天津市宁河区芦台第一中学2025届高考数学二模试题含解析

PAGEPAGE20天津市宁河区芦台第一中学2025届高考数学二模试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共45分）一、选择题（本题共9个小题，每题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，有一个是正确的）1.已知集合，，则（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】先解得不等式,即,再依据并集的定义求解即可【详解】由题,,则,所以,则,故选：C【点睛】本题考查集合间的并集运算,考查解一元二次不等式2.设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】依据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行推断即可．【详解】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．3.某学校组织学生参与英语测试，成果的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是()A. B. C. D.【答案】B【解析】依据频率分布直方可知成果低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成果低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3.又因为低于60分的人数是15人，所以该班的学生人数是15÷0.3=50.本题选择B选项.4.已知函数，则函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，，其图像为一条直线；当时，，所以函数的图像为函数图像向左平移1个单位长度后得到的，故选D.考点：函数图像变换.5.已知抛物线的焦点与双曲线（，）的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线，求得，得到，再由焦点到渐近线的距离为，求得，进而得到，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.【详解】由题意，抛物线可化为，可得焦点坐标为，即双曲线的焦点坐标为，即，又由双曲线的一条渐近线的方程为，即，所以焦点到的距离为，所以，又由，所以双曲线的方程为.故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简洁的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.6.已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先依据对称性将自变量转化到上，再依据时单调递减，推断大小.【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，∵，∴，∴，，．∵当时，单调递减，∴，故选A．【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先依据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后依据函数的单调性，推断两个函数值或两个自变量的大小7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的改变.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“一一”，如图就是一重卦.在全部重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆依据古典概型的概率计算公式求解即可．【详解】解：由题，随机取一重卦有种取法，其中恰有3个阳爻有种取法，则该重卦恰有3个阳爻的概率，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，考查排列组合等基础学问，考查运算求解实力，属于基础题．8.已知函数的图象关于直线对称且，f(x)在区间上单调，则ω可取数值的个数为()A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】又三角函数的对称性及三角函数的值可得或，再结合三角函数的周期性可得，然后求解即可.【详解】解：由题设可知,,或,,则或，即或，又由已知有，即，则或，则的取值个数为2个，故选B【点睛】本题考查了三角函数的对称性及周期性的应用，重点考查了运算实力与分析实力，属中档题.9.已知函数的零点为，函数的最小值为，且，则函数的零点个数是（）A.2或3 B.3或4 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由题意可知，函数的零点个数，等价于方程或的根的个数，等价于函数的图象与直线，的交点个数，画图求解，即可.【详解】如图所示，因为函数的零点为所以．因为，所以或．因为函数的最小值为，且，画出直线，．则直线与必有两个交点，此时有2个实数根.即函数由两个零点．直线与可能有一个交点或无交点，此时有一个实数根或无实数根．综上可知：函数的零点有2个或3个．故选：A【点睛】本题考查函数零点的个数问题，属于较难题.第Ⅱ卷（非选择题，共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）10.已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值是________.【答案】2【解析】分析】由是纯虚数,则,求解即可【详解】由题,因为是纯虚数,所以,则,故答案为：2【点睛】本题考查已知复数类型求参数,一个复数是纯虚数,则虚部不为0,实部为011.在的二项绽开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】【分析】写出二项绽开式通项，通过得到，从而求得常数项.【详解】二项绽开式通项为：当时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.12.设直线与圆：相交于，两点，若，则______.【答案】【解析】【分析】将圆的方程化成标准方程，求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，利用勾股定理即可求解.【详解】圆的方程化为标准方程为，直线方程化为一般式为∴圆心，半径为∴圆心到直线的距离，∵∴解得∵∴故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题.13.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是.【答案】【解析】试题分析：由球的体积公式，得，解得,所以正三棱柱的高h=2R=4．