人教A版新教材高中数学第二册学案2：6. 2 . 4 向量的数量积

6.2.4向量的数量积

『课标要求』

课程标准：1.通过物理中功等实例,理解平面向所数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量:积.2.通过几何直

观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.

教学重点：1.平面向量数呈积的含义与几何意义.2.向星数呈积的性质与运算律及其应用.

教学难点:1.平面向量数量积的概念.2.平面向量数量积的运算律的证明.

『知识导学J

知识点一向量的夹角

条件两个通］非零向量。和

O是平面上的任意一点，作Kb/

产生=a.Q^=b.则＞NAO8叫做.

过程向量a与b的夹角（合一"1

范围

0=0a与b画同向

特殊

a与b眄1垂直，记作画aj_b

情况

0=ita与b啦!反向

知识点二向量数量积的概念

已知条件两个非零向量a与b.它们的夹角为。

晅数量1al1b|cos。叫做向量a与8的数量积

定义

（或内积）

记法a•b=\a\\b\cos。

规定零向量与任一向量的数量积为靶

知识点三投影向量

如图1,设a,8是两个非零向量，AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换：过4B的起点A

和终点B,分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为4,Bi，得到AiB，我们称上述变换为

向量a向向量b里，4百叫做向量a在向量b上的磐.

«

如图2,我们可以在平面内任取一点0,作0M=a,0N=Z>.过点例作直线ON的垂线，垂

足为Mi，则。Mi就是向量a在向量6上的投影向量.

知识点四向量的数量积的性质和运算律

（1）向量的数量积的性质

设a，b是非零向量，它们的夹角是仇e是与b方向相同的单位向量，则

①a・e=e-a=批.

②小修四

③当“与8同向时，国.

当a与b反向时，ab=^.

④。a=面或⑷="7^=V?.

⑤8$。=西

@|a-Z>|S|«||Z>|.

（2）向量数量积的运算律

①例（交换律）.

②（痴）仍=笆=母结合律）.

③H（分配律）.

「新知拓展J

1.对数量积的理解

（1）求a,5的数量积需知道三个量，即⑷，|加及a,b的夹角，这三个量有时并不是直接给出

来的，需根据题意去巧妙求解.

(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由

夹角确定，当夹角为锐角或。时，符号为正；当夹角为钝角或兀时，符号为负；当夹角为直

角时，其值为零.

向量的投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零.

(3)两个向量〜的数量积与代数中两个数”，〃的乘积必是两码事，但表面看来又有点相

似，因此要注意两个向量〜的数量积是记作ab,中间的实心小圆点不能省略，也不能把

实心小圆点用乘号“X”代替，写成aXb.

2.要灵活掌握向量数量积的性质

(\)a±b^ab=O,既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算.

(2)a-a=a2=\a\2与|0=祠=4滔也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转

化.

(3)用8$。=箭求两向量的夹角，且夹角的取值与ab的符号有关.

设两个非零向量a与b的夹角为仇则

当0=0时，cos0=l,a-b=\a\\b\；

当0为锐角时,cosft>0,ab>0；

当6•为钝角时,cos6k0,ab<0；

当6为直角时，cos(9=0.ab=0；

当6=兀时,cos0=—1,ab=—\a\\b\.

(4)|a3|W|a||b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题.

(5)①向量的数量积不满足消去律：若a,b,c均为非零向量，且oc="c,但得不到a=A.

②(a彷)c#a("c).

『评价自测』

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)若a力=a-c且aWO,则》=c.()

(2)若0乃=0,则a=0或6=0.()

(3)^a±b,则a,=0.()

(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acos，|(6是a与b的夹角)，方向与b相同或相反

的一个向量.()

2.做一做

(1)若向量“，力的夹角为30。，则向量一a,一〃的夹角为()

A.60°B.30°C.120°D.150°

(2)已知向量。和向量力的夹角为30。，⑷=2,制=正，则向量a和向量6的数量积

(3)已知向量a,b满足步|=2,a与b的夹角为60°,设占在a上的投影向量是c,则|c|=.

