数林外传系列典藏版16直线形（待校对）

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑内容简介本书共分平面上点和直线的相关位置、三角形、四边形、合同变换、相似形和相似变换六个部分，较系统地推荐了有关直线形的性质以及平面图形中两种初等变换的知识.为了便于读者阅读，文字讲述比较详细，内容由浅入深，由易到难，循序渐进，习题、总复习题附有答案或须要的提醒.本书主要供中学生学习使用，也可供中学数学教师参考.第1章平面上点和直线的相关位置1.1几何论证的根据几何学的逻辑性异常显然,每碰到一个新的概念,都要给出它的定义;每证实一个新的定理,都要说明它的理由.但追溯上去,一定有一些概念是不能再下定义的,一定有一些理由是不能再去证实的,这就是说,必须有一组公理体系作为几何论证的根据.古希腊的欧几里得(Euclid,约公元前330一公元前275)早已注重到这个问题,但是他提出的公理体系不够残破.现代公理体系是德国的希尔伯特(Hilbert,1862-1943)奠定的.在希尔伯特的公理体系中,点、直线、平面是没有定义的;点在直线上和点在平面上、一点介于另两点之间、两线段相等和两角相等也是没有定义的.希尔伯特关于线段的定义也和普通书籍略有不同.他把线段AB定义为一对点A和B,不过介于A和B之间的点依然叫做线段AB上的点.希尔伯特关于射线的定义是:直线a上,点O的同侧的点的全体,叫做从点O起的一条射线.不过他对于“同侧”一词是先给出了定义的,而普通书籍上则省略掉了.希尔伯特提出了五类共计20条公理.I结合公理公理I1通过不同两点的直线必存在公理I2通过不同两点的直线至多有一条公理I3在每向来线上至少有两点,至少有三点不同在线上.公理I4通过不同在向来线上的三点的平面必存在.在每一平面上至少有一点公理I5通过不同在向来线上的三点的平面至多有一个公理I6若向来线有不同的两点在某平面上,则该直线全在这平面上.公理I7若两平面有一公共点,则它们至少还有另一公共点公理I8至少有四点不在同一平面上II顺序公理公理I1若点B介于A、C两点之间,则A、B、C是向来线上的三个不同的点公理I2对于任何不同的A、B两点,在直线AB上至少有一点C,使得B介于公理II3在向来线上任何不同的三点中,至多有一点介于其余两点之间公理I4(帕施(Pasch)公理)设A、B、C是不同在向来线上的三点,a是平面ABC上的向来线,它不通过A、B、C中任何一点.若a有一点介于A、III合同公理公理II1设AB是给定的线段,A'X'是自点A'发出的一条射线,则A'X'上必有一点B',公理II2倘若线段A'B'=AB,公理II3设点B介于A、C两点之间,点B'介于A'、C'两点之间,若线段公理II4设∠XOY是给定的一个非平角的角,O'X'是自点O'发出的一条射线,λ'是自O'X'所在直线伸出的一个半平面,则在λ'上必有且仅有一条自点O'发出的射线O公理III5设A、B、C是不在同向来线上的三点,A'、B'、C'也是不在同向来N平行公理公理N通过不在已知直线上的一点至多可引一条直线与已知直线平行.V延续公理公理V1(阿基米德(Archimedes)公理)设AB和CD是两条给定的线段,且AB>CD,则必然存在一个正整数m,公理V2(康托尔(Cantor)公理)设在直线a上给定无限多条线段AiBi(i=1,2,3,⋯),其中线段Ai+1Bi+1的点全属于AiBi.倘若给定无论怎样小的线段PQ,在这一系列线段A按照希尔伯特所奠定的这一组公理体系,就可以推出下面的一(1)希尔伯特的最后一条公理与此不同,他把它叫做完备公理,但是完备公理的内容太抽象,后人都改用与它等效的康托尔公理来代替.些定理:定理1.1直线上随意两点之间至少还有一点存在.定理1.2两条不同直线至多有一个公共点.定理1.3一条线段必有且仅有一个中点.定理1.4一个角必有且仅有一条角平分线.定理1.5倘若A、B两点在直线l的两侧,则线段AB和直线l由此继续推导下去,就可以得到几何学的所有定理,但是推导过程异常繁冗.怎样推导是“几何基础”这一门学科的任务,不在本书的范围.值得注重的是:希尔伯特没有把“图形可以移动到任何位置而不改变其形状和大小”作为一条公理,而普通几何书籍则把这个命题作为公理来用,有的书籍把这个命题叫做“运动公理”.因为公理II1已保证线段可以移置,公理II4已保证角可以移置,所以图形的移置依然1.2平面上点、直线的位置关系平面上两点的位置关系惟独两种:重合和不重合(不同).平面上点和直线的位置关系也惟独两种:点在直线上和点不在直线上(点在直线外).平面上两直线的关系有三种:(1)两直线没有公共点,这时我们说两直线平行;(2)两直线有一个公共点,这时我们说两直线相交;(3)两直线有两个公共点,这时,按照公理I2,这两直线就成为一条直线,因而有无穷多个公共点,我们就说这两直线重合1.3距离和角为了研究点与点、点与直线、直线与直线的位置关系的进一步划分,现引入距离和角的概念1.距离设Ai是图形FA的点,Bi是图形FB的点,那么图形FA和图形由此可以知道,两点间的距离就是衔接这两点的线段.2. 角从一点O引出两条射线OA、OB,这样得到的图形叫做角,OA和OB叫做角的边.或者说,一条射线绕着它的端点O由初始位置OA旋转到终止位置OB,这样得到的图形叫做角,OA叫做角的始边,OB倘若一个角的终边和始边重合,那么这个角叫做周角;倘若一个角的始边和终边在向来线上,且方向相反,那么这个角叫做平角.倘若两个角有公共的顶点和一条边,并且它们位于公共边的两侧,那么这两个角叫做邻角.倘若两个角有一边公共,而它们的另一边互为反向延伸线,那么这两个角互为邻补角;倘若两个角的两边都互为反向延伸线,那么这两个角互为对顶角.倘若一个角等于它的邻补角,那么这个角叫做直角.小于直角的角叫做锐角,大于直角而小于平角的角叫做钝角.倘若两个角的和等于一个平角,那么这两个角互为补角;倘若两个角的和等于一个直角,那么这两个角互为余角.习惯上,将一个周角记为360∘,1∘分为60',1'分为60''.因此平角是1.4两相交直线1.两相交直线的性质两条直线AB和CD相交于点O,就形成了两组对顶角(图1.1).因为同角的邻补角相等,所以∠AOC=∠BOD定理1.6对顶角相等.2.垂线(1)垂线的定义两条直线相交,所成四个角中如有一个是直角,则另外三个角也都是直角.这时,我们就说这两条直线互相垂直,交点叫做垂直足或垂足(图1.2).垂直用符号““”表示,直线AB和CD垂直记为AB⊥CD倘若一条线段的垂线通过该线段的中点,那么这条直线就叫做该线段的垂直平分线.图1.1图1.2倘若相交的两条直线不互相垂直,那么其中的一条直线就叫做另一条的斜线,交点叫做斜线足或斜足.（2）垂线的性质定理1.7过一点必有且仅有一条垂线垂直于已知直线.证实下面分两种情形来研究:(1)点在直线上.设O为直线AB上的一点,则点O将直线AB分成两条射线,从而构成一个平角∠AOB.设∠AOB的平分线是OD,那么OD为AB的垂线(因为一个角必有且惟独一条平分线,所以过点O必有且惟独一条直线和AB垂直.(2)点在直线外.设M为直线AB外的一点,由公理I3知,AB上至少有两点,设其一为D.由公理I4知,必有一条射线DN存在,它和DM在AB的两侧,并且∠BDM=∠BDN.由公理III1知,射线DN上必有一点M'存在,使DM=DM'.图1.3点C.再由公理II5知,因为DM=DM',DC=DC,∠CDM=∠CDM'第二,设E为直线AB上除C以外的任一点,由定理1.2可知,E不是直线MM'和直线AB的交点,所以EM和EM'不互为反向延伸线,因此∠BEM与∠BEM'不互为邻补角,这个定理也可以通过将平面绕AB翻转180∘来证实,请读者自行研究1.5三线八角两条直线AB、CD都和第三条直线EF相交,构成8个角(图1.4中用数字表示).依照这些角的位置关系,图1.4∠1和∠5(同在左上方)、∠2和∠6(同在右上方)、∠3和∠7(同在左下方)、∠4和∠8(同在右下方)叫做同位角.∠3和∠6(同在内部,一在左下方,另一在右上方)、∠4和∠5(同在内部,一在右下方,另一在左上方)叫做内错角.∠3和∠5(同在左方内部)、∠4和∠6(同在右方内部)叫做同旁内角.∠1和∠7(同在左方外部)、∠2和∠8(同在右方外部)叫做同旁外角.