新高考数学一轮复习知识总结 函数的概念与性质（含解析）

第三章函数的概念与性质1.一般函数定义域的求法列出是函数有意义的自变量的不等式（组），求解即可得到函数的定义域．常涉及的依据有：（1）SKIPIF1<0为整式时，定义域为R；（2）SKIPIF1<0为分式时，定义域为使分母不为零的实数的集合；（3）如果SKIPIF1<0为0次幂或负指数幂型函数，那么定义域为使得幂底数不等于零的全体实数；（4）SKIPIF1<0为二次根式（偶次根式）时，定义域为使被开方数非负的实数的集合；（5）如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么他的定义域是各基本函数定义域的交集；（6）由实际问题建立的函数，其定义域还要符合实际意义．2．复合函数定义域的求法（1）函数SKIPIF1<0的定义域是指SKIPIF1<0的取值范围所组成的集合；（2）函数SKIPIF1<0的定义域还是指SKIPIF1<0的取值范围，而不是SKIPIF1<0的取值范围；（3）已知SKIPIF1<0的定义域是A，求SKIPIF1<0的定义域，其实质是已知SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0的取值范围为A，求出SKIPIF1<0的取值范围；（4）已知SKIPIF1<0的定义域为B，求SKIPIF1<0的定义域，其实质是已知SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的取值范围为B，求出SKIPIF1<0的取值范围（值域），此范围就是SKIPIF1<0的定义域；（5）同在对应关系“SKIPIF1<0”下的范围相同，即SKIPIF1<0三个函数中的SKIPIF1<0的范围相同．3．求函数值域常用的方法（1）直接法；（2）换元法；（3）配方法；（4）判别式法；（5）分离常数法；（6）图象法；（7）不等式法；（8）函数单调性法．4．函数解析式的求法（1）已知函数类型，求函数解析式可以用待定系数法来求解，先设函数解析式，然后根据已知条件求解相关参数；（2）已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<0或已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<0，一般采用换元法或配凑法；（3）消去法：已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0满足的关系式，要求SKIPIF1<0时，可用SKIPIF1<0代替两边的所有的SKIPIF1<0，得到关于SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的方程组，解得SKIPIF1<0；（4）赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式．5．函数单调性的判定方法（1）定义法，步骤：取值、作差、定号、判断；（2）图象法，根据函数图象的升降情况进行判断；（3）直接法，运用已知的结论，直接得到函数的单调性．6．求复合函数SKIPIF1<0单调性的步骤（1）将复合函数分解成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）分别确定这两个函数的定义域和单调区间；（3）若两个函数在对应的区间上单调性同增或同减，则SKIPIF1<0为增函数；若一増一减，则SKIPIF1<0为减函数．7．函数奇偶性的判定方法（1）定义法：用定义判定（证明）函数奇偶性的一般步骤：首先确定函数的定义域，验证函数定义域是否关于原点对称．若否，函数SKIPIF1<0是非奇非偶函数，若是，继续判断SKIPIF1<0之一是否成立．若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0为偶函数，若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0为奇函数，若SKIPIF1<0都不成立，则函数SKIPIF1<0是非奇非偶函数，若SKIPIF1<0都成立，则函数SKIPIF1<0既是奇函数，又是偶函数．也可以利用等价命题判断，即SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）SKIPIF1<0是奇函数；SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）SKIPIF1<0是偶函数．（2）图象法：图像关于原点对称SKIPIF1<0是奇函数；图像关于y轴对称SKIPIF1<0是偶函数．（3）性质法：在定义域的公共部分内，两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数；两个奇函数的积（商）为偶函数；两个偶函数之积（商）为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数（注：取商时应使分母不为0）．8．复合函数SKIPIF1<0的奇偶性对于复合函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0为偶函数；若SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0为奇函数；若SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0为偶函数；若SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0为偶函数．9．奇、偶函数的几个重要结论（1）在保证定义域关于原点对称的前提下，函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的奇偶性相同．（2）若SKIPIF1<0是具有奇偶性的单调函数，则奇（偶）函数在正负对称的区间上单调性是相同（反）的，简称“奇同偶异”．（3）SKIPIF1<0的定义域关于原点对称，则SKIPIF1<0是偶函数，SKIPIF1<0是奇函数．（4）若SKIPIF1<0的定义域关于原点对称，则SKIPIF1<0可以表示成如下形式：SKIPIF1<0，这个式子的特点是：右边是一个偶函数与一个奇函数的和．所以任意一个定义域关于原点对称对称的函数都可以写成一个偶函数与一个奇函数的和．10.幂函数的定义域和值域（1）SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0为正整数时，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为偶数时，值域为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0为奇数时，值域为SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0为负整数时，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶数时，值域为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0为奇数时，值域为SKIPIF1<0；（4）当SKIPIF1<0为正分数SKIPIF1<0时，化为SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的奇偶性求解；（5）当SKIPIF1<0为负分数SKIPIF1<0时，化为SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的奇偶性求解.11.