人教B版新课标高中数学选择性必修第三册电子课本

目录

第五重数列1

5.1数列基础3

5.1.1数列的概念3

5.1.2数列中的递推9

5.2等差数列16

5.2.1等差数列16

5.2.2等差数列的前〃项和23

5.3等比数列29

5.3.1等比数列29

5.3.2等比数列的前〃项和37

5.4数列的应用45

・5.5数学归钠法52

本章小结57

第六套号数及其应用61

6.1导致63

6.1.1函数的平均变化率63

6.1.2导数及其几何意义68

6.1.3基本初等函数的导数75

6.1.4求导法则及其应用81

本书拓展阅读目录

6.2利用导数研究函数的性质92

6.2.1导致与函数的单调性92国际象棋与等比数列/41

6.2.2导致与函数的极值、最值96利用导数由圆的周长得到圆的面枳/88

6.3利用导数解决实标问题103利用导数来推手光的折射定汴1。6

6.4数学建模活动।描述体重与脉搏乘的关系109

本章小结111

目,

发现规律的能力走各行各业的人都需要具备的.因此.很多职业

测试中都会有数字推理的考查内容.例如.以下是“行政职业能力测

验，，中的一道题.你施快速地做出来并说明理由吗？

根据

1.2,4.7,（）.16

中各数字之间的关系.填出括号中的数.

解卷此类题目的关键无疑是要找出其中就字出现的规律.事实

上，很久以前人们就开始了对类似问题的研究.

例如.古希册的毕达号柱斯学派将1.I.9.16等数称为正方形

效.因为这些数目的点可以推成一个正方形.如下图所示.依掂这一

规律.我们很容易就能知i£・下一个正方形数应该是25,再下一个

是36.等等.

你知道吗？通过于我数字出现的规件.可以产生新的发现.

19世纪的时候.为了总结出已有化学元素之间的规律.门拉列

夫妻武将元素按照原子量的大小进行了排序♦结果成功地修正了一些

元素的原子量.而且准确地预言了一盛未知元素的存在.

例如.门提列大将当时已有的原子量约为7至14妁元素按从小

到大的顺序排列后.得到了如下结果.

门拉列夫发现.上述表格中.原子量的那一行数.每个数是接从

小到大的顺序排列的.但这些元素化合价的那一行做,却出现了不

“和谐”的地方：+2出现在了+4与+5之间！而且.相对其他元素

来说.钛的原子量与其后面元*的原子量差距《反,为0.5）太小了.

锂的原子量与其后面元素的原子堂屋距（为4）又太大了.因此.n

捷列夫猜测.狼的原子量可能不是13.5・而应该约为9・这一猜想后

来在实验室得到了验证！

数学上.通常将按一定次序排列的薮称为数列.本章我们要学习

的就是做列的基础知识.以及两种规律比较常见的数列.

5.1数列基础

发现规律的能力走各行各业的人都需要具备的.因此.很多型业

测试中都会有数字推现的考查内容.例如.以下是“行政职业能力测

验”中的一道题.你能快速地做出来并说明理由吗？

根据5.1.1数列的概念

1.2.4・7.（）.16

中各数字之间的关系.填出括号中的数.

解冬此类题目的关械无疑是要找出其中数字出现的规律.事实

展；数列

上.很久以前人们妣开始了对类似问题的研究.H1

例姬.古希腊的毕达哥拉斯学派将1・I.9.16等数你为正方形

效.因为这些数目妁点可以抿成一个正方形.如下图所示.依据这一日潴生活中,人们经常.用数来描述事物的某种属性。从中可以得到很多

规律.我们很容易就能知道・下一个正方影数应该是25・再下一个按照一定次序排列的数.

足36,等等.例如.我国古代哲学著作《庄子》中有一句话：“一尺之捶.H取其半.