∠1和∠8(同在外部,一在左上方,另一在右下方)、∠2和∠7(同在外部,一在右上方,另一在左下方)叫做外错角.有了三线八角的概念,就可以研究在什么条件下两条直线平行,在什么条件下两条直线相交了.1.6两平行直线1.平行线定理1.8在同一平面上,垂直于同向来线的两条直线平行.证实倘若AB和CD不平行,设它们相交于一点P,那么PA⊥MN,PC⊥MN（图1.5）.这样过点P就有两条直线和MN垂直,这与过直线外一点只能有一条直线和已知直线垂直相矛盾图1.5能相交.这就是说,必有AB//2.平行线的唯一性公理IV指出,过已知直线外一点至多有一条直线与已知直线平行.这是英国数学家普莱费尔(Playfair,1748-1819)首先提出来代替欧几里得的第五公设的.欧几里得的《几何原本》的第五公设是:倘若两条直线和第三条直线相交,并且某一侧的一对同旁内角的和小于两直角,这两条直线一定在这一侧相交.后来许多数学家曾经企图用其他公理来证实这个命题,这种企图延续了两千年以上,但都没有胜利.直到19世纪初期,才由俄国的罗巴切夫斯基(Лобачевский,1792-1856)、匈牙利的波尔约(Bolyai,1802-1860)和德国的高斯(Gauss,1777-1855)各自自立发现:这个命题不能由其他公理推导出来.但是高斯一直没有敢公布他的发现,而罗巴切夫斯基和波尔约则先后于1829年和1832年发表了他们的结果,创立了一种新的几何学.因为这种几何学不同于欧几里得的几何学,所以习惯上叫做非欧几何学.后来,高斯的学生黎曼(Riemann,1826-1866)于1854年又创立了一种非欧几何学.德国数学家克莱因(Klein,1849-1925)把罗巴切夫斯基和波尔约创立的几何学叫做双曲线几何学,把黎曼创立的几何学叫做椭圆几何学,而把欧几里得的几何学叫做抛物线几何学.3.平行线的判定定理定理1.9两条直线都和第三条直线相交,若内错角相等,则两直线平行.图1.6证实如图1.6所示,设直线l1和l2与直线l分离相交于A、B,且内错角∠1=∠2.取线段AB的中点O,过点O作l1的垂线OD,交l1于D,交l2于E.将图形OAD绕点O旋转180∘放置到图形OBE上,因为∠1=∠2,所以射线AD和射线BE重合.又因为∠AOD=∠BOE,所以射线OD和射线OE重合.因此点D和点E重合.这样,∠ADO和∠BEO彻低重合.因为∠ADO=90∘,因此∠BEO推论1两条直线都和第三条直线相交,若同位角相等(或外错角相等),则两直线平行.推论2两条直线都和第三条直线相交,若同旁内角(或同旁外角)互补,则两直线平行.这个定理与平行公理无关.这个定理不用旋转的主意(不用运动公理)也可以证实,只需先证实“三角形的外角大于它的不相邻的内角”.因为倘若l1和l2相交,那么就和AB形成三角形,这时∠1和∠2必有一个是三角形的内角,另一个是不相邻的外角,因此不是∠1>∠2,就是∠2>∠1,4.平行线的性质定理定理1.10倘若两条平行直线被第三条直线所截,那么:（1）内错角相等;（2）外错角相等;(3)同位角相等;（4）同旁内角互补;（5）同旁外角互补.证实(1)设直线AB//CD,并与直线EF分离交于G、H(图1.7).倘若内错角∠AGH≠∠GHD,可设∠AGH>∠GHD,那么由公理III4知,过点G必有一条直线KL,能使∠KGH=∠GHD.图1.7平行公理矛盾.所以∠AGH(2)-(5)同理可证.推论1垂直于两平行直线中的一条的直线必垂直于另一条.推论2平行于同一条直线的两条直线平行.平行线的性质定理是由平行公理推导而得到的.在双曲线几何里,平行线就没有这些性质;而在椭圆几何里,平行线根本不存在.1.7平面上三直线的位置关系1.两直线相交的判定定理1.11倘若两条直线都和第三条直线相交,并且一对同旁内角的和小于两直角,则这两条直线相交.图1.8证实设直线EF与直线AB、CD分离交于G、H(图1.8),且∠BGH+∠DHG<180∘.因为∠BGH+∠DHG<180∘,∠DHG+∠CHG=180∘,所以∠BGH<∠CHG.以H为顶点,HG为边在∠这一命题是欧几里得第五公设,它是平行公理的等价命题。推论1两条直线与第三条直线相交,若内错角不等,或同位角不等,则两直线相交.推论2倘若一条直线和两条平行线中的一条相交,则必然也和另一条相交.2.平面上三直线的位置关系按照以上研究,我们得到三直线的位置关系有以下四种情形(图1.9):(1)三直线共点;(1)(2)(3)(4)图1.9(2)三直线两两平行;(3)向来线与两平行直线分离相交;(4)三直线两两相交.1.8对应边互相平行或直的两角定理1.12倘若两个角的对应边互相平行:(1)若平行方向都相同或都相反,则这两个角相等;(2)若一组边平行方向相同,另一组边平行方向相反,则这两个角互补.证实(1)如图1.10所示,设在∠AOB与∠CO'D中,OA//O'C,OB//O'D,且平行方向相同.由定理1.11的推论知,直线DO图1.10(2)设在∠AOB与∠DO'E中,OA//EO',OB//O'D定理1.13倘若两个角的对应边互相垂直,并且从同一旋转方向(例如从逆时针方向)来说:(1)第一个角的始边垂直于第二个角的始边,第一个角的终边垂直于第二个角的终边,那么这两个角相等;(2)第一个角的始边垂直于第二个角的终边,第一个角的终边垂直于第二个角的始边,那么这两个角互补.图1.11证实(1)设∠AOB与∠CO'D的旋转方向相同,OA⊥O'C,OB⊥O'D(图1.11).过O'作O'A'//OA,(2)设∠BOE与∠CO'D的旋转方向相同,而OB⊥O'D,OE⊥O'C,则习题11. 如图,M为线段AB的中点,C为线段AB上的一点,求证:CM=第1题图2. 如图,M为线段AB的中点,C为AB延伸线上的一点,求证:CM=第2题图3. 如图,OM为∠AOB的平分线,射线OC在∠AOB内,求证:4. 证实:对顶角的平分线互为反向延伸线.5. 证实:邻补角的平分线互相垂直.6. 如图,直线l和两条平行线AB、CD分离相交于E、F,∠CFE和∠第3题图第6题图7.如图,已知AB//CD,∠D第7题图第8题图8.如图,已知AB//CD,∠9.如图,已知AD//BC,AD平分∠EAC第9题图第10题图10.如图,在△ABC中,BE为∠B的平分线,CF为∠C的平分线,求证:BE与CF11. 如图,已知AC⊥BC,CD⊥第11题图第2章三角形2.1三角形及其有关概念三角形是常常碰到的一种图形,无数几何问题都可以化为有关三角形的问题.三角形常用表示它的三个顶点的字母来表示,记为△ABC.每个三角形有三条边BC、CA、AB和三个内角∠A、∠B、∠C,称为三角形的元素.偶尔也用小写字母a、b、c分离表示△ABC的三条边BC、CA、AB.∠A、∠B、∠C分离叫做边1.三角形的分类按照各边的相等与不等的关系,三角形可以分为两类:三边都不等的叫做不等边三角形(图2.1);三边中至少有两边相等的叫做等腰三角形(图2.2).在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底,底所对的角叫做顶角.底和腰相等的等腰三角形(图2.2图2.1图2.2右)叫做等边三角形或正三角形.按照角的大小,三角形可以分为三类:三个角都是锐角的叫做锐角三角形;有一个角是直角的叫做直角三角形;有一个角是钝角的叫做钝角三角形.在直角三角形中,直角的两条边叫做直角边,直角的对边叫做斜边.2.三角形中主要的线三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线.衔接三角形一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.从三角形的一个顶点向它的对边或对边的延伸线引垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高(三角形的高偶尔也指它所在的直线).每一个三角形都有三条角平分线、三条中线和三条高.三角形的角平分线、中线都在三角形的内部.锐角三角形的三条高都在形内.直角三角形斜边上的高在形内,而两直角边中任何一条直角边上的高就是另一条直角边.钝角三角形钝角对边上的高在形内,另两条边上的高在形外(图2.3).图2.3另外,通过三角形每一条边的中点而垂直于这条边的直线叫做这条边的垂直平分线或中垂线.2.2三角形的全等1.