2024年广东省湛江市廉江市中考二模数学试题

2024年广东省湛江市廉江市中考二模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.-2024的绝对值是（）

1

A.2024B.-2024C.------D.

20242024

2.若N1和N2互补，Zl=136°,则N2的度数是（）

A.44°B.46°C.54°D.56°

3.中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱.如图，在象棋棋盘上建

立平面直角坐标系，若“盾’的坐标为（1,2）,“尊，的坐标为（-2,2）,贝心炮”的坐标为（）

C.（3,1）D.（4,0）

4.下列运算正确的是（）

A.“4.=白12B.31-2a2=1

C.4。3+2。3=2。D.（-3a）3=-27a3

5.如图，在多边形48CDEF中，若4CD=80。，则44+/5+/。+/£+/尸的度数为（）

A.250°B.330°C.440°D.540°

f4x-5<3

6.不等式组0°、।的解集是（）

[2x+2>x-1

A.-2<x<3B.-2<xV3C.-3<x<2D.-3<x<2

7.某校组织九年级学生开展体育中考前的“引体向上提升”训练活动.下面统计的数据分别

是甲、乙两位同学参加体育“引体向上”项目训练记录的八次成绩（单位：个）：

试卷第1页，共6页

甲：8,12,8,10,7,9,10,10；

乙：8,9,7,10,9,11,10,11.

则甲同学这八次训练成绩的众数和乙同学这八次训练成绩的中位数分别是（）

A.8,9B.9,11C.10,9D.10,9.5

8.分式方程2上7=3一■的解是（）

x+1x-1

A.x=-5B.x=5C.x=-3D.x=-1

9.如图，是。O的内接等腰三角形，AB=AC,ZACB=70°,则的度数是（）

A.40°B.45°C.50°D.55°

10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数卜=1/+6的图象与反比例函数>的图象交

于点/（见6）,8（4,-3）,一次函数的图象与x轴交于点C.则下列结论不正确的是（）

A.反比例函数的表达式为夕=

X

B.一次函数的表达式为y=-3；x+3

C.当$>/x+6>0时，自变量x的取值范围为一2<x<0

D.线段/C与线段3c的长度比为3:1

二、填空题

11.因式分解：2-2x2=.

12.计算：（加一延卜6=.

13.据海关总署广东分署消息，自去年10月海关总署《推动加工贸易持续高质量发展改革

试卷第2页，共6页

实施方案》实施以来，惠及全省超7000家加工贸易企业.今年前2月，广东加工贸易进出

口2723亿元，增长1.1%.数据“2723亿”用科学记数法表示为.

14.若关于x的一元二次方程--2(4+1卜+/+5=0有两个不相等的实数根，则整数。的

最小值为.

15.如图，在Rt^ABC中，/A4c=90。，。是边8C上的一点，连接力。，分别以点4。为

圆心，大于“的长为半径画弧，交于MN两点,作直线M交于点八连接小.若

DE1AB,则/ZX4c的度数是.

16.如图，在边长为6的正方形4BCD内部存在一动点P,且满足尸。=40,连接尸3,尸C,

三、解答题

17.计算：2sin45°-^8+(3-7i)°+(-1)2024.

18.先化简，再求值：(a-2/))*+(2a-b)(2a+b)-a(a-4b),其中a=-l,6=2.

19.如图，。为线段BC上的一点，都是等边三角形，连接CE.若

AB=6,BD=2DC,求CE的长.

20.为促进学生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某校就学生对:，.实

试卷第3页，共6页

心球；B.立定跳远；C.跑步；D.跳绳，四种体育活动项目最喜欢的情况进行调查，随机

抽取了部分学生，并将调查结果绘制成如图1,图2的统计图，请结合图中的信息，解答下

图1图2

(1)本次被抽取的学生总人数是,将条形统计图补充完整.

(2)随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中再任

意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率.

21.为了进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下积极种植果树发家致富，准备种

植43两品种果树.根据市场调查，若种植3000亩/品种果树和5000亩8品种果树，总

收入为3000万元；种植5000亩/品种果树和3000亩2品种果树，总收入为3400万元.

