2024年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试题（新高考II卷）

2024年新高考1卷解析

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4={同―5</<5},B={-3,—1,0,2,3},则=

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2)

【答案】A

【解析】AnB={—1,0},选A

2.若z1=i+i,则z=

z—1

A.—1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

[答案】。

3.已知向量4=(0,1),(2,力)，若广_L(b—4a),则x—

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】。

KM9flb—^a—(2,3；—4),b_L(S-4a)，:.b(b—4a)=0,

4+力(力-4)=0,・••力=2,选D

4.已知cos(a+6)=rn,tana・tan0=2,则cos(a—0)=

A.—3TTIB.-C.D.37TL

oo

r答案】A

cosdfcos/?—sinasinf=m

(sinasin/3=—2m

【解析】sinasin0,.*

[cosacos/3=—m

、cosacosQ

cos(a-0)=cosacos/?+sinasin0=—m—2m=—3m,选A.

5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为四,则圆锥的体积为

A.2岳B.3A/3TTC.6A/3TCD.9A/3TU

【答案】B

【丽

设它们底面半径为，，圆锥母线I,：,2兀仆后=Krl,/.I=2A/3=V3+r2,

=3,V=3•兀♦9•V3=3A/3TC,选B.

O

6.已知函数为/3）=（二,―2ac—a,‘<°在H上单调递增，则a的取值范围是

卜,+山（工+1）,工>0

A.（—oo,0]B.[—1,0]C.[—1,1]D.[0,+8）

【答案】B

【解析】/⑺在R上递增,（一一，•••—IWaWO,选以

7.当力G[0,2兀]时，曲线g=sine与g=2sin（3劣-专）的交点个数为

A.3B.4C.6D.8

【答案】。

【解析】画图可得6个交点，选C.

8.已知函数/(c)的定义域为H,/(二)>/(a;—1)+/(工一2),且当eV3时,f(x)=x,

则下列结论中一定正确的是

A./(10)>100B./(20)>1000C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】方法1：逐个计算

/⑴=1,/(2)=2)/(3)>/(2)+/⑴=3,/⑷>八3)+/⑵>5

/(5)>/(4)+/(3)>8,f(6)>f(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21

/(8)>/(7)+/(6)>34J(9)>/(8)+/(7)>55J(10)>/(9)+/(8)>89

/(H)>/(W)+/(9)>144J(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(II)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,/(16)>1000

.♦./(20)>1000,选B.

方法2：斐波那契敦列

/(a：)>/(rr-l)+/(rr-2),当x<3,/(rr),则

xC[3,4)时，/(c)>x—1+rr—2=2rr—3,=/(3)>3

xG[4,5)Ht,f(x)>2(a;-1)—3+a;-2=3a;-7,/(4)>5

xE[5,6)时，/(工)>3(二一1)-7+23—2)—3=52-17,/(5)>8

xG[fc.fc+1)时，f(x)>mx—6

构成了斐波那契数列

1,1,2,3,5,8,13,21,34.55,89,­­■6465

=>fc=10时，/(IO)>89.A错误

nA;=20时，/(20)>1000,B正确

C,D没有上界估计,所以错误.故选B

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.为了解推动出口后的亩收入（单位:万元）情况,从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入

的样本均值又=2.1,样本方差$2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布

N（L8O12）,假设推动出口后的亩收入y服从正态分布N（用$2）,则（若随机变量Z服从正态

分布N(〃“2)，则P(Z<//+(T)~0.8413)

A.F(X>2)>0.2B.F(X>2)<0.5C.F(K>2)>0.5D.F(y>2)<0.8

【答案】BC

【解析】X〜N(L8,0/2),y〜N(2.1,0.12)

对于A,P(X>2)=P(X>〃+2(T)<P(X>〃+(T)=1—0.8413=0.1587,A错.

对于B,P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,B对.

对于C,2=2.1-0.1=〃一cr,P(y>2)>P(y>2.1)=0.5,。对.

