夜=3,y[b=2,

:・Q=9,6=4,

ab=36,

ab的平方根等于±6；

故选D

题型四：平方根与立方根的综合问题

16.下列说法不正确的是()

A.0的算术平方根是0

B.(-2『的平方根是2

C.正数的平方根互为相反数

D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

【答案】B

【详解】解：的算术平方根是0，

二选项A不符合题意；

V(-2)2=4,4的算术平方根是±2

•••(-2)2的平方根是±2,

二选项B符合题意；

•••正数的平方根互为相反数，

选项C不符合题意；

•••一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数，

选项D不符合题意，

故选：B.

17.已知2a-l的立方根为3,。+36-1的算术平方根为4,求。+26的平方根.

【答案】±4

【详解】解:由题意得2a-l=27,a+3b—\—\6,

解得：a=14,b=1,

贝!|a+2b=14+2=16,

(±4)2=16

+26的平方根是±4.

18.已知“加中0+36是。+36的算术平方根,2怨1_力是1_/的立方根,求助的平方根.

【答案】+3

【详解】解：：“々痂晶是。+36的算术平方根，

a-26-5=2①

,/2划―2是1_/的立方根，

，26+1=3®

由①②得：a=9,b=\

ab=9

・•・M的平方根为±3

19.已知2a-1的算术平方根是而，。-5b+1的立方根是-2.

(1)求。与6的值；

⑵求2a-6的立方根.

【答案】⑴。=6,6=3⑵衿

【详解】(1)解：••・2a-1的算术平方根是而，

2a—1=11,

解得：〃=6,

••・Q-56+1的立方根是-2,

•**a—5b+1=-8,

解得：b=3；

(2)由(1)知〃=6,b=3,

2。-6=2x6—3=9,

2a-6的立方根为衿.

题型五：利用平方根、立方根的性质解方程

20.求下列各式中的x的值：

(l)2x3=16;

(2)2(21)2-50=0；

【答案】⑴x=2⑵x=3或x=-2

【详解】(1)解:2/=16,

丁=8,

x=圾=2；

(2)2(2X-1)2-50=0,

2（2x-l『=50,

（21『=25,

2工-1=5或2尤-1=-5,

♦♦x=3x——2.

21.求下列各题中的x的值.

⑴（尤-1）3=64；

⑵2/=8.

【答案】（1）苫=5（2）尤=±2

【详解】（1）解：由（x-iy=64得：x-l=4,

解得：x=5；

（2）由2/=8得：*=4,

解得：x-±2.

题型六：平方根、立方根的应用问题

22.如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形/BCD内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩

大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长8C需要延长（）

A.3米B.3.5米C.4米D.4.5米

【答案】C

【详解】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为（5+x）米,

依题意得：（5+x『=52x3.24,

即（5+x『=81

/.5+x=±9

解得：玉=4,%=T4（不符合题意，舍去）,

.••需要延长边长4米.

故选：c

23.（2324七年级下•陕西安康・期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如图，他把

两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为2.25平方米，其中他用的一块木

板的边长为0.9米，求另一块木板的边长是多少米？

【答案】另一块木板的边长为L2米

【详解】解：设另一块木板的边长为x米，则*+0.92=2.25,即X2=1.44,

;（±1.2）2=1.44x>0,

x=1.2,

答：另一块木板的边长为1.2米.

24.如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用时间f

（单位：s）与细线长度/（单位：⑼之间满足关系f=当细线长度为1分米时，小重物来回摆动一

V10

次所用的时间是多少？5取值为3.14）

【答案】小重物来回摆动一次所用的时间是0.628秒

【详解】解:分米=0.1m,

:.t~2x3.14xj—=6.28x—=0.628（秒），

V1010

答：小重物来回摆动一次所用的时间是0.628秒

25.（2324七年级下•辽宁鞍山•期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块.

（1）求出这个铁块的棱长；

（2）现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方

体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长.

【答案】（1）8厘米（2）8厘米

【详解】（1）解：^512=8（厘米）

答：棱长为8厘米;

512-3X43=V64=8(厘米)

⑵解:

答：正方形的边长为8厘米.

26.王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）:

然后引导同学们解决以下两个问题:

（1）求Ji石的平方根;

解：由J话=4知，求J语的平方根也就是求4的平方根；J话的平方根是________；（填空）

⑵一个正数的平方根分别是。+5和2“+1,6-60的立方根是-4,求的值.

