新高考数学三轮冲刺 押题卷练习第16题 立体几何综合（解答题）（原卷版）

立体几何综合（解答题）考点4年考题考情分析立体几何综合2023年新高考Ⅰ卷第18题2023年新高考Ⅱ卷第20题2022年新高考Ⅰ卷第19题2022年新高考Ⅱ卷第20题2021年新高考Ⅰ卷第20题2021年新高考Ⅱ卷第19题2020年新高考Ⅰ卷第20题2020年新高考Ⅱ卷第20题立体几何大题难度一般，纵观近几年的新高考试题，主要考查空间平行关系和空间垂直关系的证明、空间角及空间距离的计算等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以空间平行关系和空间垂直关系的证明、空间角及空间距离的计算为背景展开命题．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，当二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0．2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第20题）如图，三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为BC的中点．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)点F满足SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）如图，直三棱柱SKIPIF1<0的体积为4，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．(1)求A到平面SKIPIF1<0的距离；(2)设D为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第20题）如图，SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中点．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.（1）证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0是边长为1的等边三角形，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，求三棱锥SKIPIF1<0的体积.6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第20题）在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，若SKIPIF1<0．（1）证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值．空间中的平行关系线线平行线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行空间中的垂直关系线线垂直线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面异面直线所成角SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）为异面直线SKIPIF1<0所成角，SKIPIF1<0分别表示异面直线SKIPIF1<0的方向向量）直线SKIPIF1<0与平面所成角，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量).二面角SKIPIF1<0的平面角SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量）.点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0是经过面SKIPIF1<0的一条斜线，SKIPIF1<0）.1．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知正三棱柱SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0的中点．

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值．2．（2024·浙江·二模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，点E是线段AD的中点，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0//平面BDM；(2)求平面AMB与平面BDM的夹角.3．（2024·江苏·一模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)当二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0.4．（2024·浙江·一模）在三棱柱SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0是等边三角形，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点.

(1)证明：SKIPIF1<0.(2)点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0时，求四棱锥SKIPIF1<0的体积.6．（2024·江苏南通·二模）如图，边长为4的两个正三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，SKIPIF1<0，直线AB与平面SKIPIF1<0相交于点H.(1)从下面两个结论中选一个证明：①SKIPIF1<0；②直线HE，GF，AC相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分.(2)求直线BD与平面SKIPIF1<0的距离.7．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为PC的中点，点F在PA上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的正弦值．8．（2024·河北·模拟预测）如图，正四棱台SKIPIF1<0有内切球SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.

(1)设平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.9．（2024·辽宁大连·一模）如图多面体ABCDEF中，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，四边形ABCD为正方形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，H，G分别为CE，CD的中点．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求平面BCEF与平面FGH所成角的余弦值；(3)作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AD交点为P，写出SKIPIF1<0的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．10．（2024·重庆·模拟预测）在如图所示的四棱锥PSKIPIF1<0ABCD中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正三角形，点M在侧棱PB上且使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成角的正切值为SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．11．（2024·辽宁·二模）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．12．（2024·山西·一模）如图，在三棱台SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0距离为3，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.13．（2024·广东·一模）如图，已知圆柱SKIPIF1<0的轴截面SKIPIF1<0是边长为2的正方形，点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上异于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的任意一点.(1)若点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.(2)求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的取值范围.14．（2024·广东佛山·二模）如图，在直三棱柱形木料SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为上底面SKIPIF1<0上一点．(1)经过点SKIPIF1<0在上底面SKIPIF1<0上画一条直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，应该如何画线，请说明理由；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．15．（2024·广东广州·一模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的菱形，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.16．（2024·湖南长沙·一模）正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0.(1)求正四棱柱SKIPIF1<0的体积；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值.17．（2024·湖南·二模）如图所示，半圆柱的轴截面为平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆柱底面的直径，SKIPIF1<0为底面圆心，SKIPIF1<0为一条母线，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.18．（2024·河北·模拟预测）如图所示，五面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，点SKIPIF1<0在面SKIPIF1<0内的投影恰为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．(1)求五面体SKIPIF1<0体积；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值．19．（2024·湖南·二模）在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，沿SKIPIF1<0将SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0，(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值，20．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．21．（2024·湖北·一模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为2的正方形，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值．22．（2024·湖北·二模）如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0是等边三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)平面SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0的大小．23．（2024·山东潍坊·一模）如图，在四棱台SKIPIF1<0中，下底面SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．24．（2024·山东青岛·一模）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面ABC；(2)若点N在棱SKIPIF1<0上，求直线AN与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值．25．（2024·福建厦门·二模）如图，三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0是边长为2的菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0.(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.26．（2024·福建莆田·二模）如图，在四棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．27．（2024·福建漳州·一模）如图，SKIPIF1<0为圆锥的顶点，SKIPIF1<0是底面圆SKIPIF1<0的一条直径，SKIPI