考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷6（共258题）

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷6（共9套）（共258题）考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设X1，X2，…Xn是取自总体X的简单随机样本，记EX＝μ，DX＝σ2，DS＞0，则A、S是σ的无偏估计．B、S2是σ2的无偏估计．C、是μ2的无偏估计·D、是EX2的无偏估计．标准答案：B知识点解析：从上题知S2是无偏估计，应选(B)．进一步分析DS＝ES2一(ES)2>0(ES)2≠ES2＝σ2ES≠σ．σ2＋μ2≠μ2，2、设是从总体X中取出的简单随机样本X1，…，Xn的样本均值，则是μ的矩估计，如果A、X～N(μ，σ2)．B、X服从参数为μ的指数分布．C、P{X＝m}＝μ(1一μ)m－1，m＝1，2，…D、X服从[0，μ]上均匀分布．标准答案：A知识点解析：若X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，μ的矩估计为，应选(A)．若x服从参数为μ的指数分布，则，μ的矩估计；对于选项(C)，X服从参数为μ的几何分布，EX＝，μ＝的矩估计；对选项(D)，EX＝，μ＝2EX，于是μ的矩估计．3、假设总体X的方差DX＝σ2存在(σ>0)，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其方差为S2，且DS＞0，则A、S是σ的矩估计量．B、S是σ的最大似然估计量．C、S是σ的无偏估计量．D、S是σ的相合(一致)估计量．标准答案：D知识点解析：由各选项中概念的定义及知，正确选项是(D)，这是因为σ2DX的矩估计量，因而S不是σ的矩估计量，(A)不成立；题中未对X的分布做出假设，因此σ的最大似然估计量是否存在不知，(B)不成立。如果S2是σ2的最大似然估计量，根据最大似然估计的不变性，可以断言S是σ的最大似然估计量，选项(B)成立，否则选项(B)不成立．如果S是σ的无偏估计即ES＝σ，由此得(ES)2＝σ2，又ES2＝σ2，所以DS＝ES2一(ES)2＝0，与假设矛盾，所以(C)不成立，因此选(D)．事实上，由大数定律及依概率收敛性质知故，即S是σ的相合估计量．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、设X1，X2，…Xn是取自总体X的简单随机样本，是总体方差σ2的无偏估计量，则a＝_______，b＝______．标准答案：知识点解析：样本方差是总体方差σ2的无偏估计，所以5、设总体X服从(a，b)上的均匀分布，X1，X2，…Xn是取自X的简单随机样本，则未知参数a，b的矩估计量为＝______．＝______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)6、设总体X的概率分布为其中p(01，x2，…xn是总体X的一组样本观测值．(I)试求参数p的矩估计量和最大似然估计量；(Ⅱ)验证相应两个估计量的无偏性．标准答案：(I)矩估计＝p，故p的矩估计量．最大似然估计：似然函数解得p＝，故p的最大似然估计量(Ⅱ)由于，要证无偏性只要验证即相应的估计量均为无偏估计量．知识点解析：暂无解析7、设总体X的概率密度为f(x，α，β)＝其中α和β是未知参数，利用总体X的如下样本值一0．5，0．3，一0．2，一0．6，一0．1，0．4，0．5，一0．8，求α的矩估计值和最大似然估计值．标准答案：由f(x；α，β)≥0和f(x；α，β)dx＝1，得到α≥0，β≥0且α＋β＝1.于是(I)求矩估计值．由于而(－0．5＋0．3－0．2－0．6－0．1＋0．4＋0．5－0.8)＝，令E(X)＝，解得α的矩估计值．(Ⅱ)求最大似然估计值．由于在给定的8个样本值中，属(一1，0)的有5个，属[0，1)的有3个，故似然函数为令，解得α的最大似然估计值(显然这时L(α)最大)．知识点解析：暂无解析8、已知总体X服从瑞利分布，其密度函数为X1，…，Xn为取自总体X的简单随机样本，求θ的矩估计量，并问这个估计量是否为无偏估计量?标准答案：记EX＝μ，DX＝σ2，则由等式，因此参数θ的矩估计量为由于样本均值与总体X的期望相等，因此，计算可知是θ的有偏估计量．知识点解析：暂无解析9、接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行n(n≥1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为k1，k2，…，后，试求命中率P的最大似然估计值和矩估计值．标准答案：依题意，总体X服从参数为p的几何分布，即P{X＝k}＝p(1－p)k－1，k＝1，2，…，由于EX＝，所以p的矩估计值．样本(k21，k2，…，kn)的似然函数L为L(k1，k2，…，kn；p)＝P{X1＝k1，X2＝k2，…，Xn＝kn}因此P的最大似然估计值知识点解析：暂无解析10、设X服从[0，6]上的均匀分布，X1，…，Xn为简单随机样本，求a，b的最大似然估计量．标准答案：设χ的样本观测值为x1，…，xn则似然函数显然，且b一a越小L值越大，但是{b≥xi，i＝1，…，n}＝{b≥max(xi，…，xn)}，同理{a≤xi，i＝1，…，n}＝{a≤(xi，…，xn)}，所以只有当b＝max{Xi}，a＝{Xi}时，L才达到最大值，故a，b的最大似然估计值分别为，从而可知其最大似然估计量分别是．知识点解析：暂无解析11、已知总体X的密度函数为其中θ，β为未知参数，X1，…，Xn为简单随机样本，求θ和β的矩估计量．标准答案：因此θ与β的矩估计量分别为知识点解析：暂无解析12、设总体X服从韦布尔分布，密度函数为其中α>0为已知，θ>0是未知参数，试根据来自X的简单随机样本X1，X2，…Xn，求θ的最大似然估计量．标准答案：设x1，x2，…，xn是样本X1，…，Xn的观测值，当Xi>0(i＝1，2，…，n)时其似然函数为因此θ的最大似然估计值为，最大似然估计量为．知识点解析：暂无解析13、设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从指数分布，概率密度为其中λ＞0未知．现从这批器件中任取n只在时刻t＝0时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效，试求λ的最大似然估计．标准答案：考虑事件A：“试验直至时间T0为止，有k只器件失效，而有n—k只未失效”的概率．记T的分布函数为F(t)，即有一只器件在t＝0时投入试验，则在时间T0以前失效的概率为P{T≤T0}＝F(T0)：1一；而在时间T0未失效的概率为P{T>T0}＝1一F(T0)＝．由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件A的概率为这就是所求的似然函数．取对数得lnL(λ)＝lnCnk＋kln(1一)＋(n一k)(一λT0)，于是A的最大似然估计为知识点解析：暂无解析14、设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，X1，X2，…Xn取自总体X的简单随机样本，，X(n)＝max(X1，…，Xn)．(I)求θ的矩估计量和最大似然估计量；(Ⅱ)求常数a，b，使均为θ的无偏估计，并比较其有效性；(Ⅲ)应用切比雪夫不等式证明：均为θ的一致性(相合性)估计．标准答案：(I)依题意总体X的密度函数、分布函数分别为令μ＝EX=，解得θ＝2μ，于是θ的矩估计量为．又样本X1，…，Xn的似然函数为L(θ)为θ的单调减函数，且O≤xi≤θ，即θ要取大于xi的一切值，因此θ的最小取值为max(x1，…，xn)，θ的最大似然估计量＝max(X1，…，Xn)＝X(n)．为求得b，必须求X(n)的分布函数F(n)(x)及密度函数f(n)(x)，由X(n)＝max(X1，…，Xn)得知识点解析：暂无解析15、设有一批同型号产品，其次品率记为P．现有五位检验员分别从中随机抽取n件产品，检测后的次品数分别为1，2，2，3，2．(I)若已知P＝2．5％，求n的矩估计值；(Ⅱ)若已知n＝100，求P的极大似然估计值；(Ⅲ)在情况(Ⅱ)下，检验员从该批产品中再随机检测100个产品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于3的概率．标准答案：记X为n件产品中的次品数，则X～B(n，P)．(Ⅰ)由＝EX＝np，即＝2.5%n，得＝80.(Ⅱ)(Ⅲ)在情况(Ⅱ)下，X～B(100，)，由中心极限定理知X近似服从N(2，)，于是知识点解析：暂无解析16、假设批量生产的某种配件的内径X服从正态分布N(μ，σ2)，今随机抽取16个配件，测得平均内径＝3．05毫米，样本标准差s＝0．