特殊平行四边形的性质与判定重难点题型专训（解析版）

专题05特殊平行四边形的性质与判定重难点题型专训

国【题型目录】

题型一矩形的性质与判定重难点题型

题型二菱形的性质与判定重难点题型

题型三正方形的性质与判定重难点题型

题型四特殊平行四边形中长度问题

题型五特殊平行四边形中角度问题

题型六利用特殊平行四边形的性质求面积

题型七中点四边形

题型八特殊平行四边形的动点问题

题型九四边形中的线段最值问题

题型十特殊平行四边形中的折叠问题

题型十一四边形其他综合问题

4【经典例题一矩形的性质与判定重难点题型】

知识点1：矩形的性质

1.边：对边平行且相等；

2.角：四个角都是直角；

3.对角线：对角线相等且互相平分；

4.对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴.（对称轴为矩形对边中点所在的直线）

知识点2：矩形的判定

1.定义法：有一个角是直角的平行四边形；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角都是90°的四边形是矩形.

【例1】（2022秋.湖北.九年级统考期中）已知大小一样的矩形ABC。和矩形E4GF如图1摆放，

AB=3,BC=5,现在把矩形E4G/绕点A旋转，如图2,FG交BC于点、M,交C。于点N,若NC=MC,

则的值为（）.

A.5-3&B.572-3C.5&-6D-8-50

【答案】D

【分析】设AG与8c交于点儿由已知可得MGH、AM都是等腰直角三角形，由勾股定理可得AH、

的长，从而可求得CW的长.

【详解】设AG与8c交于点”，如图，

•.•四边形ABC。、四边形AEFG都是矩形，

二ZB=NC=NG=90。，AG=BC=5,

":NC=MC,

二_CMN是等腰直角三角形，

ZCMN=45°,

：.NGMH=NCMN=45°,

*：ZG=90°,

NGHM=ZGMH=45°,

二GH=GM,

:,MG”是等腰直角三角形，

同理，-A8”是等腰直角三角形，

BH=AB=3,

由勾股定理可得Ab=048=3a，

二GH=GM=5-3&，

由勾股定理得：MH=y[lGH=>^(5-3>/2)=572-6,

?.CN=CM=BC-BH-MH=5-3-(5叵-6)=8-5近.

故选：D.

图2

【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由题意得到若干个等腰直

角三角形是问题的关键.

产【变式训练】

【变式1］（2022秋・河北保定•九年级保定市第十七中学校考期末）如图，在四边形ABC。中，对角线AC,

3。相交于点。，且OA=OC,OB=OD,下列说法错误的是（）

A.若AC180,四边形ABCQ是菱形

B.若AC=BO,四边形ABC。是矩形

C.若AC/BD且AC=B£>,四边形ABC。是正方形

D.若NABC=90。，四边形45co是正方形

【答案】D

【分析】由平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【详解】解：OA=OC,OB=OD,

四边形ABC。是平行四边形，

A、若AC则平行四边形ABC。是菱形，故选项A不符合题意；

B、若AC=BD,则平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；

C、若AC18。目.4C=B。，则平行四边形MCD是正方形，故选项C不符合题意：

D、若NABC=90。，则平行四边形A8CQ是矩形，故选项D符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，熟练掌握各

四边形的判定是解题的关键.

【变式2］（2022春・山东德州•八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系X。），中，矩形A8CO的边AD=3,

A（g,0）,B（2,0）,直线£:丫=丘+。经过B,。两点.将直线L平移得到直线N="+b,若它与矩形有公共

点，则人的取值的范围.

【答案］!<&<7##7>b>l

【分析】先利用矩形性质得点C、。坐标，用待定系数法求直线心解析式，再分别把A、C两点坐标代入），="+b

中，求得人的值即可得到答案.

【详解】解：A(-,0),B(2,0),AO=3,

•.£>4,3),C(2,3),

2

.,直线以丫=依+。经过8(2,0)、D(g,3)两点,

24+〃=0

>1,今，

—k+a=3

[2

.\£:y=-2x4-4,

•.■直线y=-2x+。与矩形ABC。有公共点，分别将A、C两点坐标代入得：

-2乂,+/?=0或-4+〃=3,

2

「2=1或〃=7,

/.1<Z?<7；

故答案为：1助47.

【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、•次函数的图像的平移、矩形的性质等知识，准确找到直

线与矩形有公共点的两个临界点A与C是解此题的关键.

【变式3](2021春・北京丰台•八年级北京市第十二中学校考阶段练习)如图，E是矩形A8CO的边AO上

一点，BE=ED,P是对角线8。上任意一点，PF1BE,PGA.AD,垂足分别为尸和G,则PE+PG—

定与图中哪条线段的长度相等：

【答案】A8或

【分析】连接PE，根据题意的面积等于△BEP与VP£E>面积和，由BE=ED可得！ED(PF+PG),

再由BED的面积等于gEDAB,即可得出答案.

