2024届高三数学二轮复习：大题强化训练及变式训练11（新高考九省联考题型）（解析版）

大题强化训练及变式训练(11)-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练(新高考九省联考题型)(解析

版)

2024届大题强化训练及变式训练(11)

1.如图，四棱锥中，底面4BCD为矩形，1so，底面48。。,40=血,。。=5。=2,

点”在侧棱SC上，ZABM=60°.

(1)证明：M是侧棱SC的中点；

(2)求二面角S——5的正弦值.

变式：如图，四棱锥S-42CD的底面为正方形，平面£4。，平面4BCD,£在勖上，且

AEVBC.

S

(1)证明：平面48C。；

(2)若£4=48=2,户为BC的中点，且即=J§,求平面/E/与平面S4D夹角的余弦值.

2.在梯形ABCD中，AD//BC,设NBAD=a,ZABD=p,已知

cos(tz-£)=2sinfa+1)sin]/3+]j

⑴求NADB；

(2)若CD=2,AD=3,BC=4,求28.

变式：如图，在中，AB=43,ZABC=A5°,ZACB=60°,点。在边BC的延长线上.

BC

(1)求AASC的面积;

(2)若0=2夜，E为线段上靠近。的三等分点，求CE的长.

3.人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性

别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：

外向型内向型

男性4515

女性2010

(1)以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿

者.设这三人中性格外向型的人数为X,求X的数学期望.

(2)对表格中的数据，依据戊=0.1的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与

人的性别没有关联.如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性

检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由.

n(ad-be)2

附：参考公式：/=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

%2.7063.8416.635

变式：2023年7月28日，第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来，有

A,B,C,…，J共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练前

对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图中

实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”.

优秀人数非优秀人数合计

训练前

训练后

合计

t得分

12---l--T--|---I--T--I---I--T--I---；

KABCDEFGHIJ跳家员

---训练前----训练后

(1)将上面的列联表补充完整，并根据小概率值a=0.01的独立性检验，判断跳水员的优秀情况与

训练是否有关？并说明原因；

(2)从这10人中任选3人，在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下，求这3人中恰有1人是训练

前也为“优秀”的概率；

(3)跳水员A将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规定：

在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为

“优秀”.每轮测试中，跳水员A在每个高度中达到“优秀”的概率均为5，每个高度互不影响且每

3

轮测试互不影响.如果跳水员A在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论上至

少要进行多少轮测试？

n(ad-be?

附:，其中〃=a+b+c+d.

(6Z+b)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

4.已知函数/(x)=xlnx-x2-1.

(1)讨论/(x)的单调性；

19

(2)求证：f(x)<e*H—-----1；

XX

(3)若p〉0应〉。且pq>l,求证：/(2)+/(q)<-4.

变式：已知函数/(x)=A:Inx+一(kGR).

ex

(1)若函数V=/(x)为增函数，求左的取值范围；

(2)已知0＜石＜%2.

eex

(i)证明：——--＞i4----9;

e2e1%

(ii)若?=孕=左，证明：|/(%)一

e1e2

5.已知双曲线。〈-搞=1(4〉0/>0)的两条渐近线分别为/],/2，。上一点4(4,网到/],/2的距离之

4

积为t一.

5

(1)求双曲线。的方程；

(2)设双曲线C的左、右两个顶点分别为4,4，7为直线/:x=l上的动点，且T不在％轴上，直线

以1与。的另一个交点为直线。42与。的另一个交点为N,直线与％轴的交点为尸，直线/

与的的交点为。，证明\PM扁\=\Q局M.\

变式：如图，。为坐标原点，尸为抛物线_/=2x的焦点，过户的直线交抛物线于43两点，直线

20交抛物线的准线于点。，设抛物线在8点处的切线为/.

⑴若直线/与了轴的交点为£,求证：|。同=国户|；

(2)过点8作/的垂线与直线49交于点G,求证：|4D|2=MOHNG|.

2024届大题强化训练及变式训练（11）

1.如图，四棱锥S-N8C。中，底面4BCD为矩形，1so，底面48。。,40=血,。。=5。=2,

点M在侧棱SC上，AABM=60°.