4毫米，试求μ和σ2的90％置信区间．标准答案：这是一个正态总体的区间估计，由于σ2未知，关于μ的置信区间公式为其中满足P{｜t(15)｜＞}＝0．1，查表可知t0.05(15)＝1．753，于是置信度为90％关于μ的置信区间为I＝(3.05－×1.753，3.05＋×1.753)＝(2.87，3.23)μ未知关于σ2的置信区间公式为其中(n一1)分别满足P{χ2(n－1)≥}＝0.05，P{χ2(n－1)≥1－}＝0.95，查χ2分布上分位数表得χ0.952(15)＝7．261，χ0.052(15)＝24．996，于是置信度为90％关于σ2的置信区间为知识点解析：暂无解析17、在测量反应时间中假设反应时间服从正态分布，一心理学家估计的标准差是0．05秒．为了以95％的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过0．01秒，应取的样本容量n为多少?标准答案：对于正态总体方差已知μ的置信区间为其中满足P{｜U｜≥}＝0．95，U—N(0，1)，所以＝1．96对平均反应时间的估计误差为，解不等式因此应取的样本容量n至少为97．知识点解析：暂无解析18、某装置的平均工作温度据制造厂家称低于190℃．今从一个由16台装置构成的随机样本测得工作温度的平均值和标准差分别为195℃和8℃，根据这些数据能否支持厂家结论?设a＝0．05，并假定工作温度近似服从正态分布．标准答案：这是一个正态总体方差未知关于期望值μ的假设检验问题H0：μ≥μ0＝190；H1：μ<190如果能根据观测数据拒绝H0，就可以支持“低于190℃”的结论．选取统计量，当μ＝μ0时T～t(15)，这是一单边检验，其拒绝域应为R＝{T＜－tα(15)}＝{≤μ0－tα(15)}，其中P{｜T｜＞tα(15)}＝2α，P{T＜－tα(15)}＝α，T~t(15).查表得知tα(15)＝t0.05(15)＝1．753．拒绝域为R＝{T<一1．753}，计算统计量T的值根据样本观测数据不能拒绝H0，即不能支持厂家所称“平均工作温度低于190℃”的结论．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设X～N(μ，16)，Y～N(μ，25)，p1=P{X≤μ一4}，p2=P{Y≥μ+5}，则：A、对任意实数μ，有p1=p2．B、对任意实数μ，有p1＜p2．C、对任意实数μ，有p1＞p2．D、只对部分实数μ，有p1=p2．标准答案：A知识点解析：暂无解析2、设随机变量X，Y独立同分布，P(X=一1)=P(X=1)=，则A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)3、设X～B(2，p)，Y～B(3，p)，且P(X≥1)=，则P(Y≥1)=______．标准答案：知识点解析：暂无解析4、用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是次品的概率为，(i=1，2，3)．设这3个零件中有X个合格品(非次品即为合格品)，则P(X=2)=______．标准答案：知识点解析：暂无解析5、设随机变量X服从(-a,a)上的均匀分布(a＞0)，且已知P(X＞1)=，则a=_____，D(X)=______标准答案：3．知识点解析：暂无解析6、随机变量X的密度为：且知EX=6，则常数A=______，B=______．标准答案：知识点解析：暂无解析7、设随机变量X，Y，Z相互独立，且X～N(4，5)，Y～N(一2，9)，Z～N(2，2)，则P{0≤X+Y—Z≤3}=______．(=0．7734)标准答案：0．2734．知识点解析：暂无解析8、对随机变量X，Y，Z，已知EX=EY=1，EZ=一1，DX=DY=1，DZ=4，ρ(X,Y)(X．Y)=0，ρ(X,Z)=，ρ(Y,Z)=．(ρ为相关系数)则E(X+Y+Z)=_______，D(X+Y+Z)=________，cov(2X+Y，3Z+X)=________标准答案：E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ=1，D(X+Y+Z)=DX+DY+DZ+2cov(X，Y)+2coy(X，Z)知识点解析：暂无解析9、设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如表)．其中α，β未知，但已知E(Y)=，则α=______，β=_______，E(X)=_______，E(XY)=_____．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设(X，Y)在D：|x|+|y|≤a(a＞0)上服从均匀分布，则E(X)=_____，E(Y)=_______，E(XY)=______．标准答案：0,0,0知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)11、设飞机引擎在飞行中正常运行的概率为p，且各引擎是否正常运行是相互独立的．如果有至少50％的引擎正常运行，飞机就能成功飞行．问对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更可取?标准答案：设4引擎与2引擎飞机分别有X与Y个引擎正常工作，则X～B(4，p)，Y～B(2，p)，P(X≥2)=1一(1一p)4一4p(1一p)3，P(Y≥1)=1一(1一p)2，由P(X≥2)≥P(Y≥1)，而0＜p＜1，可解得p≥．知识点解析：暂无解析12、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为问X与Y是否独立?|X|与|Y|是否独立?标准答案：关于X的边缘密度为fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy．若|x|≥1，则fX(x)=0；若|x|＜1，则fX(x)=关于Y的边缘密度为fY(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx即X与Y不独立．而(|X|，|Y|)的分布函数为F(x，y)=P{|X|≤x，|y|≤y}当x≤0或y≤0时，f(x，y)undefinedundefinedundefined知识点解析：暂无解析13、设随机变量X，Y，Z独立，均服从指数分布，参数依次为λ1，λ2，λ3(均为正)．求P{X=min(X，Y，Z)}．标准答案：由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度为知识点解析：暂无解析14、函数是否可以是某随机变量(X，Y)的分布函数?为什么?标准答案：令a=c=0，b=d=2，则a＜b，c＜d，但F(b．d)一F(a，d)-F(b，c)+F(a，c)=1—1-1+0=一1＜0，可见F(x，y)不是随机变量的分布函数．知识点解析：暂无解析15、设X～U(0，1)且X与Y独立同分布，求的分布函数(U(0，1)表示区间(0，1)上的均匀分布)F(u)．标准答案：由题意，(X，Y)的概率密度为u≤0时，F(u)=0；u≥1时，F(u)=1；其中G见图1中阴影部分；其中D见图2中阴影部分．知识点解析：暂无解析16、设区域D为：由以(0，0)，(1，1)，为顶点的四边形与以为顶点的三角形合成．而(X，Y)在D上服从均匀分布，求关于X和Y的边缘密度fX(x)和fY(y)．标准答案：易算得D1的面积为，D2的面积为故D的面积为∴(X，Y)的概率密度为∴fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy当x≤0或x≥1时，fX(x)=0；而fY(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx．当y≤0或y≥1时，fY(y)=0；知识点解析：暂无解析17、设X服从参数为2的指数分布，求Y=1-e-2x的概率密度fY(y)．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设一电路装有3个同种电气元件，它们工作状态相互独立，且无故障工作时间均服从参数为λ的指数分布(λ＞0)，当3个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作．求电路正常工作的时间T的密度f(t).标准答案：记X1，X2，X3为这3个元件的无故障工作的时间，则T=min(X1，X2，X3)的分布函数为FT(t)=P(T≤t)=1一P{min(X1，X2，X3)＞t}=1一[P(X1＞t)]3=1-[1一P(X1≤t)]undefined知识点解析：暂无解析19、设随机变量X的密度为f(x)=一∞＜x＜+∞，求E[min(1，|X|)]．标准答案：知识点解析：暂无解析20、已知随机变量X与Y独立，且X服从[2，4]上的均匀分布，Y～N(2，16)．