【详解】证明：连接PE,如图,

BE=ED，PFA.BE,PG1AD,

S^DE~SM£P+S^Ep

=-BEPF+-EDPG

22

=^ED(PF+PG),

又:四边形ABC。是矩形，

:.BA1AD,AB=CD,

..SABED=；EDAB，

：.-ED(PF+PG)=-EDAB,

22

:.PF+PG=AB=CD.

故答案为：AB或CD.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质及三角形面积计算，应用等面积法列式计算是解决本题的关键.

【变式4](2021春•重庆巴南•九年级校考期中)如图，在矩形ABC。中，8。是对角线，BE、。厂分别平

分'/ABD、NCDB,交边AE＞、BC于点E、F.

(1)若跳：=2,ZABE=3O°,求8。的长.

(2)求证：AE=CF.

【答案】(1)26

(2)见解析

【分析】(1)由己知可求得AE的长及NABD=60。，由勾股定理求得A3的长，再由含30度角直角三角形

的性质即可求得结果；

(2)由矩形的性质及角平分线的意义易得A4BE丝从而问题解决.

【详解】(1)解：四边形A8CD是矩形，

.-.ZA=90°,

BE=2,ZABE=30°,

AE=-BE=l；

2

BE平分NASD，

:.ZABD=2ZABE=60°,

ZADB=90°-ZABD=30°,

：.BD=2AB；

由勾股定理得AE?=G，

BD=2。

(2)证明：-四边形ABC。是矩形，

.-.ZA=ZC=90°,AB=CD,AB//CD,

:.ZABD=NCDB,

BE、分别平分NA8£)、/CDB,

:.ZABE=-ZABD,ZCDF=-ZCDB,

22

ZABE=ZCDF,

..△ABE&△COF(SAS),

-'.AE=CF.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，

灵活运用这些知识是关犍.

【变式5](2022秋・湖北宜昌•九年级校联考期中)已知，点F是矩形A68边上一点，点E在边A3上，AE=BC,

(D如图1,点尸在边AZ)上，且AF=BE,连接EF.求证：EF1CE：

(2)如图2,点尸在边BC上，且5E=b,连接所交CE于点G.求证：ZAGE=45°.

⑶在(2)的条件下，AB=8,CE=6,则8尸=.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

⑶2&

【分析】（1）根据SAS证明△AEF刍△〃（左,得出NA£F=N8CE,即可得出答案；

（2）过点C作CH〃4F,交AO于H,连接EH,证明四边形AFCH是平行四边形，得出AH=C/，即可

得出B£=A//,根据SAS证明4A£Hg.8CE,得出ZA£H=ZBCE,EH=EC,证明NaEC=90°，即可求

fl!ZECH=45°,根据平行线的性质，得出乙4GE=NEC”=45°:

（3）设BE=x,则AH=x,AE=8-x,根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出BE的值，即

可得出答案.

【详解】（I）证明：•••四边形ABCD是矩形，

.-.ZA=ZB=90<,AD//BC.

AE=BC

•.•在zXAE尸和8CE中■NA=N8,

AF=BE

...均BCE(SAS),

：.ZAEF=ZBCE,

NBCE+NBEC=90",

;.NAEF+NBEC=90°，

NFEC=9。，

EFA.CE.

(2)证明：如图2,过点C作C，〃AF,交4)于，，连接E”，

图2

VAF//CH,AD//BC,

二四边形AFCH是平行四边形,

；.AH=CF,

BE=CF,

.,.BE=AH,

AE=BC

•・,在△A£”和BCE中（NA=N8,

AH=BE

：.dAEHgBCE（SAS）,

:.ZAEH=ZBCE,EH=EC,

ZBCE+ZBEC=90\

ZAEH+NBEC=90°,

・•.ZHEC=90\

又EH=EC,

NEC”=45°,

AF〃CH,

ZAGE=ZECH=45°

（3）解：设=则AH=x,AE=8-x,

根据解析（2）可知，EH=CE=6,

VEH2=AE2+AH29

即62=（8—x）~4-x2,

解得：2=4+&或w=4-0,

*/BOCF,

:.AE>BE,

:.8-x>x,

x<4,

***x1=4+72不符合题意舍去，

BE=4-6,

：.BC=AE=8-（4->^）=4+&,

/.即=4+血-（4-夜）=20.

故答案为：2拉.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，

作出辅助线，构造全等三角形AEH^,BCE,是解题的关键.