(4)若向量a,b的夹角为120。，|a|=l,步|=3,贝ij|5a—臼=.

「题型探究』

题型一平面向量数量积的概念

例1(1)已知a,儿c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是()

①|a2|=|a||b|=a〃岳

②a,)反向0a-b=一⑷回；

③aJ_/>Q|a+Z>|=|a一例；

④⑷=|臼=|℃|=|"c|.

A.1B.2C.3D.4

(2)已知⑷=5,|臼=2,若：①a〃6©alb；③a与方的夹角为30。.分别求

『规律方法」

(1)求平面向量的数量积的一般步骤

(2)a与b垂直当且仅当ab=0.

(3)非零向量a与b共线当且仅当a-b—±\a\\b\.

『跟踪训练1J

(1)已知下列命题：

①若层+〃=0,则Q=b=o；②已知a,b,c是三个非零向量，若a+5=0,则|℃|=|"d；

③同向＜a・b；©a-a-a=|a|3；⑤若向量a,6满足a仍＞0,则a与5的夹角为锐角.

其中判断正确的是.

(2)给出下列命题：

—►—►

①在△ABC中，若AB-8C＜0,则△48C是锐角三角形；

—►—►

②在△4BC中，若AB8C0,则△4BC是钝角三角形；

―►-►

③△ABC是直角三角形=AaBC=0.

其中，正确命题的序号是.

题型二投影向量

例2如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2,NABC=30。，。为BC的中点.

«I)C

⑴求BA在CD上的投影向量;

-A-A

(2)求CQ在BA上的投影向量.

［规律方法J

求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模

及两向量的夹角.

r跟踪训练21

—►—►—►—►—►—►—►

在△ABC中，己知|A8|=|AC|=6,且4B-AC=18,则84在3c上的投影向量为(用BC

表示).

题型三平面向量数量积的运算

例3(1)已知同=4,|*|=5,且向量a与舟的夹角为60。,求(2a+3b>(3a-2b)：

—►—►

(2)在RtZXABC中,ZC=90°,AB=5,AC=4,求ABAC.

『综合探究」将本例改为：(1)已知⑷=4,|“=5,且向量a,b的夹角为30°,求(2a+3b)(3a

-2b)；

—►—►

(2)在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,求A88C.

『规律方法」向量数量积的求法

(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向

量的夹角是求数量积的关键.

(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.

『跟踪训练3J

—►―►―►—►

如图，在△ABC中，。是BC的中点，E,尸是AO上的两个三等分点，BACA=4,BFCF=

-1,则BECE的值是

题型四与向量模有关的计算

例4已知向量a,b的夹角为60。，且|a|=2,向=1,若c=2af,d=a+2b,求:

⑴cd：

⑵|c+2dl.

『规律方法」求向量的模的常见思路及方法

(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2=\a\2,勿忘记开方.

(2)“刈=/=同2或同=而，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.

『跟踪训练4J

TT

己知⑷=|臼=5,向量a与方的夹角为求|a+Z>|,la—bj.

题型五两向量的夹角问题

例5已知|a|=2,\b\=\,“与匕的夹角为60。，求向量/n=2@+b与向量“=a—45的夹角

的余弦值.

「规律方法J求向量a与b夹角的思路

(1)求向量夹角的关键是计算ab及⑷向，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos6=

儡p最后借助9©『0,兀』，求出6的值.

(2)在个别含有⑷，向与a力的等量关系式中，常利用消元思想计算cos。的值.

「跟踪训练5」

已知向量a,b满足(a+2)>(a—。)=-6,且|a|=l,\b\=2,则。与5的夹角为.

题型六两向量的垂直问题

例6已知向量a,5不共线，且|2a+b|=|a+2加,求证：(a+b)_L(a—6).

『规律方法」求(证明)两向量垂直的基本步骤

(1)计算ab的值;

(2)若为零，则aJ_b,否则不垂直.

f跟踪训练6J

己知⑷=1,步|=2,“一6与a垂直，求当你为何值时，依a-b)，(a+2b)?