求cov(2X+XY，(Y-1)2)．标准答案：cov(2X+XY，(Y一1)2)=cov(2X+XY，Y2一2Y+1)=cov(XY，Y2一2Y)=cov(XY，Y2)一2cov(XY，Y)=E(XY3)一E(XY)E(Y2)一2EE(XY2)一E(XY).EY]=EX.EY3-EXEYEY2-2[EXE(Y2)一EX(EY)undefined知识点解析：暂无解析21、随机变量X可能取的值为一1，0，1．且知EX=0．1，EX2=0．9，求X的分布列．标准答案：由题意，X的分布列可设为：且知：a+b+c=1，0．1=EX=一a+c，0．9=E(X2)=(一1)2.a+12.c=a+c．可解得a=0．4，b=0．1，c=0．5，代回分布列表达式即可．知识点解析：暂无解析22、在△ABC中任取一点P，而△ABC与△ABP的面积分别记为S与S1．若已知S=12，求ES1．标准答案：如图建立坐标系，设AB长为r，△ABC高为h，c点坐标为(u，h)．设△ABC所围区域为G，则G的亩积=12．又设P点坐标为(X，Y)，则随机变量(X，Y)在G上服从均匀分布，其概率密度为知识点解析：暂无解析23、袋中装有黑白两种颜色的球，黑球与白球个数之比为3：2．现从此袋中有放回地摸球，每次摸1个．记X为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数．求E(X)．标准答案：知识点解析：暂无解析24、已知线段AB=4，CD=1，现分别独立地在AB上任取点A1，在CD上任取点C1，作一个以AA1为底、CC1为高的三角形，设此三角形的面积为S，求P(S＜1)和D(S)．标准答案：记AA1长度为X，CC1长度为Y，则知X与Y为二相互独立的随机变量，分别服从区间[0，4]和[0，1]上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为其中D={(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤1}知识点解析：暂无解析25、设随机变量X在区间(一1，1)上服从均匀分布，Y=X2，求(X，Y)的协方差矩阵和相关系数．标准答案：X的概率密度为：故EX=0，EX2=DY=E(Y2)一(EY)2=E(X4)一(EX2)2=，cov(X，Y)=coy(X，X2)=E(X3)-EX.EX2=0，故知(X，Y)的相关系数ρ(X,Y)=0，协方差阵为知识点解析：暂无解析26、现有k个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共n+1层．电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再入电梯)．现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值．标准答案：i=2,3,…,n+1,而为电梯停的次数，故知平均停的次数为EX=知识点解析：暂无解析27、设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布．这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分别为100和150(小时)，而成本分别为c和2c元．如果制得的元件寿命不超过200小时，则须进行加工，费用为100元．为使平均费用较低，问c取值时，用第2种方法较好?标准答案：记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为X、Y，费用分别为ξ、η，则知X、Y的概率密度分别为：∴Eξ=(c+100)P(X≤200)+c.P(X＞200)=c+100p(X≤200)，Eη=(2c+100)P(Y≤200)+2cP(Y＞200)=2c+100P(Y≤200)，于是Eη一Eξ=c+100．[P(Y≤200)一P(X≤200)]=c+100，可见c＜时，Eη＜Eξ，用第2种方法较好(平均费用较低)．知识点解析：暂无解析28、设做一次实验的费用为1000元，如果实验失败，则要另外再花300元对设备调整才能进行下一次的实验．设各次实验相互独立，成功的概率均为0．2，并假定实验一定要进行到出现成功为止．求整个实验程序的平均费用．标准答案：设需进行X次试验，则所需费用为Y=1000+300(X—1)．而P(X=k)=0．8k-1.0．2，k=1，2，…，记g(x)=于是EX=，故EY=1000+300(EX一1)=2200(元)．知识点解析：暂无解析29、现有奖券100万张，其中一等奖1张，奖金5万元；二等奖4张，每张奖金2500元；三等奖40张，每张奖金250元；四等奖400张，每张奖金25元．而每张奖券2元，试计算买一张奖券的平均收益．标准答案：记X和ξ分别为买1张奖券的所得的奖金和净收益(单位为元)，则ξ=X一2，而X的概率分布为：知识点解析：暂无解析30、设随机变量(X，Y)～N(0，1；0，1；ρ)，求Emax(X，Y)．标准答案：E(X—Y)=EX—EY=0，D(X—Y)=DX+DY一2cov(X，Y)=1+1—2ρ=2(1一ρ)，∴X一Y～N(0,2(1-ρ)),知识点解析：暂无解析31、设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布且DX1=σ2，令，试求相关系数．标准答案：知识点解析：暂无解析32、设试验成功的概率为，失败的概率为，独立重复试验直到两次成功为止．设X为所需要进行的试验次数，求X的概率分布及E(X)．标准答案：P(X=k)=P{前k一1次试验中恰出现1次成功，第k次试验成功}=．k=2，3，…，设出现第1次成功时进行了ξ次试验，从第1次成功(不含)到第2次成功(含)进行了η次试验，则X=ξ+η，且ξ与η服从同一几何分布：P(ξ=k)=，k=1，2，…，可算得Eξ=Eη=故EX=Eξ+Eη=知识点解析：暂无解析33、n个小球和n个盒子均编号1，2，…，n，将n个小球随机地投入n个盒中去，每盒投1个球．记X为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求E(X)．标准答案：知识点解析：暂无解析34、在长为a的线段AB上独立、随机地取两点C，D，试求CD的平均长度．标准答案：设AC、AD的长度分别为X、Y，由题意知X与Y独立同分布，均服从区间(0，a)上的均匀分布，故(X，Y)的概率密度为：f(x，y)=其中D={(x，y)|0＜x＜a，0＜y＜a}，而CD的长度为|X—Y|，故知知识点解析：暂无解析35、设随机变量X1，…，Xn，Xn+1独立同分布，且P(X1=1)=p，P(X1=0)=1一p，记：(i=1，2，…，n)．求标准答案：EYi=P(Xi+Xi+1=1)=P(Xi=0，Xi+1=1)+P(Xi=1，Xi+1=0)=2p(1一p)，i=1，…，n=2np(1一p)，而E(Yi2)=P(Xi+Xi+1=1)=2p(1一p)，∴DYi=E(Yi知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、对任意两个事件A和B，若P(AB)=0，则()．A、AB=B、C、P(A)P(B)=0D、P(A—B)=P(A)标准答案：D知识点解析：选(D)，因为P(A—B)=P(A)一P(AB)．2、设随机变量X的密度函数为f(x)=(a＞0，A为常数)，则P｛a＜x＜a+b｝的值()．A、与b无关，且随a的增加而增加B、与b无关，且随a的增加而减少C、与a无关，且随b的增加而增加D、与a无关，且随b的增加而减少标准答案：C知识点解析：因为∫－∞＋∞f(x)dx=1，所以∫a＋∞Ae－xdx=1，解得A=ea．由P(a＜X＜a＋b)=∫aa＋bf(x)dx=∫aa＋beae－xdx=－eae－x｜aa＋b=1一e－b，得P(a＜X＜a+b)与a无关，且随b的增加而增加，正确答案为(C)．3、设二维随机变量(X，Y)在区域D：x2+y2≤9a2(a＞0)上服从均匀分布，p=P(X2+9Y2≤9a2)，则()．A、p的值与a无关，且p=B、p的值与a无关，且p=C、p的值随口值的增大而增大D、p的值随a值的增大而减少标准答案：B知识点解析：因为(X，Y)在区域D：x2+y2≤9a2上服从均匀分布，4、设(X1，X2，…，Xn)(n≥2)为标准正态总体X的简单随机样本，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由，选(D)．5、总体X～N(μ，52)，则总体参数μ的置信度为1－α的置信区间的长度()．A、与α无关B、随α的增加而增加C、随α的增大而减少D、与α有关但与α的增减性无关标准答案：C知识点解析：总体方差已知，参数μ的置信度为1-α的置信区间为，其中n为样本容量，长度为越大，所以置信区间的长度随α增大而减少，选(C)．6、以下命题正确的是()．