考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷3（共135题）

考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷3（共9套）（共135题）考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第1套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，-3a)T，α3=(-1，-b-2，a+2b)T，β=(1，3，-3)T，试讨论当a，b为何值时，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3线性表示；(Ⅱ)β可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式；(Ⅲ)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不惟一，并求表示式．标准答案：设有一组数x1，x2，x3，使得x1α1+x2α2+x3α3=β(*)对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：(1)当a=0，b为任意常数时，有可知r(A)≠，故方程组(*)无解，β不能由α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0，且a≠b时，r(A)==3，方程组(*)有唯一解：x1=1-，x2=，x3=0．故此时β可由α1，α2，α3唯一地线性表示为：β=(1-)α1+α2．(3)当a=b≠0时，对施行初等行变换：可知r(A)==2，故方程组(*)有无穷多解，通解为：x1=1-，x2=+c，3=c，其中c为任意常数．故此时β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为β=(1-)α1+(+c)α2+α3．知识点解析：暂无解析2、求标准答案：由知识点解析：暂无解析3、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析4、试求方程ex=ax2(a＞0为常数)的根的个数．标准答案：即在(0，+∞)内有且仅有两个零点．知识点解析：暂无解析5、已知ξ＝是矩阵A＝的一个特征向量．(1)试确定a，b的值及特征向量考所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵?说明理由．标准答案：(2)A＝的特征值为λ1＝λ2＝λ3＝－1，但矩阵－E－A＝的秩为2，从而与λ＝－1对应的线性无关特征向量(即A的线性无关特征向量)只有1个，故A不能相似于对角阵．知识点解析：暂无解析6、计算标准答案：知识点解析：暂无解析7、求微分方程y’’一a(y’)2=0(a＞0)满足初始条件y｜x=0=0，y’｜x=0=一1的特解。标准答案：令y’=p，则将之代入原方程，得分离变量并积分由此得=ax+C1，由x=0，y=0，y’=p=一1，得C1=1，即，即故有由x=0，y=0，得C2=0，所以知识点解析：暂无解析8、计算n阶行列式标准答案：对第一列展开：D=aiAi1=(-1)i+1aiMi1．Mi1=其中Gi是一个对角线元素都是-1的i-1阶下三角矩阵，Hi是一个对角线元素都是x的n-i阶上三角矩阵，于是Mi1=｜Gi｜｜Hi｜=(-1)i-1xn-i．代入得D=aixn-t．知识点解析：暂无解析9、设A是3阶矩阵，交换A的1，2列得B，再把B的第2列加到第3列上，得C．求Q，使得C＝AQ．标准答案：利用矩阵初等变换与初等矩阵的关系．得知识点解析：暂无解析10、已知a，b，c不全为零，证明方程组只有零解．标准答案：因为系数行列式=-(a2+bv+c2)≠0，所以齐次方程组只有零解．知识点解析：暂无解析11、计算定积分∫-12χe－｜χ｜dχ．标准答案：知识点解析：暂无解析12、高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足，已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为0．9，问高度为130的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是cm，时间单位为h)?标准答案：得t=100，即经过100小时全部融化．知识点解析：暂无解析设方程组有无穷多个解，α1=为矩阵A的分别属于特征值λ1=1，λ2=-2，λ3=-1的特征向量．13、求A；标准答案：因为方程组有无穷多个解，所以D==a2-2a+1=0，解得a=1．