正弦定理与余弦定理的综合应用-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）（解析版）

9.2正弦定理与余弦定理的应用

。常考题型目录

题型1利用正余弦定理判断三角形形状.......................................................................................................................2

题型2多三角形问题.........................................................................................................................................................8

♦类型1三角形角平分线......................................................................................................................................8

♦类型2三角形中线.............................................................................................................................................14

♦类型3一般型.....................................................................................................................................................21

♦类型4四边形型.................................................................................................................................................24

题型3面积周长相关取值范围问题.............................................................................................................................27

♦类型1基本不等式法........................................................................................................................................27

♦类型2正弦定理与三角函数法.......................................................................................................................35

♦类型3二次函数法............................................................................................................................................43

但知识梳理

知识点一.正弦定理、余弦定理

在二48c中，若角N,8,C所对的边分别是a,b,c,R为口”。外接圆半径,贝!!

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+C2-2bccosA；

a_____b_____c___

内容22；

sinA-sinB-sinC-b+a-2cacosB

c2=a2+b2-2abcosC

a—2RsinA,b=2RsinB,c—2RsinC；

22

a门b「cb^c-a

sinA=~^,sinB二方,sinC二方;

cosA-2bc；

aUbUc-sinA{AsinBUsinC；/+Q2_b2

变形

cosB-2ac；

asinB-hsinA,

a2+b2-c2

bsinC=csinB,cosC~2ab

asinC=csinA

1.两角一边求角上三边求角

使用条件

2.两边对应角2.两边一角求边

注意：上表中A为锐角时，a<bsinA,无解.A为钝角或直角时,a=b,a<b均无解.

知识点二..三角形常用面积公式

⑴S=^a-hu(hu表示边a上的高)；

(2)S=gabsinC=^acsinB=^hcsinA；

(3)S=y(a+b+•为三角形内切圆半径).

常用结论

,,A+Bnr

I.三角形内角和定理：在口/8。中，A+B+C=n］变形：-y-=5-万

2.三角形中的三角函数关系

A+BQA+BQ

(l)sin(A+B)=sinC.(2)cos(A+B)=-cosC.(3)sin-5-=cosy.(4)cos~-=sin

3.三角形中的射影定理

在［J4BC中，〃=bcosC+ccosB；h=acosC+ccosA；c-hcosA+acosB.

4.三角形中的大角对大边

在ABC中,dzEUa之殳1包4420切旦

但题型分类

题型1利用正余弦定理判断三角形形状

【方法总结】

(1)判断三角形形状的方法

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.

②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用Z+8+C=TT这个结论.

(2)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.

【例题1】(2021春•吉林白城•高一校考阶段练习)若(ZZ7+D+Z7)(Z7+□一D)=3口口,且sinO=

2sin/7cos£7,那么△□□□是()

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】化简（O+D+。）（。+□-口=3。0,结合余弦定理可得0=f，再利用正余弦定理对sin。=

2sin〃bosO化简可得。=口,从而可判断出△02。的形状

【详解】由（。+D+0）（0+□-口=3口口,得（。+一=3口口,

化筒得仃+仃一U=口□,

所以由余弦定理得cosO==黑=；，

因为Z7e（0,。，所以。=§,

因为sin£7=2sinZZfcos£7/

所以由正余弦定理角化边得□=22炉妥炉,化简得炉=炉,

所以口=口,

所以△。0％等边三角形，

故选：B

【变式1-1]1.（2023春・四川内江•高一四川省内江市第六中学校考开学考试）已知△口£706勺内角

口,□,。所对的边分别为。，口，口，下列四个命题中正确的命题是（）

A.若急=品=品，则△A定是等边三角形

B.若Ocos£7=Ucos口,贝必。口>定是等腰三角形

C.若比os£7+cosO=Z7,IJIJA口口〉定是等腰三角形

D.若^+4-4>0,则4OOA定是锐角三角形

【答案】A

【分析】由正弦定理化边为角变形判断AB,举特例判断C,由余弦定理及锐角三角形的定义判断D.