A、若事件A，B，C两两独立，则三个事件一定相互独立B、设P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B独立，则A，B一定互斥C、设P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B互斥，则A，B一定独立D、A，B既互斥又相互独立，则P(A)=0或P(B)=0标准答案：D知识点解析：当P(A)＞0，P(B)＜0时，事件A，B独立与互斥是不相容的，即若A，B独立，则P(AB)=P(A)P(B)＞0，则A，B不互斥；若A，B互斥，则P(AB)=0≠P(A)P(B)，即A，B不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选(D)．7、设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则下列随机变量中服从参数为2λ的指数分布的是()．A、X+YB、X—YC、max｛X，Y｝D、min｛X，Y｝标准答案：D知识点解析：由于X～E(λ)，所以密度函数为f(x)=，分布函数为事实上，min(X，Y)的分布函数为P｛min(X，Y)≤x｝=1一P｛min(X，Y)＞x｝=1一P(X＞x，Y＞x)=1一P(X>x)P(Y＞x)=1-[1-F(x)]2=二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)8、设P(B)=0．5，P(A—B)=0．3，则P(A+B)=_________．标准答案：0．9知识点解析：因为P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A+B)=P(A－B)+P(B)=0．8．9、设X～B(2，p)，Y～B(3，p)，且P(X≥1)=，则P(Y≥1)=________．标准答案：知识点解析：10、设X表示12次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为0．5，则E(X2)=_________．标准答案：39知识点解析：X～B(12，0．5)，E(X)=6，D(X)=3，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3+36=39．11、设X，Y相互独立且都服从标准正态分布，则E｜X—Y｜=_________，D｜X—Y｜=_________．标准答案：2，知识点解析：因为E｜Z｜2=E(Z2)=D(Z)+[E(Z)]2=2，所以D｜Z｜=E｜Z｜2=(E｜Z｜)2=2一．12、设A，B是两个随机事件，且P(A)+P(B)=0．8，P(A+B)=0．6，则=________．标准答案：0.4知识点解析：因为P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)，且P(A)+P(B)=0．8，P(A+B)=0．6，所以P(AB)=0．2．又因为，所以=P(A)+P(B)一2P(AB)=0．8—0．4=0．4．13、设随机变量X的密度函数为f(x)=，则P｛｜X－E(X)｜＜2D(X)｝=________．标准答案：知识点解析：14、设X1，X2，…，X100相互独立且在区间[一1，1]上同服从均匀分布，则由中心极限定理P()≈________．标准答案：0．8413知识点解析：15、设总体X，Y相互独立且服从N(0，9)分布，(X1，…，X9)与(Y1，…，Y9)分别为来自总体X，Y的简单随机样本，则U=～__________．标准答案：知识点解析：由X1+X2+…+X9～N(0，81)，得(X1+X2+…+X9)～N(0，1)，因为Y1，…，Y9相互独立且服从N(0，9)分布，所以(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2～χ2(9)，即(Y12+…+Y92)～χ2(9)，因此U=～t(9)．16、设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体的简单样本，其中参数μ，σ未知，令，则假设H0：μ=0的t检验使用统计量________．标准答案：知识点解析：在σ未知的情况下，对参数μ进行假设检验选用统计量t=，其中．三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)17、设X～N(0，1)，Y=X2，求Y的概率密度函数．标准答案：知识点解析：暂无解析袋中有10个大小相等的球，其中6个红球4个白球，随机抽取2个，每次取1个，定义两个随机变量如下：就下列两种情况，求(X，Y)的联合分布律：18、第一次抽取后放回；标准答案：(X，Y)的可能取值为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)．知识点解析：暂无解析19、第一次抽取后不放回．标准答案：知识点解析：暂无解析20、游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的5分、25分、55分从底层上行，设一游客早上8点X分到达底层，且X在[0，60]上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望．标准答案：因为X～[0，60]，所以X的密度函数为f(x)=．游客等电梯时间设为T，则T=，于是E(T)=∫－∞＋∞T(x)f(x)dx=[∫05(5一x)dx+∫525(25-x)dx+∫2555(55一x)dx+∫5560(65一x)dx]=11．67(分钟)．知识点解析：暂无解析设随机变量X，Y独立同分布，且X～N(0，σ2)，再设U=aX+bY，V=aX一bY，其中a，b为不相等的常数．求：21、E(U)，E(V)，D(U)，D(V)，ρUV；标准答案：E(U)=E(aX+bY)=0，E(V)=E(aX—bY)=0，D(U)=D(V)=(a2+b2)σ2．Cov(U，V)=Cov(aX+bY，aX—bY)=a2D(X)一b2D(Y)=(a2一b2)σ2知识点解析：暂无解析22、设U，V不相关，求常数a，b之间的关系．标准答案：U，V不相关知识点解析：暂无解析23、一批种子中良种占，从中任取6000粒，计算这些种子中良种所占比例与之差小于0．01的概率．标准答案：设6000粒种子中良种个数为X，则X～B(6000，)，知识点解析：暂无解析24、设事件A，B独立．证明：事件都是独立的事件组．标准答案：由A，B独立，得P(AB)=P(A)P(B)，知识点解析：暂无解析25、设随机变量X的概率密度为fX(x)=，求y=eX的概率密度fY(y)．标准答案：FY(y)=P(Y≤y)=P(eX≤y)，当y≤1时，X≤0，FY(y)=0；当y＞1时，X＞0，FY(y)=P(eX≤y)=P(X≤lny)=∫－∞lnyfX(x)dx=∫0lnye－xdx，知识点解析：暂无解析设D=｛(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜1｝，且变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，令Z=．26、令U=X+Z，求U的分布函数．标准答案：随机变量(X，Y)的联合密度为f(x，y)=，U的分布函数为F(x)=P｛U≤x｝，当x＜0时，F(x)=0；当x≥2时，F(x)=1；当0≤x＜1时，F(x)=｛X+Z≤x｝=P｛Z=0，X≤x｝=P｛X＜Y，X≤x｝=∫0xdx∫x1dy=∫0x(1一x)dx=x一；当1≤x＜2时，F(x)=P｛Z=0，X≤x｝+P｛Z=1，X≤x一1｝=P｛X＜Y，X≤1｝+P｛X≥Y，X≤x一1｝知识点解析：暂无解析27、判断X，Z是否独立．标准答案：设(X，Z)的分布函数为F(x，z)，知识点解析：暂无解析28、设随机变量X，Y相互独立，且，Z=｜X—Y｜，求E(Z)．标准答案：知识点解析：暂无解析29、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)．从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n(n＞2)．令的数学期望．标准答案：令Yi=Xi+Xn＋i(i=1，2，…，n)，则Y1，Y2，…，Yn为正态总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本，=(n一1)S2，其中S2为样本Y1，Y2，…，Yn的方差，而E(S2)=2σ2，所以统计量U=的数学期望为E(U)=E[(n一1)S2]=2(n一1)σ2．