(1)种植43两品种的果树，平均每亩的收入分别为多少万元？

(2)该村设计规划种植果树的林地共6000亩，且种植/品种果树的面积不超过3品种果树面

积的1.5倍，应该如何种植这两个品种的果树才能使得总收入达到最大？最大收入是多少？

22.在“五一”期间，贝贝同学参加社会实践活动，在“励志书店”帮助店主销售科普书籍.店

主嘱咐，这些科普图书以30元的价格购进，根据有关销售规定，销售单价不低于30元且不

高于45元.贝贝同学在四天的销售过程中发现，每天的科普图书销量了(本)与销售单价尤

(元)之间存在一次函数关系，对应如下表：

销售单价X/元32404245

销售数量W本56403630

⑴求出V与x之间的函数关系式，并写出尤的取值范围.

(2)若某天销售科普图书获得的利润为400元，则该天销售科普图书的数量为多少本？

23.如图，在RtZX/BC中，ZABC=90°,以43为直径的O。交/C于点D。恰好是弧N2

的中点，E是边48上的一点(点E不与点48重合)，DE的延长线交于点G,。尸_LDE,

试卷第4页，共6页

且交8C于点尸，连接BD,BG,EF.

(1)求证：DE=DF;

Q)若AE=3,BE=6,求3G的长.

24.如图，抛物线+6x+c与x轴交于43(2,0)两点，与V轴交于点C(0,-6),对称

(1)求抛物线的表达式.

(2)点£在直线/C下方的抛物线上运动(不含端点4C),连接N£,CE,3C,当四边形4EC3

的面积最大时，求出面积的最大值和此时点E的坐标.

⑶连接BC,。是线段/C上的一个动点，过点。作3C的平行线/.在直线/上是否存在点H,

使得以点。,G瓦”为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点b的坐标；若不存在，请

说明理由.

25.在等腰AABC中，AB=AC,线段上存在一动点£(不与点民C重合)，连接ZE.将

线段/E绕点A按逆时针方向旋转与/A4c相等的角度，得到线段即，连接EE分

别是线段BCE厂的中点.

图1图2图3

试卷第5页，共6页

⑴如图1,若NB4C=60。，当E恰好是边8C的中点时，H=,/NMC的度数为

BE

(2)如图2,若4a4c=60。，当E是边8C上的任意一点时(不与点民c重合)，上述两个结论

是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

(3)如图3,若NBAC=9V,AB=3G，当点G在边8c上，且CG=；C3,在点£的运动过

程中，求线段GN的最小值.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果.

【详解】解：-2024的绝对值是2024.

故选：A.

2.A

【分析】本题主要考查补角，根据两角和为180。，这两角互补求解即可.

【详解】解：和/2互补，

Zl+Z2=180°,

Zl=136°,

Z2=180°-Z1=180°-136°=44°,

故选:A.

3.C

【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据“焉”和“隼”的坐标建立坐标系,

进而得到“炮”的坐标即可.

【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，

.♦•炮”的坐标为(3,1),

【分析】本题主要考查了同底数幕乘除法计算，积的乘方计算和合并同类项，熟知相关计算

法则是解题的关键.

【详解】解：A、原式计算错误，不符合题意；

B、3/-2/=/,原式计算错误，不符合题意；

C、4/-2/=2,原式计算错误，不符合题意；

D>(-3a)3=-27a3,原式计算正确，符合题意；

答案第1页，共16页

故选：D.

5.C

【分析】本题考查多边形的内角和定理，用多边形的内角和减去180。与NBC。的差值，进

行计算即可.

【详解】解:如图所示，连接&D

•..多边形N2DE尸的内角和为（5-2）x180。=540。,

...N4+ZABC+ZCDE+NE+NF=540°-（180°-NBCD）=440°；

故选C.

6.C

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取

大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可.

【详解】解“4[4x--5<3I①②

解不等式①得：x<2,

解不等式②得：x>-3,

•••不等式组的解集为-34x<2.

7.D

【分析】本题主要考查了中位线和众数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的那个

数，求出甲同学训练成绩的众数即可.根据中位数是将这组数据按大小顺序排列后，处于中

间位置的那个数（或中间两个数的平均数）求出乙同学的平均数即可.

【详解】解：甲同学八次训练成绩出现次数最多的数是10,因此甲同学训练成绩的众数是

10；将乙同学八次训练成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数分别为9,10,则乙

同学这八次训练成绩的中位数是第=9.5.

故选：D.

8.A

答案第2页，共16页

【分析】本题主要考查解分式方程，先把分式方程化为整式方程，求出X的值，代入公分母

进行检验即可;

23

【详解】解:

x+1x-1

去分母得，2（^-l）=3（x+l）,

解得，x=-5,

经检验，x=-5是原方程的解,

即方程的解是》=-5,

故选：A

9.C

【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，先根据等边对等角

得到//BC=Z4C5=70。，由圆周角定理得到a4O3=2N4CB=140。，贝（I

AOBA=ZOAB=20°,进而可得ZOBC=ZABC-ZOBA=50°.