全等三角形倘若一个三角形的六个元素和另一个三角形的六个元素对应相等,我们就说这两个三角形全等.全等用“气”符号表示.推论全等三角形的对应元素相等.2.全等三角形的判定定理定理2.1(三角形全等的判定定理I)倘若两个三角形中有两边和它们所夹的角对应相等,则这两个三角形全等(应用本定理时,简记为SAS).证实在△ABC与△DEF中,设AB=DE,AC=DF,∠BAC=∠EDF(图明BC=假设BC≠EF,由公理I1知在射线BC上必有一点G,使BG=EF.在△ABG与△DEF中,有AB=DE,BG=EF,∠ABG=∠DEF,再由公理II5知,应有∠BAG定理2.2(三角形全等的判定定理II)倘若两个三角形中有两个角和它们所夹的边对应相等,则这两个三角形全等(应用本定理时,简记为ASA)：图2.5证实在△ABC与△DEF中,设∠ABC=∠DEF,∠假设AB≠DE,由公理II1知,在射线BA上必有一点H,使HB=DE.在△HBC与△DEF中,有HB=DE,BC=EF,∠HBC=∠DEF,由公理II5知∠HCB=∠DFE.以上两个定理在普通课本上都是用“叠合法”来证实的.本书的证法充足说明希尔伯特的公理体系是可以避免图形的运动的.定理2.3(三角形全等的判定定理III)倘若两个三角形中有三边对应相等,则这两个三角形全等(应用本定理时,简记为SSS).证实在△ABC与△DEF中,设AB=DE,BC=EF,CA=FD,并设BC和EF是最大边.由公理III4知,必有射线BL图2.6知,BL上必有一点K,使KB=DE.连KC,则△KBC≅△DEF(SAS),所以KC=DF.连AK(图2.6),将△BAK先看做△BAK再看做△BKA,那么在这两个三角形中,AB=DE=KB,KB=这个证法相传是古希腊数学家斐罗(Philo)所创.例1在△ABC中,AB=AC,在AB和AC的延伸线上取BF证实在△ABG和△ACF中,AB=AC,AG=AF,∠BAG=∠CAF,由定理2.1知△ABG≅△ACF欧几里得在他的《几何原本》中证实了三图2.7角形全等的判定定理I之后,就是用本例的主意来证实“等腰三角形底角相等”这个定理的.他在证实△BFC≅△CGB之后,先证实∠CBF=∠BCG,再例2已知AB⫫CD,AD与BC交于O,过点O的直线分离交AB和CD于E和F证实因为AB//CD,所以∠A=∠D,∠B=∠C.又因为AB图2.8△ODF中,∠A=∠D,∠例3AA'、B证实在△AOB与△A'OB'中,OA=OA',OB=注重欲证两线段相等或两角相等,最常用的主意就是证实它们是全等三角形的对应元素.图2.9习题21. 如图,BD是△ABC的中线,延伸BD至E,使DE=2. 如图,过△ABC的顶点A作AF⊥AB并使AF=AB,又作AH3. 如图,BE、CF是△ABC的高,在射线BE上截取BP=AC,在射线CF4. 如图,在△ABC中,BD、CE分离为AC、AB上的中线,分离延伸BD、CE第1题图第3题图第2题图第4题图5.如图,在∠A的两边上分离取AB=AC,又取BD=CE,BE6. 如图,△PAB和△QAB在AB的同侧,且∠1=∠2,∠3=∠4,连PQ,求证:第5题图第6题图2.3三角形中边角之间的关系1.同一三角形中各角的关系定理2.4三角形的外角大于和它不相邻的内角.证实设在△ABC中,∠ACB的外角是∠ACD,要证实∠ACD首先,设∠ACD=∠BAC,则在射线BC上必有一点D,使CD=AB.连AD(图2.10),则因为CD=AB,CA=AC,∠DCA=∠BAC,由公理II5,知∠CAD=∠ACB.所以∠图2.10第二,设∠ACD<∠BAC,则由公理II4知,必有射线AE,使∠EAC=∠ACD,并且AE与AB在AC的同侧.因为∠ACD<∠BAC,所以∠EAC<∠BAC,因此AE在∠BAC的内部.设AE交所以∠ACD>∠BAC.同理,∠ACD>∠定理2.5三角形的三个内角之和等于180∘证实从随意一点O引出四条射线OA'、OB'、OC'、OA'',设OA图2.11倘若将图2.11右边的图形叠合在左边的图形上,使点O落在点C上,OA'和OB'分离落在CB和CA上,就可以得到《几何原本》中的证法;倘若将图2.11右边的图形倒过来再叠合在左边的图形上,使点O落在点A上,OC'和O这个定理是平行公理的直接结果.推论1三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和.推论2倘若两个三角形中有两对角相等,那么它们的第三对角也相等.推论3一个三角形最多有一个直角.推论4一个三角形最多有一个钝角。由本定理很容易推得下列定理：定理2.6(三角形全等的判定定理N)倘若两个三角形中有两个角和其中一角所对的边对应相等,则这两个三角形全等(应用本定理时,简记为AAS或SAA).这个定理的证实留给读者.2.同一三角形中边与角之间的关系定理2.7在同一三角形中,倘若两边相等,则它们所对的角也相等;倘若两边不等,则它们所对的角也不等,并且大边所对的角较大.证实先设在△ABC中,AB=AC(图2.12).将这个三角形先看做△ABC再看做△ACB,则因AB图2.12图2.13再设在△ABC中,AB>AC(图2.13).则由公理III1知,在AB上必有一点D,使AD=AC,连CD.由本定理第一部分的证实,得∠ACD定理2.8在同一三角形中,倘若两角相等,则它们所对的边也相等;倘若两角不等,则它们所对的边也不等,并且大角所对的边较大.证实先设在△ABC中,∠B=∠C,则AB不能大于AC.因为倘若AB>AC,由定理2.7,应有∠C第二,倘若∠B>∠C,用类似的主意,可以证实AB≠AC注重一个命题倘若将正面、反面各种情况所有包括在内,则这个命题叫做分断式命题.事实上,分断式命题是原命题与否命题合并而成的.所以分断式命题的逆命题必然成立,并且一定可以用反证法证实.定理2.7和定理2.8就是分断式命题.这类形式的命题以后还将碰到。3.同一三角形中边与边之间的关系定理2.9在三角形中,任何两边之和一定大于第三边;任何两边之差一定小于第三边.证实设三角形为ABC,在射线BA上必有一点D,使AD=AC,连CD(图2.14).由定理2.7,得∠ADC=∠ACD.但∠ACD<∠DCB,所以∠ADC<∠DCB图2.14同理.另一证法:由定理1.4,得∠BAC必有一条角平分线,设为AE.则由定理2.4,知∠AEB>∠CAE,即∠AEB>∠BAE.由定理2.8,得AB定理2.10(三角形全等的判定定理V)倘若两个三角形中有两边对应相等,并且这两边中较大的边所对的角相等,则这两个三角形全等.证实设在△ABC与△DEF中,E2.15欲证△ABC≅△DEF,只需证BC=EF.用反证法:设BC<EF,则可在EF上取GF=BC,连DG(图2.15).在△ABC与△DGF中,AC=DF,BC=GF,∠C=∠F,由定理2.1,得△ABC≅△2.4.两双边对应相等的两个三角形定理2.11倘若两个三角形有两双边对应相等而夹角不等,则夹角所对的边也不等,并且夹角大所对的边也大.证实设在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'图2.16和AB在AC的同侧,如图2.16所示.因为∠A>∠A',所以A'B'落在∠BAC的内部.设B'落在△ABC的外面,连BB',则因为倘若B'落在△ABC的里面,如图2.17所示,连BB'.则证实∠ABB'=∠图2.17∠CB'倘若B'落在BC本定理也可以通过作∠BAB'的平分线AD交BC于D,利用定理2.1及定理2.9来证实,但也要考虑B'落在定理2.12倘若两个三角形有两双边对应相等而第三双边不等,则第三双边所对的角也不等,边大则所对的角也大.这是定理2.11的逆定理.因为定理2.11和定理2.1组成分断式命题,所以逆定理一定成立.请读者用反证法自行证实.例1倘若两个三角形的各边对应平行,则各角对应相等.证实设在△ABC与△A'B'C'中,BC//B'C',CA//首先,设∠A+∠A'=第二,设∠A相加,得∠A+∠B+∠C最后,设∠A例2设三角形的一边不大于另一边的一半,则其对角小于另一边对角的一半.图2.18证实如图2.18所示,设在△ABC中,AB⩽12AC.延伸CB至D,使BD=AB,连AD.因为AB⩽12AC,所以2AB⩽AC.