2024年江苏省无锡市新吴区中考一模数学试题

2024年江苏省无锡市新吴区中考一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.4的相反数是（

]_J.

A.4B.-4C.D.

44

2.函数产中，自变量x的取值范围是（)

A.x>5B.x<5C.x>5D.x<5

3.分解因式4y的结果是（)

A.(x+2y)(x—2y)B.2(x+y)(x-y)C.(x+4j)(x-4y)

D.4(X+J/)(X-J/)

4.已知一组数据：36、37、32、37、33,这组数据的众数和中位数分别是（）

A.36、32B.36、36C.37、32D.37、36

5.一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是三角形，这个几何体可能是（）

A.长方体B.二棱柱C.三棱锥D.圆锥

6.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.圆B.等腰三角形C.平行四边形D.菱形

7.已知正六边形的边长为2,则下列说法错误的是（）

A.内角均为120。B.外角和为360。C.面积为6百D.外接圆半径为行

8.如图，点4B、C、D、E在OO上，且N8+NE=165。，则①的度数为（）

A.15°B.20°C.30°D.35°

9

9.如图，第一象限的点/、2均在反比例函数＞=—的图象上，作轴于点C,BDlx

X

轴于点。，连接40、BO,若OC=3C。，则。。5的面积为（）

试卷第1页，共6页

10.地球、火星的运行轨道近似是同一平面内的以太阳为圆心的两个同心圆，“火星冲日”

是指火星、地球和太阳近似在一条直线上且地球位于火星与太阳之间的现象（如图所示），

17

已知火星绕太阳运行一周的时间近似是地球绕太阳运行一圈的时间的7倍（地球绕太阳运

行一圈需要一年），上一次火星冲日的时间为2022年12月8日，那么下次火星冲日的时间

最为接近的是（）

A.2024年12月10日B.2025年1月20日C.2025年2月10日

D.2025年3月20日

二、填空题

11.9的平方根是.

12.据统计，2024年无锡马拉松报名人数将近266000人，这个数据用科学记数法可记

为.

13.计算：2/..

fx=2

14.请写出一个解为。的二元一次方程组______.

[y=-3

15.已知圆锥的底面圆半径为4cm,侧面积为20兀cm?,则这个圆锥的母线长为cm.

16.我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起,

踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面

试卷第2页，共6页

的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板

便与高5尺的人齐(注：古时1步=5尺)，则这个秋千的绳索长为尺.

4

17.如图，在菱形4BCD中，taib4=§,点M是边N2的中点，点N是边4D上一点，若一

条光线从点M射出，先到达点N,再经反射后经过点C,则A黑N的值为.

18.如图，在“3C中，为边3C的中线，BC=2AC=6,AD=2,将八切。绕点。以

逆时针方向旋转得到A/'OU,点0、a分别与点4C对应，线段Z'C与边A8交于点G,

连接。G,则线段DG长的最小值为.

三、解答题

19.计算:

(1)(-1)2+|-2|-2COS60°；

(2)(2a+bp-4a(a+6).

32

20.(1)解方程：-----=0；

xx-2

3x-2Vx+2①

(2)解不等式组:

x—5<2,x—6(2)

21.已知：如图，在Y/BCD中，BE、。厂分别平分N4BC、ZADC.

求证:

试卷第3页，共6页

(□△ABE必CDF；

⑵BE〃DF.

22.如图，时下有一种四人对战桌游十分流行，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位

/、B、C、。.小明和小张一同报名参加了这项桌游.

(1)小明抽中4座位的概率为；

(2)若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小明和小张成为盟友的概率.(请用“画树

状图”或“列表”等方法写出分析过程)

23.某校为落实中央“双减”精神，拟开设古风诗社、工程教育、玩转物理、博物历史四门校

本课程供学生选择.为了解该校八年级800名学生对四门校本课程的选择意向，陈老师做了

以下工作：①整理数据并绘制统计图；②抽取40名学生作为调查对象：③结合统计图分析

数据并得出结论；④收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据.