4【经典例题二菱形的性质与判定重难点题型】

知识点1：菱形的性质

1.边：对边平行，四条边都相等B

2.角：对角相等

C“以44［对角线互相垂直平分

■［每一条对角线平分—-僦角P

4.对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，对角线所在直线就是对称轴

知识点2：菱形的判定

1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

3.四条边都相等的四边形是菱形

【例2】（2022秋•安徽滁州•九年级统考期中）菱形ABCD中，AB=4,/B=60。，E,尸分别是A8,AD上

的动点，且BE=AF,连接EF,交AC于G,则下列结论：①，BEC"AFC；②AECF为等边三角形;

③CE的最小值为2G.其中正确的结论是（）

A.①②B.①②③C.①③D.②③

【答案】B

【分析】根据菱形的性质以及ZB=60。，先证明.ABC是等边三角形，再根据“SAS”可得aBEC/ZSA尸C,

进而可得NPCE=NACB,可说明是等边三角形，在△FCE是等边三角形中，要求CE最小，根据垂

线段最短即可知当CE上4?时，CE最小，再通过勾股定理即可求出CE.

【详解】：四边形回。是菱形，48=4,4=60。，

AB=BC=CD=4,ABAC=ACAD=60。，

二..ABC是等边三角形，

CB=CA,ZACB=60°.

AD//BC,

：.NCW=ZACB=60°.

BE=AF,

：.；BEC^AFC（SAS）,

，结论①正确；

\\CBE"CAF,

:.CE=CF/BCE=ZACF.

,：ZACB=NBCE+NECA=60°,

ZACF+ZECA=6O°,

即NECr=60。，

△ECF是等边三角形，

二结论②正确；

\•当CE143时，CE最小，

在RfCBE中，48=60。，可知/BCE=30°,

BC=4,

：.BE=2,

CE=\lBC2-BE2=2石>

•••CE的最小值是26，

结论③正确.

故选:B.

【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂线段最短、勾

股定理等知识，充分利用含60。角的菱形的性质是解答本题的关键.

口【变式训练】

【变式1］（2022秋.广东梅州.九年级校考阶段练习）如图，菱形ABC。的周长为8cm,高AE长为及m,

则对角线AC长和8。长之比为（）

A.1:2B.1:3C.1:72D.1:73

【答案】D

【分析】设AC与8D相交于点O,根据菱形的性质，得出AC1即，DO=OB,再根据题意，得出

AB=BC=AD=DC=2cm,再根据勾股定理，得出BE的长，再根据直角三角形中，30。所对的直角边等于

斜边的一半，得出NE4B=30。，再根据等边二角形的判定定理，得出，A8C是等边三角形，再根据等边三

角形的性质，得出AC=8C=2cm,AE=OB=&m，再根据菱形的性质，得出BQ=2j3cm,进而计算即

可得出结果.

【详解】解：如图，设4c与8。相交于点。，

二•四边形ABCD是菱形，

AACJ.BD,DO=OB,

•.•菱形ABC。的周长为8cm,

AB=BC=AD=DC=2cm,

•­,高AE氏为73cm»

•*-BE=YIAB2-AE2=1cm，

，NE46=30。，

ZABE=60°,

又•:BC=AB.

二.AfiC是等边三角形，

AC-BC=2cm.AE=OB=百cm,

*,■ED=2石cm,

AC:B力=2:26=1:6,

/.4c和BO长度之比为1:百.

I)

故选：D

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的特征、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱

形的性质是解本题的关键.

【变式2】（2022春•吉林长春•八年级统考期末）如图，在菱形A8CD中，AELBC,垂足为点E.AE与BD

交于点尸，连接CF.若NC"=32。，则/EC尸的大小为.

【分析】根据菱形的性质，得出A8=C8,ZABF=NCBF=32°,再根据SAS,得出ABF^,CBF,再根

据全等三角形的性质，得出N&F=NBCF,再根据菱形的性质，得出NABC=64。，再根据垂线的定义，

得出NAEB=90。，再根据三角形的内角和定理，得出尸=26。，进而即可得出结果.

【详解】解：•••四边形A8CD是菱形，

:.AB=CB,ZABF=^CBF=32°,

在△ABF和VCB尸中，

AB=CB

"ZABF=NCBF,

BF=BF

二：ABF空.CBF(SAS),

：.NBAF=NBCF,

ZABC=ZABF+NCBF=320+32°=64°,

■:AE±BC,

：.ZAEB=90°,

：.NBAF=18O°-ZAEfi-ZABE=180°—90°-64°=26°,

ABCF=NBAF=26°,

即Z£C尸=26°.

故答案为：26。

【点睛】本题考查J'菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练

掌握相关的性质、定理.