【详解】由正弦定理品=昌=昌，若岛=岛=昌，则tanZ7=tanD=tan。，□口抽三隹

sinLJsinZ_/sinZ_/cosZ_7cos。cosz_/

形内角，所以。=口=口,三角形是等边三角形，A正确；

若Z7cos£7=UcosU,由正弦定理得sinCfcos£7=sinODOS£7,即sin2£7=sin2£7,

口,口€（0,n）,则2/7=2微2。+20=口，即Z7=+。=》三角形为等腰三角形或直角三角

形，B错；

例如£7=V5,□=）口=?满足。cosO+cos〃=D，但此时^。。不是等腰三角形，C错；

炉+炉-炉＞0时，由余弦定理可得cos0=4；篇炉＞0,即％锐角，但口,。是否都是锐角，不能

保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错.

故选：A.

【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断，解题时利用正弦定理、余弦定理进行边角转换后再进行

变形判断是常用方法，解题时注意三角函数性质的正确应用，如选项B,在由sin2O=sin2a导结论时不能

直接得出20=2D,否则会出现漏解,在判断三角形形状时，锐角三角形需要三个内角都是锐角，直角三

角形只有一个角是直角，钝角三角形只有一个角是钝角，它们判断方法有一些区别，这些是易错点.

【变式1-1]2.（2022・高一课时练习）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若笔=?=遮,

cosL/u

则该三角形一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】A

【分析】由余弦定理得到4（炉+炉-^）=炉（万+炉-4）结合9=V2得到厅=厅+仃，

判断出三角形为直角三角形.

【详解】••"3=0

口干胖」，coson,

:.UcosU=LJcosU,

由余弦定理可得：口乂乌M=口乂与茅，

整理可得：行（行+炉-厅）=D2（炉+仃-,①

等包

，炉=2D2,②

由①②得4=34=4+炉，

,该三角形是直角三角形.

故选：A

【变式1-1]3.（2022春・吉林长春•高一长春吉大附中实验学校校考期末）在4口口。中,角口,口,Ofi勺对

边分别为□口口已知三个向量万=（O,cos^）,D=（O,cos^）,0=（acos^）共线，则^□□口

形状为（）

A.等边三角形B.钝角三角形

C.有一个角是名的直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】由向量共线的坐标运算可得0cos曰=Ocosg,利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理

可得sin，=5呜，结合角的范围求得。=口,同理可得£7=□,则答案可求.

【详解】•.•向量斤=（Qcos-y）,□=（£7,cos当共线，:ZZZcos-y=Ocosy,

由正弦定理得：sinZJcosy=sin/Jcosy,

r\口口口介口口口mil口口

・・贝•

•2sin2-cos-2c2os--=22sm2—cos2-c/os—,2Usin^2=sin-r

C.口,口八,口,口口口orir—j/—7

v0<-<—；0<—<Tr**•天=，即〃=〃.

22'22'22'

同理可得O=

•••△。。颐状为等边三角形.

故选：A.

【变式1-1]4.（2023・高一课时练习）在小口□*,sinO=挈弹,则4口。。的形状为.

【答案】直角三角形

【分析】利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，得到44+行，由此判断出三角形005勺形状.

【详解】因为sin〃=9需吗

C0SL/+C0SZ-/

口士口

据正、余弦定理得：□=

浮+舁与存+存_存'

-2DO--十■-2UD-

炉+炉-炉+炉+炉-炉

=0+0,

2D20

即0（4+4一+口3+炉一仃）=2£70（£7+£7）,

化简得：DC?+口仃=□□（□+0+炉+,

•­•（口+D）/Zp—□□（口+£7）+（口+CJ）（-口口+ZZ^）,

•'•=□□+ZJ^-□□+

即炉=厅+行，

所以△ooa为直角三角形.

故答案为：直角三角形.

【变式1-1]5在“比中,若(a-ccos5)sinB=(b-ccos0sinA,判断“8C的形状.

【答案】为直角三角形或等腰三角形

(用+螟-加]

【解析】...(a-ccosm・sinB-(b-ccos/I)sinA，，由余弦定理可得：a-c-b-

、2ac,

整理得：(a2+ZJ2-d)按=(#+b2-c2)#,即(a2-〃)(>+Z>2-c2)=0,/.a2+2?2-£2=0或<32=岳.

./+勿=^或a=匕故为直角三角形或等腰三角形

【变式1-1】6.(多选)(2023•全国•高一专题练习)在A。。。中,角aa。所对的边分别为aa口，下

列说法中正确的是()

A.若□>□，则sin》sin£7B,若鸟=二，则△口0力等腰直角三角形

COSZ-ZCOSZ_/

c.*..若tan£7+tanZ7+tanO<0,贝必£70R钝角三角形

sin/_/sinZ-/t-sinZ_/

【答案】ACD

【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形的面积公式，比例的等比性质的应用判

断结论.