(1)请按数据统计的规律对陈老师的工作步骤进行正确排序.

(2)以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是()

A.随机抽取八年级三班的40名学生B.随机抽取八年级40名男生

C.随机抽取八年级40名女生D.随机抽取八年级40名学生

(3)如图是陈老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都

做出了选择，且只选择了一门课程.若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息.

诗社教育物理历史

①补全条形统计图；(画图后请标注相应的数据)

②估计该校八年级至少应该开设几个工程教育班？

24.天气渐热，某商家购进一种冰镇饮料，每瓶进价是4元，并规定每瓶售价不得少于6

试卷第4页，共6页

元，日销售量不低于40瓶，根据以往销售经验发现，当每瓶售价定为6元时，日销售量为

60瓶，每瓶售价每提高1元，日销售量减少5瓶，设每瓶售价为x元，日销售量为0瓶.

(1)当x=8时，P=；

(2)当每瓶售价定为多少元时，日销售利润攻(元)最大？最大利润是多少？

(3)判断命题：“日销售额最大时，日销售利润不是最大”是命题(填“真”或"假”)，并

说明理由.

25.如图，是。。的内接三角形，为直径，CD为。。的切线，切点为C,且AD

垂足为点。，连接/Z).

(1)求证：BC平分/4BD；

(2)若48=4,80=3,求40的长.

26.如图，在大小为8x6的正方形网格中，Y/BCD的顶点均是网格线的交点，对角线/C、

8。交于点O.如果对于一个平行四边形，两条对角线将它分成4个小三角形(对角线的交

点是每个小三角形的一个顶点)，那么我们把依次连接每个小三角形的重心所得的四边形称

为这个平行四边形的重心四边形.

(1)请在图中仅用无刻度的直尺作出“05的重心E；(不写作法，保留作图痕迹)

s

(2)若YABCD的面积记为E,YABCD的重心四边形EBG/Z的面积记为邑,求7k的值.

27.如图，已知抛物线＞=亦2+笈(040)顶点的纵坐标为一4,且与x轴交于点“(4,0).作

出该抛物线位于x轴下方的图象关于x轴对称的图象，位于x轴上方的图象保持不变，就得

到＞=的图象，直线y=(左＞0)与卜=辰2+研的图象交于。、B、C三点.

试卷第5页，共6页

⑴求a、6的值；

（2）新定义：点M（乙，几）与点N（X",匕）的“折线距离”为p[M,N）=\xm-xn\+\ym-y].已知

①求左的值；

②以点3为圆心、03长为半径的。2交NZOC的平分线于点。（异于点。），交x轴点E

（异于点。），求。（2£）的值.

28.已知在“3C中，48=NC,点。为直线/C上一动点，连接2。，将△43。沿8。翻

折至同一平面内，得到AHAD.

（1）如图1,当点。在线段/C上时，若NBAC=60。,4DLBC于点、E,CE=1,求BE的长；

（2）如图2,当点。在线段。的延长线上时，连接4C,分别交5。、AB于点、E、F,若

6EF

/A'BA=/DAB,AB=—AD,求——的值；

5CF

（3）如图3,当点。在线段/C的延长线上时，连接44',分别交BC、BD于点、M、H,若

BC=m,AA'=n（m^n）,CM=A'M,请直接写出//3C的余弦值.（用含小、〃的代数式

表示）

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.B

【详解】试题分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答.

所以4的相反数-4.

故选B.

考点：相反数.

2.C

【详解】根据题意得x-5K),

所以x>5,

故选C.

3.A

【分析】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键.

直接利用平方差公式：=+分解因式得出答案.

22

【详解】解：x-4y=(X-2y)(x+2y).

故选：A.

4.D

【分析】本题考查了众数和中位数的定义，掌握众数和中位数的定义是解题关键.

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中

位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为：32、33、36、37、37.

其中37出现次数最多，所以这组数据的众数是37,中位数是36.

故选：D.