【变式3］（2022秋.湖北宜昌•九年级校联考期中）如图，中，ZACB=90°,^BAC=3Q°■△ABD

和/VICE都是等边三角形，F为AB的中点，连接。E交A8于点G,E尸与AC交于点”；以下结论：①

EF1AC；②四边形49FE为菱形；③4A4AG；@FH=-BD.其中，正确的结论有_________.（填写

4

所有正确结论的序号）

【答案】①③④

【分析】根据等边三角形三边相等三个角都是60。的性质，以及直角三角形中，30。所对的直角边是斜边的

一半的性质逐项判断即可；

【详解】解：•・•△ACE是等边三角形

/.ZE4C=6O°,AE=AC

NB4c=30。

:.ZFAE=ZACB=90°,AB=2BC

•・•尸为AB的中点,

:.AB=2AF

BC=AF

.・./ABC^EEA（SAS）

：.FE=AB

.\ZAEF=ABAC=30°

:.EF±AC,故①正确；

EFLAC,ZACB=90°

.'.HF//BC

■:尸是AB的中点,

.・.HF=-BC

2

BC=-AB=-BD

22

HF=-BD,故④正确；

4

AD=BD,BF=AF

ZDFA=90°=ZEAFfZADF=300=ZAEF

在Z^DAF和△EE4中

ZDFA=NEAF

"NAOF=NAEF

AF=AF

QF以EE4(AAS)

:.AE=DF,AD=EF

•••四边形ADFE为平行四边形，

.-.AG=-AF=-AB=-BD

244

AD=4AG：故③说法正确；

AD^DF

四边形ADFE不是菱形；故②不正确；

故答案为：①③④

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊的直角三角形的性质、菱形的判定；综合运用等边三角形和

直角三角形的性质实现线段的转化是解题的关键.

【变式4](2020秋•四川成都•九年级成都外国语学校校考期中)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD

相交于点O,且他〃BO,BE//AC,OE=AB.

(1)求证：四边形ABC。是菱形.

(2)若NA£>C=60。，BE=2,求30的长.

【答案】(1)见解析

⑵4石

【分析】(1)根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可;

（2）由菱形的性质可得BO=DO,NAQO=30。，可求AO=2,DO=gAO,即可得出答案.

【详解】（1）解：证明：AE//BD,BE//AC,

二四边形A£B。是平行四边形，

V四边形ABC。是平行四边形，

:.DC=AB.

OE=AB,

二平行四边形A£B。是矩形，

:.ZBOA=90°.

:.AC±BD.

，平行四边形ABC。是菱形；

（2）由（1）得：四边形A£B。是矩形，四边形ABCO是菱形，

:.OA=BE=2,ACJ.BD,BO=DO,ZADO=30°,

：.0D=y/30A=2y/3，

:.BD=2OD=4y/3.

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性

质等知识；灵活运用有关性质是解题的关键.

【变式5】（2021春・江苏南京•八年级校考期中）如图，在矩形ABC。中，点E在边AD上，折叠,/WE使

点4落在CD边上的点尸处，折痕为8E,过点4作AGEF交BE于点、G,连接G尸.

（1）求证：四边形AEFG是菱形.

（2）若A£>=6,AB=10,求四边形但'G的面积.

【答案】（1）见解析

小、20

⑵彳

【分析】（1）连接AF,交EG丁点。，根据折叠得到破是质的垂直平分线，进而得到NA£B=NFEB,

AE=EF,AG=GF,根据平行线的性质，推出AE=AG,进而得到AE=EF=AG=G9，即可得证.

（2）根据矩形和折叠的性质，利用勾股定理，求出CF长，进而求出D尸的长，再利用菱形的性质和勾股定

理，求出AE的长，利用菱形的面积公式进行求解即可.

【详解】（1）证明：连接AF，交EG于点0,

•・・折叠石使点A落在。。边上的点尸处，折痕为8E,

・・・8七是AF的垂直平分线，ZAEB=/FEB，

：.AE=EF,AG=GFt

AGEF,

:.ABEF=ZAGE,

・•・ZAEB=ZAGE,

：.AE=AGf

：.AE=EF=AG=GF,

・•・四边形毋G是菱形.

(2)解：,・•在矩形ABC。中，AO=6,AB=10,

CQ=45=10,A£>=3C=6,NO=NC=90。，

;折叠-AB石使点A落在C。边上的点尸处，折痕为砥,

:.BF=AB=10,

在Rt3C尸中，CF=yjBF2-BC2=8*

:.DF=CD-CF=2,

设A£=Eb=x,则：DE=AD-AE=6-x,

在RtEOT7中，EF2=DE2+DF2即：x2=(6-x)2+4,

解得：X=y

AE号

，四边形AEFG的面积=AEFD=^-x2=^-.

33

【点睛】本题考查矩形与折叠，菱形的判定和性质以及勾股定理.熟练掌握矩形和折叠的性质，是解题的

关键.