【详解】对于A,若U>U,所以60,利用正弦定理可得2Ufein62UteinO,所以sinOsin口，故A正

确；

对于B,由于一,利用正弦定理可得sin/Ztos子sin/Z7cos。，整理得;sin2ZZ7=!sin2Z7,即

COS口C0SL722

sin26sin2Z27,所以2氏2谈£7+2，所以氏，0+6,所以A£7£7班等腰三角形或直角三角

形，故B错误；

对于C,由正弦定理与=鸟=3=2。，所以-^刁="警笋=26g,故C正确；

sin£7sin£7sin£7sin£7♦-sinZI7sin£7*-sin£7sin£7

对于D,由于tan£7+tan£7+tanZ7co,

所以tanZ7+tanZ7+tanO=tan(Z7+。)0-tan/jtanZT)+tanZ7

=-tanZZ7+tanZZ7+tanOanZZAanZ7=tanOanOanZZ7<0,

因为。<口,口,口5,所以aaO中必有一个钝角，故△口口取钝角三角形，故D正确.

故选：ACD.

【变式1-1]7.(2023•高一课时练习)在4，已知2%in0=(2。+0sin。+(2。+Osin。.

⑴求口；

(2)若sinZZ7+sin£7=1,判断△ZZ7OUM形状.

【答案】⑴9

(2)A0是等腰的钝角三角形

【分析】(1)由正弦定理边化角，再结合余弦定理，可求出角A的余弦值.

(2)利用三角形内角和关系计算出B、C角,根据角度判断三角形形状.

【详解】(1)由正弦定理得24=(2ZZ7+£7)0+(20+口口=2万+2D2+2口□;

,•・余弦定理炉=仃2-20cos£7

：2口口=-AUUcow□，:cos口=一；,

而a为三角形内角，，口=与

(2)△口口收，□+口+口=穴「：□=y,.'.O6(of

sinZZ7+sin£7=sin£7+sin(£7+g)=^sinZZ7+yCosZ7=sin(/Z7+；)=1,

n_TT2n-n„n

因为彳V口+-<•--.*.£7——i：，□—q,

i，333r66

ODO是等腰的钝角三角形.

题型2多三角形问题

【方法总结】

(1)在多三角形中，隐含条件是邻补角NADC与NADB,邻补角的正弦值相等，余弦值互为相反数；

(2)三角形外找关系，三角形内用定理。

♦类型1三角形角平分线

【例题2-1](2022春•江苏宿迁•高一沐阳县修远中学校考期末)在^口□/，内角A,B,C所对的边分

别为a,b,c且满足箸=1+鬻.角A的内角平分线交£7。于点M,若。0=200,则袈=()

UtanZJLJLJ

A.IB.1C.1D.2

322

【答案】A

【分析】由条件及三角形中角的关系，结合正弦定理先求出角O,由三角形的内角平分线定理可得。o=

2UD,然后在△DLJU.A口口内,分别利用余弦定理结合180°,用表示出

口□,口口，从而可得出答案.

彳,sinODOS£7sin/Zfcos/Z7+sinZZfcos£7_sin(£7+ZI7)

【详解】由条件有：号=1+--=--

smtJ------smZZfcosZJsin/Zfcos/7sinO:os£7

cosZ7

又sin(ZZ7+D)=sin(ZZ7-D)=sinGsin匚7>0,sinZ7>0,则卷署=siM；s/7，

即cosO=J又。e(0,。，则O=§

由口。为NZJDB）角平分线，则等=学=2,即口。=2口口

她乙□□口=乙□□□=30°

口日+口行-口存_V3

在仆ZZ7ZZ7cH□,cos乙口□口=

—2•□口•口□——~2

舆口己+皿-口壮=圾口口•口口①

口仔+口厅一口厅

在在△ZZ7Z7。中，cosz□□□-

2•□口,□口~

□nf+ucf-ucf_4口人口厅-4口日

在^UDU^,cosiLJUU=

-2•□口□□—-4•口口□□―

由/□□□+/□口□=18。。，则叱.匿尹+4叱金必=°

化简得到：口曰=2-2口U②

将②代入①可得:号□□③

将③代入②可得：口口=y口口,所以□口=圾□口

心、□口警口口2

所以方E□口3

故选：A

【变式2-1]1.（2022春•江苏苏州•高一校联考期末）已知△皿内角A,B,C的对边分别为a,b,

c-不sin。,%nO_.

