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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.集合,则集合的真子集的个数是A.1个 B.3个 C.4个 D.7个2.如图,在四边形中,,,,,,则的长度为()A. B.C. D.3.我国古代数学名著《九章算术》有一问题:“今有鳖臑(biēnaò),下广五尺,无袤;上袤四尺,无广;高七尺.问积几何?”该几何体的三视图如图所示,则此几何体外接球的表面积为()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺4.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于()cm3A. B. C. D.5.已知不同直线、与不同平面、,且,,则下列说法中正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则6.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1),充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意图,图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计),夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.由历法理论知,黄赤交角近1万年持续减小,其正切值及对应的年代如下表:黄赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年7.已知某口袋中有3个白球和个黑球(),现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球),记换好球后袋中白球的个数是.若,则=()A. B.1 C. D.28.音乐,是用声音来展现美,给人以听觉上的享受,熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质,他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述,它们是一些形如的简单正弦函数的和,其中频率最低的一项是基本音,其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数构成乐音的是()A. B. C. D.9.已知点为双曲线的右焦点,直线与双曲线交于A,B两点,若,则的面积为()A. B. C. D.10.集合,,则()A. B. C. D.11.计算等于()A. B. C. D.12.已知函数,,若存在实数,使成立,则正数的取值范围为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电,那么他的车能够充电2500次的概率为______.14.已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是____.15.已知圆C:经过抛物线E:的焦点,则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.16.若直线与直线交于点,则长度的最大值为____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程是(是参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程;(2)在曲线上取一点,直线绕原点逆时针旋转,交曲线于点,求的最大值.18.(12分)如图,在四面体中,.(1)求证:平面平面;(2)若,二面角为,求异面直线与所成角的余弦值.19.(12分)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识,高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人,按男、女分层抽样从文科生中抽取4人,组成环境保护兴趣小组,再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.(1)设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生,而且这两个男生必须文、理科生都有”,求事件发生的概率;(2)用表示抽取的4人中文科女生的人数,求的分布列和数学期望.20.(12分)如图,设A是由个实数组成的n行n列的数表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的实数,且aij{1,-1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.对于,记ri(A)为A的第i行各数之积,cj(A)为A的第j列各数之积.令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann(Ⅰ)请写出一个AS(4,4),使得l(A)=0;(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?说明理由;(Ⅲ)给定正整数n,对于所有的AS(n,n),求l(A)的取值集合.21.(12分)4月23日是“世界读书日”,某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅读情况,采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生抽取12名学生参加问卷调查.各组人数统计如下:小组甲乙丙丁人数12969(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人,求这2人来自同一个小组的概率;(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人,用表示抽得甲组学生的人数,求随机变量的分布列和数学期望.22.(10分)在直角坐标系中,已知直线的直角坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数),以直角坐标系原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线和直线的极坐标方程;(2)已知直线与曲线、相交于异于极点的点,若的极径分别为,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

由题意,结合集合,求得集合,得到集合中元素的个数,即可求解,得到答案.【详解】由题意,集合,则,所以集合的真子集的个数为个,故选B.【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解,其中作出集合的运算,得到集合,再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.2.D【解析】

设,在中,由余弦定理得,从而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【详解】设,在中,由余弦定理得,则,从而,由正弦定理得,即,从而,在中,由余弦定理得:,则.故选:D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.3.A【解析】

根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥,将三棱锥补充成一个长方体,此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球,由球的表面积公式计算可得选项.【详解】由三视图可得,该几何体是一个如图所示的三棱锥,为三棱锥外接球的球心,此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球,所以为的中点,设球半径为,则,所以外接球的表面积,故选:A.【点睛】本题考查求几何体的外接球的表面积,关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图,找出外接球的球心位置和半径,属于中档题.4.D【解析】解:根据几何体的三视图知,该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据,计算它的体积为:V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=(6+1.5π)cm1.故答案为6+1.5π.点睛:根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据计算它的体积即可.5.C【解析】

根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于,若,则可能为平行或异面直线,错误;对于,若,则可能为平行、相交或异面直线,错误;对于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正确;对于,若,只有当垂直于的交线时才有,错误.故选:.【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析,关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.6.D【解析】

先理解题意,然后根据题意建立平面几何图形,在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,即可得到正确选项.【详解】解:由题意,可设冬至日光与垂直线夹角为,春秋分日光与垂直线夹角为,则即为冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,将图3近似画出如下平面几何图形:则,,.,估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年.故选:.【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力,运用了两角和与差的正切公式,考查了转化思想,数学建模思想,以及数学运算能力,属中档题.7.B【解析】由题意或4,则,故选B.8.C【解析】

由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由,可知若,则必有,故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.9.D【解析】

设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,设,得,求出的值,即得解.【详解】设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,所以,.设,则,又.故,所以.故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质,考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.A【解析】

计算,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.11.A【解析】

利用诱导公式、特殊角的三角函数值,结合对数运算,求得所求表达式的值.【详解】原式.故选:A【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查对数运算,属于基础题.12.A【解析】

