考研数学三（微积分）模拟试卷3（共251题）

考研数学三（微积分）模拟试卷3（共9套）（共251题）考研数学三（微积分）模拟试卷第1套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、把x→0+时的无穷小量α=cost2dt，β=sint3dt排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）A、α，β，γB、α，γ，βC、β，α，γD、β，γ，α标准答案：B知识点解析：因为所以当x→0+时，α是x的一阶无穷小，β是x的三阶无穷小，γ是x的二阶无穷小，故选B。2、设f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的（）A、充分必要条件B、充分条件但非必要条件C、必要条件但非充分条件D、既非充分条件也非必要条件标准答案：A知识点解析：而由φ（x）在x=0处可导的充分必要条件是φ+’（0）与φ—’（0）都存在且相等可知，若f（0）=0，则必有φ+’（0）=φ—’（0）；若φ+’（0）=φ—’（0），即有f（0）=—f（0），从而f（0）=0。因此f（0）=0是φ（x）在x=0处可导的充分必要条件，也是F（x）在x=0处可导的充分必要条件。故选A。3、设函数f（x）连续，且f’（0）＞0，则存在δ＞0，使得（）A、f（x）在（0，δ）内单调增加B、f（x）在（—δ，0）内单调减少C、对任意的x∈（0，8有f（x）＞f（0）D、对任意的x∈（一δ，0）有f（x）＞f（0）标准答案：C知识点解析：由导数定义，知f’（0）=根据极限的保号性，存在δ＞0，使对任意x∈于是当x∈（一δ，0）时，有f（x）＜f（0）；当x∈（0，δ）时，有f（x）＞f（0）。故选C。4、函数y=f（x）在（一∞，+∞）连续，其二阶导函数的图形如图1—2—2所示，则y=f（x）的拐点个数是（）A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：只须考查f"（x）=0的点与f"（x）不存在的点。f"（x1）=f"（x4）=0，且在x=x1，x4两侧f"（x）变号，故凹凸性相反，则（x1，f（x1）），（x4，f（x4））是y=f（x）的拐点。x=0处f"（0）不存在，但f（x）在x=0连续，且在x=0两侧f"（x）变号，因此（0，f（0））也是y=f（x）的拐点。虽然f"（x3）=0，但在x=x3两侧f"（x）＞0，y=f（x）是凹的。（x3，f（x3））不是y=f（x）的拐点。因此共有三个拐点。故选C。5、设下述命题成立的是（）A、f（x）在[—1，1]上存在原函数B、令F（x）=f—1xf（t）dt，则f’（0）存在C、g（x）在[—1，1]上存在原函数D、g’（0）存在标准答案：C知识点解析：由=0=g（0）可知，g（x）在x=0处连续，所以g（x）在[—1，1]上存在原函数。故选C。以下说明A、B、D均不正确。由=0可知，x=0是f（x）的跳跃间断点，所以在包含x=0的区间上f（x）不存在原函数。由f—’（0）==0，f+’（0）==1，可知f’（0）不存在。由不存在，可知g’（0）不存在。6、由曲线y=（0≤x≤π）与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积为（）A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由曲线y=f（x）绕x轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得故选B。7、设函数f（x），g（x）均有二阶连续导数，满足f（0）＞0，g（0）＜0，且f’（0）=g’（0）=0，则函数z=f（x）g（y）在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件是（）A、f"（0）＜0，g"（0）＞0B、f"（0）＜0，g"（0）＜0C、f"（0）＞0，g"（0）＞0D、f"（0）＞0，g"（0）＜0标准答案：A知识点解析：由z=f（x）g（y），得当f"（0）＜0，g"（0）＞0时，B2—AC＜0，且A＞0，此时z=f（x）g（y）在点（0，0）处取得极小值。因此正确选项为A。8、设f（x）为连续函数，F（t）=∫1tdy∫yef（x）dx，则F’（2）等于（）A、2f（2）B、f（2）C、—f（2）D、0标准答案：B知识点解析：交换累次积分的积分次序，得F（t）=∫1tdy∫ytf（x）dx=∫1tdx∫1xf（x）dy=∫1t（x—1）f（x）dx，于是F’（t）=（t—1）f（t），从而F’（2）=f（2）。故选B。9、设0≤an＜（n=1，2，…），则下列级数中一定收敛的是（）A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由0≤an＜可知，0≤an2＜，而由收敛及正项级数的比较判别法知，级数an2收敛，从而（一1）nan2绝对收敛，故选D。10、微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为（）A、y*=ax2+bx+c+x（Asinx+Beosx）B、y*=x（ax2+bx+c+Asinx+Bcosx）C、y*=ax2+bx+c+AsinxD、y*=ax2+bx+c+Acosx标准答案：A知识点解析：对应齐次方程y"+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i．对于方程y"+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c，对于方程y"+y=sinx，i为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，因此y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为y*=ax2+bx+c+x（Asinx+Bcosx）。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)11、设a1，a2，…，am为正数（m≥2），则（a1n+a2n+…，amn）=________。标准答案：max{a1，a2，…，am}知识点解析：假设a1为最大值，则原式=a1=a1．1=a1。因此（a1n+a2n+…+amn）=max{a1，a2，…，am}。12、已知则y"=________。标准答案：知识点解析：13、函数y=ln（1—2x）在x=0处的n阶导数y（n）（0）=________。标准答案：—2n（n—1）!知识点解析：将ln（1+t）按照泰勒展开式展开成级数的形式令t=—2x代入第n项可得比较系数可得y=ln（1—2x）在x=0处的n阶导数为y（n）（0）=一2n（n—1）!。14、设某商品的收益函数为R（p），收益弹性为1+p3，其中p为价格，且R（1）=1，则R（p）=________。标准答案：知识点解析：由弹性的定义得15、设f（x）=max{1，x2}，则∫1xf（t）dt=________。标准答案：知识点解析：由题意可知当n＜—1时，∫1xf（t）dt=∫1—1f（t）dt+∫—1xf（t）dt=∫1—11dt+∫—1xt2dt=—2+t3|—1x当—1≤x≤1时，∫1xf（t）dt=∫1x1dt=x—1。当x＞1时，∫1xf（t）dt=∫1xt2dt=所以，16、设函数f（u）可微，且f’（2）=2，则z=f（x2+y2）在点（1，1）处的全微分dz|（1，1）=________。标准答案：4（dx+dy）知识点解析：由题干可知，dz=f’（x2+y2）（2xdx+2ydy），则dz|（1，1）=f’（2）（2dx+2dy）=4（dx+dy）。17、D是顶点分别为（0，0），（1，0），（1，2）和（0，1）的梯形闭区域，则（1+x）sinydσ=________。标准答案：+sin1+cos1—2sin2—cos2知识点解析：积分区域可以表示为D={（x，y）|0≤y≤1+x，0≤x≤1}，则（1+x）sinydσ=∫01dx∫01+x（1+x）sinydy=∫01[（1+x）一（1+x）cos（1+x）]dx，利用换元法，令1+x=t，x∈[0，1]时，t∈[1，2]，则18、若数列（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a1+a2n）+…发散，则级数an________。标准答案：发散知识点解析：根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍然收敛。