J''WtsinO+sin。十DsmD+Ds\nD~

(I)求角C；

(2)CD是N口〃。5勺角平分线，巷口口=当,△。口2勺面积为2百，求c的值.

【答案】(1)0=亨；

(2)0=2V3

【分析】(1)先由正弦定理得品+万盘=1，化简整理得2-仃=口口,再由余弦定理求得

cos/7,即可求解；

(2)先由面积求得。/7=8,再由角平分线得携=9,结合平面向量得吊=盛用+品方吃平

方整理求得O+Z7=6,再由(1)中。2+4-仃=O0BU可求出c的值.

【详解】(1)由正弦定理得岛+万晶5=1,即岛+岛=1，整理得□(□+口+□(口+口=

(ZZ7+ZZ7)(ZZ7+ZZ7)；

化简得炉+d-吁=口口,由余弦定理得cosO=器"=J又。6(0,。)，则。=亨；

(2)

由面积公式曙口加□=；DOx4=2愿，解得8,又CD是NOZ7次勺角平分线,则老盘=

小—□□—□□

N0

即携=刍，则用=苗+用=用+岛历=西+岛(京一词=篇玩+

岛历，

所以无2=(品用+品西2=白亩+苦用.无+扁山，即畀

仃仃2口□门口1D2―

ULJ

(。+。2+(U+D)2•*2+(Z7+02，

整理得£=普圣，又□□:8，解得口+。=6,则^+仃=（。+。2-2口口=20,

由（1）知4=厅+炉一口口=20-8=12,则£7=2V3.

【变式2-1]2.（2022•全国•高T成期作业）在&ABC中，内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且

满足Ocos等=DstnU.

Q）求A的大小；

⑵若。=26，nn-nn=|,AD是&ABC的角平分线，求AD的长.

【答案】⑴字；

⑵半.

【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再由三角恒等变换化简即可求出角A;

（2）由数量积公式可得OO,再由余弦定理求出口+Z7,根据三角形面积公式利用么—

么8。建立方程求解即可•

【详解】（1）因为。cos^=Bn。，

.,.sin/ZZsiriy=sinZZfein/17,

因为Oe（0,。，所以sin£7>0,

所以si吟=2si吟8s字,又。e（0,0）,

£1

=

22-

所以当=苧，即。=竽

(2)由无•力=|,得ZJZJcosg=I,

:.□口=3,又ZZ7-2V3,

.,.仆=/j2+zz^-2UUcosn=(n+u)2-2nn+□□=12,

可得o+a=V12T3=V15,

:□>□□□=□>□□□+□>□□□，

••■i皿谭=\sin*sinf,

£7Bn苧

所以□口=3手

(£7+Osin]V,

【变式2-1]3.（2022春・江苏苏州•高一校考期末）如图，设4005□的角A,B,C所对的边是a,b,

c，口叫4口口中俑平分线，已知3=1,云=/+（云，器溜=1点E,F分别为边

口□，。。上的动点，线段。侬OO于点G,且4。。蜜勺面积是^OZ7O面积的一半.

（1）求边00的长度；

（2）当用•无=皆时，求4002勺面积.

ZO

【答案】（1）々

⑵鬻

【分析】（1）根据落-==5,可求得。，再根据为NOOB）角平分线，结合平面向量基本定理

可求得。，再根据余弦定理即可得出答案；

（2般[JDD^DD=DDD^DD=LJOO,0<D,D,D<1）根据△勺面积是^□□口

面积的一半，可得。。=；,再根据历=，结合E,F,G三点共线，求得O,再根据

244

用=，可求得aa,从而可求得口。,即可求得。口,再根据三角形的面积公式即可得解.