对于D,F(y>2)=F(y>z/-o-)=P(y<〃+Q=0.8413>0.8,0错.

选BC

10.设函数/(工)=(工—1)2(/—4),则

A.rr=3是/(/)的极小值点B.当OVcVl时,f⑸<f(x2)

C.当1</<2时，-4</(2a;-l)<0D.当一1<劣<1时,/(2—工)>/(工)

【答案以CD

【解析】4对，因为/'(工)=3(/—1)(工一3)；

B错，因为当0<。<1时/3)>0且所以/(/)</Q)；

。对，因为/(2/—1)=4(rr-l)2(2x-5)<0,/(2rr-l)+4=4(x-2)2(2x-l)>0

。对，因为/(2—工)—f{x}=(rr—1)2(—2—x)—(x—l)2(x—4)=(rr—1)2(—2a?+2)=—2(rr—I)3,

当—l<;c<1时,/(2—a；)—f(a;)>0,故/(2—h)>f(x)

11.造型»可以看作图中的曲线。的一部分，已知。过坐标原点。，且。上的点满足横坐标大于

—2,到点F(2,0)的距离与到定直线/=a(a<0)的距离之积为4,则

A.a=—2

B.点(22,0)在。上

C.。在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

D.当点(热,％)在。上时，涣《二号

力o十/

【答案】

【解析】人对，因为。在曲线上，所以。到土=a的距离为一a,而。尸=2,

所以有一a*2=4na=—2,那么曲线的方程为(s+2)V(x-2')2+y2=4.

B对，因为代入(2V2.0)知满足方程；

。错，因为"=(德了―(/一2)2=/(二)，求导得广(力)=一谭了一2Q—2),

那么有/(2)=1,尸(2)=—3<0,于是在土=2的左侧必存在一小区间(2-£,2)上满足/Q)>1,

因此最大值一定大于1;

。对'因为加2=(^1)。(0-

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.设双曲线C：马--《=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为E,以过用作平行于沙轴的直线交。

ab

于两点，若㈤川=13,\AB\=10,则。的离心率为,

【答案居

方法1:A£=5,2a=13—5=8,2c=RE=2c=12,.

r22_2

方法2：由⑹=10知㈤*=5,即*=发2=5,而后月_LE4,所以㈤倒二⑵

即0=6,代回去解得。=4,所以©=等.

13.若曲线g=6+力在点(0,1)处的切线也是曲线g=ln(/+1)+Q的切线,则a=_.

【答案】ln2

【解析】方法1：切点A(0,1),式=e"+1,k=2,切线g—1=2力，即g=26+1

切点B(g,ln(g+l)+Q)，K=—^-,k=—切线沙一(ln(力o+l)+a)=-6一g)

X~r1XQ十1XQ~r1

,=“工一部+足(g+1)+。，

M—=2

g+1

・,・<

ln(g+l)-----+a=l

lg+1

_1

g—一_5,外

2,a=ln2.

、a=ln2

方法2：易知切线为g=2劣+1,设其与g=ln(2+1)+Q的切点横坐标为g,

则一j-r=2ng=-，又2g+1=ln(力()+1)+a,代入得a=ln2.

XQ~T1N

14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡

片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中

随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分,数字小的人得0分，然后各自

弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小

于2的概率为

【答案】专

【解析】甲出1一定输，所以最多3分，要得3分，就只有一种组合1一8、3—2、5—4、7—6.

得2分有三类，分别列举如下：

（1）出3和出5的赢,其余输：1—6,3—2,5—4,7—8

（2）出3和出7的赢,其余输：1—4,3—2,5—8,7—6；1—8,3—2,5—6,7—41—6,3—2,5—8,

7-4

⑶出5和出7的赢,其余输：1—2,3—8,5—4,7—6；1—4,3—8,5—2,7—6；

1—8,3—4,5—2,7—6;1—6,3—8,5—2,7—4；1—8,3—6,5—4,7—2

1—8,3—6,5—2,7—4,1—6,3—8,5—4,7—2；

共12种组合满足要求,而所有组合为4!,所以甲得分不小于2的概率为普=力.