万世不竭.”这句话的意思是：一尺长的木棍，每天截去一半・永远也截不

完.从数学上来说,如果木棍初始长度为1・则每人截去一半之后木棍的长

你知造吗？通过寻我数字出现的规律.可以产生斯的发现.度分别为

】9世纪的时候.为了总结出已有化学元素之间的规律.门扰列111e

夫妻试将元素拴膜原子量的大小迸行了排序.结果成功地修正了一些2-4-8**①

元素的原子量.而且准确地预言了一些未知元素的存在.

“万世不竭”的意思指的是上面的卷一个数都不可能为0.

例*.门松列大制当时已有的厥子量约为7至14的元素捺从小

到大的顺序排列后.彳导到了如下结果.2009年至2015年.我国每年的白利中请受理数（精确到万）分别为

元京仪研碟氮98.122.163.205.236,238.280.②

原子量7111213.514为了方便资金行时不足的人购物.有些购物网站推出「分期付款服务.

化金价4-14-34-4-4-24-5如图5-1-1所示是标价为3000元的电晒可以享受的分期服务.不同的付款

门找列夫发现.上述衰格中.原子量的那一行数.每个数是按从

方式所对应的付款总金额数分别为

小到大的顺序排列的.但这些元素化合价的那一行数.却出现了不

•'和谐”的地方：+2出现在了+4与+5之间！而且.相纣其他元素3000・3045,3090.3180.3360.③

来说.彼的原子量与其后面元*的牌子量差距（仅为0.5）太小了.

锂的原子量与其后面元素的原子量差距（为I）又太大了.因此.门下•101$»3M|VStSxAM|V26&A12MV1403*

拢列大猜测.纨的原子量可能不足・而应该约为这一猜想后

13.59.*****.MO.m.«150eM

求在实验室得到了脸证！

教学上.通常将按一定次序排列的故称为散列.本章我们要学习

的就是数列的基础知识.以及两种规律比校常见的数列.图5-1-1

像①②⑶这样按照一定次序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数

都称为这个数列的项.各项依次称为这个数列的第1项（或首项）.第2

项....例如/是数列①的首项，163基数列②的第3项，3360越数列③的

5.1数列断碑

第5项.为这个数列的一个iftJS公式.

组成数列的数的个数称为数列的项数.例如.数列①由无穷多个数组髭然.根据数列的通项公式.能够。出这个数列的任意一项.

成.因此它的项数为无穷大(也称项数无限)；而数列②由7个数组成.因£11根堀以下败”的通项公式.可山对应数列的笫2项和第5项.

此它的项数为7(也说成数列②共由7项八类似地.数列③的项数为5.(1)a.二:，CZ)方..min詈.

一般地.项数有限的数列称为有穷数列.项数无限的数列称为无穷数

列.因此.上述数列①©③中.②③为有穷数列.①为无穷数列.有分数列—S9<1)由通项公式可知

的最后一项一般也称为这个数列的末项.2—.

5X—1218

»2.数列的通项1

(2)由通『女公式可知

因为数列从首项起.每•项都与正整数对应.所以数列的一般形式可以

^-iMny-sun<-0.

写成

/,O.

a।>a；•a3•••••a”,••••

其中表示数列的第〃项(也称〃为a.的序号，其中〃为正整数.即号山上乂下行数列《«・)的♦个通项公式.

N.),称为数列的通项.此时♦一般将整个数列简记为【”.)・这里的小写字

母a也可以换成其他小写英文字母.

例如.如果用表示由正整数1・2.3.…的倒数排成的数列

—H<1)观察数列的IW5项可知.毋一项郁是序号的2倍.因此数列

则a।=1,=0*的一个通理公式为

如果川（仇）表示当〃分别等于1.2,3,…时.（一1）”的值*卜成的数歹Ua.-2”.

—1«1.—1,…，⑤(2)因为这个数列悠项坪比(I)中数列的对应项小1・所

则〃1—-1,d=1・〃3——1.以数列的一个通项公式为

a--H保能耳出(3)

卷试与发现(3)因为败列的第1.3・5,…项部足。・而笫2,4.…第中代列*他用大的

邮电2.所以它白勺一个总致公式为通曜公火F，

你能巧出效列④中a“与n的关系吗？数列⑤中bH与〃的关系呢？

10.”为奇效.

a.=<

】・〃为偶数.