［答案】⑴±2（2）2

【详解】（1）J话的平方根是±2；

（2）•.•一个正数的两个平方根互为相反数

...（。+5）+（2a+1）—0,

••d——2,

•・"-60的立方根是-4,

**•Z?-60=(—4)3=—64，

b=—4,

：.a-b=-2-(-4)=2,

*2能力培优练

27.下列说法正确的是()

A.竽的平方根是B.-0.36的算术平方根是-0.6

C.±3是27的立方根D.(-7『的平方根是±7

【答案】D

【详解】解：A.1的平方根是土巫，故该选项错误，不符合题意；

B.-0.36的算术平方根是0.6,故该选项错误，不符合题意；

C.3是27的立方根，故该选项错误，不符合题意；

D.(-7)2的平方根是±7,故该选项正确，符合题意.

故选D.

28.(2324八年级下•四川泸州•期中)已知实数0、6满足而。+3+12)2=0,则2a+6=.

【答案】-2

【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握非负数的和为0时，各个非负数都等于0是解决本题的关

键.

【详解】解：•.•V^+(b+12)2=0,

X-/-Ja-5>0,(6+12)~N0,

..(2-5=0,6+12=0.

..—5,b——12.

/.2a+Z)-2x5—12=—2.

故答案为：-2.

29.某装修公司现有一块面积为64m2的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种

方案：

方案一：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料；

方案二：沿着边的方向裁出一块面积为60m2的长方形装饰材料，且长宽比为4:3.

王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由.

【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析

【详解】解：方案一可行.

•.•正方形木板的面积为64m2,

正方形木板的边长为版=8（m）.

如图所示，沿着E尸裁剪，

VBC=EF=8m,

二.只要使3£=3=60+8=7.5（111）就满足条件；

方案二不可行.理由如下：

设所裁长方形装饰材料的长为4xm、宽为3xm,

贝ij4.『3x=60,即12/=60，

解得x=（负值己舍去），

二所裁长方形的长为4退m,

,/475>8,

・••所裁长方形的长大于正方形的边长,

.•.方案二不可行.

30.如图，小华用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个的正方形.

（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3,且面积为

360cm2?

（3）小华手中有一个面积为628cm2的圆、请问，这个圆可以完全覆盖拼成的大正方形吗？请说明理由.（兀取

3.14)

【答案】(1)20(2)能(3)可以，理由见详解

【详解】(1)解：大正方形的边长是大x200=20(cm),

故答案为：20；

(2)解：设长方形纸片的长为4x。加，宽为3xcm,

则4尤-3x=360,

解得：x=±A/30,

根据题意得，x取正值，则尤=回，

则4x=4A/30(cm)>20(cm),

所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4:3,且面积为360cm2；

(3)解：这个圆可以以完全覆盖拼成的大正方形，

理由：设圆的半径为「cm,

则3.14/=628,

.-.r=10V2，

，圆的直径为20行cm，

••・大正方形的对角线长为200cm，

这个圆可以完全覆盖拼成的大正方形.

"拓展突破练

31.据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客的杂志上有一道智力题：一

个数是59319,希望求它的立方根.华罗庚脱口而出，得到正确答案.邻座乘客十分惊讶，忙问其中奥妙.华

罗庚给出了如下的解题步骤：

(1)由103=1000,10()3=1000000,1000<59319<1000000,所以159319是位数；

(2)已知59319的个位上的数字是9,所以病杀的个位上的数字是；

(3)如果划掉59319的后面三位319,得到59,而由33=27©=64,因为27<59<64,所以第59319的十位上

的数字是1

(4)综上所述，^59319=;已知，亚行丽是整数的立方，请你仿照华罗庚的方法，计算：VH7649.

【答案】⑴两(2)9(3)3(4)39；49

【详解】(1)解：由题意得，io〈病Ji5<ioo，

159319是两位数,

故答案为：两；

(2)解：：59319的个位上的数是9,只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9,

二W59319的个位数字是9；

(3)解：如果划去59319后面的三位319得到数59,而33=27“=64,所以27<59<64,即^59319的十位

数字是3,

故答案为：3.

(4)解；由(1)(2)(3)可知W59319=39;

第一步：因为1()3=1000，1003=1000000，1000<117649<1000000,

所以10<#117649<100.

第二步：因为117649的个位上的数是9,只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9,...址T标的个位

数字是9.

第三步：如果划去117649后面的三位649得到数117,而4,=64,5,=125,

64<117<125,

717649的十位数字是4,

第117649=49.

故答案为：39；49.

32.若用卜］表示任意正实数的整数部分，例如：［2.5］=2,［2］=2,［&］=1,则式子

［行］-［若］+［〃］-［石］+…+［而四-［而西+［画函的值为()(式子中的“+”，“一”依次相间)

A.22B.-22C.23D.-23

【答案】C

【详解】=1,22=4.