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设X1，X2为相互独立的连续型随机变量，分布函数分别为F1(x)，F2(x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为()A、F1(x)+F2(x)B、F1(x)－F2(x)C、F1(x)F2(x)D、F1(x)／F2(x)标准答案：C知识点解析：用排除法．因为F1(x)，F2(x)都是分布函数，所以故(A)不正确．故(B)不正确．对于D，由于型未定式极限，因此不能保证故(D)不正确．容易证明F1(x)F2(x)是单调不减的右连续函数，且=1，故其一定是某一随机变量的分布函数，所以C正确．2、已知随机变量Xn(n=1，2，…)相互独立且都在(－1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有=()A、Ф(0)B、Ф(1)C、D、Ф(2)标准答案：C知识点解析：由题设知EXn=0，由中心极限定理，对任意x有3、设P(B)＞0，A1，A2互不相容，则下列各式中不一定正确的是()A、P(A1A2｜B)=0B、P(A1∪A2｜B)=P(A1｜B)+P(A2｜B)C、D、标准答案：C知识点解析：由A1A2=，得P(A1A2)=0，于是：P(A1A2｜B)==0，A正确；P(A1∪A2｜B)=P(A1｜B)+P(A2｜B)－P(A1A2｜B)=P(A1｜B)+P(A2｜B)，B正确；=1－P(A1∪A2｜B)=1－P(A1｜B)－(A2｜B)不一定等于1，C错误；=1－P(A1A2｜B)=1－0=1，D正确．4、设随机变量(X，Y)的概率密度f(x，y)满足f(x，y)=f(－x，y)，且ρXY存在，则ρXY=()A、1B、0C、一1D、一1或1标准答案：B知识点解析：因为E(XY)=∫－∞+∞ydy∫－∞+∞xf(x，y)dx(∫－∞+∞ydy∫－∞+∞(－t)f(－t，y)dt=∫－∞+∞ydy∫－∞+∞(－t)f(t，y)dt=－∫－∞+∞ydy∫－∞+∞xf(x，y)dx=－E(XY)，所以E(XY)=0．同理，EX=∫－∞+∞x[∫－∞+∞f(x，y)dy]dx=0，所以ρXY=0．类似地，当f(x，y)=f(x，－y)时，ρXY=0．5、设X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y10分别是来自正态总体N(－1，4)和N(2，5)的简单随机样本，且相互独立，S12，S22分别为这两个样本的方差，则服从F(7，9)分布的统计量是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由因此本题选D．6、设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，若则()A、μ1＜μ2B、μ1＞μ2C、σ1＜σ2D、σ1＞σ2标准答案：A知识点解析：由于X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，故X－Y～N(μ1－μ2，σ12+σ22)．于是P{X＞Y)=P{X－Y＞0}=1－P{X－Y≤0}可知=>μ2＞μ1．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)7、设事件A，B，C两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则P(A∪B∪C)的最大值为______．标准答案：知识点解析：依题意有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C)+P()=3P(A)－3[P(A)]2故P(A∪B∪C)的最大值为=8、设随机变量X的概率密度为为______．标准答案：知识点解析：9、设随机变量X的数学期望EX=75，方差DX=5，由切比雪夫不等式估计得P{｜X～75｜≥k}≤0．05，则k=______．标准答案：10知识点解析：P{｜X－75｜≥k}=P{｜X－EX｜≥k)≤即k=10．10、设随机变量X服从正态分布，其概率密度为f(x)=ke－x2－2x－1(－∞＜x＜+∞)，则常数k=______．标准答案：知识点解析：∫－∞+∞f(x)dx=k∫－∞+∞e－(x－1)2d(x－1)11、设随机变量X与Y的分布律为且相关系数则(X，Y)的分布律为______．标准答案：知识点解析：设(X，Y)的分布律如下(边缘分布律也表示于表中)则E(XY)=p11，从而有由此得所以(X，Y)的分布律为12、设总体X～N(μ，8)，X1，X2，…，X36是来自X的简单随机样本，是它的均值．如果是未知参数μ的置信区间，则置信水平为______．标准答案：0.966知识点解析：由题设可知由此得置信水平1－α=0．966．13、市场上某产品由甲、乙两厂各生产，已知甲厂和乙厂的产品指标分别服从分布函数F1(x)和F2(x)，现从市场上任取一件产品，则其指标服从的分布函数为______．标准答案：[F1(x)+F2(x)]知识点解析：设随机变量ξ1，为甲厂产品指标，随机变量ξ2为乙厂产品指标，随机变量ξ为任取一件产品指标，事件A为“所取一件产品属甲厂生产”．根据全概率公式，所求分布函数为三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)14、一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布．标准答案：P{X=0}=P{第一个路口即为红灯}=．P{X=1)=P{第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯}=以此类推，得X的分布律为知识点解析：暂无解析15、设随机变量X的概率密度为已知EX=2，P{1＜X＜3}=求：(1)a，b，c的值；(2)随机变量Y=ex的数学期望和方差．标准答案：(1)由题意有，1=∫－∞+∞f(x)dx=∫02axdx+∫24(cx+b)dx=2a+2b+6c，2=∫－∞+∞xf(x)dx=∫02ax2dx+∫24(cx+b)xdx解方程组(2)EY=E(eX)=∫－∞+∞exf(x)dx=E(Y2)=E(e2X)=∫－∞+∞e2xf(x)dx=DY=E(Y2)－(EY)2=e2(e2－1)2．知识点解析：暂无解析16、设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，EX=μ，DX=σ2＜+∞，求EX，DX和E(S2)．标准答案：依题意有EXi=μ，DXi=σ2，进而有E(Xi2)=DXi+(EXi)2=σ2+μ2，知识点解析：暂无解析17、某种零件的尺寸方差为σ2=1．21，抽取一批这类零件中的6件检查，得尺寸数据如下(单位：毫米)：32．56，29．66，31．64，30．00，21．87，31．03，设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32．50毫米(α=0．05)．标准答案：问题是在σ2已知的条件下检验假设H0：μ=32．50．因此H0的拒绝域为｜Z｜≥zα／2，其中z0．025=1．96，故又因｜Z｜=6．77＞1．96，所以否定H0，即不能认为平均尺寸是32．50毫米．知识点解析：暂无解析18、设事件A出现的概率为p=0．5，试利用切比雪夫不等式，估计在1000次独立重复试验中事件A出现的次数在450到550次之间的概率α．标准答案：设X是“1000次独立重复试验中事件A出现的次数”，则X～B(1000，0．5)，EX=1000×0．5=500，DX=1000×0．52=250．利用切比雪夫不等式，知α=P{450＜X＜550{=P{｜X－500｜＜50}≥=0．9．知识点解析：暂无解析设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是0．6，乙命中目标的概率是0．5，求下列事件的概率：19、从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；标准答案：该随机试验分为两个阶段：①选人，A甲，A乙；②射击，B={目标被命中}．则知识点解析：暂无解析20、甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率．标准答案：该随机试验不分阶段，记A甲={甲命中}，A乙={乙命中}，B={目标被命中}，则知识点解析：暂无解析21、某考生想借张宇编著的《张宇高等数学18讲》，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率均为0．5；若有，能否借到的概率也均为0．5，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率．标准答案：设A={该生能借到此书}，Bi={从第i馆借到}，=1，2，3．则P(B1)=P(B2)=P(B3)=P{第i馆有此书且能借到}=于是知识点解析：暂无解析22、设随机变量X与Y相互独立，都服从均匀分布U(0，1)．