因为数列④中a“是〃的倒数，所以2

a,,=S______>44)忽略正负号时.数列福心的分广构成的数列是

2.4・6.8.10.•・•・

数列⑤中bM是一1的，，次方.所以

。・=81其中切•个政郝足印”的2倍，畋列短一致的分出根是分子的甲方减去

一般地,如果数列的第，，项a.与，，之间的关系可以用1.又内为负号、正号是交替出现的.所以它的个通身公乂:为

%一/(“)

求表示.共中/《，，》是关于，，的不含其他未知数的表达式.则称上述关系式

4第N争故列5.15

3.数列与函数的关系乂因为”W、・所以因此即64.VL

(2)因为

"“♦।-a.■(1----4-7)—(1—­；一\•x•

乂因为”+所以/Li、>0・从lMa.■—%>0・即3

n\n十17

因此.是K3数列.

例3中的(2)也可以从八彳)一‘：1在(0.十•，》上是靖函数育出来.谙

在函数/Cr)=—"了十"1■中.分别令I=1・2.3.….〃，…，就可以

读者自行公应

得到数列另外.当我打研究实际生括中两个变依的函效关系时.因为制得的邮品

315一个个数据.所。我«】南林借助数列来用出雨效关系.

29.-2»1♦•••»一~2n^~~2*UP

例如.为了M地高*《一种用来治疗心脏病的药物)在病人血液中的含

即这个数列的通项公式是收JVrng叮时阿*d之间的叫教美系・可以先天检测一次.但也港到的纳

梁是

0.5.0.345.0.238.0.161.0.113.0.078.

事实上,数列可以看成定义域为正

剜可以根据这”数据作出国5T3.从而现*出y勺/的英票可以近似地用

整数集的子集的函数.数列中的数就是自变

_k

kt从小到大依次取正整数值时对应的函数y~JTT/»、

值.而数列的通项公式也就是相应函数的解或其他关系式来约・.然后痔楸据11知。5

析式.这就提示我们•数列也可以用平面直的数据确定人和〃的值.我可以给出的。二

角坐标系中的点来直观地表示.例如.数列数的近似表达式.箓个过程与我打在必方*

⑥可以用图5-1-2表示.修的嗔数林分唬选择性必修的慨卒毓什

正因为如此,我们也可以用类似函数性质的术语来描述数列.例如,从部分学习的类似.这里.不再责述.

第2项起.每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列：从第2项起.每

一项都小于它的前一项的数列称为避减数列：各项都相等的数列称为常乃效

列(简称为常数列).<1K33A)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

的面的数列中.①④⑥是递减数列.②③是递增数列.

❶已知代列凡)为2・4.8.16.・••・写由a,.as,aj.

髭®已知函数/{4)=三>1设数列值“)的通项公式为a.=/《〃).❷分别根状下列做列a.：妁通现公义.写出代列妁计3项.

其中〃WN+.(I)a„—»w*<<2)a.-(-1)"X2ro»C3)a..二

rtKn1f

<1)求证：OVa“Vls

❸写出以下数列妁一个14Y公式.

(2)判断是递增数列还是递减数列.并说明理由.

(1)2•3・4・51《2》一3・一6・一9・一12.

0(1)由题意可知

。已加我列的通唤公义为U・2n-3.打麻这个叔例是通V恭刊坯足展发

6第汽磔数列5.।

❺已知函数/《1)=红M，设数列的通项公式为"“=/(〃)・其中“WN+.

5.1.2

(1)求证：1—“V2；

(2)判断是递增数列还是递减数列.并说明理由.

*1.数列的递推关系、

~^SL.练习B)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

❶根据数列2.)的通项公式.分别均出数列的第10项.春试与发现

；：：；

<I>4“=*(—i)"+i\(2>«w-14-cos--如下是％次智力刷认中的一道题.你能惊出和/?你能用就列妁讣古宗描迷有

美何题吗？

❷写出以下各数列S.)的一个通项公式.并根据你写的通项公式求出各数列的第