假设an收敛，则级数（a1+a1）+（a3+a4）+…+（a2n—1+a2n）+…收敛，与题设矛盾，故an发散。19、已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=________。标准答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2为任意常数知识点解析：显然y1一y3=e3x和y2一y3=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解，且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2ex一xe2x，其中C1，C2为任意常数。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、证明当x＞0时，（x2—l）lnx≥（x—1）2。标准答案：令f（x）=（x2一1）lnx—（x—1）2，易知f（1）=0。又可见，当0＜x＜1时，f"’（x）＜0，当1＜x＜+∞时，f"’（x）＞0。因此，当0＜x＜+∞时，f"（x）＞f"（1）=2＞0。又由f’（x）是单调增函数，且f’（1）=0，所以当0＜x＜1时，f’（x）＜0；当1＜x＜+∞时，f’（x）＞0。因此，由f（x）≥f（1）=0（0＜x＜+∞），即证得当x＞0时，（x2—1）lnx≥（x—1）2。知识点解析：暂无解析22、求不定积分ln（1+x2）dx。标准答案：知识点解析：暂无解析23、设曲线y=ax2（x≥0，常数a＞0）与曲线y=1—x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D，求：（Ⅰ）D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V（a）；（Ⅱ）a的值，使V（a）为最大。标准答案：由题意知，y=ax2与y=1—x2的交点为，直线OA的方程为（Ⅰ）旋转体的体积当a＞0时，得V（a）的唯一驻点a=4。当0＜a＜4时，V"（a）＞0;当a＞4时，V’（a）＜0。故a=4为V（a）的唯一极大值点，即为最大值点。知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值。标准答案：问题可转化为一个约束函数的情况，求u=x2+y2+x4+2x2y2+y4在条件x+y+x2+y2=4下的最值，设F（x，y，λ）=u=x4+y4+2x2y2+x2+y2+λ（x+y+x2+y2—4），令解得（x1，y1）=（1，1），（x2，y2）=（—2，—2），代入z=x2+y2，得z1=2，z2=8。同理可得原函数最大值为72，最小值为6。知识点解析：暂无解析26、计算二重积分|x2+y2—1|dσ，其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}。标准答案：记D1={（x，y）|x2+y2≤1，（x，y）∈D}，D2={（x，y）|x2+y2＞1，（x，y）∈D}，因此知识点解析：暂无解析27、{设a1=2，an+1=，（n=1，2，…）。证明：标准答案：（Ⅰ）显然an＞0（n=1，2，…），由初等不等式：对任意的非负数x，y必有x+y≥。易知因此{an}单调递减且有下界，故极限an存在。（Ⅱ）由{an}单调递减，知≥0，则原级数是正项级数。由an≥1，得0≤≤an—an+1。而级数（an一an+1）的部分和Sn=（ak—ak+1）=a1一an+1，且an+1存在，则级数（an一an+1）收敛。由比较判别法知收敛。知识点解析：暂无解析28、求级数的和。标准答案：知识点解析：暂无解析29、设y=y（x）是区间（一π，π）内过的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y（x）满足y"+y+x=0。求函数y（x）的表达式。标准答案：由题意，当一π＜x＜0时，法线均过原点，所以有y=，即ydy=一xdx，得y2=一x2+C。又代入y2=一x2+C得C=π2，从而有x2+y2=π2，即y=当0≤x＜π时，y"+y+x=0，得其对应齐次微分方程y"+y=0的通解为，即y=y*=C1cosx+C2sinx。设其特解为y1=Ax+B，则有0+Ax+B+x=0，得A=一1，B=0，故y1=一x是方程的特解，因此y"+y+x=0的通解为y=C1cosx+C2sinx一x。因为y=y（x）是（一π，π）内的光滑曲线，故y在x=0处连续且可导，所以由已知得y|x=0=π，y’|x=0=0，故得C1=π，C2=1，所以知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第2套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设α～β(x→a)，则等于()．A、eB、e2C、1D、标准答案：D知识点解析：因为α～β，所以＝0，于是，选(D)．2、下列命题成立的是()．A、若f(x)在x0处连续，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x－x0｜＜δ内连续B、若f(x)在x0处可导，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x－x0｜＜δ内可导C、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)存在，则f(x)在x0处可导，且f’(0)＝f’(x)D、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)不存在，则f(x)在x0处不可导标准答案：C知识点解析：设f(x)＝显然f(x)在x＝0处连续，对任意的x0≠0，因为f(x)不存在，所以f(x)在x0处不连续，(A)不对；同理f(x)在x＝0处可导，对任意的x0≠0，因为f(x)在x0处不连续，所以f(x)在x0处也不可导，(B)不对；因为＝f’(ξ)，其中ξ介于x0与x之间，且f’(x)存在，所以也存在，即f(x)在x0处可导且f’(x0)＝f’(x)，选(C)；令f’(x)不存在，(D)不对．3、设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)＝∫0xf(x－t)dt，G(x)＝∫01xg(xt)dt，则当x→0时，F(x)是G(x)的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：D知识点解析：F(x)＝∫0xf(x－t)dt＝－∫0xf(x－t)d(x－t)＝∫0xf(u)du，G(x)＝∫01xg(xt)dt＝∫0xg(u)du，则＝1，选(D)．4、设幂级数an(x－2)n在x＝6处条件收敛，则幂级数(x－2)2n的收敛半径为()．A、2B、4C、D、无法确定标准答案：A知识点解析：因为an(x－2)n在x＝6处条件收敛，所以级数anxn的收敛半径为R＝4，又因为级数anxn有相同的收敛半径，所以的收敛半径为R＝4，于是(x－2)2n的收敛半径为R＝2，选(A)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、当x→0时，x－sinxcos2x～cxx，则c＝______，k＝______．标准答案：，3知识点解析：因为x→0时，sinx＝x－＋ο(x3)，cos2x＝1－＋ο(x2)＝1－2x2＋ο(x2)，sinxcos2x＝x－3＋ο(x3)，所以x－sinxcos2x＝x3＋ο(x3)～x3，故c＝，k＝3．6、当x→0时，－1～cos2x－1，则a＝______．标准答案：－3知识点解析：因为(1＋x2，cos2x－1＝(cosx＋1)(cosx－1)～－x2，且(1＋－1～cos2x－1，所以a＝－3．7、设函数y＝y(x)由确定，则y＝y(x)在x＝ln2处的法线方程为______．标准答案：(x－ln2)知识点解析：当x＝ln2时，t＝±1；当t＝±1时，y＝0．(1)当t＝－1时，由＝－1，∫0yeu2du＋∫t21arcsinudu＝0两边对t求导数得－2tarcsint2＝0，则，则法线方程为y＝(x－ln2)．(2)当t＝1时，由＝1．∫0yeu2du＋∫t21arcsinudu＝0两边对t求导得ey2－2tarcsint2＝0，则，法线方程为y＝(x－ln2)，即法线方程为y＝(x－ln2)．8、＝______．标准答案：知识点解析：9、I(x)＝du在区间[－1，1]上的最大值为______．