41经典例题三正方形的性质与判定重难点题型】

知识点1:正方形的性质

1.边：对边平行，四条边都相等

2.角：四个角都是直角

C4以对角线互相垂直平分且相等

'［每一条对角线平分一组对角

4.对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有四条对称轴

5.正方形面积求法：S^a2=-l2（。表示正方形的边长，/表示正方形的对角线）

2

注：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形

知识点2：正方形的判定

1.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形

2.有一组邻边相等的矩形是正方形

3.对角线互相垂直的矩形是正方形

4.有一个角是直角的菱形是正方形

5.对角线相等的菱形是正方形

知识点3：四边形、平行四边形、矩形、菱形'正方形之间的关系

一个角为直角或,有一组邻边相等或

矩形

对角线相等对角线互相垂直

对角线相等且互相垂直或

平行四边形正方形

有一组邻边相等且有一个角是直角

一组邻边相等有一个角为直角

菱形

或对角线互相垂直或对角线相等

四边形对角线相等且互相垂直平分

【例3】（2022秋•四川泸州•九年级统考期中）如图，已知在正方形内有一点P,连接赫、DP、BP,WAADP

顺时针旋转90°得到AA£B,连接DE,点P恰好在线段OE上，若4P=正，BP=,则拉尸的长度为（）

A.2B.76C.2夜D.M

【答案】B

［分析］根据旋转的性质可得AP=AE=叵,ZPAE=90°,ZAPD=ZAEB,EB=DP,从而可得

EP=42AP=2,ZAEP=ZAPE=45°,进而可得NPEB=90。，然后利用勾股定理求出£B,即可解答.

【详解】解：由旋转得:

AP=AE=V2,ZPAE=90°,NAPD=ZAEB,EB=DP,

：.EP=6Ap=2,NAEP=NAPE=45°,

，ZAPD=ZAEB=1800-ZAPE=135°,

ZP£B=ZA£B-ZA£P=135°-45o=90°.

;PB=屈,

EB=ylPB2-PE2=7(>/10)2-22=展，

，EB=DP=娓,

故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

W【变式训练】

【变式1】(2022春・山东德州•八年级统考期末)如图，把正方形ABCZ)放在直角坐标系中，直角顶点A落

在第二象限，顶点5、。分别落在轴、x轴上，已知点4-2,2)、8(0,-3),则点。的坐标为()

A.(-4,0)B.(-7,0)C.(-5,0)D.(-8,0)

【答案】B

【分析】如图，过点A作AELy轴于E、AF_Lx轴于F,则四边形AEO尸是矩形可得AE=OF、AF=OE,

再由A、B的坐标结合图形可得BE=5,然后再证明尸=可得£>P=3E=5,进而确定。力的

长即可解答.

【详解】解：如图，过点A作4E_Ly轴于E,AF_Lx轴于F,

AE_Ly轴，■l.x轴，ZEO尸=90。，

••・四边形AEOF是矩形，

：.AE=OF,AF=OE,

♦.•点4(-2⑵、8(0,-3),

:.AF=AE=2=OF=OE,80=3,

/.BE=5,

.•四边形A5CD是正方形，

:.AD=AB,ZDAB=ZEAF=90°,

:.ZDAF=ZBAE,

在RtM)AF和RtNBAE中，

jAD=AB

[AF=AE'

Z.Rt\DAF三RfABAE(HL),

:.DF=BE=5,

:.OD=1,

•・・点。(-7,0).

故选：B.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合

思想成为解答本题的关键.

【变式2](2022春•四川绵阳•八年级校考期中)如图，在一A5C中，AC=BC=5,AB=6,以BC为边向

外作正方形3C0E,连接A£>,贝.

D

【答案】7近

【分析】作出如图的辅助线，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求得/F=M=3,CF=4,丽明

△CBF四LBEG学AEDH(AAS),利用全等」.角形的性质求得8F=GE=£>〃=3,CF=GB=EH=4,再

利用勾股定理即可求解.

【详解】解：过点C、D、E分别作直线AB的垂线，垂足分别为F、/、G,过点。作直线EG的垂线，垂

足为H,如图，

D1=HG,DH=1G,

VAC=BC=5,AB=6,

：.AF=BF=-AB=3,

2

二CF=V52-32=4>

•.•四边形38E为正方形，

二BC=BE=DE,NCFB=NCBE=NEBG=ZH=90°,

，Z.CBF=NBEG=ZEDH,

(AAS),

:.BF=GE=DH=3,CF=GB=EH=4,

：.DI=HG=1,DH=IG=3,AI=AB+BG-IG=1,

AD=\I12+72=7>/2-

故答案为：70.

【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关

键是灵活运用所学知识解决问题.

【变式3]（2022春・江苏常州•八年级统考期中）如图，正方形A8C。的边长为m点尸是AB边上的中点，

将沿OP翻折到DE,延长PE交BC于点。，连接OQ、BE,下列结论中：①NPO0=45。；②△BPQ的

周长为2”；③连接AE,S△树=；BE-AE.正确的是（填正确的序号）.

【答案】①②③

【分析】先根据正方形中的翻折得到△APZ运△£■2£>,由全等三角形的性质得

ZA=ZDEP=90°,AD=DE,ZADP=ZEDP,再由题意用证明也为△OCQ,根据对应角相

等进行角的等量代换即可证明结论①正确；由①中已证的两组全等进行线段的等量代换即可证明结论②正

确；根据翻折的性质可知尸。垂直且平分AE,再利用中点与全等，得出由等边对等角证明

NPBE="EB,再根据外角的性质，利用同位角相等证出PD/3E,从而可证8E_LAE,继而可得

BE/E，证出结论③正确.