5.C

【分析】此题考查由三视图判断几何体，关键是根据三视图里有两个相同可确定该几何体是

柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状.找到从正面、左面和上面看得到的图

形都是三角形的几何体即可.

【详解】解：•••主视图和左视图都是三角形，

此几何体为锥体，

:俯视图是一个三角形，

答案第1页，共23页

.♦•此几何体为三棱锥.

故选：C.

6.B

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可.

【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的问题，掌握轴对称图形和中心对称图形的

定义以及性质是解题的关键.

7.D

【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的关键.根据正六边形的

性质分别计算即可，

【详解】解：如图，

4个..N。正六边形/灰力跖的内角和为：（6-2）xl80°=4xl80°=720°,

BC

・二每个内角的度数为：720.6=120。,

因此选项A不符合题意；

由于任意多边形的外角和都是360。，

因此选项B不符合题意；

如图，•.・正六边形/5C0E7"

•/OM1AB,OA=OB,

「.△ZQB是正三角形，

ZOAB=AOBA=60°,OA=OB=AB=2,

即外接圆的半径为2,

答案第2页，共23页

因此选项D符合题意；

在RtZk/(W中，OA=2,ZOAM=60°,

:.OM=—OA=y/3,

2

一SjE六边形^BCDEF

=6x—x2xV3

2

=65/3,

因此选项C不符合题意；

故选：D.

8.C

【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形对角互补是解

题的关键.连接瓦)，根据圆内接四边形的性质得到NB+NAED=180°,根据题意求出NCED,

根据圆周角定理求出CD的度数.

【详解】解：如图，连接成)，

产「四边形ABDE为。。的内接四边形,

:.ZB+ZAED=1SQ°,

•••ZB+ZACE=165°,

ZC^Z>=180o-165°=15°,

・•・丽的度数为30。,

故选：C

9.D

【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义坐标与图形，熟知反比例函数k的几何意义是

解本题的关键.设CZ)=〃，则。C=3CZ)=3Q,列示求出S梯形Ze"即可求出结论.

【详解】解：设C0=〃，则OC=3CD=3〃，

：.OD=OC+CD=4a,

答案第3页，共23页

一9

・・•点/、吕均在反比例函数y=—的图象上，作轴于点C,轴于点。，

x

.•.点,四边形/C03为直角梯形，

39

；・AC=—,BD=—,

a4a

i"39'21

•*-S»^ACDB=T（AC+BC[CD=--+J7P=丁，

z，1a4。）o

根据反比例函数比例系数的几何意义得：S&oAC=S&OBD，

*S&AOB=Sme+S梯形4c£）8-SAOBQ='梯的CDB=,

故选：D.

10.B

【分析】本题考查一元一次方程的应用，一年按365天计算，地球绕太阳运行一圈每天旋转

26。360

罢度，火星绕太阳运行一圈每天旋转W度,下次火星冲日时，地球比火星多旋转一

365363*歹

圈，即多旋转360度，由此列一元一次方程，即可求解.

【详解】解：设自2022年12月8日起，x天后火星再次冲日，

360360…

,__-----x=--------x+360

由题思得：3652久；17,

365x—

9

JC=2X365+45-,

8

.•.在2年45,天后，即2025年1月22日左右，火星再次冲日，

O

B选项中的2025年1月20日最为接近，

故选B.

11.±3

【分析】根据平方根的定义解答即可.

【详解】解：：（±3）2=9,

：.9的平方根是±3.

故答案为±3.

【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平

方根是0;负数没有平方根.

12.2.66xlO5

答案第4页，共23页

【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.将一个数表示

成0X10"的形式，其中〃为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得

答案.

【详解】解：266000=2.66xl05,

故答案为：2.66xlO5.

13.a6

【分析】本题考查了整式的混合运算，利用同底数塞的乘法、幕的乘方运算法则先运算，再

合并同类项即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键.

【详解】解:原式=2/-/"

故答案为：a6-

(x+y=-l

14..匚(答案不唯一)

[x-y=5

【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知

数的值.由2+(-3)=-1,2-(-3)=5列出方程组即可.