求Z=｜X－Y｜的概率密度及标准答案：U=X－Y的概率密度为fU(u)=∫－∞+∞fX(u+y)fY(y)dy=∫01fX(u+y)dy．当u≤－1或u≥1时，fU(u)=0；当－1＜u≤0时，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫－u11dy=1+u；当0＜u＜1时，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫01－u1dy=1－u，即所以Z=｜X－Y｜=｜U｜的概率密度为知识点解析：暂无解析23、若随机变量序列X1，X2，…，Xn，…，满足条件试证明：{Xn}服从大数定律．标准答案：由切比雪夫不等式，对任意的ε＞0有所以对任意的ε＞0，故{Xn}服从大数定律．知识点解析：暂无解析24、设X1，X2，…，Xn是取自均匀分布在(0，θ)上的一个样本，试证：Tn=max{X1，X2，…，Xn}是θ的相合估计量．标准答案：Tn=X(n)的分布函数为Tn的概率密度为fT(t)=F’T(t)=nf(t)Fn－1(t)=由切比雪夫不等式有因此可知：当n→∞时，故Tn是θ的相合估计量．知识点解析：暂无解析25、设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为σ=100，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值为1580，问在显著性水平α=0．05下，能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600．标准答案：问题是在σ2已知的条件下检验假设H0：μ≥1600；H1：μ＜1600．H0的否定域为Z＜－zα／2，其中－z0．025=1．96．因为Z=－1．02＞－1．96=－z0．025，所以接受H0，即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600．知识点解析：暂无解析产品寿命X是一个随机变量，其分布函数与概率密度分别为F(x)，f(x)．产品已工作到时刻x，在时刻x后的单位时间△x内发生失效的概率称为产品在时刻z的瞬时失效率，记为λ(x)．26、证明标准答案：知识点解析：暂无解析27、设某产品寿命的瞬时失效率函数为λ(x)=a，其中参数α＞0，求产品寿命X的数学期望．标准答案：将λ(x)=α代入得上式两边积分得∫0xαdT=∫0x{－ln[l－F(t)])’dt，αx+C=－ln[l－F(x)]，即1－F(x)=e－(αx+C)，又F(0)=P{x≤0}=0，则C=0，故F(x)=1～e－αx，即产品寿命服从指数分布，所以知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第5套一、选择题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)1、已知P(A)=p，P(B)=q，且A与B互斥，则A与B恰有一个发生的概率为()A、p+q．B、1-p+q．C、1+p-q．D、p+q-2pq．标准答案：A知识点解析：A与B恰有一个发生可以表示为，故其概率为，故P(AB)=0，因而=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)=p+q，故选择A．2、设A，B相互独立，则下面说法错误的是()A、A与相互独立．B、与B相互独立．C、D、A与B一定互斥．标准答案：D知识点解析：由于A，B相互独立，因此A与相互独立，从而A、B、C都是正确的说法，故选D．3、设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且0＜P(C)＜1，则在下列给定的四对事件中可能不相互独立的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：相互独立的随机事件A1，A2，…，Am中任何一部分事件，包括它们的和、差、积、逆等运算的结果必与其他一部分事件或它们的运算结果都是相互独立的．所以A、C、D三对事件必为相互独立的．当P(C)＜1，P(AC)>O时，如果独立，即AC与C也独立，则有P(AC∩C)=P(AC)P(C)，P(AC)=P(AC∩C)=P(AC)P(C)．因为P(AC)＞0，等式两边同除以P(AC)得P(C)=1，与题目已知条件矛盾．所以此时AC与C不独立，选B．4、已知f1(x)，f2(x)均为随机变量的概率密度函数，则下列函数可以作为概率密度函数的是()A、f1(x)+f2(x)．B、f1(x)f2(x)．C、2f1(x)-f2(x)．D、0．4f1(x)+0．6f2(x)．标准答案：D知识点解析：A选项，函数[f1(x)+f2(x)]dx=2，不满足概率密度的规范性，排除A；B选项，令f1(x)=f2(x)=则f1(x)，f2(x)均为随机变量的概率密度，而f1(x)f2(x)=不满足概率密度的规范性，排除B；C选项，令f1(x)=则2f1(x)-f2(x)=，不满足概率密度的非负性，排除C；D选项，首先0．4f1(x)+0．6f2(x)≥0，同时因此0．4f1(x)+0．6f2(x)可以作为随机变量的概率密度．故选D．5、设随机变量X的概率密度函数为f(x)=(-∞＜x＜+∞)，则其分布函数为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因F’(x)=f(x)，而A、C不满足这个条件，故排除A、C；因f(x)为连续函数，则F(x)也是连续函数，而对D，，故排除D；选择B．6、设随机变量X与Y均服从正态分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记p1=P{X≤μ-4}，p2=P{Y≥μ+5}，则()A、对任何实数μ，都有p1=p2．B、对任何实数μ，都有p1＜p2．C、只对μ的个别值，有p1=p2．D、对任何实数μ，都有p1＞p2．标准答案：A知识点解析：X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，则p1=P(X≤λ-4}==Ф(-1)，p2=P{Y≥μ+5}==1-Ф(1)=Ф(-1)，因此，对任何实数μ，都有p1=p2，应选A．7、已知f1(x)，f2(x)分别是某个随机变量的概率密度，则f(x，y)=f1(x)f2(y)+h(x，y)为某个二维随机变量概率密度的充要条件是()A、h(x，y)≥0，且h(x，y)dxdy=1．B、h(x，y)≥0，且h(x，y)dxdy=0．C、h(x，y)≥-f1(x)f2(y)，且h(x，y)dxdy=1．D、h(x，y)≥-f1(x)f2(y)，且h(x，y)dxdy=0．标准答案：D知识点解析：由概率密度的充要条件可知f(x，y)=f1(x)f2(y)+h(x，y)≥0，且所以h(x，y)≥-f1(x)f2(y)，又由，故选D．8、已知随机变量X1与X2相互独立且有相同的概率分布：P{Xi=-1}=，P{Xi=1}=(i=1，2)，则()A、X1与X1X2独立且有相同的分布．B、X1与X1X2独立且有不相同的分布．C、X1与X1X2不独立且有相同的分布．D、X1与X1X2不独立且有不相同的分布．标准答案：A知识点解析：由题设知X1X2可取-1，1，且P{X1X2=-1}一P{X1=-1，X2=1)+P{X1=1，X2=-1}=P(X1=-1}P{X2=1}+P{X1=1}P(X2=-1}又P{X1=-1，X1X2=-1)=P{X1=-1，X2=1}=利用边缘概率和条件概率之间的关系，得到(X1，X1X2)的概率分布：从而X1与X1X2有相同的概率分布，且由以上概率分布可知P{X1=i，X1X2=j{=P{X1=i)P{X1X2=j}，i=-1，1，j=-1，1．所以X1与X1X2相互独立，故应选A．9、设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则()A、X与Y一定独立．B、(X，Y)服从二维正态分布．C、X与Y未必独立．D、X+Y服从一维正态分布．标准答案：C知识点解析：本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系．只有(X，Y)服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的．即使X与Y都服从正态分布，甚至X与Y不相关也并不能推出(X，Y)服从二维正态分布．例如(X，Y)的联合密度为不难验证X与y都服从正态分布N(0，1)，且相关系数ρXY=0，而(X，Y)不服从二维正态分布，X与Y也不相互独立．