【详解】解：•••四边形ABCD是正方形，边长为a,将AZ）沿DP翻折到DE,

:.△APg/\EPD,

；.ZA=ZDEP=90。,AD=DE,ZADP=ZEDP.

\•点。在尸E的延长线上，

Z.ZDE0=90°.

[DE=DC

在RtZVJE。和RtzXOCQ中，八八，

[DQ=DQ

:.RtAD£0^RtADCe（//L）,

.・.ZEDQ=4CDQ,

，/ADP+ZCDQ=匕EDP+Z.EDQ=1/ADC=45°.

故结论①正确；

由即狙和ADEOdDCQ可知,AP=PE,EQ=CQ,

...△3PQ的周长=8P+B。+PE+EQ=A3+BC=2a.

故结论②正确；

，PD垂直且平分AE.

,••点P是AB边上的中点，

:.AP=BP=PE,

,ZPBE="EB.

又「NAPE是△ME的外角，

/.TAPE=NPBE+NPEB，

且WD=NEPD,

ZAPD=4PBE，

：.PD//BE,

BE-LAE,

S4ABE=5BE-AE.

故结论③正确.

故答案为：①②③.

【点睛】本题是一道几何综合题，考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，以及等

边对等角、外角、平行线等知识，解题的关键是要熟练掌握几何相关的性质与判定定理，并能够灵活应用，

找到相等的线段进行转化.

【变式4］（2022春.江苏苏州.八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，连接EO,

过点。作EDJ_£>E与8c的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G,与对角线BO相交于点”.

(1)若AB=6,S.BD=BF,求BE的长；

(2)若N2=2N1,求证：HF=HE+HD.

【答案】⑴BE=12-6亚

(2)见解析

【分析】（1）在正方形ABCD中，由FDJ.DE,利用等式的性质得到一对角相等，再由一对直角相等，

B.AD=DC,利用A45得到ADAE丝ADC/,利用全等三角形对应边相等得到AE=CF,进而利用

BE=AB—AE计算8E的长；

（2）在HF上取一点P,使FP=EH,连接0P,利用S45得到ADEH纽DFP,利用全等三角形对

应边相等，对应角相等得到/）//=£>P>Z.EDH=Z.FDP,进而确定出ADHP为等边三角形，利用等边.三

角形的性质即可得证.

【详解】（1）•••四边形A5CD是正方形，DFLDE

：.AD^CD.ZA=ZDCB=ZADC=90°

,/DEIDF

：.ZEDF=90。

：.Z2=90°-ZEDC=^CDF,ZA=/DCF=90°

在工DAE和DCF中

22=NW

•AD=CD

44=ZDCF

/SDAE^ADCF

：.AE=CF

XVCF=BF-BC=BD-BC=6近-6

AE=CF=6应-6

则的=48-4七=6-（6及-6）=12-6及

（2）

在HF上取一点P，使PF=HE,连接。尸

由（1）AZME^ADCF

JDE=DF

则工的是等腰直角三角形

・•・ZDEF=/DFE=45。

在△£）£；〃和一OPE中

DE=DF

<NDEH=Z.DFP

EH=PF

:.K）EH9NDFP

则DH=DP,/EDH=/FDP

•：NDEF=/HBF=45。，ZEHD=ZBHF

:.ZEDH=Zl=1z2=1（45°-NEDH）

:.NEDH=15。,ZFDP=]5°

则N/7。尸=90。-15。-15。=60。

.二ADHP为等边三角形

:.HD=HP

,:HF=HP+PF

:.HF=HE+HD

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本

题的关键.

【变式5］（2022秋.吉林长春.八年级校考期末）【提出问题】在一次数学探究活动中，李老师给出了一道

题.如图①，点P是等边ABC内的一点，连接以、PB、PC.当抬=3,PB=4,PC=5时，求/APB的

度数.

【解决问题】小明在解决此题时，将点尸绕点B逆时针方向旋转60。得到点。，连接D4、DP、DB,并结

合已知条件证得△ABD^ACBP.

请利用小明的作法及结论求/MJ的度数.

【方法应用】如图②，点尸是正方形ABC。内一点，连接小、PB、PC.若PA=&a，PB=2a,PC=®,

则ZAPB=°.