【详解】

x+y--l

解：根据题意得:

x-y=5

x+y=—1

故答案为:<（答案不唯一）

x-y=5

15.5

【分析】本题考查的是圆锥的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键.根据扇形面积公式计

算即可.

【详解】解：设圆锥的母线长为xcm,

由题意得：，x2;rx4xx=20万，

2

解得：x=5,

这个圆锥的母线长为5cm

故答案为：5.

16.14.5

【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.设这个秋千的绳索

答案第5页，共23页

AD=AC=x,则4B=x-4,根据勾股定理得到/=(x-4y+10?,求出x的值即可.

贝l]/O=/C=x,

■：BE=FD=5,CE=1,

AB=AC+CE-BE=x+1-5=x-4,

；80=10,AD2=AB2+BD2.

X2=(x-4)2+102,

x=14.5,

这个秋千的绳索有14.5尺.

故答案为：14.5.

11

17.—

4

【分析】如图，作人化，/。于E,作CF_L4D于尸，设菱形的边长为10〃z,点M是边

的中点，表示=AE=3m,可得DE=7tn,CF=Sm,DF=6m,设EN=x,可

得DN=7m-x,FN=13m-x,证明AACVESACNF,再进一步利用相似三角形的性质可得

答案.

【详解】解：如图，作腔_L/O于E,作于尸，

答案第6页，共23页

设菱形的边长为10加，点M是边45的中点，

AM=BM=5m,AD=BC=CD=AB=10m,AB//CD,

4

taiL4——j

3

EM4

-----=—,EM=4m,AE=3m,

AE3

DE=7m9

AB//CD,

：./CDF=乙4,

4

tanZ.CDF=—,

3

CF=8m,DF=6nl,

没EN=x,

DN=7m-x,FN=\3m-x,

VAMNE=ZCNF,/MEN=/CFD=9W,

：.AMNES^CNF,

,ENME

・•丽-ZF'

.x4m

••=,

13m-x8m

13

解得：x=-m,

・…r1322

..AN—3m-\----m=——m,

33

[38

DN=7m-----m=—m,

33

22

.AN_^m

,•而=『=W，

—m

3

故答案为：,

4

答案第7页，共23页

【点睛】本题考查的是菱形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，属于

跨学科的题，作出合适的辅助线是解本题的关键.

18.-V2

3

【分析】本题考查三角形中的旋转问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关

键是利用旋转的性质求解.作先证明ACN。为等

腰三角形，可得

AE=DE^^AD=\,由勾股定理得。石=，3-/炉=2&，由三角形面积公式得

S-2V2,由$./8=工/0。，=,。〃=2也，可得。〃=±逝＜8。=3,再求出

△ACD4mu223

AF=^41,当AADC绕点D逆时针旋转时,H的对应点一定在4B上，故H的对应点为G,

此时DG取最小值，即可得到答案.

【详解】解：如图所示，作CEL4D,DHShCD,DH'；B,

且/。为边BC的中线,

：.AC=DB=DC=3,

:aCAD为等腰三角形，

­：CE±AD,

AE=DE=-AD=1,

2

Rt△力CE中，CE=>JAC2-AE2=2-V2，

S=-*AD^CE=-X2x2后=2后，

AArn22

•••S=--AC-OH=-DH=2A/2,

AACcDn22

:.DH=->/2<BD=3,

3

S.rn=--CD-AF=-AF=2A/2,

“CD22

:.AF=-s/2,

3

答案第8页，共23页

DH'1.AB,S.„=-BD-AF=-AB-DH'

7AABnD22

BD<AB,

:.DH'<AF=-41=DH,

3

.,.当△MC绕点。逆时针旋转时，〃的对应点一定在能43上，

故当〃的对应点为G,此时。G取最小值，即==

19.(1)2

⑵〃

【分析】此题考查了有理数的乘方，绝对值，特殊角的三角函数值，完全平方公和单项式乘

以多项式

(1)首先计算有理数的乘方，绝对值和特殊角的三角函数值，然后计算加减；

(2)首先计算完全平方公和单项式乘以多项式，然后合并即可.