令P(α1，α2，α3)=知识点解析：暂无解析14、求｜A*+3E｜．标准答案：｜A｜=2，A*对应的特征值为，即2，-1，-2，A*+3E对应的特征值为5，2，1，所以｜A*+3E｜=10．知识点解析：暂无解析15、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第2套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、作函数的图形．标准答案：①定义域为(一∞，0)∪(0，+∞)，无周期性无奇偶性．y’=0的根为y"=0的根为x=一1．③列表由表可知函数的极小值点在处取得，拐点为(一1，0)．④铅直渐近线：无斜渐近线．⑤作图(如图1．2—2)．知识点解析：暂无解析2、设，当a，b为何值时，存在矩阵*C，使得AC—CA=B，并求所有矩阵C．标准答案：所以，当a=一1，b=0时，系数矩阵与增广矩阵的秩相等，也就是线性方程组有解，即存在C，使AC—CA=B．又当a=一1，b=0时，知识点解析：暂无解析3、设矩阵A＝的特征值之和为1，特征值之积为－12(b＞0)．(1)求a、b的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP＝A为对角矩阵．标准答案：由λ1＋λ2＋λ3＝a＋2＋(－2)＝1，λ1λ2λ3＝｜A｜＝2(－2a－b2)＝－12，解得a＝1，b＝2．知识点解析：暂无解析4、设f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx3,f(1)=1，求∫12f(x)dx．标准答案：令2x一t=u，则原等式变为知识点解析：暂无解析5、设f(χ)在[0，1]三阶可导，且f(0)＝f(1)＝0．设F(χ)＝χ2f(χ)，求证：在(0，1)内存在c．使得F″′(c)＝0．标准答案：由于F(0)＝F(1)＝0，F(χ)在[0，1]可导，则ξ1∈(0，1)，F′(ξ1)＝0．又F′(χ)＝χ2f′(χ)＋2χf(χ)，及由F′(0)＝0，F′(ξ1)＝0，F′(χ)在[0，1]可导，则ξ2∈(0，ξ1)使得F〞(ξ2)＝0．又F〞(χ)＝χ2f〞(χ)＋4χf′(χ)＋2f(χ)，及由F〞(0)＝F〞(ξ2)＝0，F〞(χ)在[0，1]可导，则c∈(0，ξ2)使得F″′(c)＝0．知识点解析：暂无解析6、设一抛物线y=ax2+bx+c过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与x轴所围图形的面积最小．标准答案：因为曲线过原点，所以c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2-a．因为a＜0，所以b＞0，抛物线与z轴的两个交点为0，，所以令S’(a)=0，得a=-4，从而b=6，所以当a=-4，b=6，c=0时，抛物线与x轴所围成的面积最小．知识点解析：暂无解析7、设函数f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数z=满足，x＞0，y＞0，①求z的表达式．标准答案：初值条件是u=2时f=1．微分方程的解应该是u的连续函数，由于初值条件给在u=2处，所以f的连续区间应是包含u=2在内的一个开区间．解式③得通解知识点解析：暂无解析8、(1)A，B为n阶方阵，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析9、已知线性方程组(I)及线性方程组(Ⅱ)的基础解系ξ1=[一3，7，2，0]T，ξ2=[一1，一2，一0，1]T求方程组(I)和(Ⅱ)的公共解．标准答案：方程组(Ⅱ)的通解为k1ξ1+k2ξ2=k1[一3，7，2，0]T+k2[一1，一2，0，1]T=[一3k1一k2，7k1一2k2，2k1，k2]T．其中k1，k2是任意常数，将该通解代入方程组(I)得：3(一3k1一k2)一(7k1—2k2)+8(2k1)+k2=一16k1+16k1—3k2+3k2=0，(一3k1一k2)+3(7k1—2k2)一9(2k1)+7k2=一21k1+21k1—7k2+7k2=0，即方程组(Ⅱ)的通解均满足方程组(I)，故(Ⅱ)的通解k1[一3，7，2，0]T+k2[一1，一2，0，1]T．即是方程组(I)，(Ⅱ)的公共解．知识点解析：暂无解析10、设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值.x1，x2是分别属于λ1和λ2的特征向量，试证明：x1+x2不是A的特征向量．标准答案：反证法假设x1+x2是A的特征向量，则存在数λ，使得A(x1+x2)=λ(x1+x2)，则(λ—λ1)x1+(λ一λ2)x2=0．