由定理2.9,得AD<AB+注重(1)欲作一个角等于三角形内角的一半,常反向延伸夹这个内角的一边,使延伸部分等于夹这个内角的另一边,衔接得等腰三角形,则等腰三角形的底角等于原三角形内角的一半。（2）欲证两角不等，常设法将它们移置到同一三角形中，利用大边对大角的定理来证实.反之,欲证两线段不等,也常设法将它们移置到同一三角形中,利用大角对大边的定理来证实.例3在三角形中,一边上的中线小于另两边之和的一半.证实在△ABC中,延伸AD至E,使DE=AD(图2.19),连BE,则△BDE≅△CDA(SAS),所以BE=AC.在△ABE注重（1）欲证两线段之和大于另两线段之和时，可设法作出另两线段的“和线段”,再设法移置到同一三角形内,利用三角形中边与边之间的关系(或边与角之间的关系)举行证实。（2）已知条件中有中线时，常采用将中线延伸一倍的主意举行证实。这在以后浮上平行四边形时,尤为方便.图2.19图2.20例4在△ABC中,AC>AB,AD为∠BAC的平分线,证实在AC上取AE=AB,连PE.因为AB=AE,AP=AP,∠1=∠2此立得PC-注重（1）欲证两线段之差大于另两线段之差,可设法作出另两线段的“差线段”,再设法移置到同一三角形内,利用三角形中边与边之间的关系(或边与角之间的关系)举行证实.（2）已知条件中有角平分线时，常采用以角平分线为轴将图形所在平面翻转180∘的主意举行证实例5三角形中倘若有两个内角的平分线相等,则此三角形为等腰三角形.图2.21证实如图2.21所示,设在△ABC中,BD、CE分离为∠ABC、∠ACB的平分线.将△BEC绕BC翻转180∘,设点E的新位置为F,则△BEC≅△BFC.又将△BFC沿着CA向上移动,因FC=CE=BD,故可使FC落在BD上,并设点B的新位置为G,则△BFC≅△GBD,连CG.在△BCG与△DGC中,BC=DG,GC=GC.并且,∠GBC=∠GBD+∠DBC=∠BFC+本题用反证法可稍容易,用直接证法则比较艰难.上面这个证法是德国数学家黑塞(Hesse)给出的.原证法中没有“将△BEC翻转成△BFC”这一步,这里为了阅读方便,将△BEC先翻转再移置.例6在△ABC中,∠C证实因为∠C>∠B,所以AB>AC.在△图2.222.12,得∠ADB>∠ADC.在△BDE和△CDE中,BD注重欲证两线段或两角不等,而这两线段或两角分布在两个三角形中,且能证实这两个三角形有两双边对应相等时,常用定理2.11和定理2.12举行证实.习题31. D是△ABC内随意一点,求证:(1)∠BDC>∠2. 如图,已知AD=BC,∠第2题图第3题图3.如图,已知OA=OB 34⋅直线形>∠BOP4. 如图,在线段BC的同侧作等腰三角形ABC和随意三角形DBC,且AD//BC,求证:5. 在△ABC中,D是∠BAC的外角平分线上随意一点,求证:6. 设D为△ABC内的一点,若AB>AC7. CD为直角三角形ABC的斜边AB上的高,求证:AB+8. 如图,在△ABC中,AB=AC,P为△ABC外一点,且PB+第4题图第8题图2.4等腰三角形和直角三角形1.等腰三角形全等和直角三角形全等的判定定理定理2.13两个等腰三角形倘若有顶角和一腰对应相等,则这两个等腰三角形全等.定理2.14两个等腰三角形倘若有顶角和底边对应相等,则这两个等腰三角形全等.定理2.15两个等腰三角形倘若有一腰和一底角对应相等,则这两个等腰三角形全等.定理2.16两个等腰三角形倘若有底边和一底角对应相等,则这两个等腰三角形全等.定理2.17两个等腰三角形倘若有一腰和底边对应相等,则这两个等腰三角形全等.定理2.18两个直角三角形倘若有两直角边对应相等,则这两个直角三角形全等.定理2.19两个直角三角形倘若有一锐角和向来角边对应相等,则这两个直角三角形全等.定理2.20两个直角三角形倘若有斜边和一锐角对应相等,则这两个直角三角形全等.定理2.21两个直角三角形倘若有斜边和向来角边对应相等,则这两个直角三角形全等.以上这几个定理都可由三角形全等的判定定理I-V推得,请读者自行2.等腰三角形的性质和判定定理2.22等腰三角形的底角相等.这个定理可以直接用公理III5来证实证实设∠BAC的平分线交BC于D(图2.23),在△ABD与△ACD中,AB=AC图2.23推论1等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线和高,又是底边的垂直平分线.推论2等边三角形的各角都相等,并且每个角都等于60∘定理2.23倘若一个三角形有两个角相等,那么这个三角形就是等腰三角形.这是定理2.8的直接结果.推论1三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2有一个角是60∘推论3倘若三角形的一个角的平分线和它的对边上的高、对边上的中线以及对边的垂直平分线这四线中有任何两线重合,则这个三角形是等腰三角形.3.直角三角形的性质和判定定理2.24直角三角形的两个锐角互为余角.这是定理2.5的直接结果.推论等腰直角三角形的两个锐角都等于45∘定理2.25直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.图2.24证实设在△ABC中,∠C=90∘,D为斜边AB的中点.在∠ACB内部作∠ACD'=∠A,设CD'与AB交于D'(图2.24),则AAD=BD=12AB要证实本定理,也可将CD延伸一倍至E,连AE.先证△ADE≅△BDC,再证定理2.26有两个角互为余角的三角形是直角三角形.这是定理2.5的直接结果.定理2.27在三角形中,倘若一边上的中线等于这边的一半,则这边所对的角是直角.证实设在△ABC中,CD是AB上的中线,CD=AD=BD(图2.25),则∠定理2.28倘若直角三角形有一个图2.25锐角为30∘,则30图2.26证实在△ABC内作中线CD(图2.26),由定理2.25,得CD=AD=BD,所以∠ACD=∠定理2.29在直角三角形中,倘若有一条直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的角等于30∘.证实例1在△ABC中,AB=AC,过BC上的一点图2.27交AB、AC的延伸线于E、证实因为AB=AC,所以∠B=∠C.在△CFD中,因为FD⊥BC,所以∠C+∠AFD注重(1)欲证两线段相等,而这两线段在同一三角形中，常通过等角对等边的关系举行证实.（2）欲证两角相等,如条件中有直角三角形,常利用同角(或等角)的余角相等举行证实.例2在△ABC中,BD、CE分离为AC、AB上的高,F证实因BD⊥AC,CE⊥AB,故△BDC和△BEC皆为直角三角形,且BC为公共斜边.因为F为图2.28画的是锐角三角形,但本题对于钝角三角形也成立,请读者自行画图证实.注重（1）欲证两角相等,而这两角在同一三角形中，常通过等边对等角的关系举行证实.（2）在条件中有直角三角形时,应图2.28想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.例3如图2.29所示,在△ABC中,AB>AC,∠BAC=90∘,AE是∠BAC的平分线,M是斜边BC证实因为AM为直角△ABC的斜边BC上的中线,所以MA=MB,因此∠图2.29∠BAE=∠CAE,所以∠MAB+∠MAE=∠MAC-∠MAE,即∠B+∠MAE=∠C-∠MAE,所以∠MAE=12在本例中,同时也证实了直角三角形斜边上的中线和斜边上的高所夹的角被直角的平分线所平分.例4如图2.30所示,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,CE⊥AD,交AD于G,交AB于E,EF//BC,交证实因为AD平分∠BAC,AD⊥CE,所以△AEC为等腰三角形,故G为EC的中点.在△DEC中,DG为EC上的高,又为EC上的中线,所以△DEC为等腰三角形,因此∠DEC=∠DCE图2.30注重(1)欲证一三角形为等腰三角形,而条件中又有底边上的高(或中线),常证实该边上的高(或中线)也是该边上的中线(或高).(2)在已知条件中,如有直线垂直于一角的平分线,应想到此直线截角的两边所得的三角形为等腰三角形.