【详解】(1)(-1)2+|-2|-2COS60°

=1+2-1

=2.

(2)(2〃+bp-4。(a+6)

—4。2+4ab+b2—4”？—

=b1.

20.

(1)x=6；(2)1<x<2

【分析】本题考查解分式方程和解不等式组，关键是根据解分式方程和解不等式步骤解答.

(1)根据解分式方程的步骤解答即可，注意检验；

(2)根据解不等式组的步骤解得即可.

32

【详解】解：(1)----------=o,

xx-2

去分母得：3(尤-2)-2x=0,

去括号得：3x-6-2%=0,

移项得：3无-2尤=6,

答案第9页，共23页

合并得：x=6,

经检验x=6为原方程的根；

j3x-24x+2①

(2)1%-5<2,x-6@'

解不等式①得：%<2,

解不等式②得：x>l，

所以不等式组的解集为：1<XW2.

21.(1)详见解析

(2)详见解析

【分析】对于(1),根据平行四边形的性质得===再说明

ZABE=NCDF,然后根据得出答案；

对于(2),根据全等三角形的性质得/E=c尸，进而说明=B尸，可根据“一组对边平行且

相等的四边形是平行四边形”说明四边形出明£为平行四边形，最后根据平行四边形的性质

得出答案.

【详解】(1)因为YABCD,

所以=CD,NA=ZC,ZABC=ZADC.

因为BE、。尸分别平分NN8C、NADC,

所以ZCDF=-ZADC,

22

所以ZABE=NCDF.

ZA=ZC

在△ABE和xCDF中｛=CD,

NABE=ZCDF

所以△4BE9△CDF(ASA)；

(2)因为△48E四△CDR,

所以/E=CF.

因为4D=BC,

所以AD-AE=BC-CF,

DE=BF,

答案第10页，共23页

因为DE〃BF,

所以四边形3FDE为平行四边形.

所以BE〃DF.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的

定义，灵活选择平行四边形的判定定理是解题的关键.

22.⑴：

*

【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式

是解答本题的关键.

（1）直接利用概率公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小张成为盟友的结果数，再利用概率公式

可得出答案.

【详解】（1）解：由题意得，小明抽中/座位的概率为1；

（2）列表如下:

ABCD

小

A(A.H)(A,C)(A,D)

B(B.A)C)(B.D)

CA)(C.B)(CtD)

D(D.A)(D.B)(D,C)

共有12种等可能的结果，其中小明和小张成为盟友的结果有：（4C）,（B,。），（C,A）,

（D,B）,共4种结果，

41

•••小明和小张成为盟友的概率为丘=3.

23.⑴②④①③

⑵D

（3）①见解析；②估计该校八年级至少应该开设4个工程教育班

【分析】本题考查条形统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

答案第11页，共23页

(1)根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可；

(2)根据抽样调查的特点解答即可；

(3)①用总人数分别减去选择其它三门课程的人数，即可得出选择工程教育的人数，进而

补全统计图；

②根据样本估计总体思想解答即可.

【详解】(1)根据数据的收集与整理的具体步骤可判断顺序为：②④①③，

故答案为：②④①③；

(2)抽取40名学生最合适的方式是：D,随机抽取八年级40名学生

故答案为：D；

(3)①选择工程教育的人数为：40-16-4-12=8(人),

补全条形统计图如下:

人数

诗社教育物理历史

Q

②估计该校八年级选择工程教育的人数为：800X-.160(人),

160,,人、

——=4（个），

40

答：估计该校八年级至少应该开设4个工程教育班.

24.(1)50

(2)当每瓶售价x=10时，日销售量w最大，最大利润为240元

(3)真，详见解析

【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解决问题的关键是弄清题意，列出函数解析式并

求出x的取值范围.