因为λ1≠λ2，所以x1，x2线性无关，则知识点解析：暂无解析11、设＝0且F可微，证明：＝z－χy．标准答案：＝0两边对χ求偏导得两边对Y求偏导得知识点解析：暂无解析设f(x)在(-a，a)(a>0)内连续，且f'(0)=2．12、证明：对00xf(x)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)]；标准答案：令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)=0，由微分中值定理．存在0<θ<1，使得F(x)=F(x)-F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)-f(-θx)]．知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、设且A～B．(1)求a；(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP＝B．标准答案：(1)因为A～B，所以tr(A)＝tr(B)，即2＋a＋0＝1＋(－1)＋2，于是a＝0．(2)由｜λE－A｜＝＝(λ＋1)(λ－1)(λ－2)＝0得A，B的特征值为λ1＝－1，λ2＝－1，λ3＝2．当λ＝－1时，由(－E－A)X＝0即(E＋A)X＝0得ξ1＝(0，－1，1)T；当λ＝1时，由(E－A)X＝0得ξ2＝(0，1，1)T；当λ＝2时，(2E－A)X＝0得毒ξ3＝(1，0，0)T，取P1＝，则P1-1AP1＝当λ＝－1时，由(－E－B)X＝0即(E＋B)X＝0得η1＝(0，1，2)T；当λ＝1时，由(E－B)X＝0得η2(1，0，0)T；当λ＝2时，由(2E－B)X＝0得η3＝(0，0，1)T，取P2＝，则P1-1BP2＝由P1-1AP1＝P2-1BP2得(P1P2-1)-1A(P1P2-1)＝B，取P＝P1P2-1＝，则P-1AP＝B．知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第3套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求标准答案：1；知识点解析：暂无解析2、求极限：．标准答案：知识点解析：暂无解析3、标准答案：根据迫敛定理，知识点解析：暂无解析4、在半径为a的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?标准答案：设外切圆锥的底半径为r，高为h．见图4．8，记∠ABO＝φ则tanφ＝，于是圆锥体体积为求V(r)的最小值点等价于求f(r)＝的最小值点．由于因此，当时圆锥体体积最小．知识点解析：暂无解析5、设z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求标准答案：=f’1exsiny+Zxf’2，=f’1excosy+exsiny(f’’11excosy+2yf"12)+2x(f’’21excosy+2yf’’12)=f’2excosy+知识点解析：暂无解析6、已知4×5矩阵A=(α1,α2,α3,α4,α5)，其中α1,α2,α3,α4,α5均为四维列向量，α1,α2,α4线性无关，又设α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，β=2α1+α2一α3+α4+α5，求Ax=β的通解。标准答案：由于α1，α2，α4线性无关，α3=α1一α4，α5=a1+a2+a4，所以r(A)=3。由已知条件β=2α1+α2一α3+α4+α5，从而线性方程组Ax=β有特解η=(2，1，一1，1，1)T。由α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，可知导出组Ax=0的两个线性无关的解为ξ1=(1，0，一1，一1，0)T，ξ2=(1，1，0，1，一1)T。由r(A)=3，可知齐次线性方程组Ax=0的基础解系由两个线性无关的解构成，故ξ1，ξ2为Ax=0的基础解系，方程组Ax=β的通解为x=η+k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2为任意常数。知识点解析：暂无解析7、平面曲线L：绕χ轴旋转所得曲面为S，求曲面S的内接长方体的最大体积．标准答案：曲线L：绕χ轴旋转一周所得的曲面为S：＝1．根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(χ．y．z)，则体积V＝8χyz．令F＝χyz＋λ(－1)，由由实际问题的特性及点的唯一性，当时，内接长方体体积最大，最大体积为V＝ab2．