【详解】（1）解：由鉴•噩=;,得3口=》

因为£76（0,0,所以£7=3；

因为。Z7为NZ7DG）角平分线，所以黑=转=%,

所以用=力晶，

又用=(方方+：无，所以g=3得。=3,

因为=ZZ^+/Zp—2口ZZ/cos,

所以。。=£7=V7;

(2)解：设用=DDD,OO=ODD,~DD=Z7On(0<C,Z7,D<1),

因为△OOOfi勺面积是仆ZZZ7O面积的一半，

所以g|£7。­|Z27Z7|sin£7=：xg|ZZ7ZZ7|•|OZ7|sinZ7,

所以口口=J①

□□-□□=1x3xcos-=\,

32'

由品=^DD+河，彳黠历=今用+指历，

因为E，F，G三点共线，所以士=言+焉，即口=短，

所以晶=.

44

又用=历-云=ODD-/JDD,

所以用.W=g/JDD+；配方)-(/JDD-ODD)

3______3___„2*1___„21____*■____„

=-ncnn-W--DDODEJJDDDDDDDD

444+-[4---~

_27£7-9£7

・120+40'

因为玩I.用=祗，所tx玩I.用=卷=言零，②

由①②解得口=;,□=1,

所以。=m，此时点F与点C重合；

因为用二市+!历，

44

____23

所以口口8-

所以苧；

4

由无=：无!得。。=竽，

所以口皿口=□□口=\乂口口乂口口乂sin30°=；x竽x3x]=^.

ZN/Nzo

♦类型2三角形中线

【例题2-2]（2022春河南驻马店•高一统考期末）设^DOO中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

AD为△□□阖边BC上的中线，且0=4,。=2,cosznnn=y,则口3。=.

/堂]回+咚

【分析】先求出sin/。。。,然后在△口□曲△£7。侬别利用正弦定理S\n4口□口=sinzZ7£7Z7

可得sin4口口口二人近□□口=当,再求出COSNOOO,再利用两角和的正弦公式可求出sinz£700=

20

___1

Sin（乙□□□+乙口□口）,从而可得。AOOO=54〃,。.

【详解】因为COSZ□□口=y,0<乙□□□<口,

所以sinN£7Z7O=Ji-cos2z£7Z7£7=Ji-1=y,

在4口口。中,由正弦定理得.口口=四,

sinz/Z7ZZ7£7sinz£7Z7Z7

sinzZ7Z7£7S\n乙□□口

在4口□集,由正弦定理得■

sinzZZ7O£7sinz£7ZZ7£7

sinzZZ7Z7£7sinz£7ZZ7Z7

因为sinN/Z7ZZ7O=An乙□□□,

所以两式相除，得sinNOZ7O=；sin/Z7O£7=

zo

因为0<乙□□□<口,所以0<乙□□□<y,

所以COSN£7S=小-&?£□□□=小_,=等，

所以sinN〃Z7ZZ7=An（乙□□□+乙□□□）=sinzZZ7£7ZZ/boszLJLJIJ+cos乙乙口□口

V3V33,V6V3/M+V2

=-T-X--+--X--=---,

r-.f-,1r-.11c47H+V27H+V2

所C以P□公□□□=-□>□□口=]X/x2x4x---=―--

E+鱼

故答案为：

-3-

【变式2-2]1.(2022春•北京•高一清华附中校考期末)△口口收，已知73cos停-司+cos停+0)=

0.。。边上的中线为口〃

⑴求Q

(2)从以下三个条件中选择两个，使^OOO存在且唯一确定，并求£7%口勺长度.

条件①:4-仃+"3口=0;条件②£7=6;条件③么口口〃=15Vs.

【答案】(1)口=苧

(2)选择条件②和条件③•，口口一,□口=电

【分析】(1)利用三角恒等变换对已知等式进行化简，即可求解；

(2)根据(1)的结果，利用余弦定理可判断条件①错误；根据条件②和条件③，利用三角形面积公式可

得£7=10利用余弦定理可得。=14，在△OOO中利用正弦定理可得sin。=当进而得到cos〃=卷，

在△中利用余弦定理可得V19.

【详解】(1)解：因为V3cos卷一匚7)+cos仁+。)=0,

贝!(cosgcosZ7+si吟sin。)+(cos?osO-sinysinZZ7)=0,

V3Qcos/Z7+ysin/Z7)+俘cosO-；sin0=V3cos/Z7+sin£7=2sin(□+穹=0,

又0<O<D,解得：□+%=口,故口=等

(2)解：由(1)得NS£7=竽，

又余弦定理得：co"□□口=门+后/=一]所以行+疗-疗=一□口,

而条件①中4-厅+4-30=0,所以口=-3,显然不符合题意，即条件①错误，

由条件②O=6,条件③□△□□口=:□En乙□□口=15V3,解得。=10,

由余弦定理可得44+4-2EJUcos乙□□□=36+100+60=196,所以。=14.