例5∠E和∠F的两边相交于A、B、C、D四点,如图2.31所示,∠ABC证实设FG与ED交于M,与EC交于N.因为∠ABC+∠D=180∘,图2.31∠ENM=∠FBC+∠2,而∠1=∠2,所以∠EMN=∠ENM图2.32例6从等腰直角△ABC的直角顶点C向AC边上的中线BD引垂线CE,延伸后交AB于F,求证:∠证实作AG⊥AC,延伸CF,与AG交于G.在直角△CAG和△BCD中,因为CE⊥BD,CD⊥BC,所以∠DCE=∠CBD;又因为CA=BC,所以△CAG≅△注重（1）已知条件中有等腰直角三角形时,应注重它的两个锐角都为45∘（2）已知条件中如有直角三角形及斜边上的高,应注重高与向来角边的夹角等于斜边与另向来角边的夹角.习题41. 在△ABC中,AB=AC,∠A=36∘,2. △ABC的两角∠B和∠C的平分线相交于O,过O作BC的平行线,与AB、AC分离3. 在直角三角形ABC的斜边AC上取两点D、E,使AD=AB,4. 在△ABC中,AB=AC,BD5. 在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于I,IH//AB,IG//AC6. 在△ABC中,CE是∠ACB的平分线,AD//EC,AD与BC的延伸线交于7. 在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角平分线交于D,过D作DE//CB,分离交AB8. △ABC为等边三角形,∠A与∠B的平分线交于F,作FG//CA,FH//CB9. 在△ABC中,∠ACB=90∘,CD和CE分离为斜边上的高和中线,且∠10. 如图,△ABC为等腰三角形,在腰AC上取一点E,在腰BA的延伸线上取一点D,使AD=AE,DE交BC11. 如图,MN//PQ,自MN上一点A向PQ引斜线AB和垂线AC,过B作直线BD,交MN于D,交AC于E,若线段ED=2第10题图第11题图12.在△ABC中,∠C=2∠B,AD⊥AB,13. 如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC,延伸AB至E,使BE=第13题图第14题图14.如图,在△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,若BC的中点为O15. 如图,以△ABC的AB和AC为一边在形外分离作等边三角形ABD和等边三角形ACE,则DC=BE.又设DC与BE相交于O16. 如图,C为线段AB上的一点,△ACD和△BCE都是等边三角形,且在AB的同侧,AE交CD于P,BD交CE于第15题图第16题图17.如图,在等腰直角三角形ABC中,P为斜边BC的中点,D为BC上任一点,DE⊥AB,第17题图18. 在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,G是BC的中点,过G作直线平行于AD,分离交AB、AC的延伸线于2.5垂线、斜线和射影1.垂线的长和斜线的长从直线外一点向这条直线引垂线和斜线,则从这点到垂线足的线段叫做垂线的长;从这点到斜线足的线段叫做斜线的长.定理2.30从直线外一点向这条直线引垂线和若干条斜线,则垂线的长小于任何一条斜线的长.这个定理是定理2.8的直接结果.由此定理可知,从直线外一点到这条直线的垂线的长是衔接这点和直线上任一点所得诸线段中最短的.因此,我们把直线外一点到这条直线的垂线的长叫做这点到直线的距离.定理2.31两条直线平行,则从任向来线上任一点向另向来线所引垂线的长都相等.图2.33证实设l1//l2,A、B为l1上随意两点,AC⊥l2,BD⊥l2(图2.33).由定理1.10的推论1知,AC由本定理可知,在l1和l2上随意各取一点,则这两点的距离必然大于或等于推论两条平行线的距离到处相等.2.斜线和射影从直线外一点向这条直线引垂线和斜线,在垂线足和斜线足之间的线段叫做斜线在这条直线上的正射影,简称射影.定理2.32从直线外一点向这条直线引垂线和两条斜线,倘若两条斜线的射影相等,则这两条斜线相等;倘若两条斜线的射影不等,则这两条斜线也不等,射影较长的斜线较长.证实设A为直线MN外的一点,AB⊥MN,首先,易见△ABC≅△ABD(SAS),所以AC=AD.第二,在△ADE图2.34∠AEC.因此在△ACE中,AE>定理2.33从直线外一点向这条直线引垂线和两条斜线,倘若两条斜线相等,则它们在这条直线上的射影相等;倘若两条斜线不等,则它们在这条直线上的射影也不等,斜线较长则其射影也较长.本定理易用反证法证实,请读者自行补足.图2.35例1△ABD为等腰直角三角形,过直角顶点D作直线DC//AB,C是DC上的点,且AC=AB,AC与DB较难的问题往往不能赶紧解决.这时需要从“求证”逆推,如能推得一个已知的结果,问题就可以解决了.这样的思维主意叫做“分析法”.分析欲证BC=BE,只需证∠BCE=∠BEC.因为AB=AC,所以∠BCE=∠ABC=∠1+∠2;又因∠BEC=∠1+∠3,故只需证∠2=∠3.但在△ABC中,有2(∠1+∠2)+∠3=180∘,而∠1=45∘,所以2∠2+∠3=90∘.倘若∠2=∠3,应有3∠3=90∘,故只需证∠3=30∘.由定理2.29知只需证实有向来角三角形,它的一个锐角等于∠3,而此角所对的边等于斜边的一半即可.作AF⊥CD,交CD的延伸证实作DG⊥AB,AF⊥CD,G、F分离为垂足.因为CD//AB,所以DG=AF.又因为△ABD为等腰直角三角形,所以DG为AB上的中线,DG=12AB.而AB=AC,所以AF=12AC倘若C在DF的延伸线上,本题依然成立,请读者自行画图证实.注重(1)条件中有平行线时,应想到两平行线的距离到处相等.(2)条件中有一些线段不相联系时,常可利用平行移动使其发生联系。例2从直线l外一点P向l作垂线PH,又在PH的同侧作斜线PA、PB、PC(图2.36),倘若PA、PB、证实因为PA-PB=PB-图2.36AC边上的中线PM,由2.3节的例3得2PM<PA+PC,所以PM<PB.由定理2.33得HM<HB,从而AM习题51. AD是△ABC中BC边上的高,P是AD上任一点,若∠ABC<∠2. AB、CD两线段互相垂直相交于O,若AC3. 等腰三角形底边(或延伸线)上任一点到两腰距离的代数和等于定值(等于腰上的高).这里,线段正负的决定主意如下:从一点到三角形一边的距离,倘若这点与这边所对顶点在这边的同侧,则线段之前附以正号;倘若这点与这边所对顶点在这边的异侧,则线段之前附以负号.4. 等边三角形所在平面内任一点到三边距离的代数和等于定值.线段正负的决定主意同上题.2.6平行线截等分线段1.平行线截等分线段定理定理2.34夹在两平行线间的平行线段相等.图2.37证实设直线a//直线b,C、E在直线a上,D、F在直线b上,且CD//EF(图2.37),连CF.在△定理2.35一组平行线若在一条直线上截得的线段相等,则在其他直线上截得的线段也相等.证实设直线AB//CD//EF,交直线GH于A、C、E,交直线KL于B、D、F,且AC=CE(图2.38).过B、D作GH的平行线,分离交CD于M,交EF于图2.38所以BM//DN.在△BDM与△DFN中,BM=DN,∠MBD=∠推论经过三角形一边中点而与另一边平行的直线必平分第三边.证实设D是△ABC中AB的中点,DE//BC,DE交AC于E(图2.39),过A作MN//BC,则MN2.三角形中位线定理衔接三角形两边中点的线段叫做三图2.39角形的中位线.定理2.36三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.图2.40证实设D、E分离是△ABC中AB、AC的中点(图2.40).过D作DE'//BC,交AC于E',由定理2.35的推论可知,E'必然是AC的中点,所以E'重合于E.因为DE'//BC,所以DE//BC.再过E作例1过△ABC的顶点A任作直线PQ,从B、C向直线PQ分离引垂线BP、CQ,P图2.41PQ,CQ⊥PQ,所以MN//BP//CQ.因为BM=MC,所以PN=若PQ通过△ABC的内部,本题依然成立,请读者自行画图证实图2.42例2在△ABC中,AB=AC,在AB上取BD,在AC的延伸线上取CE,使BD=CE证实过D作DF//BC,交AE于F.