内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗达拉特旗第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

达旗一中高二年级开学摸底考试（数学）考试时间：120分钟总分：150分命题人：王浩审题人;王东一、单选题（每个小题5分，共40分）1.复数的虚部为（）A B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算和复数的虚部概念即可.【详解】，故该复数的虚部为2.故选：D.2.已知向量，，若，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示即可直接求得答案【详解】由，得，故．故选：D．3.已知，则（）A.4 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】首先求出，再将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因，所以，所以.故选：C4.设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】对ABD举出反例即可，对C根据线面垂直的性质即可判断.【详解】对A，若，，则或与异面，故A错误；对B，若，，则与可能相交、平行或，故B错误；对C，若，，则，又因为，则，故C正确；对D，若，，，当都与的交线平行时，满足题设条件，此时l//m，故D错误.故选：C.5.在上的值域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，再根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：，，即，故函数的值域为；故选：C.6.在中，若，，，则等于（）A B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】解：由正弦定理可得，，，，，或，故选：D7.若样本的平均数为10，方差为20，则样本的平均数和方差分别为（）A.20，35 B.20，40 C.15，75 D.15，80【答案】D【解析】【分析】根据平均数、方差的运算性质进行求解即可.【详解】由题得样本，的平均数为，方差为．故选：D8.某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有女员工39人，男员工21人，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则所抽取的所有员工的体重的方差为（）A.29 B.120 C.100 D.112【答案】B【解析】【分析】求出样本平均数，再根据分层抽样方差计算公式求出样本的方差.【详解】依题意，样本中所有员工的体重的平均值为，则样本中所有员工体重的方差.故选：B二、多选题（共3个小题，每题6分，全选对得6分，部分选对得3分，选错得0分）9.某运动员的特训成绩分别为：9，12，8，16，12，16，13，20，18，16，则这组数据的（）A.极差为12 B.众数为16 C.平均数为14 D.第80百分位数为16【答案】ABC【解析】【分析】按照从小到大的顺序将数据重新排列，再根据极差、众数、平均数、百分位数的定义即可得出结果.【详解】将数据从小到大排列可得：8，9，12，12，13，16，16，16，18，20；所以极差为，即A正确；其中16出现了3次，出现次数最多，所以众数为16，即B正确；平均数为，即C正确；因为，所以第80百分位数为第8个和第9个数的平均值，即，即D错误.故选：ABC10.对于复数（，），下列说法正确的是（）A.若，则为实数B.若，则为纯虚数C.若，，则在复平面上对应的点位于第四象限D.若，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形的面积为4【答案】AC【解析】【分析】根据复数的概念以及几何意义，结合圆的性质，可得答案.【详解】对于A，由，，则，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，由，则其在复平面上对应的点为，由，，则该点在第四象限，故C正确；对于D，，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形为以原点为圆心，以为半径的圆，则其面积，故D错误.故选：AC.11.的内角的对边分别为，则下列说法错误的是（）A.若，则B.若，，，则有一解C.若为钝角三角形，则D.若，，则面积的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】结合在上单调递减，可判定A错误；由正弦定理求得，结合，可判定B错误；若为钝角，得到，可判定C错误；利用余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式，可判定D正确.【详解】对于A中，由且，根据函数在上单调递减，可得，所以A错误；对于B中，若，可得，因为，所以，所以为锐角，可得有两解，所以B错误；对于C中，若为钝角三角形，可能为钝角，此时，所以C错误；对于D，若，可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以的面积有最大值，所以D正确．故选：ABC．三、填空题（每题5分，共15分）12.已知某班有男生25人，女生20人．为了解该班学生的体质健康情况，按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为9的样本进行调查．若样本按比例分配，则抽取的男生人数为________．【答案】5【解析】【分析】利用比例分配的分层抽样的性质直接求解．【详解】解：由比例分配的分层抽样得：男生应该抽取的人数为：．故答案为：5．13.在中，内角的对边分别为，且，则的面积为__________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理将角化边可得，再由余弦定理得到，即可求出，再由面积公式计算可得.【详解】由，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以的面积为.故答案：14.在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】利用三棱锥与长方体的外接球求法求解.【详解】由题意可知，可将该三棱锥在长方体中作出，所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，为外接球的直径，所以,所以外接球的半径为,所以三棱锥的外接球的表面积为，故答案为:.四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分）15.2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式．某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并记录得分（满分：100，所有人的成绩都在内），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）、众数及中位数．【答案】（1）（2）平均数72分，众数约为75（分），中位数为（分）【解析】【分析】（1）由所有频率之和为1列方程即可求解；（2）由频率分布直方图中平均数、众数以及中位数的计算公式直接计算即可求解.【小问1详解】由题意知，即，得．【小问2详解】由频率分布直方图可知这100人竞赛成绩的平均数约为（分）．众数约为（分）．前3组的频率为，前4组的频率为，所以中位数为（分）．16.已知直三棱柱中，，.（1）求证：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）首先说明，再由得到，即可证明平面，从而得证；（2）首先证明平面，利用勾股定理求出，再证明平面，最后由锥体的体积公式计算可得.【小问1详解】在直三棱柱中，，所以矩形为正方形，所以，又，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】由（1）可知，又，，平面，所以平面，又平面，所以，，因为，，所以，又，所以，又，，，平面，所以平面，显然平面，所以.17.如图，在直三棱柱中，，，．（1）求证：平面平面；（2）若，求点B到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再证面面垂直即得；（2）先证明，再利用三棱锥等体积转化即可求得点到平面的距离.【小问1详解】在直三棱柱中，底面，因底面，所以，又，平面,且，则平面，又平面，故平面平面.【小问2详解】因为，所以，又由（1）知，平面，平面，则，设点B到平面的距离为d，因为，即，解得，故点B到平面的距离为．18.已知，，分别为的三个内角，，的对边，且.（1）求角；（2）若，的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知根据余弦定理求解，然后根据特殊角的函数值求解即可；（2）结合完全平方和公式利用余弦定理求得，然后代入三角形面积公式求解即可.【小问1详解】由余弦定理，所以，又，所以.【小问2详解】因为，所以，因为，由已知得，故，故，所以.19.已知函数的最小正周期为，且当时，取最大值．（1）求，的值；（2）若，，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）结合三角函数周期的公式，求得的值，再结合题设，得到，