图①图②

【答案】解决问题：ZAPB=150°；方法应用：ZAPB=\35°

【分析】解决问题：将点尸绕点8逆时针方向旋转60。得到点。，连接D4、DP、DB,得到△BPC是等边

三角形，证明得△ABfZCBP,得到AD=PC,利用勾股定理求得NAPD=90。，即可求得

ZAPR=ZAPD+NBPD=150°

方法应用：将点尸绕点B逆时针方向旋转90。得到点E,连接E4、EP、EB.得到三角形3PE是等腰直角

三角形，证明得△ABEgCBP,得到A£=PC,利用勾股定理求得NAPE=90。，即可求得

ZAPB=ZAPE+ZBPE=135°

【详解】解决问题：

:将点尸绕点8逆时针方向旋转60。得到点£>,连接D4、DP、DB,

△8PD是等边三角形，

/.DB=PB=DP,NPBD=NBPD=60°

又/1BC是等边三角形，

/.AB=BC,ZABC=6O°,

•；ZABD=ZPBD-ZABP=60°—ZABP,ZCBP=ZABC-ZABP=60°-ZABP,

ZABD=NCBP,

在△"£＞和4cBp中:

AB=BC

■DB=PB,

NABD=NCBP

：.AABD^CBP,

D4=PC=5,且*3,DP=PB=4,

.•.在二枚)中，DAT=DP2+PA2^

二.B4£＞是直角三角形，即NAP£)=90。，

,ZAPB=ZAPD+ZBPD=150°

方法应用：

如图②，将点尸绕点8逆时针方向旋转90。得到点E,连接E4、EP、EB,

图②

三角形8PE是等腰直角三角形，

.：NPBE=90°,PB=EB=2a.ZBPE=45°,EP=y/PB2+EB2=2y/2a

•/ABCD是正方形，

；.AB=BC,ZABC=90°,

"ZABE=NPBE-NPBA=90°-APBA.NCPB=ZABC-ZPBA=90。一NPBA，

：.ZABE=ZCBP,

在;ABE和CBP中：

-AB=BC

■EB=PB,

NABE=2cBp

/./\ABE会CBP.

AEA=PC=^)a,且PA="z，EP=20a，

...在△/松中，£>V=E尸+处2,

二是直角三角形，即NAPE=90°,

Z.ZAPB=ZAPE+NBPE=135°

【点睛】本题是旋转和三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、正方形的性

质及勾股定理，解决问题的关键是通过旋转构造恰当的三角形

41经典例题四特殊平行四边形中长度问题】

【例4】（2022秋•陕西汉中•九年级校考期中）如图，矩形A3C。的对角线AC、8D相交于点。，过点。作

AC交于点E,若AB=6,BC=S,则AE的长为（）

【答案】C

【分析】根据矩形ABC。，得到AD=BC=8,ZADC=9Q°,OA=OC,从而可得AE=CE,设AE=x,

则CE=x,DE=8-x,再利用勾股定理计算即可.

【详解】解：如图，连接CE，

矩形ABC。，45=6,8c=8,

AAD=BC=8,AB=CD=6,ZADC=90°,OA=OC,

■:OE1AC,

二AE=CE,

设AE=x,则CE=x,DE=8-x,

在RlDEC中，CE2=DE2+CD2,

：.X2=(8-X)2+62,

25

x=一

4

AE=

故选C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理

是解题的关键.

口【变式训练】

【变式1］（2021春.四川凉山.八年级校考期中）如图，菱形A8CD的周长为40cm,对角线4C、BZ）相交

于点O,DEJ.AB,垂足为E,r>£=8cm,则4。为（）

A.8cmB.85/5cmC.4\/5cmD.4cm

【答案】B

【分析】根据菱形的性质和周长，求出边长，利用勾股定理，分别求出利用等积法求出AC即可.

【详解】解：；菱形ABCD的周长为40cm,

Z.AD=AB=BC=CD=10cm,

VDEJ.AB,垂足为E,OE=8cm,

AE=NAD。-DE?=6cm，

/.BE=AB-AE=4cm,

BD=>JDE2+BE2=4辰m,

VABDE=-BDAC,即：10x8」x4石AC,

22

，AC=8后cm；

故选B.

【点睛】本题考查菱形的性质.熟练掌握菱形的性质，是解题的关键.

【变式2］（2021春•重庆沙坪坝•八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在正方形ABC£＞中，E是对角

线8。上一点，过点E作£b_LC£,交AB于点尸，BF=2,BC=6,则EO=.

【答案】2夜

【分析】作出如图的辅助线，证明△EB8AEBA,推出AE=EC,NBAE=NBCE,再证明ZAFE=^FAE,

可推出△€£尸为等腰直角三角形，求得CRCE长，设==由勾股定理建立方程即可求ED的长.