（1）证明：M是侧棱SC的中点；

（2）求二面角S——8的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）里.

3

【分析】3作MEHCD,连接ZE,作破，48，则4FME为矩形，由此利用几何关系求得

ME=-DC,即可证明；

2

（2）解法一：由已知推导出△48〃为等边三角形，取取NM中点G,连结8G,取S4中点打，连

结GH,利用二面角定义可得/5G8为二面角S-W-8的平面角，利用余弦定理求得余弦值，再

利用同角三角函数关系求得正弦值即可；

解法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量的垂直的条件列方程组求得二面角的两个半平面所在平

面的法向量，然后利用向量的夹角坐标运算公式求得法向量的夹角余弦值，进而利用平方关系求得正

弦值.

【解析】C）作MEIICD交SD千点、E,则班〃因为四边形Z3CD是正方形，所以

DCLAD.

又平面48CD,DCu平面4BCD,所以SDJ_DC.

因为4D，SDu平面S4D,ADr\SD=D,所以。C,平面

又MEIICD,所以平面S/D,

连接4E,/Eu平面S4D,所以则四边形48ME为直角梯形，

s

AFB

作48,足为F,则4FME为矩形，

设九化=x,则SE=x,AE=JED?+.=J（2—+2，

MF=AE=42-x）2+2,FB=2-x>

由"F=必•tan60°，得"Qf+2=g（2-x）,

解得x=l,即ME=1,从而ME=LDC,所以M为侧棱SC的中点.

2

（2）解法一：因为四边形48CD是正方形，所以。CL5C,又SD,平面4BCD,

8Cu平面48cD,所以SQL5C.因为。C,SDu平面SZO,DC^SD=D,

所以3c/平面SCD，又SC,平面SCD,所以BCSC,则M8=1"+眦2=2，

又NABM=6U,AB=2,A48河为等边三角形.

又由（1）知"为SC中点，SM=0SA=m,AM=2,

所以"2=SM2+AM2,ZSMA=90°,

取4〃中点G,连结3G,取1s4中点”，连结G8,则86,4攸,68_14攸，

由此知N5GH■为二面角S-ZM—8的平面角，由（1）知班，平面又MEIIAB,

所以A81平面/Su平面所以4BL/S,连结BH，

在NBGH中，BG=—AM=s/3,GH=-SM=—,BH=AB2+AH2=变，

2222

所以cosZBGH=BG-+GH-BH-=_逅.所以二面角S—.—8的正弦值为

2BG-GH3

解法二：以。为坐标原点，百，皮，痂方向为x，〉，z轴正方向建立空间直角坐标系（如图），

Z/

易知，（也,0,0）,3（板,2,0）,S（0,0,2）,M（0,l,l）,

布=卜"1,1),方=(0,2,0),通=(-©0,2卜

AS-n=0-sp2,x+2z=0

令平面S4M的法向量为拓=（x,y,z）,贝卜—.，即《

AM-ii=0-y/2x+y+z=0

令z=l,得万=(0,1,1).

/、m-AB=Q[26=06=0

设平面/崎法向量为成=(a,仇c),由_.得〈厂，化简得《

m•AM=072a+b+c=0c=42a

令a=l,得应=（1,0,、汇），令二面角S——8的大小为。,

272_V6

贝乖。=

m|-|nA/3-2-3

V3

故二面角S-AM-B的正弦值为为sin。=

3

变式：如图，四棱锥S-/8C。的底面为正方形，平面£4。，平面N3CD,E在SS上，且

AE^BC.

（1）证明：S4_L平面48CD；

（2）若£4=48=2,尸为BC的中点，且即=J§,求平面/E/与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析(2)一

6

【分析】（1）由已知可证3cl平面S43,得S4_L4D,由平面S4DJ_平面48CD的性质，可证

S4J_平面ABCD:

（2）S4,/。,48两两垂直，建立空间直角坐标系，由已知求出£点坐标，向量法求两个平面夹角的

余弦值.