在^,由正弦定理可得与=口,解得sin。=誓，

sin£7sinzZ7Z7£714

又0<〃(与，所以cosO=M

因为£72为£7。边上的中线，所以口口=口口=7,

在4口口集,由余弦定理可得=口仃+口守-2DDx£70xcos/7=19,解得£7。=闻.

故。口=，4,口口=V19.

【变式2-2J2(2022春•福建泉州•高一统考期末应①Osin2£7=DsmU-®(2U-LJ)cosU=LJcosU；

③sir?。-sinOsin。+sin2Z7=siV/j这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

△。口a三个内角口,口,。的对应边分别为口口口,且满足

Q)求角B的大小；

⑵若D为边AC的中点，且0=3,0=4,求中线BD长.

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分.

【答案】Q)O=g

⑵S=苧

【分析】(1)若选①：由正弦定理把边化为角即可求解；若选②：由正弦定理把边化为角再结合三角恒等

变换求解即可；若选③：由正弦定理把角化为边，再结合余弦定理求解即可；

(2)由余弦定理求解即可

Q)若选①：Os\r\2U=ZZfein5J化为2ZZ7sinZZfcos£7=IJsin/J.

由正弦定理,可得2sinUfeinUfcos£7=sinZZfein/7,

因为&ZZ7w（0,Ti）,sinZZ7HO,sin〃H0,

所以cos£7=g,

因为,

所以。=g.

若选②：由正弦定理,可得2sinZ5bos。-sinZZ7cos/Z7=sinZZ7cosZ7

移项得2sinOcosZZ7=sinZZfcosZ74-sinZubosZZ7=sin(Z7+IJ)

BP2sinZZfcosZZ7=sin(TC-功=sinZZ7,

又因为Ow(°E)/sin。工0

所以cos〃=；，故口=1

若选③：由正弦定理，可得行-DD+炉=炉，

由余弦定理，可得cos£7=与笋=霆=；.

因为。e(0,TT),

所以

(2)由余弦定理，可得=Lf+LF-2UUCOSU=13,即。=VT5

因为D为边AC的中点，所以=口口=耳,

在4口口唧,由余弦定理，可得COSN〃〃£7=口2%消职■

£.1—11—1'LJLJ

在4口口冰,由余弦定理，可售CCS乙□口口=里禹芋,

因为4口口口+/.□□□=N,所以90S4□□口=-COSZ.UUD,

解得亨

【变式2-2]3.(2022春福建龙岩•高一统考期末)在^。口。中口，口,。的对边分别为口，口,口,

已知sin2。-sin2ZZ7=sin2ZZ7+sin/Jfein£7

⑴求^勺大小;

(2)若。=2UssU求口口边上的中线。。的长.

在"①历•无=-2;②周长为4+2g;③4£70。的面积为旧."这三个条件中任选一个填入上述空

格中.

【答案】⑴9

⑵3

【分析】(1)先由正弦定理得万-UU,再结合余弦定理求得cos。=-押可求解；

(2)先由O=2。的0结合正弦定理求得0==,□/；若选①，由数量积的定义求得27=4,再由

OO

余弦定理求解即可；若选②，由正弦定理结合周长求得。=0=2,再由余弦定理求解即可；若选③，由

面积公式求得4,再由余弦定理求解即可.

(1)

由正弦定理得02-仃=己+□口,又由余弦定理得cos〃=之螃二=慧=-］又Ow(0,。，则

口=竽

⑵

由正弦定理得sinD=2sin£7cos£7,即sin2£7=?,又£7e(0,2Oe(0,与，则20=与，O=今，则

□丁

若选①，~DD-~DD=|西」西cosO=-2,可得口口=4,又。=口,则。=口=2,由余弦定理

可得。行=口疗+口吁-2UH-□□•cowLJ,

即O行=1+4-2x1x4x(-^)=9,则£7£7=3;

若选②/由-^=—pj―/可得。:=sinO：sinZZ7：sin/Z7=V3：1:1,又ZZ7+□+口=▲+2V3=

smZ_/sinL/sinLJ

(2+V3)O,

可得£7=H=2，由余弦定理可得O万=W+口曰-2口口.□□-cos£7脚口厅=1+4-2x1x

4x(-g)=9,则S=3；

若选③虑口的£7=曰0£7=百，可得。0=4,又£7=。，则0=£7=2,由余弦定理可得04=

口仃+□日-□□-cosU,

即£7行=1+4-2x1x4x(-分=9,则£7/27=3.