标准答案：ln3知识点解析：I’(x)＜0，当x∈时，I’(x)＞0，所以x＝为f(x)在[－1，1]上的最小值点，又I(1)＝∫01＝ln(u2－u＋1)｜01＝0，I(－1)＝∫0－1du＝ln(u2－u＋1)｜－10＝－(0－ln3)＝ln3，故I(x)在[－1，1]上的最大值为ln3．10、＝______．标准答案：3e知识点解析：三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)11、设f(x)在[1，＋∞)内可导，f’(x)＜0且f(x)＝a＞0，令an＝－∫1nf(x)dx．证明：{an)收敛且0≤≤f(1)．标准答案：因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少．又因为an＋1－an＝f(n＋1)－∫nn＋1f(x)dx＝f(n＋1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n，n＋1])，所以{an}单调减少．因为an＝∫kk＋1[f(k)－f(x)]dx＋f(n)，而∫kk＋1[f(k)－f(x)]dx≥0(k＝1，2，…，n－1)且f(x)＝a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，＋∞))，故an≥f(n)＞0，所以an存在．由an＝f(1)＋[f(2)－∫12f(x)dx]＋…＋[f(n)－∫n－1nf(x)dx]，而f(k)－∫k－1kf(x)dx≤0(k＝2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤an≤f(1)．知识点解析：暂无解析12、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)连续，φ(x)＝∫01f(xt)dt，且＝A．求φ’(x)，并讨论φ’(x)在x＝0处的连续性．标准答案：当x≠0时，φ(x)＝∫01f(xt)dt＝∫01f(xt)d(xt)＝∫0xf(u)du，φ’(x)＝[xf(x)－∫0xf(u)du]．当x＝0时，φ(0)＝∫01f(0)dt＝0，因为＝φ’(0)，所以φ’(x)在x＝0处连续．知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．(1)写出f(x)在x＝c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式；(2)证明：｜f’(c)｜≤2a＋．标准答案：(1)f(x)＝f(c)＋f’(c)(x－c)＋(x－c)2，其中ξ介于c与x之间．(2)分别令x＝0，x＝1，得f(0)＝f(c)－f’(c)c＋c2，ξ1∈(0,c)，f(1)＝f(c)＋f’(c)(1－c)＋(1－c2)，ξ2∈(c,1)，两式相减，得f’(c)＝f(1)－f(0)＋(1－c)2，利用已知条件，得｜f’(c)｜≤2a＋[c2＋(1－c)2]，因为c2＋(1－c)2≤1，所以｜f’(c)｜≤2a＋．知识点解析：暂无解析15、设f(x)＝3x3＋Ax－3(x＞0)，A为正常数，问A至少为多少时，f(x)≥20？标准答案：f(x)≥20等价于A≥20x3－3x5，令φ(z)＝20x2－3x5，由φ’(x)＝60x2－15x4＝0，得x＝2，φ’’(x)＝120x－60x3，因为φ’’(2)＝－240＜0，所以x＝2为φ(x)的最大值点，最大值为φ(2)＝64，故A至少取64时，有f(x)≥20．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝0，f(1)＝1，证明：对任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得标准答案：因为f(x)在[0，1]上连续，f(0)＝0，f(1)＝1，且f(0)＜＜f(1)，所以由端点介值定理，存在c∈(0，1)，使得f(c)＝由微分中值定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得知识点解析：暂无解析17、设S(x)＝∫0x｜cost｜dt．(1)证明：当nπ≤x＜(n＋1)π时，2n≤S(x)＜2(n＋1)；(2)求．标准答案：(1)当nπ≤x＜(n＋1)π时，∫0nπ｜cost｜dt≤∫0x｜cost｜dt＜∫0(n＋1)π｜cost｜dt，∫0nπ｜cost｜dt＝n∫0π｜cost｜dt＝n｜cost｜dt＝2ncostdt＝2n，∫0(n＋1)π｜cost｜dt＝2(n＋1)，则2n≤S(x)＜2(n＋1)(2)由nπ≤x＜(n＋1)π，得，从而，根据夹逼定理得．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)＝f(b)＝0．证明：｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx(a＜x＜b)标准答案：因为且f(a)＝f(b)＝0，所以两式相加得｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx．知识点解析：暂无解析19、设u＝u(x，y，z)连续可偏导，令(1)若，证明：u仅为θ与φ的函数．(2)若，证明：u仅为r的函数．标准答案：(1)因为，所以u是不含r的函数，即u仅为θ与φ的函数．从而＝t(r2cos2θcosφsinφ)＋t(r2sin2θcosφsinφ)＋t(－r2sinφcos(φ)＝0，故u仅是r的函数，即u不含θ与φ．知识点解析：暂无解析20、计算∫01dxdy．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得f(x,y)g(x,y)dσ＝f(ξ,η)g(x,y)dσ．标准答案：因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y)积分得mg(x,y)dσ≤f(x,y)g(x,y)dσ≤Mg(x,y)dσ(1)当g(x，y)dσ＝0时，f(x，y)g(x，y)dσ＝0，则对任意的(ξ，η)∈D，有f(x,y)g(x,y)dσ＝f(ξ,η)g(x,y)dσ(2)当g(x,y)dσ＞0时，知识点解析：暂无解析22、设(n＝1，2，…；an＞0，bn＞0)，证明：(1)若级数bn收敛，则级数an收敛；(2)若级数an发散，则级数bn发散．标准答案：(1)由，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，知识点解析：暂无解析23、设f(x)＝，且a0＝1,an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．(1)求f(x)满足的微分方程；(2)求．标准答案：＝f(x)＋xex．则f(x)满足的微分方程为f’(x)－f(x)＝xex，f(x)＝因为a0＝1，所以f(0)＝1，从而C＝1，于是f(x)＝ex．知识点解析：暂无解析24、设函数f(x，y)可微，＝ecoty，求f(x，y)．标准答案：＝coty，解得f(0，y)＝Csiny．由f(0，)＝1，得C＝1，即f(0，y)＝siny．又由＝－f(x，y)，得lnf(x，y)＝－x＋lnφ(y)，即f(x，y)＝φ(y)e－x，由f(0，y)＝siny，得φ(y)＝siny，所以f(x，y)＝e－xsiny．知识点解析：暂无解析25、质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t＝10s时，速度等于50cm／s．外力为39．2cm／s2，问运动开始1min后的速度是多少?标准答案：由题意得F＝，因为当t＝10时，v＝50，F＝39．2，所以k＝196，从而F＝，分离变量得vdv＝196tdt，所以v2＝98t2＋C，由v｜t＝10＝50，得C＝－8550，于是．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设x→0时，etanx一ex是与xn同阶的无穷小，则n为()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：暂无解析2、设f(x)在(一∞，+∞)上可导，且对任意的x1和x2，当x1＞x2时都有f(x1)＞f(x2)，则A、对任意x，f’(x)＞0．B、对任意x，f’(一x)≤0．C、函数f(一x)单调增加．D、函数一f(一x)单调增加．标准答案：D知识点解析：暂无解析3、设f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得()A、f(x)在(0，δ)内单调增加．B、f(x)在(一δ，0)内单调减少．