高考数学真题及变式题 7直线与圆的方程教师版

第第页高考真题及变式题7直线与圆的方程考情分析：2024年高考新高考Ⅰ卷未直接考查直线与圆的相关知识点，Ⅱ卷在多选题的一个选项中考到了直线与圆相切的问题，其实在压轴题中也有直线斜率的影子。直线与圆直接考查的话，难度一般是较易的，一般计算不出错即可。在一些上难度的题型中，往往有直线斜率的一些影子。直线与圆的考查以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。直线与圆的复习应关注：直线、圆的方程及位置关系，直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程的求解。预计2025年高考如果考查直线与圆，还是主要考查直线与圆的位置关系。必备知识：一．直线(一)直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．即k＝tanα(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式：直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).注意：①直线的斜率是确定的，与所取的点无关．②当x1=x③倾斜角与斜率的关系当时，直线平行于轴或与轴重合；当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大；(3)三点共线两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．(二)直线的方程1、直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用(三)两直线的位置关系：1.当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：(1)两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2且b1(2)两直线垂直：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.提醒当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.2.中点坐标公式：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：线段AB的中点为：M（3.两条直线的交点坐标：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组A14.两直线的夹角公式若直线y=k1x+b1与直线y=5.三种距离公式(1)两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离．|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d=A特例：若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离(3)两条平行直线间的距离：l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d=C注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．二．圆(一)圆的方程(1)标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心C(−D2,−E2)，半径r＝12eq\r(D2＋E(3)直径式方程：若，以线段AB为直径的圆的方程是(二)点与圆的位置关系(1)点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：①|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；②|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；③|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．(2)点M(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．(三)直线与圆的位置关系直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))消元后利用判别式Δ判断Δ>0Δ＝0Δ<0(四)圆与圆位置关系(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)公切线条数43210(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．(3)圆C1【直线与圆常用结论】(一)直线1.点关于点对称点P(x1,y12.点关于直线对称点P(x1,y1)关于直线对称的点为P'故可得kl∙k3.直线关于点对称法一：在已知直线上任取两点，求出它们关于已知点的对称点坐标，再由两对称点式求出对称直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．4.直线关于直线对称求直线l1:ax+by+c=0，关于直线l第一步：联立l1,l第二步：算出l1上任一点（非交点）Q(x1,y1第三步：利用两点求出l35.常见的一些特殊的对称点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．点关于点的对称点为．点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k−y,k−x)，关于直线x−y=k的对称点为(k+y,x−k)．6.直线系(1)过定点直线系:过已知点P(x0,y0(2)斜率为定值直线系:斜率为的直线系方程y=kx+b（是参数）．(3)平行直线系与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+m=0（m为参数,m≠(4)垂直直线系与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx−Ay+m=0（m为参数）．(5)过两直线交点的直线系过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：（为参数）．(二)圆1.关于圆的切线的几个重要结论(1)过圆上一点的圆的切线方程为:．(2)过圆上一点的圆的切线为:(3)过圆上一点的圆的切线方程为:(4)求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意，需要加上斜率不存在的那一条．题型一直线与圆，圆与圆的位置关系【真题在线】【2024新高考Ⅱ卷T10】(多选题)抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（

）A．l与相切B．当P，A，B三点共线时，C．当时，D．满足的点有且仅有2个【答案】ABD【详解】A选项，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和相切，A选项正确；(其余略)【2024北京卷T3】圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，即，则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D.【2024甲卷T12】已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【解析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，，此时；故选：C【2023新高考Ⅰ卷T6】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.

【2023新高考Ⅱ卷T15】已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．【答案】（中任意一个皆可以）【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：（中任意一个皆可以）．【2022新高考Ⅰ卷T14】写出与圆和都相切的一条直线的方程．【答案】或或【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可[方法二]：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可[方法三]：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.【2022新高考Ⅱ卷T15】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是．【答案】【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：【变式题基础】1.圆x2＋y2＋2x－1＝0的圆心到直线y＝x＋3的距离为（

）A．1 B．2C．D．2【答案】C【解析】圆心为(－1，0)，它到直线y＝x＋3的距离为＝.2.圆的圆心到直线的距离为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】，,圆的圆心为，它到直线的距离为：；故选：D．3.（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】圆，即圆，则，解得．由已知得点P在圆外，，即，解得．故．故选：C4．（2024·广东汕头·三模）已知圆经过，，三点，（i）则圆的标准方程为；（ii）若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是.【答案】，【详解】根据题意可设圆的方程为，其中，则，解得，圆的方程为，即圆的标准方程为；由题意知，直线的斜率为，直线方程为，与的交点为，所以直线关于对称的直线的斜率为，故对称直线的方程为，即，由知，圆心为，半径为2，因为对称直线与圆有公共点，所以，解得，即实数的取值范围为；故答案为：；.【变式题巩固】1.已知直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．6【答案】C【解析】变形为，故直线过定点，的圆心为，半径为3，则当⊥时，取得最小值，最小值为.故选：C2.直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题易知直线恒过，圆化为标准方程得，即圆心为，半径，圆心到距离，所以在圆内，则直线与圆交点弦最大值为直径即8，最小时即为圆心到直线距离最大，即时，此时，所以的取值范围为.故选：D3．（2024·四川成都·三模）直线与相交于两点，若是直角三角形，则实数的值为（