因为AB=AC,所以∠B=∠ACB.因为DF//BC,所以∠ADF=∠B,∠AFD=∠ACB,故例3在△ABC中,分离以AB和AC为一边作等边三角形ABD和ACE,F、G、证实连BE、CD.因为△ABD图2.43形,所以∠BAD在△ABE和△ADC中,AB=AD,AE=AC,∠BAE=60∘+∠BAC=∠DAC,所以△ABE≅△ADC注重欲证两线段相等,而条件有其他线段的中点时,常可利用三角形中位线定理,作出该两线段的两倍或一半,再证其相等.例4线段AD=BC,连AB及CD,设AB、CD的中点分离为E、F,连证实设EF与AD、BC延伸后分离相交于G、H(图2.44).连AC,设AC的中点为M,连ME、MF,则ME//BC,图2.44AD、BC与直线不论线段AD、BC的位置关系如何(例如线段AD与线段BE相交,或其中任一条延伸后与另一条相交),本题都成立,请读者自行画图图2.45例5从三角形的一个顶点向另外两角的平分线作垂线,则两个垂足的连线平行于底边.证实设在△ABC中,AE垂直于∠ACB的平分线CG,AF垂直于∠ABC的平分线BD,垂足分离为AF,分离与BC交于N、M.因为AE垂直于∠ACN的平分线,所以△CAN为等腰三角形,E为底边AN的中点.同理,F为AM的中点.所以本题尚可扩充如下:从三角形的一个顶点向另外两角的内、外角平分线作垂线,则四个垂足和两腰的中点共六点在向来线上,此直线平行于底边.图2.46例6在△ABC中,∠B=2∠C,证实作直角△ABD斜边上的中线DE,则DE=12AB.连EM,则EM为△BAC的中位线,EM//AC,所以∠EMD=∠C.因为∠B=2∠C,所以∠B注重欲证一线段等于另一线段的一半时,常设法作出短线段的两倍,证其等于长线段,或设法作出长线段的一半,证其等于短线段.在此,直角三角形斜边上中线定理及三角形中位线定理往往实用.习题61. 如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,AD⊥BD,E是AC的中点,求证:DE//BC.2.如图,AD是△ABC中∠第1题图第2题图3.在△ABC中,AB=AC,延伸AB至D,使BD=AB,E4. 如图,AB>CD,E、F分离为BC、AD的中点,连EF,延伸后分离交5. 如图,在△ABC中,AB=3AC,AD为∠BAC的平分线,BE⊥AD,交6. 在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,E是AD的中点,7. 如图,在△ABC中,D是AB的中点,E在AC上且AE=2EC,BE与CD8. E、F分离是AB、CD的中点,连9. 过等腰△ABC的顶点A任作向来线MN,与过B、C且垂直于BC的两条垂线分离交于M、N第4题图第5题图第7题图10.已知AC=BD,AC与BD相交于E,M、N分离为AB、CD的中点.连MN,交2.7三角形中主要线的一些性质1. 线段的垂直平分线和角的平分线定理2.37线段的垂直平分线上随意一点到这条线段两端的距离相等.定理2.38倘若一点到线段的两端距离相等,则这点在这条线段的垂直平分线上.定理2.39角的平分线上随意一点到这角的两边距离相等.定理2.40倘若一点到角的两边距离相等,则这点在这角的平分线上.以上四个定理的证实都很容易,请读者自行补足.2.三角形的心定理2.41在三角形中,三边的垂直平分线交于一点,这点到三角形各顶点等距离(图2.47).证实设在△ABC中,AB、BC、CA的垂直平分线分离为DH、EG、FJ.因为AB和AC相交于A,所以它们的垂直平分线DH与FJ不可能平行.设DH与FJ相交于O,连AO、BO、CO图2.47此O也在BC的垂直平分线上,所以DH、三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心.图2.48定理2.42在三角形中,三个内角的平分线交于一点,这点到三角形各边等距离(图2.48).证实设在△ABC中,AD、BE、CF分离为∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线.因为∠EBC+∠FCBO到AB的距离相等.同理,O到BC与O到AC的距离也相等.所以O到AB与O到AC的距离相等,因此O也在∠BAC的平分线上,所以AD三角形三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心.定理2.43在三角形中,一个内角的平分线与不相邻的两外角的平分线交于一点,这点到三角形的一边和到三角形的另两边所在直线等距离(图2.49).图2.49证实设BE、CF分离为△ABC中两外角∠CBX和∠BCY的平分线,因为∠EBC+∠FCB<180∘,所以BE与CF必相交,设交点为D.因为D在∠CBX的平分线上,所以D到BC与D到AX的距离相等.同理,D到BC与D到AY的距离也相等.因此D到AX与三角形一个内角的平分线与不相邻两外角的平分线的交点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.定理2.44在三角形中,三条高(所在直线)交于一点(图2.50).证实设AD、BE、CF为△ABC的三条高,过A、B、C分离作对边的平行线,相交于A'、图2.50△ABC≅△BAC',因此AC'=BC.同理,AB'=BC.而AD⊥BC,BC//B'C'三角形三条高的交点叫做三角形的垂心.定理2.45在三角形中,三条中线交于一点,这点到任何一边中点的距离等于这边上中线的三分之一.证实设AD、BE、CF为△ABC的三条中线(图2.51).因为∠EBC+∠FCB<180∘,所以BE与CF必相交,设交点为O,连EF,则图2.51EF.因此∠1=∠2,∠3=∠4,立得△OMN≅△OEF,所以OM=OE因此,BE与CF的交点O是BE上到E的距离等于13BE的分点.同理,中线AD与BE的交点也应该是BE上到E的距离等于13BE的分点.但在BE上,这样的分点同理可证,OD=三角形三条中线的交点称为三角形的重心.定理2.46在等边三角形中,外心、内心、垂心、重心四心合为一点(这点叫做等边三角形的中央).推论倘若一个三角形的外心、内心、垂心、重心四心中有两个重合,则这个三角形就是等边三角形.这个定理和推论请读者自行证实.3.三角形的边、角与主要线之间的关系定理2.47在等腰三角形中,两腰上的中线相等,两底角的平分线相等,两腰上的高相等.本定理的证实留给读者.推论在等边三角形中,各边上的高、各边上的中线、各内角的平分线都相等.定理2.48倘若三角形的两边不等,那么这两边上的中线也不等,大边上的中线较小.图2.52证实设在△ABC中,AB>AC,BD、CE分离为AC、AB上的中线(图2.52).设BD与CE交于G,连AG,交BC于F,则F为BC的中点.在△ABF与△ACF中,因为AB>AC,BF=CF定理2.49倘若三角形的两边不等,则这两边所对的角的平分线也不等,大边所对的角的平分线较小.证实设在△ABC中,AB>AC,BE、CF分离为∠ABC、∠ACB图2.532.53),则∠GBC<∠GCB,所以BG>CG.故可在BG上取BH=CG,作HK//CG.在△BHK和△CGF定理2.50倘若三角形的两边不等,则这两边上的高也不等,大边上的高较小.证实设在△ABC中,AB>AC,BD、CE分离为AC、AB上的高.将BD、CE分离延伸一倍至F、G,连CF、图2.54∠ACB,∠GBE=∠ABC.因为AB>AC,所以∠ABC<∠ACB,因此∠GBC<∠FCB倘若允许利用面积定理,则本定理的证实将异常容易.因为图2.55S△ABC=12定理2.51倘若三角形的两边不等,则第三边上的中线与小边所夹之角大于它与大边所夹之角.证实设在△ABC中,AB>AC,AD至E,使DE=AD,连BE(图2.55).则△BED≅△CAD(SAS),所以BE=AC,∠BED=∠CAD定理2.52在三角形中,任一边上的中线小于另两边之和的一半.证实由定理2.51的证实及图2.55可见,AE<AB+BE,但BE=定理2.53在三角形中,顶角的平分线与底边上的高所夹的角等于两底角之差的一半.图2.56证实设在△ABC中,AB>AC,AD为∠A的平分线,AE为BC上的高(图2.56).