本题仅仅已知X与Y服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X与Y一定独立，排除A；若X与Y都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但题设并不知道X，Y是否独立，可排除B；同样要求X与Y相互独立时，才能推出X+Y服从一维正态分布，可排除D．故正确选项为C．10、设随机变量(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=的密度函数是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：是一维随机变量，密度函数是一元函数，排除A、B．对于D，因为，所以D中所给函数不是某随机变量的密度函数，排除D．故选C．11、已知随机变量X的分布函数F(z)在x-1处连续，且F(1)-1，记Y=(abc≠0)，则Y的期望E(Y)=()A、a+b+c．B、a．C、b．D、c．标准答案：D知识点解析：F(x)在x=1处连续且F(1)=1，所以P{X=1}=F(1)-F(1-0)=0，P{X＞1}=1-P{X≤1}=1-F(1)=0．P{X＜1)=P(X≤1}-P{X=1}=F(1)-0=1．E(Y)=aP{X＞1}+bP{X=1}+cP{X＜1}=C．12、设随机变量X～E(2)，Y～E(1)，且相关系数ρXY=-1，则()A、P(Y-2X+2}=1．B、P(Y=-2X-2}=1．C、P{Y=2X-2}=1．D、P{Y=-2X+2)=1．标准答案：D知识点解析：由于ρXY=-1，因此P{Y=aX+b}=1．其中a＜0，b为常数，又1=E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=+b，1=D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=所以a=±2，由a＜0得a=-2，nb=2，故选D．13、设随机变量X，Y的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y()A、不相关的充分条件，但不是必要条件．B、独立的充分条件，但不是必要条件．C、不相关的充分必要条件．D、独立的充分必要条件．标准答案：C知识点解析：因为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+，且D(X)≠0，D(Y)≠0，所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)ρXY=0(X，Y不相关)．故选C．14、设总体X的均值为E(X)=1，方差为D(X)=1，X1，X2，…，X9是总体X的简单随机样本，令统计量y=，则由切比雪夫不等式，有()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由于E(Y)=，因此由切比雪夫不等式，有P{｜Y-9｜＜ε}=P{｜Y-E(Y)｜＜ε}≥1-，故选B．15、随机变量X1，X2，X3，X4独立同分布，都服从正态分布N(1，1)，且服从χ2分布，则常数k和χ2分布的自由度n分别为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：利用正态分布的性质得到Xi～N(4，4)，标准化得到所以，n=1．故应选A．16、设X～N(a，2)，Y～N(b，2)，且X，Y独立，分别在X，Y中取容量为m和n的简单随机样本，样本方差分别记为SX2和SY2，则T=[(m-1)SX2+(n-1)SY2]服从()A、t(m+n-2)．B、F(m-1，n-1)．C、χ2(m+n-2)．D、t(m+n)．标准答案：C知识点解析：因为～χ2(n-1)，且χ2分布具有可加性，所以T～χ2(m+n-2)．故选C．17、设为θ的无偏估计，且必为θ2的()A、无偏估计．B、有偏估计．C、一致估计．D、有效估计．标准答案：B知识点解析：因为为θ的无偏估计，所以≠θ2．故选B．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)18、设A，B是任意两个随机事件，则=_______．标准答案：0知识点解析：19、设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件是不合格品，则另1件也是不合格品的概率为_______．标准答案：知识点解析：设A={2件产品中有1件是不合格品}，B={2件都是不合格品}，则所求即为20、设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的3次重复观察中事件出现的次数，则P(Y=2}=______．标准答案：知识点解析：21、随机变量X服从参数为2的指数分布，则P{-2＜X＜4｜X＞0}=______．标准答案：1-e-ε知识点解析：因为X服从参数为2的指数分布，故P{X＞0}=，从而P{-2＜X＜4｜X＞0}=22、设X和Y为两个随机变量，且P{X≥0，Y≥0}=，则P{min{X，Y}＜0}=________．标准答案：知识点解析：P{min{X，Y}＜0}=1-p{min{X，Y}≥0}=1-P{X≥0，Y≥0}=23、已知连续型随机变量X的概率密度为f(x)=，则X的数学期望为_______，X的方差为_______．标准答案：知识点解析：将f(x)改写为正态分布概率密度的一般形式f(x)=由上式知，X服从正态分布，所以E(X)=1，D(X)=24、D(X)=4，D(Y)=9，ρXY=0．5，则D(X-Y)=______，D(X+y)=_______．标准答案：7，19知识点解析：D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)同理可得D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=19.25、设随机变量X具有密度函数则P{｜X-E(X)｜＜2}=______.标准答案：1知识点解析：P{｜X-E(X)｜＜2)=P{-2＜X-E(X)＜2}=P{-2＜X-＜2}26、设总体X服从参数为λ的泊松分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，其样本均值、样本方差分别为，S2，则，E(S2)=_______，样本(X1，…，Xn)的概率分布为______．标准答案：知识点解析：总体X服从泊松分布，即P{X=k}=，所以E(X)=D(X)=λ．(X1，…，Xn)的概率分布为P{X1=x1，…，Xn=xn}27、设总体X和Y均服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn和Y1，Y2，…，Yn分别是来自总体X和Y的两个相互独立的简单随机样本，它们的样本方差分别为SX2和SY2，则统计量T=(SX2+SY2)服从的分布及参数为______．标准答案：χ2(2n-2)知识点解析：～χ2(n-1)，且它们相互独立，故(SX2+SY2)～χ2(2n-2)．考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第6套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、一种零件的加工由相互独立的两道工序组成，第一道工序的废品率为p1，第二道工序的废品率为p2，则该零件加工的成品率为()A、1－p1－p2B、1－p1p2C、1－p1－p2+p1p2D、(1－p1)+(1－p2)标准答案：C知识点解析：设A={成品零件}，Ai={第i道工序为成品}，i=1，2．依题意有P(A1)=1－p1，P(A2)=1－p2，则P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=(1－p1)(1－p2)=1－p1－p2+p1p2，故选C．2、现有10张奖券，其中18张为2元的，2张为5元的．今从中任取3张，则奖金的数学期望为()A、6B、7．8C、9D、11．2标准答案：B知识点解析：记奖金为X，则X全部可能取值为6，9，12，并且因此本题选B．3、设x1，x2，…，xn是来自总体X～N(μ，σ2)(μ，σ2都未知)的简单随机样本的观察值，则σ2的最大似然估计值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：在μ未知时，σ2的最大似然估计值为因此本题选B．4、以下结论，错误的是()A、若0＜P(B)＜1，P(A｜B)+=1，则A，B相互独立B、若A，B满足P(B｜A)=1，则P(A－B)=0C、设A，B，C是三个事件，则(A－B)∪B=A∪BD、若当事件A，B同时发生时，事件C必发生，则P(C)＜P(A)+P(B)－1标准答案：D知识点解析：对于A，即P(B)－P(B)P(B)=P(AB)+P(B)－P(A)P(B)－P(B)P(B)，则P(AB)=P(A)P(B)，故A正确．