C、对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)．D、对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0)．标准答案：C知识点解析：暂无解析4、设f(x)，φ(x)在点x=0的某邻域内连续且x→0时，f(x)是φ(x)的高阶无穷小，则x→0时，∫0xf(t)sintdt是∫0xtφ(t)dt的()无穷小A、低阶B、高阶C、同阶非等价D、等价标准答案：B知识点解析：暂无解析5、设D是xay平面上以(1，1)，(一1，1)和(一1，一1)为顶点的三角形域，D1是D在第一象限的部分，则等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析6、设0＜a＜1，区域D由x轴，y轴，直线x+y=a及x+y=1所围成，且则()A、I＜K＜J．B、K＜J＜I．C、I＜J＜K．D、J＜I＜K．标准答案：D知识点解析：暂无解析7、设常数k＞0，则级数V()A、发散．B、绝对收敛．C、条件收敛．D、收敛或发散与k的取值有关．标准答案：C知识点解析：暂无解析8、以下命题中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)9、=______．标准答案：2知识点解析：暂无解析10、已知f’(3)=2，则=______．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)向上凸的x取值范围为______．标准答案：(一∞，1)知识点解析：暂无解析12、=______标准答案：知识点解析：暂无解析13、∫02dx∫x2e－y2dy=_______．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设则该幂级数的收敛半径等于______．标准答案：知识点解析：暂无解析15、已知yt一et是差分方程yt+1+ayt－1一2et的一个特解，则a=______．标准答案：2e—e2知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)16、设f(x)=ex2，f[φ(x)]=1一x，且φ(x)≥0，求φ(x)及其定义域．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求极限标准答案：3知识点解析：暂无解析18、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析19、已知f(x)在(0，+∞)上可导，f(x)＞0，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、设求∫f(x)dx标准答案：知识点解析：暂无解析22、求曲线的一条切线l，使该曲线与切线z及直线x=0，x=2所围成图形面积最小．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设函数f(x)连续，且f(0)≠0，求极限标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x，y)=∫0xye－t2，求标准答案：一2e－x2y2知识点解析：暂无解析25、计算｜x2+y2一2y｜dxdy．其中D：x2+y2≤4．标准答案：9π知识点解析：暂无解析26、设z=z(x，y)由方程x2一6xy+10y2一2yz—z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．标准答案：点(9，3)为z=z(x，y)的极小值点，极小值为z(9，3)=3；点(一9，一3)为z=z(x，y)的极大值点，极大值为2(一9，一3)=一3．知识点解析：暂无解析27、求幂级数的收敛域及和函数．标准答案：收敛域一1＜x＜1，和函数知识点解析：暂无解析28、将展开为x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析29、求微分方程的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析30、设f(x)连续，∫01f(xt)dt=f(x)+1，求f(x)．标准答案：f(x)=Cx+2．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、下列函数f(x)中其原函数及定积分∫-11f(x)dx都存在的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：像这类题需逐一分析．上述四个选项的f(x)均不连续．对于(A)：显然x=0是f(x)的第一类间断点，因此在任意一个不包含点x=0在内的区间上，f(x)一定存在原函数．因为当x≠0时｜x｜’=f(x)，因此当x≠0时，f(x)的全体原函数｜x｜+C在x=0处不可导，从而在任意一个包含x=0在内的区间上，｜x｜+C不是f(x)的原函数，所以f(x)在上述区间上不存在原函数．但定积分∫-11f(x)dx存在，因为f(x)在上述区间上有界，且只有有限个间断点．故(A)不对．对于(B)：显然x=0是f(x)的振荡间断点即第二类间断点，但是该f(x)存在原函数F(x)=(容易验证，当一∞＜x＜+∞时F’(x)=f(x))．而定积分∫-11f(x)dx不存在，因为在x=0的邻域内f(x)无界．故(B)不对．对于(C)：显然x=0是f(x)的无穷间断点即第二类间断点，此f(x)在包含x=0在内的区间上不存在原函数．定积分∫-11f(x)dx也不存在．故(C)也不对．对于(D)：显然x=0是f(x)的第二类间断点，容易验证该f(x)在(一∞，+∞)上存在原函数F(x)=定积分∫-11f(x)dx也存在(因为f(x)在(一∞，+∞)上有界，且只有有限个间断点)．故D正确，应选D．2、积分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值A、与a有关．B、是与a无关的负数．C、是与a无关的正数．D、为零．标准答案：C知识点解析：由于被积函数ln(2+cosx)．cosx是以2π为周期的偶函数，因此原式=∫02π(2+cosx)cosxdx=∫-ππln(2+cosx)cosxdx=2∫0πln(2+cosx)cosxdx=2∫0πln(2+cosx)d(sinx)=2[sinxln(2+cosx)｜0π—∫0πsinxdln(2+cosx)]=[∫0π．又因为在[0，π]上，2+cosx＞0，sin2x＞0，因此该积分是与a无关的正数．故选C．3、设F’(x)=f(x)，则A、当f(x)为奇函数时，F(x)一定是偶函数．B、当f(x)为偶函数时；F(x)一定是奇函数．C、当f(x)是以T为周期的函数时，F(x)一定也是以T为周期的函数．D、当f(x)是以T为周期的函数时，F(x)一定不是以T为周期的函数．标准答案：A知识点解析：令F(x)=+1，则f(x)=x2是偶函数，但F(x)不是奇函数，故可排除(B)．令F(x)=sinx+x，则f(x)=cosx+1，f(x)是周期函数，但F(x)不是周期函数，故可排除(C)．令F(x)=sinx，则f(x)=cosx，f(x)和F(x)都是周期函数，故可排除(D)．当f(x)为奇函数时，F(x)=∫0xf(t)dt+C，而F(一x)=∫0-xf(t)dt+Cf(一u)d(一u)+C=∫0xf(u)du+C=F(x)，故F(x)是偶函数，应选A．4、设f(x)在(一∞，+∞)上连续，则下列命题正确的是A、若f(x)为偶函数，则∫-aaf(x)dx≠0．B、若f(x)为奇函数，则∫-aaf(x)dx≠2∫0af(x)dx．C、若f(x)为非奇非偶函数，则∫-aaf(x)dx≠0．D、若f(x)为以T为周期的周期函数，且是奇函数，则F(x)=∫0xf(t)dt是以T为周期的周期函数．标准答案：D知识点解析：由于f(x)=0既是偶函数又是奇函数，且∫-aa0dx=0，所以不选A，B．若f(x)为非奇非偶函数，也可能有∫-aaf(x)dx=0．例如f(x)=在(一∞，+∞)上为非奇非偶函数，但∫-11f(x)dx=一∫-103xdx+∫011dx=0，因此不选C，由排除法应选D．事实上，利用“若f(x)为以T为周期的周期函数，则∫a+Tf(x)dx的值与a无关”与奇函数的积分性质可得，x有F(x+T)—F(x)=∫0x+T—F(x)=∫0x+Tf(t)dt—∫0xf(t)dt=∫xx+Tf(t)dt=f(t)dt=0，所以F(x)=∫0xf(t)dt是以T为周期的周期函数．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)5、=___________．