注:此题背景应该是田忌赛马

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）记△48。的内角4石,。的对边分别为,已知sinC=V2cosB,a2+62—c2=

V2ab.（1）求3⑵若△AB。的面积为3+通，求C.

22

【解析】（1）已知^+b-c=V2ab,根据余弦定理cosG=@2之/2,

2ab

可得:cosC=与普=察.因为CC（0,兀），所以。=}.

2ab24

又因为sinC=，^cos8,即sin^-=V2cosB,=，^cos石，解得cos8=寺.

因为（0,兀），所以8=爷.

o

⑵由⑴知3=,，。=£,则人=兀一8—。=兀一年一卷=需.

已知的面积为3+g，且S^BC=^-absmC,

则tabsin手=3+V3，即~x~abX=3+>/3，ab=2（3+2-\/3）.

asinC_bsinC

又由正弦定理，可得c=

sinAsinBsin。sinAsinB

.07T•兀

csin-rx-csm石

则-^―=%，a=-----且-，同理b=-----

.兀•5兀.兀•兀

sin-^sin32-sin«sin^

2•5兀•7T2/V2+V6\V3

csm于ysmq-Cl.)x_

所以ab=-----;3=---------±_---------9-=2(3+2V3)

弧号f

解得c=2嚣.

16.(15分)已知4(0,3)和P(3《)为椭圆。:名+方=l(a>b>0)上两点.

(1)求。的离心率;

(2)若过P的直线力交。于另一点B,且△ABP的面积为9,求心的方程.

[0,9_

a?+b2T

a2=12

【解析】⑴将A(0,3),F(3,1)代入椭圆,9，则

9,Z_〃=9

障+溟T

⑵当L的斜率不存在时，入言=3,B(3,-y),P3=3，人到PB距离d=3

此时S△的=：x3x3=1~#9不满足条件.

②当L的斜率存在时，设PBg-y=出C―3),令PQi,%),B(x2,y2)

g=k(>_3)+'

22,消g可得(4r+3)/2—(24肥—12k)N+36肥—36k—27=0

-^-+—=1

1129

,24r—12k

4^3Vfc2+13fc2+9fc+

电+电=父^PB=

_36^-36^-27'4k2+3

X1X2=—4^+3

3k+等4A/^A/k?+1J3k2+9k+3k+等

4至IJPB总巨离d=,S=1=9

Vfc2+i4k2+3Vfc2+i

L:y—或y=~^*劣-3.

17.(15分)如图，四棱锥P—ABCD中，。AJ.底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=Vi.

(1)若AD_LPB,证明：4D〃平面PB。；

(2)若且二面角A—CP—。的正弦值为考2,求AD.

【丽

⑴2±面ABCD,ADc平面ABCD,：.PA_LAD

又•/AD±PB,PBnP4=P,PB,PAu平面PAB

：.A。_L面PAB,：.ABu平面PAB,：.AD±AB

△ABC中,相+BC2=AC2,：.AB±BC

•.•42。,。四点共面，：.人。〃8。

又BCu平面PBC,ADqt平面PBC

：.AD〃平面PBC.

(2)以ZM,。。为名,夕轴过。作与平面ABCD垂直的线为z轴建立如图所示空间直角坐标系。—

xyz

令AD=t,则4(t,0,0),P(t,0,2),。(0,0,0),J4T2,。(0,J4—巴0)

设平面24cp的法向量是=(力1,%,为)

%*AC=0.J_txi+N4—/?/1—0

济屐=0,(221=0

不妨设/i=J4—F,则％=力之1=0荷=(V4—t2,t,0)

设平面CP。的法向量为定=（62，92，之2）

n-DP=0J施2+2之2=0

2不妨设方=力则为2=—2,纺=0,游=（一2,0,力）

n2,DC=01〃―春"二。

•••二面角A—CP—。的正弦值中,则余弦值为卒

耳•茂I=2a

I洲向2/廿+4

/.t=V3,AD=V3.