『随堂达标』

1.已知非零向量a，b,若a+2b与a—23互相垂直，则号=()

A.〃B.4C.；D.2

—►—►―►―►―►

2.在△ABC中，若A8-BC+AB2=0,则BC在BA上的投影向量为()

—►—►-►―>■

A.BAB.^ABC.ACD.1c4

3.己知向量a,b满足同=2,步|=1,(a-b)b=Q,那么向量a与b的夹角为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

—>—►—►-A

4.已知△ABC是边长为啦的等边三角形，贝ijBCC4+4B8C=.

5.已知|a|=l,ab=^,(a+b)-(a—b)—^.

(1)求步|的值;

(2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值.

★参*考*答*案★

「知识导学」

知识点三投影向量

投影投影向量

知识点四向量的数量积的性质和运算律

⑴①|a|cos。

②。6=0

③同网一同步I

@|a|2

⑥W

(2)@ab—ba

@X(ab)a-(Ab)

@(a+b)c=ac+bc.

『评价自测』

1.r答案J(l)x(2)X(3)J(4)V

2.「答案」(1)B(2)3(3)1(4)7

『题型探究」

题型一平面向量数量积的概念

例1

［「解析」」(1)①力=同网cos仇.,.由|。物=|。|向及。，一均为非零向量可得|cosO|=L

；.9=0或。=兀，；.a〃b,且以上各步均可逆，故命题①是真命题；②若a,b反向,则a,

h的夹角为it,.*.a-Z>=|a||i|cos7t=—且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③当a

，力时，将向量a，8的起点确定在同一点，则以向量”，〜为邻边作平行四边形，则该平行

四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|a+D|=|a—臼.反过来，若应+臼=

\a-b\,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形，..•。，人因此命题③也是真命题；④当同

=|可但是Q与c的夹角和6与c的夹角不等时，就有|a-c|r|"c|.反过来，由|a・c|=|Zrc|也推不

出|a|=|例,故命题④是假命题.故选C.

(2)①当a〃b时，若。与b同向，则它们的夹角为0。，

“力=|a||b|cos0°=5X2X1=10；

若a与B反向，则它们的夹角为180°,

二a亦=|a||例cos180°=5X2X(-l)=-10.

②当a_Lb时，则它们的夹角为90。，：.ab=|a||*|cos90°=5X2X0=0.

③当a与b的夹角为30。时，a力=|a||臼cos3(T=5X2X牛=55.

「「答案」」(DC⑵见『解析』

『跟踪训练1J

［答案」⑴①②⑵②

『解析」(1)对于①，,.,/+从=0,.•.⑷2+向2=0,.•.同=|臼=0,，a=b=0,故①正确；

对于②，：a+b=0,二。与5互为相反向量，设a与c的夹角为仇则6与c的夹角为兀一

0,则ac=|a||c|cos0>"c=|臼|c|cos(兀-6)=一|b||c|cos。，\a-c\=\b-c\,故②正确：对于③，

由于|a•例=|a||A||cose|W|a||b|,故③错误；对于④，由于aaa—^a,其结果为向量，故④错

误；对于⑤，当a与b为同向的非零向量时，ob=|a||“cosO=|a||Z)|>0,但夹角不是锐角，故

⑤错误.

(2)利用向量数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角.

—►—►—►—►—►-►

®'：ABBC<0,：.BABC^-ABBC>0,

•••N8是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.

所以推不出△A8C是锐角三角形.故命题①是假命题.

—►—*—►—►—>—►

：.BABC=~ABBC<0,

/B是钝角，因而AABC是钝角三角形.故命题②是真命题.

③若aABC是直角三角形，则直角可以是NA,也可以是NB,ZC.

而ABBC=0仅能保证是直角.故命题③是假命题.

题型二投影向量

例2

「解J(1)如图，连接AD

•.•。为BC的中点，AB=AC,J.ADLBC.

设与CO同方向的单位向量为e.

—►—►

又BD=DC=®且BA与CO的夹角为150。，

-A

―►—►—►―►―►

CD

：.54在CD上的投影向量为|BA|cos150°e=一小e=一小二~=一CD=BD.