根据实数满足的等量关系,代入后将方程变形,构造函数,并由导函数求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,结合存在性问题的求法,即可求得正数的取值范围.【详解】函数,,由题意得,即,令,∴,∴在上单调递增,在上单调递减,∴,而,当且仅当,即当时,等号成立,∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用,由基本不等式求函数的最值,存在性成立问题的解法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A,“他的车能够充电2500次”为事件B,即求条件概率:,由条件概率公式即得解.【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A,“他的车能够充电2500次”为事件B,即求条件概率:故答案为:【点睛】本题考查了条件概率的应用,考查了学生概念理解,数学应用,数学运算的能力,属于基础题.14.(-4,2)【解析】试题分析:因为当且仅当时取等号,所以考点:基本不等式求最值15.【解析】

求出抛物线的焦点坐标,代入圆的方程,求出的值,再求出准线方程,利用点到直线的距离公式,求出弦心距,利用勾股定理可以求出弦长的一半,进而求出弦长.【详解】抛物线E:的准线为,焦点为(0,1),把焦点的坐标代入圆的方程中,得,所以圆心的坐标为,半径为5,则圆心到准线的距离为1,所以弦长.【点睛】本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式.16.【解析】

根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出线段的最大值即可.【详解】由题可知,直线可化为,所以其过定点,直线可化为,所以其过定点,且满足,所以直线与直线互相垂直,其交点在以为直径的圆上,作图如下:结合图形可知,线段的最大值为,因为为线段的中点,所以由中点坐标公式可得,所以线段的最大值为.故答案为:【点睛】本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定义得到交点在以为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)最大值为【解析】

(1)利用消去参数,求得曲线的普通方程,再转化为极坐标方程.(2)设出两点的坐标,求得的表达式,并利用三角恒等变换进行化简,再结合三角函数最值的求法,求得的最大值.【详解】(1)由消去得曲线的普通方程为.所以的极坐标方程为,即.(2)不妨设,,,,,则当时,取得最大值,最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程,普通方程化为极坐标方程,考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法,考查三角恒等变换,考查三角函数最值的求法,属于中档题.18.(1)证明见解析(2)【解析】

(1)取中点连接,得,可得,可证,可得,进而平面,即可证明结论;(2)设分别为边的中点,连,可得,,可得(或补角)是异面直线与所成的角,,可得,为二面角的平面角,即,设,求解,即可得出结论.【详解】(1)证明:取中点连接,由则,则,故,,平面,又平面,故平面平面(2)解法一:设分别为边的中点,则,(或补角)是异面直线与所成的角.设为边的中点,则,由知.又由(1)有平面,平面,所以为二面角的平面角,,设则在中,从而在中,,又,从而在中,因,,因此,异面直线与所成角的余弦值为.解法二:过点作交于点由(1)易知两两垂直,以为原点,射线分别为轴,轴,轴的正半轴,建立空间直角坐标系.不妨设,由,易知点的坐标分别为则显然向量是平面的法向量已知二面角为,设,则设平面的法向量为,则令,则由由上式整理得,解之得(舍)或,因此,异面直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系,证明平面与平面垂直,考查空间角,涉及到二面角、异面直线所成的角,做出空间角对应的平面角是解题的关键,或用空间向量法求角,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.19.(1);(2)见解析【解析】

(1)按分层抽样得抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人,再利用古典概型求解即可(2)由超几何分布求解即可【详解】(1)因为学生总数为1000人,该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人,则抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人.所以.(2)的可能取值为0,1,2,3,,,,,的分布列为0123.【点睛】本题考查分层抽样,考查超几何分布及期望,考查运算求解能力,是基础题20.(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ)不存在,理由见解析;(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)可取第一行都为-1,其余的都取1,即满足题意;(Ⅱ)用反证法证明:假设存在,得出矛盾,从而证明结论;(Ⅲ)通过分析正确得出l(A)的表达式,以及从A0如何得到A1,A2……,以此类推可得到Ak.【详解】(Ⅰ)答案不唯一,如图所示数表符合要求.(Ⅱ)不存在AS(9,9),使得l(A)=0,证明如下:假如存在,使得.因为,,所以,,...,,,,...,这18个数中有9个1,9个-1.令.一方面,由于这18个数中有9个1,9个-1,从而①,另一方面,表示数表中所有元素之积(记这81个实数之积为m);也表示m,从而②,①,②相矛盾,从而不存在,使得.(Ⅲ)记这个实数之积为p.一方面,从“行”的角度看,有;另一方面,从“列”的角度看,有;从而有③,注意到,,下面考虑,,...,,,,...,中-1的个数,由③知,上述2n个实数中,-1的个数一定为偶数,该偶数记为,则1的个数为2n-2k,所以,对数表,显然.将数表中的由1变为-1,得到数表,显然,将数表中的由1变为-1,得到数表,显然,依此类推,将数表中的由1变为-1,得到数表,即数表满足:,其余,所以,,所以,由k的任意性知,l(A)的取值集合为.【点睛】本题为数列的创新应用题,考查数学分析与思考能力及推理求解能力,解题关键是读懂题意,根据引入的概念

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