因为AB>AC,所以∠C>∠B,因此∠A+∠C+∠C>∠若AB<AC,同理可证;若AB=AC,则AD重合于例1三角形的垂心到一个顶点的距离等于其外心到这个顶点所对边的距离的2倍.证实设在△ABC中,三条高AD、BE、CF相交于垂心H,BC和AB的垂直平分线OM、ON相交于外心O.取AH、图2.5712AC,所以IJBC,AD⊥BC,所以OM//AD.同理,ON//CF.由定理1.12知,图2.58例2三角形的外心、重心和垂心三点共线,且重心将衔接外心与重心的线段分成1:2的两部分证实设在△ABC中,L是BC的中点,O是外心,AD是BC上的高,H是垂心,连HO,设交中线AL于G取AG和HG的中点E、F,连EF,则EF//AH,EF=12AH.由前面例1知,OL//AH,OL=12AH.因此EF⫫OL,所以∠GEF 62.直线形三角形的外心、重心、垂心所在直线称为三角形的欧拉(Euler)线.例3倘若三角形中有两个内角的平分线相等,则它们所对的边也相等.本题的直接证法前面已经推荐过(见2.3节的例5),现在推荐一种反证法图2.59证实设在△ABC中,BD、CE分离为∠ABC、∠ACB的平分线.过D、E分离作BE、先设AC<AB,则∠ABC<∠ACB,所以∠ABD<∠ACE,即∠DFE<∠DCE.因为EF=BD=CE,所以∠EFC=∠ECF.因此∠DFC>∠DCF同理,AB<AC也是不可能的.所以例4在△ABC中,AB>AC,AM为BC上的中线,AD为∠BAC的平分线,证实由定理2.51知,∠BAM<∠CAM,所以∠图2.60∠BAD的内部.由定理2.53的证实可知,AH在∠CAD的内部.所以点D在点M、H之间,HM>HD.由定理2.32,得习题71. 三角形任一内角的平分线小于两夹边之和的一半.2. 三角形的三条中线之和小于周长而大于周长的四分之三.3. 三角形内随意一点到三边(所在直线)的距离之和介于最长与最短的两条高之间.4. 设G是△ABC的重心,分离延伸BG、CG至E、F5. 设O是正三角形的中央,求证:BO与CO的垂直平分线必三等分BC边.6. 设I、I1、I(1)∠BIC(2)∠B(3)∠B7. 设O是△ABC的外心,求证:∠BOC等于2∠A8. 设H为△ABC的垂心,求证:∠BHC等于180∘2.8有关三角形的作图题例1已知三条线段ha、mb、mc,求作△ABC,使图2.61分析设△ABC已作出(图2.61),BE和CF相交于重心G.过E作EH⊥BC,因为AD⊥BC,所以EH//AD.又因为E为AC的中点,所以EH为△CAD的中位线,EH=12AD.在直角△BEH中,BE=mb,EH=12作法作EH=12ha.过H作EH的垂线,以E为圆心mb为半径作弧,交这垂线于B.在BE上取点G,使GE=13BE,以G为圆心、23mc为半径作弧,交BH证实作AD⊥BC,因为AE=CE,所以AD=2EH=ha,BE=mb.因为GE=13研究要使本题有解,首先必须有直角△BEH存在.所以EH⩽BE,即12ha⩽mb,所以ha<2mb注重像这样的作图题,先作出△BEH,再以它为基础,作出所需要的图形,这种主意例2已知底角β、底边与一腰的和l,求作等腰三角形.分析设△ABC已作出,AB=AC,∠B=β,AB+BC=l(图2.62).延伸BC至D,使CD=AC,连AD,则BD=l.在△ACD中,∠ACB=∠D+∠CAD,而图2.62作法作∠XBY=β,在BX上取BD=l.以D为顶点、DB为一边在∠B的同侧作∠BDA=12β,设这角的另一边交BY于A.连AD证实因为点C在AD的垂直平分线上,所以CA=CD,因此∠ACB=2∠D=β研究β>例3已知△ABC及线段d,在BC上求一点P,使点P到AB的距离减点P到AC的距离等于d图2.63作法在△ABC内作DE//AB,并使DE与AB之间的距离等于d,设DE与AC、BC分离相交于D、E,作∠证实过P作PG⊥AB及PH⊥AC，PG与DE交于F.因为DE//AB,所以PF⊥DE.又因为P在研究作CK⊥AB,若d<CK,本题必有一解;若d=注重例2是利用“与线段两端等距离的点的轨迹是这条线段的垂直平分线”的原理举行作图的;例3是利用“与角的两边等距离的点的轨迹是这角的平分线”的原理举行作图的.像这样利用轨迹来求所需的点的作图法叫做轨迹交截法.习题8在下列各题中,以a、b、c表示三角形的三边,以1. 已知∠A2.已知∠A3. 已知∠A4. 已知斜边和向来角边的差,又知另向来角边,求作直角三角形.5. 已知斜边与向来角边的和,又知一锐角,求作直角三角形.6.已知∠A7. 已知a、第3章四边形3.1多边形的概念1.折线有限个已知点A、B、C、⋯、K、L及线段AB、折线的随意两边都不相交,随意顶点都不在边上.随意两顶点都不重合时,这条折线叫做容易折线.图3.1中(1)、(2)为容易折线,(3)、(4)、(5)为非容易折线.(1)(2)图3.1(3)(4)(5)把折线的每一条边向两方延伸成直线,倘若这条折线的其他各边都在这条直线的同侧,那么这样的折线叫做凸折线.图3.1中的(1)为凸折线,(2)为非凸折线.凸折线一定是容易折线,容易折线不一定是凸折线.2.多边形端点重合的折线叫做多边形,折线的边叫做多边形的边.或者说,有限个点(不少于三个)A、B、C、由容易折线所构成的多边形叫做容易多边形.图3.2中,(2)、(3)、(5)、(6)为容易多边形.非容易多边形叫做星形多边形.图3.2中,(1)、(4)为星形多边形.由凸折线所构成的多边形叫做凸多边形.凸多边形都是容易多(1)(3)(5)(2)(4)(6)图3.2边形,但容易多边形不一定是凸多边形.倘若多边形的每三条邻接边中,第一边和第三边位于第二边所在直线的一侧,那么这样的多边形叫做局部凸多边形,如图3.2中的(3)、(4).多边形按边数分类,有三边的叫三边形(习惯上叫做三角形),有四边的叫四边形……多边形的相邻两边所组成的角叫做多边形的角.多边形的边和角叫做多边形的元素.衔接多边形不相邻两顶点的线段叫做多边形的对角线.凸多边形的每条对角线上的所有点都在多边形的内部.由n边形的每个顶点可以引n-3条对角线.由n个顶点共可引n(n-3)条对角线,但每条对角线都算了两次,因而例如:四边形有12×4×1=2条对角线;五边形有本书重点研究凸多边形,今后在本书中说到多边形而不加说明时,都是指凸多边形。3.多边形的内角和定理3.1n边形的内角和等于n证实由n边形的一个顶点可引n-3条对角线,从而将多边形分成n因为每个三角形的内角和为180∘,所以n-2个三角形的内角和为(n-2)⋅180推论1顺次延伸凸多边形的各边所得的凸多边形的外角(每一顶点仅取一个)之和等于2个平角.推论2正n边形每个内角都等于(n等于360∘4.多边形的全等倘若两个多边形的对应边相等,对应角也相等,那么这两个多边形叫做全等多边形.定理3.2倘若两个多边形能够分解成个数相等并且罗列位置相同的全等三角形,那么这两个多边形全等(须要时须将其中一个多边形翻转180∘证实设多边形ABC⋯K可以分解为△ABC、△CDE、△ACE、⋯,多边形A'B'C'⋯图3.3推论在两个n边形中,倘若有2n-3个相邻的元素对应相等,那么这两个多边形全等,但这2n习题91. 容易四边形的一双对角的平分线相交所成的角中,有一个角等于另一双对角的差的一半.2. 星形四边形的一双对角的平分线相交所成的角中,有一个角等于另一双对角的和的一半.3. 四边形的两条对角线的和小于周长而大于周长的一半.4. 凸多边形的锐角不能多于三个.5. 如图,证实随意五角星形的五个角之和等于180∘.随意第5题图3.2平行四边形1.平行四边形的判定在四边形中,没有公共顶点的两条边叫做对边;没有公共边的两个角叫做对角.两双对边分离平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的随意一边都可以作为底边.那么这一边和它的对边之间的距离叫做平行四边形的高.平行四边形的两条对角线的交点叫做平行四边形的中央.定理3.3在四边形中,倘若下列诸条件有任何一个成立,这个四边形就是平行四边形:(1)两双对边分离相等;(2)两双对角分离相等;(3)两条对角线互相平分;(4)一双对边既平行又相等.2.平行四边形的性质定理3.4倘若一个四边形是平行四边形,则下列结论所有成立:（1）两双对边分离平行;(2)两双对边分离相等;(3)两双对角分离相等;(4)两条对角线互相平分.