(1)根据每瓶售价每提高1元，日销售量减少5瓶，当x=8时，售价提高2元，则日销售

量减少10瓶，即可得出结论；

(2)根据每瓶利润x日销售量=总利润，可得坟关于x的关系式，再根据题意求出自变量的

答案第12页，共23页

取值范围，由二次函数性质可得答案；

(3)设日销售额为y元，根据日销售额=销售单价x销售量列出函数解析式，根据函数的性

质求出y取最大值时x的值，再求出此时的利润即可判断.

【详解】(1)解：0=60-5x(8-6)=6070=50,

故答案为：50；

(2)由题意可得，。=60—5(尤—6)=—5x+90,

贝I]w=(x-4)(-5x+90)=-5(x—11『+245,

•每瓶售价不得少于6元，日销售量不低于40瓶，

fx<6

*[-5x+90>40'

解得6WxW10,

V-5<0,

,当尤=10时，w有最大值,最大利润为240,

答：当每瓶售价定为10元时，日销售利润卬(元)最大，最大利润是240元；

(3)设日销售额为y元，

贝l]y=x(-5x+90)=-5(x-9『+405,

-5<0,6WxW10,

二当尤=9时，日销售额y有最大值为405元，

而此时日销售利润W为225元，不是最大，

所以原命题是真命题，

故答案为：真.

25.(1)详见解析

⑵/。=而

【分析】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、解直角三角形等

知识，证明8c平分ZABD和AABC^CBD是解题的关键.

(1)连接OC,证明OC〃BD,则NCBD=ZOCB，在中，OC=,则ZOBC=ZOCB,

得到=即可证明结论；

答案第13页，共23页

(2)证明得到BO?=/氏5。=4*3=12,则8。=26，由

(^/05。=9=@得到/08。=30。，则乙48。=2/。5。=60。，过点。作。于

AB2

点、H,求出DH=>栏,BH=>,得至=—5〃=*.在Rt△力。〃中，由

222

AD=yjAH2+DH2即可求出答案•

【详解】(1)连接。。，

D

：.OC1CD

BDLCD,

：.ZOCD+ZCDB=\SO0,

・・・OC//BD,

：.NCBD=ZOCB

在。。中，OC=OB,

：./OBC=/OCB,

：./CBD=/OBC,

・・・BC平分N4BD

(2)・・,4B为直径，

・•・ZACS=90°f

•・,BDLCD,

：.NBDC=90。

：.ZACB=ZBDC

ZCBD=/OBC,

AABCs^CBD.

答案第14页，共23页

BCAB

Aa]a

/.DH^BD-sinZABD=3x—==BD-cosZABD=3x-

2222

AH=AB-BH=-.

2

.•.在RMZD〃中，AD=ylAH2+DH2=

26.（1）详见解析

（2）1

【分析】本题考查应用与设计作图，平行线等分线段定理，平行线分线段成比例定理，相似

三角形的判定和性质，能用同一个两表示出相关三角形的面积是解题的关键.

（1）根据网格特点和平行线等分线段定理即可作出点E；

（2）根据平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，可设设△尸。£的面积为2x,

则V4PE的面积为4x,/\MOE的面积为3x,从而得到A/QM的面积为9x,即可解决问

题.

【详解】（1）如图1所示，则“05的重心E即为所求；

答案第15页，共23页

(2)如图2,

可知MV〃4O,

:AMNESAAOE,

•MNME

一而一方一2'

:.PE//BO,

.PO_ME_\

…17一而一5'

设△尸。£的面积为2x,则V/PE的面积为4x,4MOE的面积为3x,

:.^AOM的面积为9x,

,S-S加.9x=9

27.(l)a=l,6=T

(2)①g；②个

【分析】（1）由待定系数法即可求解；

（2）①求出点8（4-左,_/+4左），点C（4+£公+妹），由。（。*卜耳民。），即可求解；

②求出点尸］|,3）得到直线0©的表达式为：y=^x,设点01加，3加］、点£（x,0）,贝IJ

OB=BD=BE,即可求解.

【详解】（1）解：•••抛物线了="2+乐（0*0）顶点的纵坐标为一4,且与x轴交于点/（4,0）.