【详解】解：•♦•NB=/C,/ZC8=7O。，

ZABC=ZACB=70°,

,/OB=OA,ZAOB=2ZACB=140°,

AOBA=ZOAB=180。-/‘08=2()O,

2

ZOBC=ZABC-Z.OBA=50°,

故选：C.

10.D

【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，利用图象法比较两个函

数的大小，以及一次函数与坐标轴交点，勾股定理求两点间距离，体现了数形结合思想.根

据相关知识求解，并判断，即可解题.

【详解】解：•••反比例函数＞过点8（4,-3）,

X

左2=—12,

・••反比例函数,的表达式为夕=-1上2，

X

故A项正确，不符合题意；

1o

・••反比例函数了=-一过点/（56）,

X

答案第3页，共16页

，6=-----,解得加=—2,

m

即，（-2,6）,

•・・一次函数尸存+6过点力（一2,6）,8（4,—3）,

（a

[-2k,+b=6k=--

・••L入2,解得}2,

[4勺+6=-3[入3

3

二•一次函数的表达式为>=-1x+3；

故B项正确，不符合题意；

由图知，当冬>幻+6>0时，自变量x的取值范围为-2<x<0,

X

故C项正确，不符合题意；

3

当歹=0时，一一%+3=0,解得x=2,

2

.-.C（2,0）,

:.AC=^（-2-2）2+（6-0）2=2V13，BC=^（4-2）2+（-3-0）2=后,

.•・线段/C与线段8c的长度比为2:1,

故D项错误，符合题意；

故选：D.

11.2（l-x）（l+x）

【分析】先提公因式，然后再用平方差公式进行分解即可.

【详解】解：2-2X2=2（1-X2）=2（1+X）^-X）.

故答案为：2（l+x）（l-x）.

【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式。2-〃=（a+»S-6）,是解题的

关键.

12.V6-2/-2+76

【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的

运算顺序以及二次根式化简的方法.先算除法，再化简二次根式即可.

【详解】解：（加一旧）一百，

答案第4页，共16页

=屈三逝一阮三班，

=A/6—V?，

=&-2;

故答案为：y/6-2.

13.2.723X1011

【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：“xl0"(14|d<10),〃为整数，

进行表示即可.

【详解】解:2723亿=2.723x10”;

故答案为：2.723xlO11.

14.3

【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程。/+八+。=()他二())的根与公=62一4℃有

如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根;

当△<()时，方程无实数根.利用判别式的意义得到人=[-2(°+1)丁-4(/+5)>0,然后求出。

的范围后确定最小整数值.

【详解】解:根据题意得A=[-2(a+l)]2-4(/+5)>0,

解得a>2,

所以整数。的最小值为3.

故答案为3.

15.450/45度

【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，先得

是的垂直平分线，然后结合DE1/8,得出ZAED=90。，ZEAD=ZEDA=45°,因

为NBAC=90。,即可作答.

【详解】解：根据作图得出儿W是的垂直平分线，

二AE=DE,

NEAD=NEDA,

DEJ.AB,

：.ZAED=90°,

答案第5页，共16页

：.ZEAD=ZEDA=45°,

*：ABAC=90°,

・•・NDAC=ZBAC-ZEAD=90°-45°=45°,

故答案为：45°

16.2

【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质和判定等知识，判

断出点P的运动轨迹是以点。为圆心，4。的长为半径的圆（在正方形内部部分），延长5尸

交。。于点连接衣，证明2C与。。相切，得到/5。尸+/尸。。=90。，延长交O。于

pcEC

点、F,则/CFP=/CE5,ZCPF=90°,证明△尸5cs△磁石，则——,由5c的长

PBBC

PCFCFC

为定值6,则若要取最大值，则念取最大值即可，求出义的最大值为2,即可得到

PBBCBC

答案.