对于B，P(B｜A)==1=>P(AB)=P(A)=>P(A)－P(AB)=0=>P(A－B)=0，故B正确．对于C，(A－B)∪B==A∪B，C正确．对于D，ABC=>P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)=>P(A)+P(B)－1，D错误，故选D．5、设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0，1)，Y～B(n，p)(0＜P＜1)，则X+Y的分布函数()A、为连续函数B、恰有n+1个间断点C、恰有1个间断点D、有无穷多个间断点标准答案：A知识点解析：记Z=X+Y，则Z的分布函数是n+1个连续函数之和，所以为连续函数．因此本题选A．6、设总体X与Y都服从正态分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xn与Y1，Y2，…，Yn是分别来自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量服从t(n)分布，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：应用t分布的典型模式．由于U与V相互独立，由t分布的典型模式有7、设总体X～N(μ，σ2)，来自X的一个样本为X1，X2，…，X2n记当μ已知时，基于T构造估计σ2的置信水平为1－α的置信区间为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因相互独立，则二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、设二维随机变量(X，Y)在区域上服从均匀分布，则(X，Y)关于X的边缘概率密度fX(z)在点x=e处的值为______．标准答案：知识点解析：区域D如图3—1阴影部分所示，它的面积所以(X，Y)的概率密度为9、设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为则随机变量Z=max(X，Y)的分布律为______．标准答案：知识点解析：P{Z=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0)=P{Z=1}=1－P{Z=0}=故Z的分布律为10、设X服从参数为λ的指数分布，对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为，则λ=______．标准答案：知识点解析：因记A={X＞2}，y={对X作三次独立重复观察A发生的次数}，则Y～B(3，p)，p=P{X＞2}=∫2+∞λe－λxdx=ee－2λ，由题意有11、若X1，X2，X3两两不相关，且DXi=1(i=1，2，3)，则D(X1+X2+X3)=______．标准答案：3知识点解析：因为X1，X1，X3两两不相关，所以Cov(Xi，Xj)=0(i≠j)，于是D(X1+X2+X3)=D[(X1+X2)+X3]=D(X1+X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X3)=DX1+DX2+DX3+2Cov(X1，X2)+2Cov(X1，X3)+2Cov(X2，X3)=DX1+DX2+DX3=3．12、设总体X的概率密度为其中θ＞0为未知参数，又设x1，x2，…，xn是X的一组样本值，则参数η的最大似然估计值为______．标准答案：知识点解析：似然函数为三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)13、某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的．某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年52周)，那么他从未中奖的可能性是多少?标准答案：令Ai={第i次中奖}(i=1，2，…，520)，p=P{在一次购买彩票中中奖)．又事件A1，A1，…，A520相互独立，且p=10－5．所以P{连续购买十年从未中奖}=(1－p)520=(1－10－5)520≈0．9948．知识点解析：暂无解析设电子管寿命X的概率密度为若一台收音机上装有三个这种电子管，求：14、使用的最初150小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；标准答案：设y为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，则Y～B(3，p)，其中所求概率为P{Y≥2}=P{Y=2}+P{Y=3}知识点解析：暂无解析15、在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y的分布律；标准答案：Y的分布律为k=0，1，2，3，即知识点解析：暂无解析16、Y的分布函数．标准答案：Y的分布函数为知识点解析：暂无解析17、设X关于Y的条件概率密度为而Y的概率密度为标准答案：(X，Y)的概率密度为如图3—3所示，则知识点解析：暂无解析18、用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证“正面”出现的频率在0．4至0．6之间的概率不小于0．9．标准答案：设需掷n次，正面出现的次数为Yn，则依题意应有所以n≥250．知识点解析：暂无解析19、设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，设EX=μ，DX=σ2，，试确定常数C，使－CS2为μ2的无偏估计．标准答案：由知识点解析：暂无解析20、设随机变量(X，Y)的概率密度为求随机变量Z=X－Y的概率密度fZ(z)．标准答案：由于X，y不是相互独立的，所以记V=－Y时，(X，V)的概率密度不易计算．此时应先计算Z的分布函数，再计算概率密度fZ(z)．记Z的分布函数为FZ(z)，则FZ(z)=P{Z≤z}=P{X－Y≤z)=其中Dz={(x，y)｜x－y≤z}(直线x－y=z的上方部分)，由Dz与D={(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜x)(如图3—10中带阴影的△OSC)的相对位置可得：当z＜0时，Dx与D不相交，所以当0≤z＜1时，Dz∩D=四边形OABC，=∫0zdx∫0x3xdy+∫z1dx∫x－zx3xdy=∫0zx2dx+∫z13xzdx当z≥1时，Dz∩D=△OSC，由此得到知识点解析：暂无解析21、设(X，Y)的概率密度为求的数学期望．标准答案：知识点解析：暂无解析△ABC边AB上的高CD长度为h．向△ABC中随机投掷一点P，求22、点P到边AB的距离X的概率密度；标准答案：设X的分布函数为F(x)，则当x＜0时，有F(x)=0；当x≥h时，有F(x)=1；当0≤x＜h时，为了求概率．P{X≤x)，作EF∥AB，使EF与AB间的距离为x(如图3—15)，利用几何方法，可得综上可得由此得X的概率密度为知识点解析：暂无解析23、X的期望与方差．标准答案：由上一小题知X与X2的数学期望分别为从而得X的方差知识点解析：暂无解析24、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：(1)方差D(XY)；(2)协方差Cov(3X+Y，X－2Y)．标准答案：(1)因D(XY)=E(X2Y2)－[E(XY)]2，其中(2)Cov(3X+y，X一2y)一3DlX一5Cov(X，Y)一2Dy(2)Cov(3X+Y，X－2Y)=3DX－5Cov(X，Y)－2DY=3DX－5E(XY)+5EXEY－2DY又(X，Y)关于X的边缘概率密度为知识点解析：暂无解析25、设总体X服从参数为N和p的二项分布，X1，X1，…，Xn为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计．标准答案：由所以N和p的矩估计为知识点解析：暂无解析26、经测定某批矿砂的5个样品中镍含量为X(％)：3．25，3．27，3．24，3．26，3．24，设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3．25(α=0．01)?标准答案：问题是在σ2未知的条件下检验假设H0：μ=3．25．H0的拒绝域为｜t｜＞tα／2(4)．由因为｜t｜=0．344＜4．6041=t0．005(4)，所以接受H0，即可以认为这批矿砂的镍含量为3．25．知识点解析：暂无解析27、假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为R(未知常数)．现在按还原抽样方式随意抽取的n件中发现k件不合格品．试求R的最大似然估计值．标准答案：设a是这批产品中不合格