标准答案：知识点解析：6、=___________．标准答案：知识点解析：7、∫(lnlnx+)dx=___________．标准答案：xlnlnx+C知识点解析：原式=∫(lnlnx+x．)dx=∫lnlnxdx+xd(lnlnx)=∫d(xlnlnx)=xlnlnx+C．8、(cosx一sinx)dx=___________．标准答案：+C知识点解析：9、设f(x)连续，f’(x)≠0，则=___________．标准答案：知识点解析：10、=___________．标准答案：知识点解析：令cotx=t，则x→0+时t→+∞，x=时t=0，故再令t=，则t→+∞时x→0+，t→0+时x→+∞，于是11、∫01=___________．标准答案：知识点解析：12、ln(sinx)dx=___________．标准答案：知识点解析：13、∫0a(a＞0)=___________．标准答案：知识点解析：利用分部积分法．三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)求下列不定积分：14、标准答案：原式=．知识点解析：暂无解析15、标准答案：原式=．知识点解析：暂无解析16、(x＞1)；标准答案：知识点解析：暂无解析17、∫e2x(1+tanx)2dx；标准答案：注意到(1+tanx)2=+2tanx，这样被积函数分成了两项．于是∫e2x(1+tanx)2dx=∫e2x(+2tanx)dx=∫e2xd(tanx)+2∫e2xtanxdx=e2xtanx一2∫e2xtanxdx+2e2xtanxdx=e2xtanx+C．知识点解析：暂无解析18、ln(1+x2)dx；标准答案：知识点解析：暂无解析19、∫max{x3，x2，1}dx．标准答案：由于被积函数是max{x3，x2，1}，所以首先要对x的不同取值范围定出被积函数的表达式；其次，为使求得的原函数处处连续，要对任意常数进行“调整”．求解如下：令f(x)=max{x3，x2，1}=，则当x＜一1时，∫f(x)dx=∫x2dx=x3+C2；当一1＜x＜1时，∫f(x)ddx=∫dx=x+C2；当x＞1时，∫f(x)dx=∫x3dx=x4+C3．由于原函数的连续性，有令C2=C，则C1=一+C，故∫max{x3，x2，1}dx=知识点解析：暂无解析求下列定积分：20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、∫01()4dx标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：利用定积分的分段积分法与推广的牛顿一莱布尼兹公式得知识点解析：先用凑微分法求或用变量替换．令t=tanx，则x=arctant，dx．于是现用牛顿．莱布尼茨公式即得注意所得的积分值为负，无疑是错误的，但错在哪里呢?这是因为函数处无意义，可知上的原函数，它在积分区间[0，]上也不连续，故不符合牛顿．莱布尼茨公式及其推广的条件．用换元法．令t=tanx，则α=tan0=0，β=tan=一1．于是这当然也是错的，错在哪里呢?因为当t∈[一1，0]时，x=arctant之值不落在原积分区间[0，]上．求下列定积分：23、∫-11xln(1+ex)dx；标准答案：原式=∫01xln(1+ex)dx+∫-10xln(1+ex)dx．又∫-10xln(1+ex)dxtln[1n(1+et)一t]dt=一∫01tln(1+et)dt+∫01t2dt=一∫01xln(1+ex)dx+∫01x2dx，因此，原式=∫01x2dx=．知识点解析：暂无解析24、∫-11标准答案：原式=由积分区间的对称性及函数奇偶性可知知识点解析：暂无解析25、∫01ln(1+)dx；标准答案：用分部积分法可得知识点解析：暂无解析求下列定积分：26、∫01标准答案：令x=tant，则dx=sec2tdt，故知识点解析：暂无解析27、∫01标准答案：用分部积分法，可在(0，+∞)内求得不定积分由xlnx=0，可定义被积函数在x=0处的值为0，于是被积函数在[0，+∞)上连续．又由x2lnx=0，令则在[0，+∞)上，有=F(x)+C．因此知识点解析：暂无解析28、∫02标准答案：令x一1=sint，则dx=costdt，故知识点解析：暂无解析29、已知是f(x)的一个原函数，求∫x3f’(x)dx．标准答案：由分部积分得∫x3f’(x)dx=x3f(x)一3∫x2f(x)dx．=x2cosx—xsinx一3(xsinx+2cosx)+C=x2cosx一4xsinx一6cosx+C．知识点解析：暂无解析30、设F(x)是f(x)的一个原函数，且当x＞0时，满足f(x)F(x)=，F(x)＜0，F(0)=一1．求f(x)(x＞0)．标准答案：对等式两边积分，得又由F(x)＜0，F(0)=一1，可知C=0，于是F(x)=．因而，f(x)=F’(x)=．知识点解析：暂无解析31、设f’(lnx)=且f(0)=0，求函数f(x)和f(lnx)．标准答案：令lnx=t或x=et，则上式积分得f(t)=由f(t)在t=0处连续，即f(0+)=f(0-)=f(0)=0，得C1=0，C2=一1．故所求的函数为知识点解析：暂无解析32、设f’(x)=arcsin(x一1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx．标准答案：∫01f(x)dx=∫01f(x一1)=(x—1)f(x)｜01一∫01(x一1)f’(x)dx=f(0)一∫01(x一1)f’(x)dx=一∫01(x一1)arcsin(x一1)∫01dx知识点解析：暂无解析求下列积分(其中n=1，2，3，…)：33、In=cosnxarctanexdx；标准答案：利用公式[f(x)+f(一x)]dx，并令f(x)=cosnxarctanex可得In=[cosnxarctanex+cosn(一x)arctane-x]dx在上面利用了恒等式arctanex+arctan，x∈(一∞，+∞)．知识点解析：暂无解析34、Jn=cosncosnxdx．标准答案：建立Jn的递推公式．首先其实上述公式对n=1，2，3，…都成立．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第5套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设{an}与{bn}为两个数列，下列说法正确的是()．A、若{an}与{bn}都发散，则{anbn}一定发散B、若{an}与{bn}都无界，则{anbn}一定无界C、若{an}无界且D、若an为无穷大，且则bn一定是无穷小标准答案：D知识点解析：A不对，如an=2+(－1)n，bn=－2－(－1)n，显然{an}与{bn}都发散，但anbn=3，显然{anbn}收敛；B，C都不对，如an=n[1+(－1)n]，bn=n[1－(－1)n]，显然{an}与{bn}都无界，但anbn=0，显然{anbn}有界且；正确答案为D．2、f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x0处()．A、可导B、不可导C、连续但不一定可导D、不连续标准答案：C知识点解析：由f(x)在x0处可导得｜f(x)｜在x0处连续，但｜f(x)｜在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0处不可导，选C．3、下列说法正确的是()．A、设f(x)在x0二阶可导，则f’’(x)在x=x0处连续B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C、f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点标准答案：D知识点解析：令不存在，所以A不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以B不对；C显然不对，选D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)4、设f(x)连续，且f(1)=1，则=______．标准答案：知识点解析：5、设∫0yetdt+∫0xcostdt=xy确定函数y=y(x)，则=______．标准答案：知识点解析：∫0yetdt+∫0xcostdt=xy两边对x求导得6、______．标准答案：知识点解析：7、设f(x)=∫0xecostdt．求∫0πf(x)cosxdx．标准答案：e－1－e知识点解析：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π－∫0πf’(x)sinxdx=－∫0πecosxsinxdx=ecosx｜0π=e－1－e．