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：，得，全部该正三棱柱的体积为.考点：1.球的体积；2.柱体的体积14.已知正实数a，b满意，则的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】由=2a++，代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数a，b满意2a+b=3，∴2a+b+2=5，则=2a++=2a+b+2+﹣4=1+=1+（）[2a+（b+2）]=1+（4+）=，当且仅当且2a+b=3即a=，b=时取等号，即的最小值是．故答案为【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特殊留意“拆、拼、凑”等技巧，使其满意基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误15.如图,菱形ABCD的边长为3,对角线AC与BD相交于O点,||=2,E为BC边(包含端点)上一点,则||的取值范围是_____,的最小值为_____.【答案】(1).(2)..【解析】【分析】时，长度最短，与重合时，长度最长．然后以)以O为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，设出点坐标，把向量数量积用坐标表示后可求得最小值．【详解】依据菱形性质可得OC,则BO.(1)作AF⊥BC,则AF,此时AE最短,当E与C重合时,AE最长,故,即||∈;(2)以O为原点,BD所在直线为x轴建系如图:则A(0,)B(,0),C(0,),D(,0),所以BC:y,设E(m,)则,其中m对称轴为m,故当m时最小,最小值为.故答案为：；．【点睛】本题考查向量的模和向量的数量积，向量模的范围可由几何图得出，而数量积的最值通过建立坐标系，用坐标运算把数量积表示一个函数，由函数学问求解．这样只要计算即可．三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（1）求的值（2）若（i）求的值（ii）求的值.【答案】（1）；（2）（i）;（ii）.【解析】【分析】（1）化简原式，干脆利用余弦定理求的值即可；（2）（i）由（1）可得，再利用正弦定理求的值；（ii）利用二倍角的余弦公式求得，可得，再由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果.【详解】（1）在中，由，整理得，又由余弦定理，可得；（2）（i）由（1）可得，又由正弦定理，及已知，可得；（ii）由（i）可得，由已知，可得，故有，为锐角，故由，可得，从而有,.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，肯定要娴熟驾驭并敏捷应用，特殊是二倍角公式的各种改变形式要熟记于心.17.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，，依据线面垂直的判定定理，即可证明.（2）由（1）可知，平面的法向量，确定平面的法向量，依据，求解即可.（3）设，确定，，依据直线与平面所成角的正弦值为，求解，即可.【详解】（1）因为平面，平面，平面所以，因则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，，，，，.所以，，.因为，.所以，又，平面，平面.所以平面．（2）设平面的法向量，由（1）可知，设平面的法向量因为，.所以，即不妨设，得．所以二面角的余弦值为．（3）设，即.所以，即.因为直线与平面所成角的正弦值为所以即解得即．【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于较难题.18.已知椭圆C:l(a>b>0)经过点(,1),且离心率e.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C相交于A､B两点,且满意∠AOB=90°(O为坐标原点),求|AB|的取值范围.【答案】(1);(2)[,2].【解析】【分析】（1）点的坐标代入可得一个关系式，离心率得，结合可求得，得椭圆方程；（2）当直线l的斜率不存在时,设直线l为:x=m,代入计算，当直线的斜率存在时,设直线为:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入椭圆中整理，由韦达定理得，代入得出的关系，计算，用换元法转化为求二次函数的取值范围得出结论．【详解】(1)由题意:e,1,a2=b2+c2,解得:a2=8,b2=4,所以椭圆的方程为:;(2)当直线l的斜率不存在时,设直线l为:x=m,A(x,y),B(,),代入椭中:y2=4(1),∠AOB=90°,∴0,∴x+y=m2﹣4(1)=0,∴m2,∴|AB|=|y﹣|=4;当直线的斜率存在时,设直线为:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入椭圆中整理得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=x+,x,=k2xx'+km(x+)+m2,∵∠AOB=90°,∴x+y=0,∴2m2﹣8+m2﹣8k2=0,∴3m2=8+8k|AB|,令t∈(0,1],所以|AB|,当t,g(t)=1(t2﹣t)最大为,t=1时,g(t)取得最小值1,综上所述:|AB|的取值范围[,2].【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．19.已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满意（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和；（3）在数列中，是否存在连续的三项，按原来的依次成等差数列？若存在，求出全部满意条件的正整数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）;（2）;（3）在数列中，仅存在连续的三项，按原来的依次成等差数列，此时正整数的值为1.【解析】【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则,,又，，解得,∴对于，有,故.（2）.（3）在数列中，仅存在连续的三项，按原来的依次成等差数列，此时正整数的值为1，下面说明理由.若，则由，得,化简得，此式左边为偶数，右边为奇数，不行能成立.若，则由，得,化简得.令，则.因此，，故只有，此时.20.已知函数(1)求证:当时,对随意恒成立;(2)求函数的极值;(3)当时,若存在且,满意,求证:.【答案】(1)见解析(2)微小值,无极大值.(3)见解析【解析】【分析】（1）求导得到，即，函数单调递增，得到证明.（2），探讨和两种状况，分别计算极值得到答案.（3）在上为增函数，当时不成立，不