【变式2-2]4.(2022春•四川成都•高一四川省成都市新都一中校联考期末)在SBC中，若□□=2杂),

口4,再从下列①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一确定，并求BC边上的

中线长.条件①：BC=2;条件②：口□□口=V3;条件③：AABC的周长为6.

【答案】答案见解析.

【分析】如果选择条件①或者③，可以分析得到三角形的解不唯一；如果选择条件②：先求出。=2,再利

用余弦定理求解.

【详解】解：如果选择条件①：由正弦定理得好黑,；.sinZZ7=g;口＞U..-.口=弥口,

—sini-jz.oo

2

所以三角形有两解，与已知不相符，所以舍去；

如果选择条件②：由题得:X2V3xZZ7x；=V5,.•・。=2.

由余弦定理得。=Jl2+4-2x275x2X，=2,所以N0/7/7=120°,

所以BC边上的中线^4+1-2x2x1x(-J)=V7.

所以BC边上的中线长为V7.

BD

如果选择条件③：由题得4=12+U-4>/3Oxy=D2-60+12（1）,

由O+£7=6—275（2）,解（1）（2）得0=6,£7=—273<0.

所以该三角形无解，与已知不相符.

【变式2-2]5.（多选）（2022春・湖北襄阳•高一襄阳五中校考阶段练习）△口口唧，内角A,B,C的

对边分别为a,b,c,£7=2,BC边上的中线£70=2,则下列说法正确的有：（）

A.3B.4+4=10C.注cos£7<1D./BAD的最大值为60°

5

【答案】ABC

【分析】利用向量的数量积公式，余弦定理及基本不等式对各个选项进行判断即可.

【详解】•.,用•无=（三+^）•（无一^）=^^一^^=4-1=3.A正确；

〈cos4□口□=-costUULJ,

・••炉+ZJ2=口己+口曰-2UD-□口，cos乙□□□++□仃-2口口,co”□□□

=2□仃+DLf+口仃=2x2?+1+1=10,故B正确；

由余弦定理及基本不等式得cos。=与会>^=1-备（当且仅当。=。时，等号成立），由A

选项知R7cos〃=3,.'.cos£7>1一昼=1一等巨，解得cosOz?，故C正确；对于D,cos乙□□□=

cosO

夸F=畸之噜=3当且仅当□=百时，等号成立）；2口口口〈2口口口，"口口口€转）,

又cos乙□□□?当,.'.ZBAD的最大值30。，D选项错误.

故选ABC

♦类型3一般型

【例题2-3】如图，在△ABC中，。是边AC上的点，且A8=AO,2A8=68。,BC=2BD，则sinC

的值为（）

B百

A在CD

36-T-V

【答案】D

【解析】设AB=c，则AO=c,BD-,3C=半

y/36

2242

c~+c——c~272

在A4BZ）中，由余弦定理得cosA=--------T—-,则sinA,在AABC中，

2c23亍

4c

£=g=岑,解得sinCV6

由正弦定理得

sinCsimnA2j26

3

【变式2-3】1.已知AABC,A5=AC=4,BC=2.点。为AB延长线上一点，BD=2,连结CO,

则A5OC的面积是____cosZBDC=—

【答案】当,空

AB2+BC2-AC242+22-421

【解析】由余弦定理可得，cos/ABC

2xABxBC2x4x2-4

由sir?ZABC+cos2ZABC=1所以sinZABC=>J\-cos2ZABC

S砧DC=~BDxBCxsinZDBC=gBDxBCxsin（"一ZABC）=gBDxBCxsinZABC

」x2x2x^=反.因为BD=BC,所以NO=NBCE>,所以Z/WC=NO+N3CD=2Z£>,

242

“vZABC11+cosZABC1+A回

cosZBDC=cos------=J------------=\———=----.

2V2V24

【变式2-3】2.如图A48c中，已知点D在BC边上,AD，AC,sinNA4C=逑，AB=3板，A