8、以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为______．标准答案：y’’－3y’’+4y’－2y=0知识点解析：特征值为λ1=1，λ2,3=1±i，特征方程为(λ－1)(λ－1+i)(λ－1－i)=0，即λ3－3λ2+4λ－2=0，所求方程为y’’－3y’’+4y’－2y=0．三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)9、求标准答案：知识点解析：暂无解析10、设求f(x)的间断点并指出其类型．标准答案：首先其次f(x)的间断点为x=kπ(k=0，±1，…)，因为，所以x=0为函数f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=kπ(k=±1，…)为函数f(x)的第二类间断点．知识点解析：暂无解析11、确定a，b，使得x－(a+bcosx)sinx，当x→0时为阶数尽可能高的无穷小．标准答案：令y=x－(a+bcosx)sinx，y’=1+bsin2x～(a+bcosx)cosx，y’’=bsin2x+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y’’’=acosx+4bcos2x，显然y(0)=0，y’’(0)=0，所以令y’(0)=y’’(0)=0得故当时，x－(a+bcosx)sinx为阶数尽可能高的无穷小．知识点解析：暂无解析设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f(1)=0．证明：12、存在使得f(η)=η；标准答案：令φ(x)=f(x)－X，φ(x)在[0，1]上连续，φ(1)=－1＜0，由零点定理，存在使得φ(η)=0，即f(η)=η．知识点解析：暂无解析13、对任意的k∈(－∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]=1．标准答案：设F(x)=e－kxφ(x)，显然F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=F(η)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)=0，整理得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]=1．知识点解析：暂无解析14、当x＞0时，证明：标准答案：令f(x)=(+1)ln(1+x)－2arctanx，f(0)=0．所以从而f’(x)≥0(x＞0)．由得f(x)≥f(0)=0(x＞0)，即知识点解析：暂无解析15、求标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f’’(x)＜0．证明：∫01f(x2)dx≤标准答案：由泰勒公式，得知识点解析：暂无解析17、设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f∫abxφ(x)dx]．标准答案：因为f’’(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)．取x0=∫abxφ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)中，再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)－x0φ(x)]，上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．知识点解析：暂无解析18、求二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由x轴、y轴及x+y=6所同围成的闭区域D上的最小值和最大值．标准答案：(1)求f(x，y)在区域D的边界上的最值，在L1：y=0(0≤x≤6)上，z=0；在L2：x=0(0≤Y≤6)上，z=0；在L3：Y=6－x(0≤x≤6)上，z=－2x2(6－x)=2x3－12x2，由=6x2－24x=0得x=4，因为f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=－64，所以f(x，y)在Lundefined知识点解析：暂无解析19、设二元函数f(x，y)=｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．标准答案：(必要性)设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f’x(0，0)，f’y(0，0)存在．因为所以φ(0，0)=0．(充分性)若φ(0，0)=0，则f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0．因为即f(x，y)在点(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析20、计算二重积分标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)为连续函数，计算其中D是由y=x3，y=1，x=－1围成的区域．标准答案：设f(x)的一个原函数为F(x)，则知识点解析：暂无解析22、若正项级数收敛．标准答案：因为当x＞0时，ln(1+x)＜x，于是为正项级数，而收敛．知识点解析：暂无解析设(n=1，2，…；an＞0，bn＞0)，证明：23、若级数收敛；标准答案：(1)由则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，无论A=0还是A＞0，若级数收敛．知识点解析：暂无解析24、若级数发散．标准答案：(2)若A=0，由级数敛散性相同，故若级数发散．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在(－∞，+∞)内一阶连续可导，且发散.标准答案：由，所以存在δ＞0，当｜x｜＜δ时，f’(x)＞0，于是存在N＞0，当n＞N时，由莱布尼茨审敛法知收敛，因为发散．知识点解析：暂无解析26、设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0．(1)求f(x)；(2)证明：当x≥0时，e－x≤f(x)≤1．标准答案：(1)(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)－∫0xf(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f’’(x)=－(x+2)f’(x)=>再由f(0)=1，f’(0)+f(0)=0，得f’(0)=－1，所以C=－1，于是(2)当x≥0时，因为f’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．令g(x)=f(x)－e－x．g(0)=0，g’(x)=f’(x)+e－x=由=>g(x)≥0=>f(x)≥e－x(x≥0)．知识点解析：暂无解析27、用变量代换x=sint将方程化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．标准答案：的通解为y=C1e－2t+C2e2t，故原方程的通解为y=C1e－2arcsinx+C2e2arcsinx．知识点解析：暂无解析28、高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为0．9，问高度为130的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是cm，时间单位为h)?标准答案：t时刻雪堆体积侧面积根据题意得因为h(0)=130，所以C=130，则得t=100，即经过100小时全部融化．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第6套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、已知一ax一b)=0，其中a，b是常数，则A、a=1，b=1．B、a=一1，b=1．C、a=1，b=一1．D、a=一1，b=一1．标准答案：C知识点解析：这是从已知极限值去确定函数式中的待定常数．可通过直接计算，导出式中的常数所满足的方程组，然后解出a和b．作为选择题，也可把四个选项中的各组常数值代入，看哪一组常数可以使极限为零，这种解法留给读者自己完成．