人教版高中数学必修第一册5.2三角函数的概念 课时3 三角函数的概念(1)【课件】

第五章三角函数5.2三角函数的概念课时3三角函数的概念(1)教学目标1.从现实生活中的周期现象出发,感受利用单位圆上动点P(x,y)坐标变化定义任意角的三角函数.2.运用数学抽象、直观想象、逻辑推理完成三角函数概念的数学化,体会数学概念建构的基本路径.3.掌握任意角的三角函数的定义在解题中的应用,培养用定义解题的意识,提高用定义解题的能力.学习目标课程目标学科核心素养经历三角函数概念的建构过程,体会用单位圆上点的坐标刻画任意角三角函数的方法通过用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数,培养数学抽象、直观想象素养理解任意角的三角函数的概念,能根据定义求出任意角α的正弦、余弦和正切的值通过运用任意角的三角函数的定义求任意角α的三角函数值,培养逻辑推理、数学运算素养运用任意角的三角函数的定义研究三角函数的定义域和值域,体会定义在解题中的应用在运用任意角的三角函数的定义推导符号法则和解题的过程中,培养数学运算、逻辑推理等素养情境导学

伦敦眼(如图1)坐落在英国伦敦泰晤士河畔，为伦敦的著名旅游观光点之一．它的总高度为135m，共有32个座舱，每个座舱可载客约25名，旋转一圈需用时30min.

摩天轮是游乐园的常见项目，我们能否用数学方法来刻画游乐园的摩天轮座舱位置，方便我们研究任意时刻座舱所在位置的变化情况呢？比如，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，并按逆时针方向匀速转动．若坐在座舱中，从初始位置OA出发(如图2所示)，转过30°后，离地面的高度h为多少？转过45°后呢？初探新知【问题1】对于一个任意角，如何定义它的三角函数呢？【活动1】从函数角度理解三角函数的定义【问题2】怎样从函数的角度理解三角函数的定义呢？【活动2】探究角的终边上任意一点的坐标与该角三角函数之间的关系

【问题4】能否找到一个方法计算当α∈(0，＋∞)时，h的高度？【问题5】如图，建立直角坐标系，随着点P位置的改变，∠AOP的三角函数值会改变吗？请举例说明．【问题6】参照摩天轮的模型，对任意角α，α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆心在原点O的单位圆交于点P(x，y)(如图).当α大小变化时，点P在单位圆上的位置也随之变化，相应的坐标能否计算？举例说明．【问题7】任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？【问题8】我们能否用数学语言准确刻画上述数学模型终点P(x，y)的位置变化情况？

【问题9】已知角α的终边上任意一点的坐标,能否直接由角的终边上任意一点的坐标来表示角α的三角函数值呢?【问题10】给出一个任意角α,你都能求出它的正弦函数、余弦函数和正切函数值吗?【活动3】尝试任意角的三角函数的定义的应用,深化对任意角的三角函数的理解【问题11】三角函数既然是函数,你能说出任意角α的三个三角函数的对应关系、定义域、值域吗?典例精析

思路点拨：角的终边与单位圆的交点→对照角的终边所在象限求值→与图象结合验证运算结果的正负．

【方法规律】确定角的终边所在象限，画出角的终边与单位圆的交点，运用勾股定理算出交点的横、纵坐标，根据三角函数定义写出相应的三角函数值．

【解】变式训练1答图

思路点拨：用角的终边上任意一点的坐标及其比值来定义三角函数．

【变式训练2】[教材改编题]如图，角α的终边在射线y＝x(x≤0)上，求sin

α，cos

α，tan

α的值．【解】变式训练2答图

思路点拨

定点——定象限——取值计算．

【方法规律】充分利用直角坐标系，定终边，找终边上点的坐标所满足的特殊关系，数形结合运用三角函数定义计算三角函数值．

【变式训练3】[2022·山东省德州市高一期末改编题]已知角α的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),求2sinα+cosα的值.【解】思路点拨

先根据题设条件和任意角的三角函数的定义将sinθ用m表示,建立m的方程,求出m的值,然后再由任意角的三角函数的定义来求cosθ和tanθ的值.

【解】【方法规律】根据角的终边上任意一点的坐标,便可求出该角的三角函数;当角的终边在y轴上时,其正切函数值不存在;由于角既是图形,又可与实数建立一一对应关系,因此三角函数是以实数为自变量的函数.在本题中,由于求出的m值有两个,因此在求角θ的余弦和正切值时要分两种情况进行讨论.