【解析】（1）解法一：

因为2C_L四，BCLAE,AEcAB=A,平面”3,

所以8c人平面S1B,

又£4u平面S4B,所以8cLs4,

又BCHAD,所以

又平面S4D_1_平面48c。，平面£4。c平面488=40,"<=平面"。，

所以£4,平面48CD

解法二：

因为2。_1谡，BCLAE,AEcAB=A,A8<z平面&48,

所以8c人平面S43,

又£4u平面S4B,所以8cLs4,

因为平面ABCD工平面S4D,平面ABCDc平面SAD=AD,AB1AD,

48u平面45CD,所以481平面

又£4u平面S4D,所以48J_S4,

又BCC4B=B,平面BC,48u平面/BCD,

所以£4,平面48CD.

（2）解法一工

由（1）得BC上平面S4B,又S5u平面£45,所以5CLS8,

因为BF=1,EF=退,所以BE=也，

因为S4_L平面48CD,4Bu平面48CD,所以S4L48,

又SA=AB=2,所以S3=2收，所以=

由（1）知”,40,48两两垂直，如图，以点A为原点，分别以48,/。,/S所在直线为x轴，了轴，

z轴建立空间直角坐标系，

则4（0,0,0）,S（0,0,2）,3（2,0,0）,E（l,0,1）,尸（21,0）.

所以通=（1,0,1）,万=（2,1,0）,

显然平面&4D的一个法向量或=（1,0,0），

一/.n,±AE

设平面4E户的法向量为〃2=（'）/）,贝叫——.

%•AE=x+z=0—/、

即「一，取x=l,则〃2=。,—2,—1）,

n2•AF=2x+y=0

——%1A/6

==

所以COS〃I，〃2=1=77=1~77~T

设平面AEF与平面SAD的夹角为0,则cos。=卜os%,%卜~~，

所以平面AEF与平面SAD夹角的余弦值为

解法二:

由（1）知S4,40,48两两垂直，如图，以点A为原点，分别以48,/。,4s所在直线为x轴，了轴,

z轴建立空间直角坐标系，则S（0,0,2）,3（2,0,0）,E（2,1,0）.

设豆=%豆（0<%<1）,则於=赤+豆=（0,0,2）+2（2,0,-2）=（22,0,2-22）,

所以丽=静一次=（2,1,0）—（2%,0,2-24）=（2-22,1,22-2）,

_____13

由EF=0>,得J（2_24）2+I+（2：_2）2=百，解得％=5，或％=5（舍去），

所以E（l,0,l）,

所以就=（1,0,1）,万=（2,1,0）,

显然平面的一个法向量E=(1,0,0),

,------»----------»

n_LAE

设平面4E户的法向量为元=(x,y,z),贝卜2

n2_LAF

.--»---►

n2-AE=x+z=0

即《，取X=1,则a=(1,-2,-1),

n2,AF=2x+y=0

%%_1_A/6

贝(JCOS〃1，〃2-

V6

设平面/£尸与平面54。的夹角为夕，贝hose=|cos%]二6

所以平面AEF与平面SAD夹角的余弦值为逅.

6

2在梯形ABCD中，ADHBC设ABAD=aZABD=/3,已知

71

cos(a一耳)=2sin«fsmk|.

++3

(1)求NADB；

(2)若CD=2,40=3,BC=4,求

7T

【答案】(1)-⑵V3

6

【分析】(1)借助两角和与差的正弦公式、两角和与差的余弦公式化简所给式子可得

tan(a+Q)=—g，结合图形可得a+4=兀一44外,即可得

(2)借助正弦定理与余弦定理计算即可得.

【解析】(1)cos[a-]3)=cosacos/3+sinasin/3,

(1.V3

2sin|a+gsmY=2—sma+——cosa-sin^+—cos/?