3

18.（17分）已知函数/（劣）=In2：力+ax+I）

（1）若b=0,且/（力）>0,求Q的最小值；

（2）证明：曲线g=/（力）是中心对称图形；

（3）若/（力）>-2,当且仅当1V力V2,求b的取值范围.

（1）6=0时,/（力）=1口2,力十0力，

/'（力）=—+---Fa>0对V0V力V2恒成立而—+---FQ=——--+Q>2+Q,

x2—力x2-x力（2—力）

当且仅当力=1时取“="，故只需2+Q>0NQ>—2,即a的最小值为一2.

（2）方法1：/E（0,2）,/（2—①）+/（%）

=In2J+a（2—a?）+6（1—a;）3+In+ax+b（6—1丫=2Q

・•・/（6）关于（l,a）中心对称.

方法2：

将/（力）向左平移一个单位=/（力+1）=In;主:+Q（e+1）+bd关于（0,a）中心对称

平移回去0/（力）关于（La）中心对称.

（3）V/（a?）>—2当且仅当l<x<2,=-2na=—2

3

力）=In2：力—2rr+b（x—l）>—2对V1VxV2恒成立

（（"）=：+土—2+3b（c—l）=1^^+3”工—iy=（±—1）2[^^+3“

令g（力）=，~-+3b，.二必有g（l）=2+3b>0=>b>—1~（必要性）

以2—力）J

否则b<一得■，存在，C(1,3)使广⑺<0/⑺在(1,2)上/,."⑺</(1)=-2

O

当b>―时，对VcG(1,2),/(力)>ln5弓---2x—^-(x—I)3=h[x)

O/XJ

“⑺二言—一？侬一1)'2^一】)[莉匕y-i]>。

对VcE(1,2)恒成立，，以力)>/z(l)=-2符合条件，

综上:b>—1-.

O

19.(17分)设力为正整数，数列alta2,…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项0和

%(i</)后剩余的4m项可被平均分为馆组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列出,

a2,…，a4m+2是(ij)—可分数列.

⑴写出所有的(i,4),1&iW6,使数列5Q,…,是亿，)一可分数列；

⑵当山>3时，证明：数列加a?,…，a4m+2是(2,13)—可分数列；

(3)从1,2,•••,4m+2中一次任取两个数i和/(i<，)，记数列alta2,■■■,0^+2是(ij)—可分数列

的概率为耳，证明：%>4.

O

【丽：

方法1:

⑴以下(i,4)满足:(1,2))(1,6),(5,6)

⑵易知:tip,a’,a,等差op,q,T,s等差

故只需证明：1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14可分

分组为(1,4,7,10),(3,6,9,12),(5,8,11,14)即可

其余时15WkW4馆+2,按连续4个为一组即可

(3)由第(2)问易发现：ai,a2,…,a4a+2是(i,j)可分的=1,2,­••4m+2是(i,j)可分的.

易知：1,2,…，4M+2是(4fc+l,4r+2)可分的(OWkWrWm)

因为可分为(1,2,3,4),…(4%—3,4%—2,4%—1,4k)与

(4(r+l)—l,4(r+l),4(r+l)+l,4(r+l)+2),•••,(4m—l,4m,4m+l,4m+2)

此时共Cm+i+(馆+1)=-^-(m+1)(m+2)种

再证：1,2,…，4nz+2是(4%+2,4r+l)可分的(OWkCrWm)