【详解】解：连接CF、AE,过点E作EM_LDC于点M,如图所示，

：•四边形ABCZ）为正方形，

AZABC=90°,AB=BC,ZDBC=ZDBA=Z.BDC=45°,EB=BE,

：.AEBgAEBA,MD=EM,

AAE=EC,ZBAE=ZBCE,

■:EFLCE,

：.?FBC?FEC90?,

，Z£FB+ZBCE=180°,

•/Z£fB+ZAFE=18O°,

，ZAFE=ZBCE

,ZAFE=NBAE,

二AE=FE,

：.FE=CE,

△CEF为等腰直角三角形，

VBF=2,BC=6,

CF=^BC2+BF2="2+2?=2V10，

VEF2+CE2=CF2,BP2CE2=(2x/io)2,

，CE=26,

]5tDM=EM=x,

在RlAC£M中，CE2=EM-+CM-,

x2+(6—x)2=(2>/5j,解得x=2,

,DE=2y/2-

故答案为：2夜.

【点睛】本题考查了正方形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证

明=是解决问题的关键.

【变式3】(2023秋・山东济南•九年级统考期末)如图，在正方形AfiCQ中，点M、N为边BC和8上的

动点(不含端点)，ZMAN=45°,下列四个结论：①当MN=&MC时，则/&皿=22.5。；②

ZAMN+ZMNC=90°；③MNC的周长不变；④若DN=2,BM=3,则一43M的面积为15.其中正确结

论的序号是.

【答案】①③##③①

【分析】①先用勾股定理求得MC=NC,则易得AABM名AAOV(SAS),再结合NM4N=45。，可得答案;

②将A8W绕点A顺时针旋转90。得V4DE,证明瓦W四&AMN(SAS),再利用四边形内角和及邻补角关

系，可证得结论；

③由.E4N"〜M4N,可得MN=BM+DN,从而将二MNC的•:边相加即可得答案；

④设正方形的边长为。，则CN=a-2,CM=a-3,利用勾股定理列出关于a的方程，求出。的值，可证

得结论.

【详解】解：①•••正方形ABC。中，ZC=90°,

二MN2=MC2+NC2

当=时，

MN2=2MC2

二MC2=NC2，

:.MC=NC,

：.BM=DN,

'：AD=AB,ZADN=ZABM=9Q°,

二.A&M丝_ADN(SAS),

ABAM=ZDAN

'：ZMAN=45°,

：.ZBAM=22.5°,故①正确；

将,.ABM绕点A顺时针旋转90。得7ADE,

贝ij4EAN=Z.EAM-AMAN=90°-45°=45°,

在，EAN和/XMAN中，

AE=AM,NEAN=ZMAN,AN=AN.

：..EANMAN(SAS)

：.ZAMN=ZAED,

ZAED+ZEAM+ZENM+ZAMN=360°.

2ZAMN+90°+(180°-ZAflVC)=360°,

/.2ZAMN-ZMNC=90°.

NAMN+NMNC不一定等于90。，故②错误；

③：,E4N”M4N,

：.MN=EN=DE+DN=BM+DN,

二.MNC的周长为：

MC+NC+MN=(MC+BM)+(NC+DN)=DC+BC,

OC和BC均为正方形ABC。的边长，故sMNC的周长不变，故③正确：

④设正方形的边长为“，则CN=a—2,CM=a—3,

根据解析③可知，MN=BM+DN=3+2=5,

MN2=CM2+CN2,

即5,=("2)2+(.-3)2,

解得：4=6或。=一1(舍去)，

SABM=gxBMxAB=^x3x6=9,故④错误；

综上①③都正确，

故答案为：①③.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识点，解题的关键是作出辅助线，

构造全等三角形，本题具有一定的综合性.

【变式4】(2020秋•云南楚雄・九年级统考期末)如图，在平行四边形A8C。中，AE平分/BAD,交C。于

点E,交BC的延长线于点F,ZF=45°,连接8E.

(1)求证：四边形ABC。是矩形.

(2)若43=14,DE=8,求线段CF的值.

【答案】(1)见解析

(2)6

【分析】（1）欲证明四边形A8CQ是矩形，只需推知足直角;

（2）在Rt△/CE中，由N/=NCEF可得CE=C*=6.

【详解】（1）解：证明：四边形ABCQ是平行四边形，

/.AD//BC.

.\ZDAF=ZF.

ZF=45°,

/.ZZME=45°.

A尸是/BAD的平分线，

.•.Z£4B=ZZME=45°.

ZDAB=90°.

又,四边形A8C0是平行四边形,

••・四边形ABC。是矩形.

(2)二四边形A3CO是矩形，

?.ZDCB=90°.

AB=14,DE=8,

:.CE=6.

在RtZ\CEF中，ZF=45°,

，NCEF=NF=45。.

.\CF=CE=6.

【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质和平行四边形的判定与性质.注意：本题中通过勾股定

理求得有关线段的长度.

【变式5】（2022秋•广东梅州•九年级校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,将菱形折

叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B,D重合），折痕为EF,若2X7=2,BG=6,

则AF的长为.

D

DC

l分析】过点F作FHLBDT-H,根据菱形的性质可证明△AB。是等边三角形，进而可得到DH=^DF,

FH=BDF,设。F=X,利用勾股定理求解