(22227

=2；sinasin尸+手sinacos夕+手sin/?cosa+|cosacosp、

7

即2cosacos/7+2sinasin,=sinasin/?+Gsinacos,+6sincosa+3cosacos0,

即sinasin(3-cosacos£=6(sinacos,+sin,cosa),

即一cos(a+/?)=抬"sin(a+/?),即tan(a+/?)=_]

—，即tanZADB=旦

又a+/?=兀_ZADB,故tan(7i-/4DB)=-

33

又2408©(0,兀)，故N/D8=巴;

6

TT

(2)由4O/A8C,故NDBC=NADB=—

6

CDBC

由正弦定理可得------

sinZDBCsinZ5DC

4xl

即./RMBC-sinZDBC.

smZBDC=------------=-=1

CD2

故/3℃=事，则BD=J"—CD?="2-2?=26，

由余弦定理可得AB~=AD-+BD2-2AD-BDcosZABD，

即次=9+12-18=3,故AB=5

B

变式：如图，在入45c中，AB=5N4BC=45°,ZACB=60°,点。在边3C的延长线上.

A

E

BCD

（1）求AASC的面积；

⑵若CD=2®，E为线段上靠近。的三等分点，求CE的长.

【答案】（1）（2）CE=^-

43

【解析】（1）“8C中，一丝一=/£=31_==1已=/。=后,

sinZACBsin5sin60°sin45°

因为N48C=45°,ZACB=60°,

所以ZBAC=180°-45°-60°=75°

因为sinNH/C=sin（45°+60°）=sin45°cos600+cos45°sin60°

6\也也布+后

=-----x—H-------X-----=--------------，

22224

所以S&ABC=LAB，AC-sinNBAC=LX也乂血乂^^=・

2244

（2）方法1：因为E为线段上靠近。的三等分点，

—■2—•

所以/£=—4D,

3

__1_________________________________________________►

所以屈=而+诟=曰+§砺=0+§（而—也）=§而+]函,

--*21/--*2---*2--------*

所以C£=-\CA+4CQ+2C42GD

9\

£

9

则0£=叵.

3

方法2：在八4。。中，由余弦定理得4C>2=C42+a）2_2C4-cocos"CD

=2+8-2.万2万万cosl20o=14nAe>=，

因为E为线段AD上靠近D的三等分点，

所以

3

AD

m因斗为，--4-c-V2V14

sin。sinZACDsinDsin120°

所以sin£>=斗，

2V7

因为。为锐角，

所以cos。=71-sin2D=J1--=广,

\28277

在ACDE中，由余弦定理得，

14i—/l-4526

222A

CE=DC+DE-2DCDCcosD=8+-——2x2"义-—x,

932779

所以0£=也.

3

3.人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性

别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据:

外向型内向型

男性4515

女性2010

（1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿

者.设这三人中性格外向型的人数为X,求X的数学期望.

（2）对表格中的数据，依据a=0.1的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与

人的性别没有关联.如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性

检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由.

n(ad-be)?

附：参考公式：力2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

【答案】（1）—（2）结论不一致，理由见解析

6

【分析】（1）法一：根据独立事件乘法公式，结合数学期望公式进行求解即可；法二：根据二项分布

的定义和数学期望公式进行求解即可.

（2）根据所给的公式进行运算求解即可.

3

【解析】（1）由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为一，外向型女生在所有女生中占比

为：，

故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是二3，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的

4

2

概率是

法一：X的所有可能取值为0,1,2,3.

则尸（X=0）=LQ（X=l）="x#+5x|=1,

尸（X=2）=用x（+C；x汨xg=尸（X=3）=审xg=|，

ii21313

所以E（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=」

4864886

法二：从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为乂；

从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型的人数记为公，

3322

所以£（乂）=2、4=5r（丹）=lx§=§，

3713

所以双幻=名（匕+功=矶乂）+£化）=+行=”.

（2）零假设为〃°：这两种性格特征与人的性别无关联.

由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，可知

900x(450x100-150x200)2

z2—X6.923>2.706=

600x300x650x25013

依据a=0.1的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，

原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化.

变式：2023年7月28日，第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来，有

A,B,C,…，J共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练前

对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图中

实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”.