判断幂函数奇偶性的方法令SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互质，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.（1）若SKIPIF1<0是奇数，则SKIPIF1<0的奇偶性取决于SKIPIF1<0是奇数还是偶数.当SKIPIF1<0是奇数时，SKIPIF1<0是奇函数；当SKIPIF1<0是偶数时，SKIPIF1<0是偶函数.（2）若SKIPIF1<0是偶数，则SKIPIF1<0必是奇数，此时SKIPIF1<0既不是奇函数，也不是偶函数.类型一：函数的概念及性质例1．设定义在R上的函数y=f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则有()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，画出y=f（x）的图象，数形结合知，只有选项D正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．例2．设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若所有点SKIPIF1<0SKIPIF1<0构成一个正方形区域，则SKIPIF1<0的值为（）A．－2B．－4C．－8D．不能确定【答案】B【解析】依题意，设关于x的不等式ax2+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x1，x2]（x1＜x2），且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0．依题意，当s∈[x1，x2]的取值一定时，SKIPIF1<0取遍SKIPIF1<0中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s取遍[x1，x2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又a＜0，因此a=－4，选B项．例3．设函数SKIPIF1<0．（1）画出函数SKIPIF1<0的图象；（2）若不等式SKIPIF1<0的解集非空，求a的取值范围．【答案】（1）右图；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由于SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的图象如图所示．（2）由函数SKIPIF1<0与函数y=ax的图象可知，当且仅当SKIPIF1<0或a＜―2时，函数SKIPIF1<0与函数y=ax的图象有交点．故不等式SKIPIF1<0的解集非空时，a的取值范围为SKIPIF1<0．例4．已知函数SKIPIF1<0（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数SKIPIF1<0的奇偶性，并说明理由；（2）若函数SKIPIF1<0在x∈[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．【思路点拨】（1）对SKIPIF1<0进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x1＜x2，则有SKIPIF1<0恒成立，即可得SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）当a=0时，为偶函数；当a≠0时，既不是奇函数，也不是偶函数．（2）（－∞，16]．【解析】（1）当a=0时，SKIPIF1<0，对任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为偶函数．当a≠0时，SKIPIF1<0（a≠0，x≠0），取x=±1，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设2≤x1＜x2，SKIPIF1<0，要使函数SKIPIF1<0在x∈[2，+∞）上为增函数，必须SKIPIF1<0恒成立．∵x1－x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2(x1+x2)恒成立．又∵x1+x2＞4，∴x1x2(x1+x2)＞16．∴a的取值范围是（－∞，16]．解法二：当a=0时，SKIPIF1<0，显然在[2，+∞）上为增函数．当a＜0时，反比例函数SKIPIF1<0在[2，+∞）上为增函数，∴SKIPIF1<0在[2，+∞）上为增函数．当a＞0时，同解法一．【总结升华】函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．类型二：函数的综合问题例5．（1）已知函数SKIPIF1<0在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a的值；（2）已知函数SKIPIF1<0，x∈[－1，1]，求函数SKIPIF1<0的最小值．【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a＞0，a＜0三种情况分析；第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定．【答案】（1）－3或SKIPIF1<0；（2）略【解析】（1）SKIPIF1<0．①当a=0时，函数SKIPIF1<0在区间[－1，2]上的值为常数1，不合题意；②当a＞0时，函数SKIPIF1<0在区间[－1，2]上是增函数，最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③当a＜0时，函数SKIPIF1<0在区间[―1，2]上是减函数，最大值为SKIPIF1<0，a=―3．综上，a的值为－3或SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，如下图所示：当a≥1时，函数SKIPIF1<0在区间[―1，1]上是减函数，最小值为SKIPIF1<0；当―1＜a＜1时，函数SKIPIF1<0在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为SKIPIF1<0；当a≤―1时，函数SKIPIF1<0在区间[―1，1]上是增函数，最小值为SKIPIF1<0．【总结升华】求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合方法就可得到问题的解．对于“定区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，即可得到函数的最值．．类型三：函数的实际应用例6．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度SKIPIF1<0（单位：千米/小时）是车流密度SKIPIF1<0（单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当SKIPIF1<0时，车流速度SKIPIF1