二.也与6之间共有2个数，

22=4>32=9,

与式之间共有(2x2+1)个数，

32=9.4?=16,

二.石与岳之间共有(3x2+1)个数，

L,

•.-44=1936,45?=2025，

.­.V1936与V2024之间共有(2x44+1)个数，

[V2]-[V3]+[V4]-[V5]+•••+[V2022]-[72023]+[V2024]

二(1-1)+(2-2+2-2+2)+(73+3-3+--+3-3)+••+(44-44+--+44)

5个27个389个4

=0+2-3+4-5+…+44

=2+1+1+---+1

21^1

=23.

故选C.

33.设小az是两两不等的实数，且满足下列等式：

sjx3(y-x)3-yjx3(z-x)3=yly-x-yjx-贝！J/+贯+一3中？的值为.

【答案】0

【详解】•・•炉G及77^7且工、/z是两两不等的实数，

.\y-x>0_Ex-z>0,

：.y>x>zf

vx3(y-x)3>0,x3(z-x)3>0,

二.％与3-%)、(z—x)均同号，或x=0,

XQy-x>0,z-x<0,故(n-%)、(z—x)不同号，

/.x=0,

：.d/_工1_小'(z_幻，=0=1y_x_->Jx—z=1J~y_5/—z，

)=-z,

x3+y3+z3-3xyz=0+y3+(-j^3)-0=0

故答案为0.

34.(2223七年级下•安徽淮北•阶段练习)请认真阅读下面的材料，再解答问题.

依照平方根(即二次方根)和立方根(即三次方根)的定义，可给出四次方根、五次方根的定义.

比如：若则X叫。的二次方根；若》3=°,则x叫。的三次方根；若尤4=。(90),贝口叫a的

四次方根.

(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；

(2)81的四次方根为；-32的五次方根为；

(3)若府万有意义，则。的取值范围是;若正有意义,则。的取值范围是;

(4)求x的值：1(2X-4)4-8=0.

【答案】⑴若/=〃，贝”口U。的五次方根⑵±3,-2⑶。A1,。为任意实数(4)x=3或x=1

【详解】(1)解：五次方根的定义：若/=“，则x叫a的五次方根；

(2)解：±病=±3,^/=^=-2；

故答案为：3,-2；

(3)解：是一个数的四次方，

:・Q—120,

6Z>1;

,若方不有意义，则a的取值范围是。21;

•布中。是一个数的五次方，

二”为任意实数.

故答案为：a>\,。为任意实数；

(4)解：1(2X-4)4-8=0,

.\!(2x-4)4=8,

(2尤-4『=16,

2x-4=+yf\6=±2,

2x-4=2或2x-4=-2,

♦♦x=3x—1.

35.(2223七年级下•北京西城•期中)如图，过点P作直线分别与直线NB,C。相交于£、尸两点，/尸尸C的

角平分线交直线于点M，射线"P交直线。于点N.设NEPN=x。,ZPEB=y°,ZPND=z°,其中x、

y、z满足（尤-80）+yj2x~y~20+|jp—z|=0.

(2)求证：ABHCD.

(3)过点尸作直线QR分别交直线/B于点Q,交直线C。于点凡且0不与M重合，R不与N重合.作NMQR

的角平分线交线段〃/于点S,直接写出ZFSQ与ZFPQ的数量关系.

【答案】(1)80；140；140(2)见解析(3)2NFSQ+N尸尸。=360。或尸=180°或=

【详解】(1)解：•:(》—80)+—y~20+1jv—z|=0,

x-80=0,2x~y~20=0,y—z=0,

解得：x=80,y—140,2=140,

故答案为：80；140；140.

(2)证明：如图，过尸作尸"〃

・•・/BEP+/EPH=T80。，

*.•ZBEP=140°,

：./EPH=40。，

•:/EPN=80。，

：./NPH=ZEPN-ZEPH=80°-40°=40°,

*.*/PND=140°,

・・・/HPN+/PNDH80。，

：.PH//CD,

■:PH//AB,PH//CD,

・•.AB//CD.

(3)解：当点。在线段班上时，过点S作ST〃/5,PV//CD,如图所示:

・・・AB//CD,

：.ST//CD,PV//AB,

：.ZQST=ZSQM,ZFST=ZSFC,ZMQP+ZQPV=,ZCFE+ZFPV=1^0°,

・・・QS是NM0尸的角平分线，尸M是NP尸。的平分线，

AZSQM=ZSQP=^ZMQP,/SFC=/SFP=；/CFE,

：.ZMQP=2ZSQM=2ZQST,ZCFE=2ZSFC=2ZFST,

.・.ZMQP+ZCFE=2ZQST+2ZFST=2(ZQST+ZFST)=2ZFSQ,

VZMQP+ZQPV=1SO°,ZCFE+ZFPV=1SQ0,

...ZMQP+ZQPV+ZCFE+ZFPV=360°,

2ZQST+AQPV+2ZFST+AFPV=