优秀人数非优秀人数合计

训练前

训练后

合计

。得分

12------------I--T--I--------I--T--I--------：

OABCDEFGHIJ跳汞员

---训练前----训练后

(1)将上面的列联表补充完整，并根据小概率值。=0.01的独立性检验，判断跳水员的优秀情况与

训练是否有关？并说明原因；

(2)从这10人中任选3人，在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下，求这3人中恰有1人是训练

前也为“优秀”的概率；

(3)跳水员A将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规定：

在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为

“优秀”.每轮测试中，跳水员A在每个高度中达到“优秀”的概率均为,，每个高度互不影响且每

3

轮测试互不影响.如果跳水员A在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论上至

少要进行多少轮测试？

2

小2n(ad-be)廿q,

附：力=------------------------，其中〃=a+b7+c+d.

“(a+b)(c+d\a+c)(b+d)

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

3

【答案】(1)列联表见解析，有关，原因见解析(2)-(3)12轮

7

【分析】(1)根据卡方的计算即可求解，

(2)根据条件概率的计算公式即可求解，

(3)根据二项分布的期望公式，列不等式即可求解.

【解析】(1)零假设〃0：假设跳水员的优秀情况与训练无关•

列联表为：

优秀人数非优秀人数合计

训练前2810

训练后8210

合计101020

220x(4—64)236「

z2=-----------=——=7.2>6.635，

10x10x10x105

故根据小概率值a=0.01的独立性检验，零假设不成立，即跳水员的优秀情况与训练有关，此推断犯

错误的概率不超过0.01.

(2)由图可知：训练前后均不优秀的有C,户共2人，训练前后均优秀的有D,G共2人，训练前不

优秀而训练后优秀的有6人，

设幺=”所选3人中恰有2人训练后为优秀”，B="所选3人中恰有1人训练前为优秀”，

则尸(40c=1-C^1-C^1,尸(4)c2=C1,，.•.，尸，、=C1C1C13

Mo5%'

(3)设跳水员A每轮测试为优秀的概率为P,则尸=.

UJ327

设A测试次数为“，则优秀的次数X〜5(〃,p),

RQi

故E(X)="»3n心U11.6,

277

故至少需进行12轮测试.

4.已知函数/(x)=xlnx-x2一1.

(1)讨论/(x)的单调性；

12

(2)求证：/(x)<eH--1；

⑶若0>0应>0且09>1,求证：〃P)+/(q)<-4.

【答案】(1)/(X)在区间(0,+8)上单调递减(2)证明见解析(3)证明见解析

【分析】⑴求/'(X),令=求才'(X),讨论/(X)的大小可证得/(x)max=彳；]<0，

即r(x)<o,即可得出〃X)的单调性;

121212

(2)法一*：要证f(x)<e—-----1,即证------Fx>0,记/z(x)=e，H-----Fx,

')x2Xx2xV7X2X

讨论,(x)的单调性和最值即可证明；法二：通过构造函数结合已知条件放缩要证

f(x\<QH--------1即证-------blNO即可.

')/XX2X

(3)法一：由(1)可知/(x)为减函数，所以/(夕)</-,要证/(p)+/(q)<-4即证

\P)

f(p)+f-<-4,构造函数证明即可；法二：先证-即

f(p)<-p-l,f(q)<-q-l,则/(夕)+/([)<—夕一q—2,再结合基本不等式即可证明.

【解析】⑴f(x)的定义域为(0,+叫，f'(x)=]nx-2x+l,

记f(x)==--2=-——)

当时，/(x)〉0/(x)单调递增；当xe(；,+oo1寸，/(%)<0/(%)单调递减,

所以/(x)max=(；)=Tn2<0,即/'(x)<0,

所以/(x)在区间(0,+“)上单调递减.

(2)法一：先证/(%)(一工一1,记g(x)=/(x)+x+l,

贝!Jg(x)=xiwc-x2+x=x(lnx-x+l),

记加(x)=Inx-x+1,则加(%)=工一1,所以工£(0,1)时,"(x)>0,加(x)递增；

xG(1,+GO)时，m"(x)<0,m(x)递减.

