2025年高考数学复习大题题型归纳：专题09 立体几何平行垂直的证明和定义法求空间中线与角的问题（原卷）

专题09立体几何平行垂直的证明和定义法求空间中线与角的问题1．如图，在多面体ABC−DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2，侧面ACGD是正方形，DA⊥平面ABC，且FB∥GC，GE⊥DE

(1)证明：AE⊥GE．(2)若O是DG的中点，OE∥平面BCGF，求直线OE与平面BDG所成角的正弦值．2．如图，在三棱柱ABC−A1B1C

(1)证明：AC⊥B(2)若AB=BB1=2，AB1=6，∠ABC=120°3．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”

如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD；

(1)若AB=1，BC=2，CD=1，试求异面直线AC与BD所成角的余弦值.(2)若BD⊥CD，AB=BD=CD=2，点P在棱AC上运动.试求△PBD面积的最小值.4．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD=AD=1，PD⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且EF⊥PB．

(1)求证：PA//平面EDB；(2)求点F到平面EDB的距离．5．如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD=90°，AB=1，AD=2，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P为DF的中点，AN⊥CF，垂足为N．

(1)求证：AN⊥平面CDF；(2)求异面直线BF与PC所成角的正切值；(3)求三棱锥B−CEF的体积．6．如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=PB，底面ABCD是边长为2的菱形.

(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若PD⊥AB,PA⊥PC，且∠BAD=π3，求四棱锥7．如图，在三棱柱ABC−A1B1C

(1)证明：平面ACB1⊥(2)求二面角A−A8．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AC=BC,AB=BB1=4,E

(1)当λ=12时，求证：EF∥平面(2)当三棱锥C1−ABF的体积为839．如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形

(1)证明：B,(2)若AB=AA1=2,∠DAB=π310．如图所示，已知三棱台ABC−A1B1C1中，AB1⊥B

(1)求二面角A−B(2)设E, F分别是棱AC, A1C1参考公式：台体的体积公式为V台体11．如图，在四棱锥P−ABMN中，△PNM是边长为23的正三角形，AN⊥NP，AN∥BM，AN=33，BM=3，AB=26，C，(1)求证：CD∥平面PBM(2)求四棱锥P−ABMN的体积.12．如图所示，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，

(1)证明：BC⊥B(2)若B1M⊥CM，求四棱柱13．在四棱锥P−ABCD中，△BCD为等边三角形，∠DAB=120°，AD=AB=PD=PB=2，点E为PC的中点．

(1)证明：BE//平面PAD；(2)已知平面PBD⊥平面ABCD，求三棱锥P−ABE的体积．14．如图，平面多边形ABCDE，EA=ED=AD=2BC=2，BC//AD，CD⊥AD，∠BAD=π3，将△ADE沿着AD翻折得到四棱锥P−ABCD，使得PB=6，F、G分别是PB

(1)证明：FG//平面PAD；(2)求点G到平面PAB的距离．15．如图，矩形ABCD所在的平面与平面ABE垂直，且AE⊥BE.已知AB=2AD=2BE=2.

(1)求证：BE⊥DE；(2)求四棱锥E−ABCD的表面积.16．已知四棱锥P−ABCD的底面是正方形，AC∩BD=O,PA=PD=5,PO=3，AD=2,E

(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；(2)若PE=2EC，求点A到平面BDE的距离．17．在三棱锥O−ABC中，AB=BC=OB=2,∠ABC=120∘，平面BCO⊥平面ABC，且

(1)证明：OB⊥AC；(2)若F是直线OC上的一个动点，求直线AF与平面ABC所成的角的正切值最大值.18．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，△PAB为等边三角形，且PA=2，PC⊥CD，O为

(1)若E为线段PC上动点，证明：AB⊥OE；(2)求点B与平面PCD的距离．19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，AD//BC,AF//BE，DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，AD=AB=2BC=2BE=2，G在AF上，且AG=1．(1)求证：BG//平面DCE；(2)若BF与CE所成的角为60°，求多面体ABCDEF的体积．20．如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个空间五面体，如图2．(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO//平面GCF(2)若∠AEB=2π3，求三棱锥21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.

(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)求二面角A−BF−C的平面角的余弦值；(3)若点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cosθ22．直四棱柱ABCD−A1B1C1D1，AB∥DC，AB⊥

(1)求证：A1(2)若四棱柱体积为36，求二面角A123．如图；在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=3，BC=AA

(1)求证AC⊥BC(2)求三棱锥A124．如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1，AA1=3，

(1)求AEAB(2)当正四棱台ABCD−A1B1C25．已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，半径为2，母线SA､SB的长为22，∠AOB=90°且M为线段AB

(1)证明：平面SOM⊥平面SAB；(2)求直线SM与平面SOA所成角的大小．26．如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB=6，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC(1)求证：PA⊥BC；(2)求PC的长度；(3)求二面角P−AC−B的大小．27．在图1中，△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，AB=22，△ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且EC=2BE，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，OE，使得FB=4

(1)证明：FO⊥平面ABC；(2)求点A到平面OEF的距离.28．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，AE//CF，AB=AE=2CF=2m.

(1)若G为AE的中点，求证：CG//平面DEF；(2)若多面体ABCDEF的体积为32，求m的值.29．如图，△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM，四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，且AB=2BC=2CM=2，平面ADM⊥平面ABCM．(1)求证：AD⊥BM；(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M−ADE的体积为21830．如图，在几何体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与平面ABCD互相垂直，且AB=BC=BF=1，AD=CD=3，EF=2

(1)求证：BC⊥平面CDE(2)求二面角E−AC−D的平面角的余弦值．31．如图1所示，在长方形ABCD中，AB=2AD=2，M是DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM，如图2所示，在图2中．

(1)求证：BM⊥平面ADM；(2)求点C到平面BMD的距离．32．如图，四边形ABCD为菱形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，BD=ED=2FB.

(1)求证：平面BDEF⊥平面AFC；(2)记三棱锥A−EFC的体积为V1，三棱锥A−BFC的体积为V2，求33．在直角梯形ABCD中（如图一），AB//DC，AD⊥DC，AD=DC=12AB=2.将△ADC

(1)求证：平面ABC⊥平面ADC；(2)设E为线段AB的中点，求点E到直线CD的距离.34．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=AD=2，BC=22，将△ABD沿BD翻折至

(1)求证：平面A'BD⊥平面(2)若F，H分别为BC，A'C的中点，求三棱锥35．已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AP，平面PCD⊥平面ABCD,PD=AD.

(1)若H为AP的中点，证明：AP⊥平面HCD；(2)若AB=1,AD=5,PA=22，求平面PAB36．在图1中，△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，AB=22，△ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且EC=2BE，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得FB=4

(1)证明：FO⊥平面ABC．(2)求二面角E−FA−C的余弦值．37．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，AA1＝4，点E为棱AA1的中点．

(1)求证：BE⊥平面EB1C1；(2)求点A到平面CEB1的距离．38．已知直棱柱ABCD−A1B1C