易知1〜4%与4r+2〜4m+2是可分的

只需考虑4k+1,4k+3,4k+4,•••,4r—l,4r,4r+2

记0=7—k£N*,只需证:1,3,4,5,…，4p—l,4p,4p+2可分

1〜4P+2去掉2与4p+1

观察：p=1时，1,3,4,6无法做到；

0=2时，1,3,4,5,6,7,8,10,可以做至!)；

0=3时，1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14

0=4时，1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18

(1,5,9,13),(3,7,11,15),(4,8,12,16),(6,10,14,18)满足

故Vp>2,可划分为：

(1,p+1,2P+1,3p+1),(3,p+3,2P+3,3p+3),(4,p+4,2P+4,3p+4)

(5,p+5,2p+5,3p+5),…，(p,2P,3p,4p),(p+2,2p+2,3p+2,4p+2)

共p组

事实上，就是(i,p+i,2p+i,3p+i),i=l,2,3,…,p,且把2换成4p+2

此时(k,k+p),p>2均可行，共僚+1-m=1)组

(0,1),(1,2),l,m)不可行

综上，可行的(4fc+2,4r+l)与(4fc+l,4r+2)至少£馆(小-1)+£(馆+1)(山+2)组

故已4专(2:：2馆+2)=叱3=叫+-+1>［得证！

2

CA+2(2m+l)(4m+l)8m+6m+l8

方法2：

(l)(ij)=(l,6),(l,2),(5,6)

(2)当7n=3时，QiQQ,。5,。6,。7,。8,。9,Q10,Qn，012,Q14

可分成三组:。1，。4，。7，。10；。3，。6，。9，。12；。5«8，。11，。14每组均为公差为3d的等差数列，力;3时符合.

・•・772>3时,数列Q1，电，…，。4m+2去掉。2,。13以后，分成小组

只需让前面的3组还按馆=3时的分法，即Q1，。4,a7g0；。3,。6,。9,。8,。14

后面的每4个相邻的项一组即可，即。15，。16，。17，。18；…，^4m—15a4rn，^4m+2

每一组都能构成等差数列，・・・数列的,电，…，。.+2是（2,13）—可分数列.

⑶法一：当772=1时,数列：Q1，o2,。3,。4,恁，。6为可分数列的概率为Pm=W

当馆=2时，数列aiQQ,…，5。为可分数列的概率为/=1=工>!

G10爸

以此类推,且易知1,2,…，4力+2是(4fc+l,4r+2)可分的(OWkWrWm)

此时共有C^+i+m+1=+m+1=-^-(m+l)(m+2)种

且易证数列也是(4fc+2,4r+l)可分的，至少有(7^+2—m=1)

综上:可行的(4fc+2,4r+l)与(4fc+l,4r+2)至少

+-^-(m+1)(m+2)=m2+m+1

.p>Tn2+m+1_n^+m+l_7n2+?n+1)工

7n2

•,lClm+2(2m+l)(4m+l)8m+6m+l8,

法二:QiQ,…，。4m+2为(4/+1,4/+4沙+2)可分数列(04力/)

易证:…，&］为连续4劣项，。4计2，。4计3,…，。4计%+1为连续4V项

。4计4g+3-。4团+2为连续4(772-力一沙)项等差数列

(m+2)(m+1)m(m—1)

p_______2+2_7nUm+l>1

(4m+2)(4m+l)(2m+l)(4m+l)8"

2

方法2：

⑴枚举法

(ij)=(1,2),剩余数列:Q3，Q4，Q5，a6(i，，)=(1,3),剩余数列:。2，。4，。5，。6

(i,j)=(1,4),剩余数列:。2，。3，。5，。6(1，)=(1,5),剩余数列:但。3，。4，。6

(i,j)=(1,6),剩余数列:。2，。3，。4，。5(1，)=(2,3),剩余数列:的,。4，。5，。6

(i,/)=(2,4),剩余数列:=(2,5),剩余数列:电心瓯诙

(i,j)=(2,6),剩余数列:。1，。3，。4，。56，)=(3,4),剩余数列:电《2，。5，。6

(ij)=(3,5),剩余数列:01，电，。