所以加(X)max=机。)=0，所以加(X)WO,又X>0,所以g(%)V0,故/(X)W—X-1

[21212

再证e*H—2-----1〉-%—1，即证e"H—z----1-x>0>i己/2(x)=e“H—z----Fx,

XXXXXX

则=e~x+x-l+^—-ij>e~x+x-l»

记夕(%)二尸+'-1,则P'(％)=1-尸〉0,所以P(x)在X£(0,+8)递增，

12

所以p(x)〉P(0)=0,所以%(x)〉0,即©一“+-y----1>-x-1,

XX

19

所以/(x)<e%H—-----1.

法二：构造函数/z(%)=e"-％-1(%>0)”(%)=e"-1,

当了〉0时,单调递增,/z(x)>/z(O)=O,所以e*>1+1，

构造函数"(x)=lnx-x+l,^(x)=—-1,

当x£(0,1)时，"(%)>0,9(%)单调递增;当％£(L+00)时，9'(、)<0,9(%)单调递减.

所以。(x)max=。(1)=。，即。(x)«0,即InxVx—1成立.

所以/(%)=x\wc-x2-l<x(x-l)-x2-l=-x-l,

121212

所以evH------1>—x+1-1-------]=------x,

XXXXXX

1212(\V

则只需证明-.....X>—X—1,即------F1>0,而—120显然成立，

XXXXyx)

12

所以/(x)<e%H------1.

XX

(3)法一：由(2)知次(x)=lnx-x+l的最大值为0.

因为p>0国>0且pq>1,则夕过之中至少有一个大于1,

1…

不妨设夕〉1,则夕〉5〉0,由(1)可知/(X)为减函数，所以

所以/(〃)+/(4</(P)+/—，

\P)

(iAiif1V

因为/(77)+f~=pl叩一夕2—l+—ln———-1

\P)PP\P)

(i\(iV(or

=plip-p----4=p-----ln/7-p-\------4,

\P)\P)l〃八P)

记s(p)=l叩一P+，,则s(p)=加(〃)+工一1(L—l<0,

1<iA、

因为P〉1,所以P>G，所以/(〃)+/—<-4,所以/(p)+/g)<-4.

法二：先证/(%)«_%一］,记g(x)=/(x)+x+1,

则S(%)-%1nx-x2+x=x(lnx-x+l),

记加(x)=lax-x+1,则/(%)=工一1,所以上£(0,1)时,加(%)递增;

x

xe(l,+oo)时，<0?m(x)递减.

所以加(X)max=加(1)=。，所以加(X)WO,又X〉0,所以g(%)V0,故/(%)《-工一1

所以/(2)《一夕一1，/(q)«一夕一1，

因为p〉0国〉0且pq〉1,

所以/(2)+/(9)<—2一9-2,

所以p+qN2和^〉2义\=2,所以一p—q<—2,则/(2)+/(^)<—2—2=—4.

变式：已知函数/(x)=左111%+1-(左£R).

ex

(1)若函数V=/0)为增函数，求左的取值范围；

(2)已知0"

(ii)若a=w=左，证明：

【答案】(1)(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

xX

【分析】(1)分析可得原题意等价于左2二对Vx〉0恒成立，构建例X)=F(X>0),利用导数求

e'e

最值结合恒成立问题运算求解;

(2)⑴取后=L根据题意分析可得。一5>一山三，构建g(x)=x—Inx—1,结合导数证明

QeeX]

—In—>1——即可；

再不

(ii)根据题意分析可得0<玉<1<七，=,/(%)=%詈里，构建

Y1nY-L11

g(x)=---(x>0),结合导数证明0</(々)<—</(占)<1，即可得结果.