【详解】解：•••点尸在运动过程中始终满足尸。=/。，故点尸的运动轨迹是以点。为圆心,

4D的长为半径的圆（在正方形内部部分），延长BP交O。于点£,连接EC,

:四边形/BCD为正方形，

：.CDLBC,S.CD=AD=PD,

：.3C与。。相切，

NBCD=90°,

ZBCP+ZPCD=9Q°,

延长CO交。。于点凡

则ZCFP=ZCEB,ZCPF=90°,

ZCFP+ZPCD=9Q0,

：.ZBCP=ZCFP,

・•・ZBCP=ZBEC,

*.*/PBC=NEBC,

答案第6页，共16页

・•・APBCsACBE,

.PCEC

••而一而‘

BC的长为定值6,

故若要P.C取最大值，则F笠C取最大值即可，

PBBC

・•・EC要取得最大值，则EC为直径时，可取得最大值为12,

FC

・・・*的最大值为12?=2,

BC6

PC

即W的最大值为2,

PB

故答案为：2

17.V2

【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值以及立方根，零指数塞的性质，有理数的乘方，

根据相关运算法则分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案.

【详解】解：2sin45°-V8+(3-7i)°+(-1)2024

=2x—-2+1+1

2

=V2-2+l+l

=V2•

18.4/+3/,16

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则

去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可.

【详解】解；(a-2b)2+(2a-b)(2a+b)-a(a-4b)

=a—-4ab+-a~+4ab

=4a2+3b2,

当a=-l,6=2时，原式=4x(-l)~+3x2?=16.

19.4

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明

△BAD部八CAE(SAS)得到8。=CE,再由线段之间的关系求出，助=§8C=§48=4即可

得到答案.

【详解】解：QV/BC'V/DE都是等边三角形，

答案第7页，共16页

，AB=AC,AD=AE,ABAC=/DAE=60°,

/.ABAC-ADAC=ZDAE-ADAC,

/./BAD=ZCAE,

/.ABAD四△G4E(SAS),

BD=CE,

QAB=6,BD=2DC,

22

:.BD=-BC=-AB=4,

33

:.CE=4.

20.(1)150,图见解析

【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率：

(1)用A的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出。的人数，补全条形图即可;

(2)画出树状图，利用概率公式进行求解即可.

【详解】(1)解：15・10%=150,

女男男女男男女女男女女男

共有12种等可能的结果，其中抽中2名女生的结果有2种,

尸=工]_

126

答案第8页，共16页

21.（1）/种果树每亩收入0.5万元，8种果树每亩收入0.3万元.

（2）当种植A品种果树3600亩，B品种果树2400亩时，总收入最大，最大收入为2520万元.

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不

等式的实际应用：

（1）设种植42两品种的果树，平均每亩的收入分别为x万元，了万元，根据种植3000亩

A品种果树和5000亩B品种果树，总收入为3000万元；种植5000亩A品种果树和3000

亩3品种果树，总收入为3400万元列出方程组求解即可；

（2）设种植A品种果树加亩，则种植8品种果树（6000-〃?）亩，总收人少万元，根据种植

A品种果树的面积不超过8品种果树面积的1.5倍，列出不等式求出m的取值范围，再列出

少关于根的一次函数，利用一次函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：设种植48两品种的果树，平均每亩的收入分别为x万元，y万元，

3000x+5000〉=3000

根据题意,

5000x+3000〉=3400

x=0.5

解得

y=0.3

答：/种果树每亩收入0.5万元，2种果树每亩收入0.3万元.

（2）解：设种植A品种果树加亩，则种植8品种果树（6000-巾）亩，总收入少万元,

根据题意，得mW1.5（6000-加）,

解得加43600,

W=0.5m+0.3（6000-m）=0.2m+1800,

0.2>0,

二次随加的增大而增大，

当机=3600时，少有最大值，最大值为2520,

6000-3600=2400（亩），

当种植A品种果树3600亩，B品种果树2400亩时，总收入最大，最大收入为2520万元.

22.（l）y=-2x+120（30<x<45）；

⑵40本.

答案第9页，共16页

【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解；

（2）设该天科普图书的销售单价为。元，根据利润为400,列出方程，解方程即可求解；

本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数和一元二次方程的应用，依据题

意，正确求出函数关系式和列出一元二次方程是解题的关键.

【详解】（1）解：设>=丘+6,

寸巴x=32,y=56；尤=40,y=40分别代入，

,132左+6=56

侍］40左+6=40'

”与x的函数关系式为y=-2x+120（304x445）；

（2）解：设该天科普图书的销售单价为。元，

依题意得，（-2a+120乂a-30）=400,

解得。=40或。=50（舍去），

.-.-2x40+120=40（本），

该天销售科普图书的数量为40本.