定理3.3和定理3.4的证实留给读者.例1证实三角形的中位线定理.图3.4证实设D、E分离是△ABC中AB和AC的中点.延伸DE至F,使EF=DE,连AF、CD、CF(图3.4).因为AE=EC,DE是平行四边形,因此DF⫫BC.但DE与DF在同向来线上,且DE=注重欲证两线平行或相等,常可利用平行四边形的性质.例2从◻ABCD的各顶点作对角线的垂线AF、BE、CG、DH,F证实设AC、BD交于O,连FH、图3.5形,所以AD=BC,∠ADF=∠CBG,因此直角△ADF≅直角△CBG,所以DF=BG图3.6例3在△ABC中,∠BAC≠60∘,以BC为一边在△ABC的同侧作正△BCE,又以AB、AC为一边在△证实连EF.在△DBE和△ABC中,DB=AB,BE=BC,∠DBE=60∘-∠EBA=∠ABC,所以△DBE≅△ABC,因此DE=AC.在△FEC和△ABC图3.7例4ABCD为平行四边形,EF//AB,EF分离交BC、AD于E、F,DE与CF证实因为ABCD为平行四边形,所以AD//BC,AB//DC.因为EF//AB,所以EF//DC.因此ABEF及EFDC均为平行四边形,所以习题101. E、F是◻ABCD的对角线AC上的两点,AE=2. 在◻ABCD中,∠A、∠C的平分线分离交对角线BD于E、3. 如图,在△ABC中,AK为∠A的平分线,在BA、CA上取BD=CE,G第3题图4.在◻ABCD中,G、H分离是AB、CD的中点,DG、BH分离与对角线5. 在◻ABCD中,过A和C作两条平行线,分离交CD、AB于E和F,BE、DF分离交6. 如图,在△ABC中,M为AB的中点,D为AB上任一点,N、P分离为CD、BC的中点,Q为MN的中点,PQ与AB相交于E7. 如图,AD、BE、CF是△ABC的三条中线,又有FG第6题图第7题图8.△ABC的三边BC、CA、AB的中点分离为P、Q、R,9. 在◻ABCD中,AD=2AB,将CD向两侧延伸至E和F,使CE=10. 在◻ABCD的两边AD和CD上各取一点F和E,使AE=CF,AE与CF交于P,求证:11. 在四边形ABCD中,AB和CD的中点分离为E和F,AD和BC的中点分离为G和H,对角线AC和BD的中点分离为M和N,求证:3.3异常平行四边形1.矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.定理3.5在平行四边形中,倘若两条对角线相等,则这个平行四边形就是矩形.定理3.6在四边形中,倘若下列两条件有任何一个成立,这个四边形就是矩形:（1）有三个角是直角;(2)两条对角线相等且互相平分.矩形是平行四边形的一种,所以除了具有平行四边形的一切性质之外,它还具有一些异常的性质.定理3.7矩形具有下列性质:（1）四个角都是直角;(2)两条对角线相等;（3）任何一双对边中点的连线垂直于这双对边.2.菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.定理3.8在平行四边形中,倘若下列两条件有任何一个成立,这个平行四边形就是菱形:(1)两条对角线互相垂直;(2)一条对角线平分一对内角.定理3.9在四边形中,倘若四条边都相等,则这个四边形就是菱形.菱形也是平行四边形的一种,所以除了具有平行四边形的一切性质之外,它还具有一些异常的性质.定理3.10菱形具有下列性质:(1)四条边都相等;（2）两条对角线互相垂直;（3）每一条对角线平分一组对角.3.正方形有一个角是直角,并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.定理3.11在矩形中,倘若下列诸条件有任何一个成立,这个矩形就是正方形:(1)一组邻边相等;（2）两条对角线互相垂直;(3)一条对角线平分任何一个内角.定理3.12在菱形中,倘若下列两条件有任何一个成立,这个菱形就是正方形:(1)一个角等于直角;(2)两条对角线相等.定理3.13在平行四边形中,倘若下列诸条件有任何一个成立,这个平行四边形就是正方形:(1)一个角是直角并且一组邻边相等;（2）两条对角线互相垂直且相等;（3）两条对角线相等并且有一条对角线平分任何一个内角.定理3.14在四边形中,倘若下列两条件有任何一个成立,这个四边形就是正方形:(1)四角都相等,且四边都相等;（2）两条对角线互相垂直、平分且相等.正方形是矩形的一种,也是菱形的一种,同时又是平行四边形的一种,所以除了具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质外,它还具有一些异常的性质.定理3.15正方形的任何一条对角线与任何一条边所夹的角等于45∘从定理3.5至定理3.15,这几条定理的证实都比较容易,请读者自己完成.例1以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACFG,正方形ABDE的对角线相交于P,正方形ACFG的对角线相交于Q,又BC的中点为M(1)MQNP是正方形;(2)AM=(3)AM⊥图3.8证实(1)连BG、CE,相交于H(图3.8).在△ABG和△AEC中,AB=AE,AG=AC,∠BAG=∠BAC+90∘=∠EAC,所以△ABG≅△但MP是△BCE的中位线,所以MP//CE,MP=12CE.同理,MQ(2)将CA延伸一倍至K,连BK,交AE于S,交EG于T.在△ABK和△AEG中,AB=AE,AK=AC=AG,∠BAK=180∘-∠BAC,∠EAG(3)在△BAS和△ETS中,∠ABS=∠TES,∠ASB=∠TSE,所以∠BAS=∠例2E是正方形ABCD中BC边上的一点,AF是∠DAE的平分线,AF交CD于F,求证:证实延伸FD至G,使DG=BE(图3.9),则FG=FD+BE,连AG.在直角△ABE和直角△ADG中,AB=AD,BE=DG,所以△图3.9CD,因此∠BAF=∠GFA,所以∠GAF=∠GFA,因而例3自正方形ABCD的顶点A引向来线,交CD于X,交BC的延伸线于Y,求证:AX+证实取XY的中点E,则AX+AY=AE-EX+AE∠CAX>45∘,因此∠ACE>90例4作平行四边形各内角的平分线,求证:（1）四条角平分线围成一个矩形;(2)这个矩形的对角线平行于平行四边形的相应边且等于平行四边形的两条邻边之差.证实(1)设AE、BF、CG、DH是◻ABCD各内角的平分线,分离交CD、AB于E、F、G、H图3.1190∘,所以∠PMQ=90∘.同理,∠MPN、(2)因为AB//CD,所以∠DEA=∠EAB,但∠EAB=∠DAE,所以∠DEA=∠DAE,因此DE=AD,所以EC=DC-AD.同理,AG=AB-BC.所以EC=AG,但EC//AG例5证实:菱形的各边的垂直平分线又围成一个菱形.证实设E、F、G、H分离是菱形ABCD中AB、BC、CD、DA的中点,各边的垂直平分线两两相交于M、P、N、Q(图3.12).因为QE图3.12△AMH,故∠点M在菱形ABCD的对角线AC上.同理,点N也在AC上.又有P和Q都在菱形的对角线BD的延伸线上.因此,平行四边形MPNQ的对角线互相垂直.所以MPNQ是菱形.习题111. 顺次衔接矩形四边的中点得一菱形.2. 顺次衔接菱形四边的中点得一矩形.3. 在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线分离交AB、AC于4. 平行四边形各外角的平分线围成一个矩形,这个矩形的对角线平行于平行四边形的相应边,且等于平行四边形的两条邻边之和.5. 如图,ABCD为矩形,AB=2BC,∠6. 如图,在◻ABCD中,AB=2AD,F为AB的中点,CE⊥AD,CE交AD的第5题图第6题图7.P是正方形ABCD的对角线BD上的任一点,引PE⊥BC,PF⊥CD8. 如图,AA1为等腰△ABC的底边BC上的高,CD为∠ACB的平分线,作DE⊥BC,第8题图9. 在△ABC中,AB=AC,D为BC上任一点,由D作BC的垂线,与AB、AC(或延伸线)分离相交于E10. 以正方形ABCD的边AB为一边在形内作一个等腰△ABE,若∠EAB=∠11. 如图,ABCD为正方形,CE//BD且DE=BD,