\CD\

(2)如图，延长C8至点例，使8M=C£>,

过点M作AB延长线的垂线MN,并交AB的延长线于点N.

A

3

易知8M=C。，8N=/.C。在84上的投影向量即为8M在B4上的投影向量.

—►—►

3

又MN1BN,BN=&,3M与A4的夹角为150。，

-►—►—►—►

3

故8M在84上的投影向量为BN=一/A,

—►—►-►

3

即C力在B4上的投影向量为一]BA.

『跟踪训练2J

—►

「答案」|BC

—►—►—►—►

,

『解析」设乙4=aAB-AC=\AB\\AC\cosO=\Sf.*.cos0=2•*•^—60°.

—►—►

又...△4BC为等边三角形.

过点4作AD1BC交BC于点D则BD=DC.

—►—►―►—►

故BA在BC上的投影向量为3D,即为48c.

题型三平面向量数量积的运算

例3

「解」(1)(2。+3b)Oa-2b)=6a2~4ab+9ab~6b2

=6X42+5X4X5XCOS600-6X52=-4.

4

(2)AB-AC=|AB|HC|cosZBAC=5X4X^=16.

［综合探究」

解(l)(2a+3Z>)-(3a-2b)=6a2+5ab~6b2

=6X42+5X5X4Xcos30°—6X52=5075—54.

(2)在RtZiABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,故BC=3,

-A-►

3

且cosNA8C=§,A8与BC的夹角。=180。一乙48。，

―►—►—►-►

3

故ABBC=一|4阴18cleos/ABC=-5X3Xg=-9.

「跟踪训练3J

7

-

8

「解析J解法一：设8O=a,DF=b,则84c4=(。+3。)・(一。+3b)=9步产一间2=4,BFCF

—>—►

135

=(〃+》).(-a+b)=|例2-同2=一］,解得国2=|例2=则3ECE=(a+2b)•(—°+2彷=4步|2

OO

-|a|2=1-

解法二：设AB=a,AC=b,根据题意有

rff

B4C4=Q)=4,"a〃=4,

22

~2(a+b)+5a-b=-91

<8尸9尸=像等)&等)=-1,整理得j__

—5(a2+b2)+26ab

BE,CE=-----------晨-----,

、3o

、BECE=仅磊)(9-汕

527

一"*2X(-9)+f><47

T'是BE・CE=Q7='Q-

题型四与向量模有关的计算

例4

「解」因为向量a与b的夹角为60。，同=2,|Z>|=1,

所以06=同处:。$60。=1,因为c=2a-"d=a+2b.

(l)cd=(2a—"-(a+2b)=2，+3a历一2尻=2⑷2+3Xl-2|5|2=2X22+3-2X12=9.

(2)因为c+2d=(2a—b)+2(a+2b)=4a+3b,

(c+2团2=(4。+3力2=]6a2+24。0+9〃=i6|aF+24X1+9|肝=16X2?+24X1+9X1=97,

所以|c+2rfF=97,所以|c+2rf|=亚.

「跟踪训练4」

例5

「解」a乃=2XlXcos600=l,

|/n|2=|2a+Z>|2=4|a|2+4a-Z>+|Z>|2=4X22+4Xl+l=21,

|n|2=|a-4/>|2=|a|2-8a-*+16|/>|2=22-8X1+16X1=12,

\m\=^21,\n\=2y[3,

m"=(2a+b>(a-46)=2|aF—7ab—4|A|2=2X22-7X1-4X1=-3.

设机，”的夹角为仇m-n=\m\\n\cos6,

-3=-\[2\X2小Xcos仇即cos8=一虫.

『跟踪训练5」

「答案」!

『解析」设。与〃的夹角为仇依题意有(a+2b>(a—方)=/+。6一2庐=-7+2cos9=一

17T

6,所以cos8=],因为OWeWn,故。=多

题型六两向量的垂直问题

例6

「证明」'：\2a+b\=\a+2b\,A(2a+ft)2=(a+2f