ee

i左1

【解析】(1)・・・/(x)=8nx+—(左wR),则/'(x)=--------(x>0),

exxex

ki

若/(%)是增函数，贝U/'(x)=------->0,

xex

X

且x>0,可得人2—，

ex

x

故原题意等价于左2下对Vx〉0恒成立，

e

丫1—丫

构建0(x)=—(%>0),贝i」9'(x)=——(x>0),

exex

令0(x)>O,解得0<x<l；令夕'(x)<0,解得%>1；

则?(X)在(0,1)上递增，在(1,+8)递减，故火x)<e(l)=L,

e

・••左的取值范围为：，+")•

111

(2)(i)由(1)可知：当左二上时，/(幻=①+—单调递增,

eeex

*.*0</<%,则/(、2)〉/(玉)，即-In4——〉一InX]H——,

整理得-1——1->Inxl-Inx2=-In-,

e2e1演

ix—\

构建g(x)=x_ln%_l,则g，(x)=l__=-----(x>0),

JCX

令g'(x)<0,解得0〈尤<1；令g'(x)>0,解得x〉l；

则g(x)在(0,1)上递减，在(1,+8)递增，

故g(x)=x—lnx-12g(l)=0，即一lnx21—x，当且仅当x=l时等号成立,

令x=」〉l,可得--,

可知/'(X)="-4=0有两个不同实数根和工2，由(1)知0<再<1<%2，

xex

可得/(xj=kIn++=宏也毛+白=受：+1，

同理可得/(乙)=血里山，

e2

-z、xlnx+1八、e,/、(l-x)lnx/八、

构建g(x)=-----一(zx>0),则g(x)=----；---(x>0),

ee

当0cx<1时，(l-x)lnx<0；当x〉l时，(l-x)lnx<0：当x=l时，(l-x)lnx=0；

且e*>0，故g'(x)40对Vxe(0,+oo)恒成立，

故g(x)在(0,+8)上单调递减，

,.10<^<1<%2,则g(》2)<g⑴<g(xj，即9@2)(一,

e

且Ini]>0,e』>0,则xJnX]+l〉0,故g®)=强生叱>0,

一e"2

可得0<f(x2)<--.

e

又・・・()<石<1,由(i)可得一In%]>1—石，即一1,

则须In须+1<%](玉一1)+1<1<eX1,

r,x.Inx,+11

且e项〉0，则」一r—<1，

eX1

可得L</(王)<1;

e

综上所述：O</(X2)<J</(X1)<1.

e

可得--＜-/（x2）＜0,则O＜/（X1）-/（X2）＜1

e

故/（%）|=/（石）-

5.已知双曲线。:/-，=1（。＞01＞0）的两条渐近线分别为/1,/2，。上一点/卜，6）到4，/2的距离之

4

积为一.

5

（1）求双曲线。的方程；

（2）设双曲线C的左、右两个顶点分别为4,4,7为直线/:x=l上的动点，且T不在X轴上，直线

a1与。的另一个交点为〃，直线刀心与。的另一个交点为N,直线与％轴的交点为尸，直线/

PMQM

与皿的交点为2,证明\扁\=\向.\

2

【答案】（1）上一y2=1（2）证明见详解

4-

4Z?-V3«||14/?+V3a|4

【分析】（1）根据点到直线距离分别求出点A到小」的距离可得L1=即

J/+/J/+/5

16b2-3a2=a2b2,再结合点幺（4,6）在双曲线上，从而可求解.

（2）分别设T（1,S）,M（XQJ,N（X2，%），求出相应斜率后可得心&=；,再设直线

MN:x=my+t，然后与—~y2=l联立利用韦达定理得到

4

（3（/+2）-6/+3（/-2））m2-8/+32=0,从而求得/=4,然后结合条件从而求解.

【解析】⑴因为川4,百）在［一＜=1上，则?一，=1①.

因为4,4的方程分别为-砂=O,bx+@=0.

4人-+

.②,

yja2+b2y]a2+Z?2

由①②解得Y=4,/=1,

所以双曲线C的方程为三一/=1③.

4■

（2）因为4（一2,0）,4（2,0）,设T（l,s）,/（Xi，yJ,N（X2/2），

则kMA'=^+2==鼻，左“=e]=忆=A，

所以左队=一3左M4]④，

2

因为白必•匕“二?'义\二J】J，

X]+2X]-2$一4

21

且〃在双曲线上，贝1,代入上式得：kMA/kMAi=-f

3

把④代入上式得：左