由，得1—a=0，a+b=0，即a=1，b=一1．故选(C)．由极限的四则运算法则知设有定义在(一∞，+∞)上的函数：则2、其中在定义域上连续的函数是_________；A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=其中g(x)在(一∞，0]连续，h(x)在[0，+∞)连续．因当x∈(一∞，0]时f(x)=g(x)→f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)，则f(x)=h(x)在x∈[0，+∞)上成立．于是f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．3、(Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是_________．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：关于(A)：由于故x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由于=e≠h(0)，故x=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选(D)．我们也可直接考察(D)．由于故x=0是m(x)的第二类间断点．二、填空题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、极限=__________．标准答案：sin1一cos1知识点解析：极限是f(x)=xsinx在[0，1]区间上的一个积分和，由于f(x)在[0，1]可积，于是I=∫01f(x)dx=∫01xsinxdx=一∫01xdcosx=一xcosx｜01+∫01cosxdx=一cos1+sinx｜01=sin1一cos1．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)5、求下列极限：标准答案：本题两个极限都是1∞型未定式，可用上面介绍的做法求解．其中用了等价无穷小因子替换：—1～x2lna(x→0)，ax一1～xlna(x→0)．因此w=e—2．知识点解析：暂无解析6、求下列极限：标准答案：其中用了等价无穷小因子替换：ln(1一x)～一x(x→0)，tant～t(t→0)．因此w==e0=1．(Ⅱ)属∞0型．利用恒等变形及基本极限=1可得w==1．20=1．知识点解析：暂无解析7、设f(x)在[0，+∞)连续，且满足．标准答案：先作恒等变形转化为求型未定式，然后用洛必达法则．知识点解析：暂无解析8、设f(x)可导，且f(0)=0，f’(0)≠0，求w=．标准答案：此极限是型未定式．由洛必达法则可得知识点解析：暂无解析9、已知w==1，求常数a≥0与b的值．标准答案：本题是型未定式．用洛必达法则，并结合等价无穷小因子替换可求得w．设f(x)=，当a＞0时f(x)在(一∞，+∞)上连续；当a=0时f(x)在x≠0有定义，且f(x)==x｜x｜，补充定义f(0)=0，则f(x)=x｜x｜在(—∞，+∞)上连续．从而，当a≥0时∫0xf(t)dt可导，且知识点解析：暂无解析10、确定常数a，b，c的值，使=4．标准答案：由于当x→0时对常数a，b都有ax2+bx+1一e—2x→0，又已知分式的极限不为零，所以当x→0时必有分母→0，故必有c=0．由于故必有a=4．综合得a=4，b=—2，c=0．知识点解析：暂无解析11、设(Ⅰ)f(x)=；求f(x)，g(x)．标准答案：(Ⅰ)需要对参数x用夹逼定理分段进行讨论．知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、求w=．标准答案：记xn=是f(x)=tanx在[0，1]区间上的一个积分和．由于f(x)在[0，1]上连续，故可积，于是=一lncosx｜01=—lncos1．因此，我们对xn用适当放大缩小法，将求xn转化为求积分和的极限．因知识点解析：暂无解析14、求下列数列极限：标准答案：(Ⅰ)先用等价无穷小因子替换：现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得知识点解析：暂无解析15、当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n：(Ⅰ)一1；(Ⅱ)(1+tan2x)sinx一1；(Ⅲ)；(Ⅳ)∫0xsint．sin(1一cost)2dt．标准答案：(Ⅰ)一1～x4—2x2～一2x2(x→0)，即当x→0时一1是x的2阶无穷小，故n=2．(Ⅱ)(1+tan2x)sinx一1一ln[(1+tan2x)sinx一1+1]=sinxln(1+tan2x)～sinxtan2x～x．x2=x3(x→0)，即当x→0时(1+tan2x)sinx一1是x的3阶无穷小，故n=3．(Ⅲ)由1—的4阶无穷小，即当x→0时是x的4阶无穷小，故n=4．即当x→0时∫0xsint．sin(1一cost)2dt是x的6阶无穷小，故n=6．知识点解析：暂无解析16、设函数f(x)存x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0，f’(0)≠0，若af(h)+bf(2h)一f(0)当h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a、b的值．标准答案：由题设条件知[af(h)+bf(2h)一f(0)]=(a+b—1)f(0)=0．由于f(0)≠0，故必有a+b一1=0．利用a+b=1和导数的定义，又有=af’(0)+2bf’(0)=(a+2b)f’(0)=(1+b)f’(0)．因f’(0)≠0，故1+b=0，即b=一1．于是a=2，b=一1．知识点解析：暂无解析17、试确定a和b的值，使f(x)=有无穷间断点x=0，有可去间断点x=1．标准答案：为使x=0为f(x)的无穷间断点，必须有=∞，因而a=0，b≠1．将a=0代入上面极限式中，为使x=1是f(x)的可去间断点，必须有(常数)．因(ex一b)=0，即b=e．综合即得a=0，b=e．知识点解析：暂无解析18、设f(x)=试确定常数a，使f(x)在x=0处右连续．标准答案：由题意a=．利用当x→0+时的等价无穷小关系ln(1一x)～一x可得所以a=e0=1．知识点解析：暂无解析19、设f(x)是在(一∞，+∞)上连续且以T为周期的周期函数，求证：方程f(x)一的闭区间上至少有一个实根．标准答案：a∈(一∞，+∞)，考虑闭区间[a，a+]，作辅助函数F(x)=f(x)一f(x一)，则于是，若f(a)=(a—均为方程F(x)=0的根；若f(a)≠f(a—上连续，由闭区间上连续函数的零值定理知，至少存在一点ξ∈(a，a+的闭区间上至少有一个实根．知识点解析：考虑辅助函数F(x)=f(x)一f(x一)，要证明F(x)在任意一区间[0，a+]上必有零点．20、设f(x)在(一∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明：(Ⅰ)设A＜B，则对ξ∈(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；(Ⅱ)f(x)在(一∞，+∞)上有界．标准答案：利用极限的性质转化为有界区间的情形．(Ⅰ)由f(x)=A<μ及极限的不等式性质可知，X1使得f(X1)＜μ．由X2>X1使得f(X2)＞μ．因f(x)在[X1，X2]连续，f(X1)＜μ＜f(X2)，由连续函数介值定理知(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ．(Ⅱ)因f(x)=B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，X1，使得当x∈(一∞，X1)时f(x)有界；X2(＞X1)，使得当x∈(X2，+∞)时f(x)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x)在[X1，X2]上有界．因此f(x)在(一∞，+∞)上有界．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第7套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、函数f（x）=的间断点及类型是（）A、x=1为第一类间断点，x=—1为第二类间断点B、x=±1均为第一类间断点C、x=1为第二类间断点，x=—1为第一类间断点D、x=±1均为第二类间断点标准答案：B知识点解析：分别就|x|=1，|x|＜1，|x|＞1时求极限得出f（x）的分段表达式：所以，x=±1均为f（x）的第一类间断点，故选B。