）A．1或 B．或 C．或 D．或【答案】A【详解】根据题意，圆的圆心，半径，易知是等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为，则，解得，所以或.故选：A.4．（2024·山东烟台·三模）若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】即，，解得或，且其圆心坐标为，若该圆与轴没有交点，则，解得；故选：C.5．（2024·北京·三模）已知直线，圆，下列说法错误的是（

）A．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点；B．当且仅当时，直线被圆所截弦长为；C．对任意实数，圆不关于直线对称；D．存在实数，使得直线与圆相切．【答案】D【详解】直线，由，解得，即直线恒过定点，圆的半径，，即点在圆内，对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点，A正确，D错误；直线不过圆的圆心，因此对任意实数，圆不关于直线对称，C正确；直线的斜率，当时，直线的斜率为，因此直线此时直线被圆所截弦是过点的最短弦，最短弦长为，因此当且仅当时，直线被圆所截弦长为，B正确；故选：D6．(多选题)（2024·河南郑州·三模）已知直线（不同时为0），圆，则（

）A．当时，直线与圆相切B．当时，直线与圆不可能相交C．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线D．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点满足【答案】ACD【详解】圆即，圆心为，半径；对于A：若，圆心到直线距离，直线与圆相切，故A正确；对于B：当，时满足，此时直线方程为，则圆心到直线的距离为，显然直线与圆相交，故B错误；对于C：当时直线，则直线与直线平行，且两平行线间的距离，依题意动圆圆心到直线的距离与到的距离相等，且点不在直线上，根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是一条抛物线，故C正确；对于D：不妨令，，的中点为，又，以为直径的圆的方程为，又，所以圆与圆相交，所以圆上存在点满足，故D正确；故选：ACD7．(多选题)（2024·浙江温州·二模）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（

）A．10 B．2 C． D．【答案】BD【详解】由题意可得弦所在的直线方程为，因为圆，圆心，圆，圆心，设圆心与圆心到直线的距离分别为，因为，即，所以，又，即，化简可得，即，解得或.故选：BD【变式题提高】1.在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（

）A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7【答案】C【解析】由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C：因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示，，在中，.所以，圆心C到直线l的距离:因此，，解得，；故选：C.2.已知C，D是圆：上两个不同动点，直线恒过定点P，若以CD为直径的圆过点P，则CD最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，设以为直径的圆的圆心为，半径为，将直线化简得，即，得，所以直线恒过定点，在中，，因为，所以，即，解得（舍），，所以，故选：A.3.（2024·江西新余·二模）已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由C：可得其圆心为，半径，圆心到直线的距离，若为正三角形，则有，即，即，解得或，故“为正三角形”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．（2024·北京·三模）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】由可得点的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为，又直线，其过定点，故距离的最大值为.故答案为：C5．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离，因为，且，当最小时，则最大，可得最大，即最大，又因为的最小值即为圆心到直线的距离为，此时，所以取得最大值．故选：C．6．（2024·重庆·二模）已知圆是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（

）A． B．3 C． D．【答案】C【详解】由，可得圆心，半径，设，则，，则有，解得，即.故选：C.7．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】说明在以为直径的圆上，而又在圆上，因此两圆有公共点，则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，所以，即，又，解得.故选：B8．（2024·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】易知直线恒过定点，直线恒过定点，且，易知直线与互相垂直，即可得，所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为；可得点轨迹方程为；又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点，当两圆内切（圆在外）时，取得最大值；此时满足，解得；故选：D9．(多选题)（2024·湖南长沙·三模）已知圆，直线，则（

）A．直线恒过定点B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1C．直线与圆可能相切D．若圆与圆恰有三条公切线，则【答案】AD【详解】由直线，得，因为，则满足，解得，所以直线恒过定点，故选项A正确.因为当时，直线为:，则圆心到直线的距离为，则此时直线与圆相交所得劣弧的顶点到直线的距离，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故选项B错误.因为直线过定点，又，所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故选项错误.由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则，解得，故选项正确；故选：AD.10．(多选题)（2024·山西临汾·三模）已知是以为圆心，为半径的圆上任意两点，且满足，是的中点，若存在关于对称的两点，满足，则线段长度的可能值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】BCD【详解】因为，所以，因为是中点，所以，所以点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，设为点，则，所以，又，两点关于点对称，所以为直角三角形，且为斜边中点，则，所以，故选：BCD．11．(多选题)（2024·山东青岛·三模）已知动点分别在圆和上，动点在轴上，则（

）A．圆的半径为3B．圆和圆相离C．的最小值为D．过点做圆的切线，则切线长最短为【答案】BD【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，对于A，圆的半径为，A错误；对于B，，圆和圆相离，B正确；对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接，由圆的性质得，，当且仅当点与重合，且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误；对于D，设点，过点的圆的切线长，当且仅当，即时取等号，D正确；故选：BD

12．(多选题)（2024·浙江绍兴·三模）已知，为圆上的两个动点，点，且，则（

）A．B．C．外接圆圆心的轨迹方程为D．重心的轨迹方程为【答案】ABC【详解】因为圆，可得圆心，半径为，且点在圆内，对于A中，由，根据圆的性质，可得，即，即，所以的最大值为，所以A正确；对于B中，因为，当线段的中垂线经过点时，此