23.⑴见解析

,八18括

\^）z

【分析】（1）先根据D是弧AB的中点，4B为QO的直径，推出ND=32NN=NABD=45°,

进而证明NEDA=ZFDB,进一步证明A4ED丝ABFD（ASA）,即可证明DE=DF.

（2）由全等三角形的性质得到/£=3尸=3,EF=35AB=9,证明,

得到BGDE=ADBE,据此代值计算即可.

【详解】（1）证明：；。是弧48的中点，48为。。的直径，ZABC=90°,

:.^D=^D,ZADB=90°>

AD=BD,ZA=ZABD=45°,

\BCBD=BC=45°,

答案第10页，共16页

-DFIDE,

ZFDB+ZBDG=90°,

•・•/EDA+ZBDG=90°,

/.ZEDA=ZFDB,

/A=ZFBD

在八AED和LBFD中14。=AD

/EDA=ZFDB

/./\AED^ABFD(ASA),

:.DE=DF.

(2)解：QAAED^ABFD,

：.AE=BF=3,

在RtZXHEF中，EF=NBE?+BF2=3右，

在RtZ\"Z)中，AB=AE+BE=3+6=9,

..八_垃_9V2

..AD——A4BO------•

22

DE=DF,NEDF=90。,

口门V2_6R匕3M

..DE=—EF=x3-y5=------,

222

QZG=AA/GEB=ZAED,

:AGEBsMAED,

BG_BE

即BG•DE=AD•BE,

~AD~^E

9V2

.ADBE_18若

…D\J-----------i=—-

DE3M5

2

【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直径，相似三角形的

性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键.

1

24.(l)y=-x9+2x-6

(3)存在,(2-2技26)或(-6,-8)

答案第11页，共16页

【分析】本题主要考查二次函数的性质，菱形的性质，图形的面积：

(1)运用待定系数支求解即可；

(2)如图，作ENPy轴交/C于点求出直线ZC的表达式为y=f-6.设点

则点-6),根据S四边形《ECB=S/VIBC+S/\a可列出式子求解

(3)根据菱形的性质求解即可

【详解】(1)解：••・抛物线交了轴于点。(0,-6),

..c——6,

:点3的坐标为(2,0),对称轴为直线x=-2,

，点A的坐标为(-6,0),

将点/(一6,0),8(2,0)代入〉=江+乐一6,

1

36a-6b-6=0..ci——

解得2,

4。+26-6=0

6=2

二抛物线的表达式为y=g/+2x-6.

(2)解：如图，作瓦VfPy轴交/C于点”,

设直线/C的解析式为>=履+6，

-6k+b=0

把4(-6,0),。(0,-6)代入得:

b=-6

k=-l

解得,

b=-6

「•直线AC的表达式为y=-x-6.

设点/+2f—6),则点—6),

W=(-z-6)-|^V+2z-6^=-1/2-3Z,

答案第12页，共16页

・二S四边形的s=S/\ABC+SAAEC=2ABOC+2EMOA

二；x8x6+1—?2_3)6=—>―9,+24=—*+3)2+^-,

3

Q——<0,-6<Z<0,

2

「•当”-3时，S四边形ZEC3的最大值为1,此时点《-3,,

.••四边形4EC8面积的最大值为T,此时点E的坐标为卜3,.

(3)解：存在.点”的坐标为(2-2君,26)或(-6,-8).

理由：・•・直线/C的表达式为>=-》-6,

设点。(-6)(-6W0).

:点3(2,0),C(0,-6),

BC=2VW，

当四边形BC。〃为菱形时，点C平移到点。，点8平移到点H,则点〃(2+f,T),

BC=BH=后=2M，

.1=2石(舍去)或,=-26，

当四边形2CH0为菱形时，点3平移到点。，点C平移到点4,则点"«-2,-/-12),

BC=BQ=yl(t-2)2+(t+6)2=2标，

解得t=0(舍去)或”一4,

.•.点〃(-6,-8).

(2)两个结论均成立，理由见解析.

⑶*

【分析】(1)设45=2a,证。是等边二角形，得AB=BC=2a,AE±BC,BE=a,则

答案第13页，共16页

AE=Ca,再证A/E厂是等边三角形，得N4EF=60。，EF=AE=Ca,贝!J4VEC=30。，然

后由等边三角形的性质得NNLEF,MN=-EF=—a,即可得出结论；

22

(2)连接AM、AN,证^ABC为等边三角形，则，BC,再证AMANs^BAE,得%=2,

BE2

ZAMN=ZABE=60°,贝!]ZNMC=ZAMC-ZAMN=30；

(3)连接