2、设F（x）=g（x）φ（x），x=a是φ（x）的跳跃间断点，g’（a）存在，则g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a处可导的（）A、充分必要条件B、充分非必要条件C、必要非充分条件D、非充分非必要条件标准答案：A知识点解析：因φ（x）在x=a处不可导，所以不能对F（x）用乘积的求导法则，须用定义求F’（a）。题设φ（x）以x=a为跳跃间断点，则存在A+，A+≠A—。当g（a）=0时，这表明，g（a）=0时，F’（a）存在下面证明若F’（a）存在，则g（a）=0。反证法，若g（a）≠0，φ（x）=由商的求导法则，φ（x）在x=a可导，这与题设矛盾，则g（a）=0，g’（a）=0是F（x）在x=a处可导的充要条件。故选A。3、设f（x）在（0，+∞）内二阶可导，满足f（0）=0，f"（x）＜0（x＞0），又设b＞a＞0，则a＜x＜b时，恒有（）A、af（x）＞xf（a）B、f（x）＞xf（b）C、xf（x）＞bf（b）D、xf（x）＞af（a）标准答案：B知识点解析：将A，B选项分别改写成于是，若能证明或xf（x）的单调性即可。又因令g（x）=xf’（x）—f（x），则g（0）=0，g’（x）=xf"（x）＜0（x＞0），那么g（x）＜g（0）=0（x＞0），即故在（0，+∞）内单调减小。所以当a＜x＜b时，故选B。4、设f（x）具有二阶连续导数，且f’（1）=0，则（）A、f（1）是f（x）的极大值B、f（1）是f（x）的极小值C、（1，f（1））是曲线f（x）的拐点坐标D、f（1）不是f（x）的极值，（1，f（1））也不是曲线f（x）的拐点坐标标准答案：B知识点解析：选取特殊f（x）满足:f"（x）=（x—1）2，如取f（x）=（x—1）4，则f（x）满足题中条件，f（x）在x=1处取极小值，而其余均不正确。故选B。5、若f（x）的导函数是sinx，则f（x）有一个原函数为（）A、1+sinxB、1—sinxC、1+cosxD、1—cosx标准答案：B知识点解析：由f’（x）=sinx，得f（x）=∫f’（x）dx=∫sinxdx=—cosx+C1，所以f（x）的原函数是F（x）=∫f（x）dx=∫（—cosx+C1）dx=—sinx+C1x+C2，其中C1，C2为任意常数。令C1=0，C2=1得F（x）=1—sinx。故选B。6、方程∫0x=0根的个数为（）A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：设F（x）=∫0x+∫cosx0e—t2dt，则F（x）在（一∞，+∞）内连续，又F（0）=∫10e—t2dt＜0，＞0，由零点定理得F（x）=0至少有一个根。又易知且当x∈（一∞，+∞）时，≥1（等号仅当x=0成立），又0＜≤1，—1≤sinx≤1，所以有—1≤sinx≤1，又F’（0）=1＞0，因此F’（x）＞0，从而有F（x）在（一∞，+∞）严格单调递增，由此F（x）=0最多有一个实根。综上，F（x）=0在（一∞，+∞）上有且仅有一个实根，故选B。7、设函数z=f（x，y）的全微分为dx=xdx+ydy，则点（0，0）（）A、不是f（x，y）的连续点B、不是f（x，y）的极值点C、是f（x，y）的极大值点D、是f（x，y）的极小值点标准答案：D知识点解析：根据dz=xdx+ydy可得，又在（0，0）处，，AC—B2=1＞0，根据二元函数极值点的判断方法可知，（0，0）为函数z=f（x，y）的一个极小值点。因此正确选项为D。8、设f（x，y）为连续函数，则dθ∫01f（rcosθ，rsinθ）rdr等于（）A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由题设可知，积分区域D如图1—4—5所示，则9、级数（a＞0，β＞0）的敛散性（）A、α与β取值有关B、α与α取值有关C、与α和β的取值都有关D、与α和β的取值都无关标准答案：C知识点解析：由于（1）当0＜β＜1时，级数发散。（2）当β＞1时，级数收敛。（3）当β=1时，原级数为，当α＞1时收敛，当a≤1时发散，故选C。10、微分方程y"一λ2y=eλx+e—λx（λ＞0）的特解形式为（）A、a（eλx+e—λx）B、ax（eλx+e—λx）C、x（aeλx+be—λx）D、x2（aeλx+be—λx）标准答案：C知识点解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一λ2=0，其特征根为r1，2=±A，所以y"一λ2y=eλx的特解为y1*=axeλx，y"一λ2y=eλ2x的特解为y2*=bxe—λx，根据叠加原理可知原方程的特解形式为y*=y1*+y2*=x（aeλx+be—λx），因此选C。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)11、标准答案：知识点解析：12、设f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+n），则f’（0）=________。标准答案：n!知识点解析：由于f’（x）=（x+1）（x+2）…（x+n）+x[（x+2）…（x+n）+…+（x+1）（x+2）…（x+n—1）]，所以f’（0）=n!。13、曲线处的切线方程为________。标准答案：知识点解析：在点处的切线的斜率为，在曲线方程两端分别对x求导，得因此所求的切线方程为14、设a＞0，则标准答案：知识点解析：由题干可知，原式可化为根据定积分的几何意义可得（半径为a的半圆的面积），所以15、设函数f（u）可微，且f’（0）=，则z=f（4x2一y2）在点（1，2）处的全微分dz|（1，2）=________。标准答案：4dx—2dy知识点解析：直接利用微分的形式计算，因为16、设D为不等式0≤x≤3，0≤y≤1所确定的区域，则minm（x，y）dxdy=________。标准答案：知识点解析：由题干可知，min（x，y）dxdy=∫01dy∫y3ydx+∫01dy∫0yxdx=。17、幂级数的收敛半径R=________。标准答案：知识点解析：首先设an=，则当满足条件＜1时，即|x|＜时，该幂级数是收敛的。因此，此幂级数的收敛半径是。18、微分方程y"一y’+=0的通解为________。标准答案：y=（C1+C2x），C1，C2为任意常数知识点解析：二阶齐次微分方程的特征方程为λ2一λ+=0，解方程得λ1=λ2=因此齐次方程的通解为y=（C1+C2x），C1，C2为任意常数。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、设g（x）=其中f（x）在x=0处二阶可导，且f（0）=f’（0）=1。（Ⅰ）a，b为何值时，g（x）在x=0处连续；（Ⅱ）a，b为何值时，g（x）在x=0处可导。标准答案：（Ⅰ）若要g（x）在x=0处连续，必须=g（0），即b=—1。故b=—1，a为任意实数时，g（x）在x=0处连续。（Ⅱ）若要g（x）在x=0处可导，则必须g（x）在x=0处连续（b=—1），且g—’（0）=g+’（0），所以所以当a=[f"（0）一1]，b=—1时，g（x）在x=0处可导。知识点解析：暂无解析21、证明，—1＜x＜1。标准答案：故f’（x）≥0，而f（0）=0，所以有f（x）≥0，即得故f’（x）≤0，因此仍有f（x）≥f（0）=0，即得知识点解析：暂无解析22、（Ⅰ）比较∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt与∫01tn|lnt|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。（Ⅱ）记un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限un。标准答案：（Ⅰ）令f（t）=ln（1+t）—t。当0≤t≤1时，f’（t）=一1≤0，故当0≤t≤1时，f（t）≤f（0）=0，即当0≤t≤1时，0≤ln（1+t）≤t≤1，从而[ln（1+t）]n≤tn（n=1，2，…）。又由|lnt|≥0得∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt≤∫0ttn|lnt|dt（n=1，2，…）。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0≤un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt≤∫01tn|lnt|dt，因为∫01tn|lnt|dt=—∫01tn（lnt）dt