•••顶点的坐标为：（2,-4）,

答案第16页，共23页

则抛物线的表达式为：y=a（x-2『-4,

将点0（0,0）代入上式得：0=a（0-2）2-4,

解得：4=1,

则抛物线的表达式为：y=（x-2『-4=/—4x,

即a=1,b=—4；

（2）解：①由函数的对称性，翻折后抛物线的表达式为：歹=-f+4x,

联立上式和y=Ax得：-工2+4'=点，

解得：x=4-k,x=0,

即点—k,—k2+4左），

同理可得，点C（4+左,/+4左），P（M,N}=\xm-xn\+\ym-yt\

；p（O,B）=p（B,C）,

：.4-k-k2+4k=4+k-4+k+k2+4k+k2-4k,

4

解得：k=-l（舍去）或§；

②由①知，点5的坐标为：（|，引，

4

则直线03的表达式为：N=]X，

在。上取点M（3,4）,则0M=5,

作轴于点N,交0。于点P,过点尸作PTLOB于点7,

答案第17页，共23页

:.设PT=PN=x,贝|PM=4-x,ON=OT=3,贝UMT=5-3=2,

在RIAPMT中，由勾股定理得：MP2=PT-+MT2，

即（4-Jr）?=/+2。,

3

解得:x=—

2

I]

则点尸3,

由点P的坐标得，直线OD的表达式为：＞=gx，

（加■加）、点E（x,O）,

设点。

则OB=BD=BE,

2

8

即

3

解得：m=—,x=—,（不符合题意的根舍去）

即点D、£的坐标分别为：UF]'fj,0）,

64163216

则夕（。1）=瓦一+一

39T

【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解函

数的解析式，一元二次方程的解法，同圆的半径相等，勾股定理的应用，理解题意，选择合

适的方法解题是关键.

答案第18页，共23页

28.(l)5E'=2V3+3

⑵I

I3

(3当

\\m2—mn+n2

【分析】(1)先证明。BC是等边三角形，得到48=/C=3C,NC=N/=60。，由折叠的性

质可得H2=AB,AD=A'D,N4=N/=60。，解RMCED得到CD=2,DE=。,设BE为

x,则8C=/C=42=x+1,则NO=4Z)=x-l,A'E=x-l-s/3,解RtA/'BE得到

A'B=2A'E,则X+1=2(X-1-6),解得X=26+3,即3E=26+3;

(2)如图2,过点C作CG〃HB交射线A4于点G,过点C作C臼〃4D交射线。8于点a,

先证明/4。〃=/〃=/。?〃，得到C〃=C£>=N8+/D,设AB为6k,AD为5k,贝U

A'PA'lJA1J5

CH=CD=11左，证明LA'DEs△CHE得到-----=------==一，可设A'E为5m,CE为11加,

CECHCD11

则HC为16加，再证明NC4G=/G得到CG=ZC,进而证明^©必会2\。a76人5),得到

AF=CF=—ArC=8m,则EF=Sm-5m=3m,

2

即可得到其=];

Cro

(3)过点A作“NL3C于N,设HN=CA/=x,则BN=GV==g加，进而得到

BM=m-x,AM=n-x,MN=x-^m,在RtANJVW中，由勾股定理得

AN2=-2wc+n2+mx--m2；由折叠的性质可得AD_L44',AH=-AA'=-n,贝i]

422

MH=-n-n+x=x--n,在中，由勾股定理得=-2mx+加？-；在

224

中，由勾股定理得452=—2加x+冽2+双；在RtZUBN中，由勾股定理

221

AB=BN+AN贝！J一2mx+加之+〃％=J_加2-2〃x+〃2+7nx一,加2,可得x=冽+♦,贝

443

,八2-mn+n2*〜入，八」,八』BNm/3

AB'==----------------；在Vi/\ABN中，cosZABN=——=—.—..................

3AB2\m-mn+n7

【详解】⑴解：如图1,・・・/g=/C,ZBAC=60°,

***。是等