2020年高中数学必修第一册：基本不等式 教学设计（北师大版）

第一章预备知识

第三节不等式

3.2基本不等式教学设计

教材分析

本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作

为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究

最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同

时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所

以基本不等式应重点研究。

教学目标与核心素养

教学目标：

1.通过两个探究实例，引导学生基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2.借助基本不等式解决简单的最值问题，

二.核心素养

1.数学抽象：根据实际例子，抽象概括“和定积最大，积定和最小”

2.逻辑推理：本节内容进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证

明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3.数学运算：利用基本不等式求最值

4.直观想象：结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；

5.数学建模：基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数

学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；

另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。

教学重难点

难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）;

2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

重点：应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式施4等的证明

过程及应用。

课前准备

PPT

教学过程

1.知识引入

对于任意实数X和y,(x-y)2>0总是成立的，即x2-2xy+y2%),所以

22

土产2盯，当且仅当x=y时，等号成立

若a20,bN0,取x=G,y=,贝!J："»J茄,当且仅当a=b时,等号成立

这个不等式称为基本不等式，其中彳称为a,b的算术平均数，，不称为a,b的几何平均数，因此，基本

不等式也称为均值不等式。

结论：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值

1.基本不等式的几何解释

如图1-14,AB是半圆O的直径，点C在AB上，且AC=a,

a+b

CB=b.过点C作AB的垂线交AB于点D。,连接AD,OD,BD.显然OD=OA=亍；利用

三角形相似，可证得AACD相似于ADCB,从而，CD=4^

1-14

从图中可以看出ODNCD,当且仅当点C与圆心。重合时，等号成立，即畔径大于或等于半弦”.

利用基本不等式或类似上述几何图形，还可以推出一些其他的简单不等式.

例4已知a>0,b>0,c>0,a+b+c>y[ab+4bc+yfac

证明因为a>0,b>0,c>0,所以由基本不等式得a+b>2yfab,b+c>2y/bc,a+c>2y[ac

三式相加,得2〃+2b+2c22y[ab+2y[bc+2y[ac

即：a+b+c>y[ab+y[bc+y[ac

把一段长为16cm的细铁丝弯成形状不同的矩形，试填写表13并思考当矩形的长、宽分别为何值时,

面积最大.

表1-3

方案长/cm宽/cm面积/cm?

方案1

方案2

方案3

......

设矩形的长为xcm,宽为ycm,则x+y=8.此时，由基本不等式得，即xyS16.又因为当

X=y=4时,xy=16（即不等式xy&6中的等号成立），由此可知，边长2为4cm的正方形

的面积最大.

思考交流

类比上面的方法，说明：面积为16cm2的所有不同形状的矩形中，边长为4cm的正方形的周长最小.

重点结论：当x,y均为正数时,下面的命题均成立：

（1）若x+y=s（s为定值）则当且仅当x=y时,xy取得

最大值亍

（2）若xy=p（p为定值）则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2〃

例5：已知x,y均为整数，试证明：若x+y=s（s为定值），则当且仅当x=y，时，xy取得最大值二

4

证明：由基本不等式而和x+y=s,得上之历

所以xyV二

4

o$2

又因为当x=y=|■时，不等式中的等号成立，所以此时xy取得最大值飞-

例6如图1-16,动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍,一面可利用原有的墙其他各面

用钢筋网围成.（接头处不计）

（1）现有可围36m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽

各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？

（2）若使每间禽舍面积为24m2则每间禽舍的长、宽各设计

为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？

解（1）设每间禽舍的长为xm,宽为ym,则

设S=xy,0<x<9.0<y<6,应用基本不等式，有

2x+3y-2•3y,

2^/6«<18

27

即nn：sW—

2

当且仅当2x=3y时，不等式中等号成立，此时

2x=3y,

2x+3y=18,

x=45,y=3

因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为4.5m和3m时，可使每间禽舍面积最大,最大面积

为13.5m2.

重点题型

（1）利用基本不等式求求最值

1.下列函数中，最小值是2的是（）

.尸尹£•尸质岛^

ABC.丫=7*+7、口.(x>0)

答案：C.

2.下列命题中正确的是（）

B.若尤>0,贝UxJ>2

X

D.若XGR,则2*+2r>2折^^=2

答案：D.

（2）和定积最大，和定积最小的考查

1.若其中zn>0,则徵+3〃的最小值等于（）

A.2A/2B.2C.2A/3D.9

2

答案：C.

2.已知x>0,y>0,且x+2y=2,则孙（）

A.有最大值为1B.有最小值为1C.有最大值为工D.有最小值为工

22

答案：C.

（3）“1”的代换运用

1.若对任意的正数。，6满足a+3b-l=0,则二』的最小值为（）

ab

A.6B.8C.12D.24

答案：C.

2.若a/?>0,…，则a+b