知识点解析：暂无解析8、设且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为，求a，Q。标准答案：按已知条件，(1，2，1)T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ1，那么知矩阵A的特征值是2，5，一4。对λ=5，由(5E—A)x=0得基础解系α2=(1，一1，1)T。对λ=一4，由(一4E一A)x=0得基础解系α3=(一1，0，1)T。因为A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化α2,α3，即知识点解析：暂无解析9、设u＝u(χ，y，z)连续可偏导，令(1)若＝0，证明：u仅为θ与φ的函数．(2)若，证明：u仅为r的函数．标准答案：(1)因为＝0所以u是不含r的函数，即u仅为θ与φ的函数．从而＝t(r2cos2θcosφsinφ)＋t(r2sin2θcosφsinφ)＋t(－r2sinφcosφ)＝0，故u仅是r的函数，即u不含θ与φ．知识点解析：暂无解析10、设A为n阶非零矩阵，且A2=A，r(A)=r．求｜5E+A｜．标准答案：因为A2=AA可以对角化．由A2=A，得｜A｜.｜E-A｜=0，所以矩阵A的特征值为λ0，1．因为r(A)=r，所以λ=1为r重特征值，λ=0为，n-r重特征值，所以5E+A的特征值为λ=6(r重)，λ=5(n-r重)，故｜5E+A｜=5n-r×6r．知识点解析：暂无解析11、设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(a－1)χ12＋(a－1)χ22＋2χ32＋2χ1χ2(a＞0)的秩为2．(1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．标准答案：(1)A＝，因为二次型的秩为2，所以r(A)＝2，从而a＝2．(2)A＝，由｜λE－A｜＝0得λ1＝λ2＝2，λ3＝0．当λ＝2时，由(2E－A)X＝0得λ＝2对应的线性无关的特征向量为当λ＝0时，(0E－A)X＝0得λ＝0对应的线性无关的特征向量为α3＝因为α1，α2两两正交，单位化得令则f＝XTAXYT(QTAQ)Y＝2y12＋2y22．知识点解析：暂无解析已知曲线L的方程40612、讨论L的凹凸性；标准答案：当t＞0时，所以曲线t在t＞0时是凸函数。知识点解析：暂无解析13、过点(一1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线的方程；标准答案：切线方程为设x0=t02+1，y0=4t0一t02，则即4t02一t02=(2一t0)(t02+2)，整理得t02+t0—2=0或者(t一1)(t0+2)=0，解之得t0=1或t0=一2，因为t0＞0，所以t0=1。此时对应的点为(2，3)，进而可得切线方程为y=x+1。知识点解析：暂无解析14、求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积。标准答案：设L的方程为x=g(y)，则S=∫03g(y)一(y一1)]dy。根据t2一4t+y=0解得由于(2，3)在L上，因此可知知识点解析：暂无解析15、举例说明边缘密度不能确定联合密度(以二元正态为例)．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第4套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求下列极限：标准答案：(Ⅰ)属00型.一般方法．因此=e0=1．其中(Ⅱ)属∞0型．因此e=e-1．(Ⅲ)属∞0型．利用恒等变形及基本极限可得=1．20=1．知识点解析：暂无解析2、设a1=1，当n≥1时，an+1=，证明：数列{an}收敛，并求其极限值．标准答案：设f(x)=＞0，f(x)在[0，+∞)上单调增加．由a1=1＞0，可得a2=＞0．故a1＞a2＞0，又由于函数f(x)在[0，+∞)上单调增加，所以有f(a1)＞f(a2)＞f(0)=0．再根据递归定义式an+1=f(an)，可得a2＞a3＞0．类似地可以继续得到：a1＞a2＞a3＞a4＞…＞an＞an+1＞…＞0，于是可知数列{an}单调减少且有下界0，所以数列{an}收敛．设其极限为A(A≥0)，即=A．在an+1=f(an)两边同取n→∞时的极限，根据函数f(x)的连续性，有A=f(A)，即A=．知识点解析：暂无解析3、设y＝，求y′．标准答案：由y＝得知识点解析：暂无解析4、设线性方程组已知(1，一1，1，一1)T是该方程组的一个解，求方程组所有的解．标准答案：将(1，一1，1，一1)T代入方程组得λ=μ．对增广矩阵作初等行变换，有知识点解析：暂无解析5、求证：(x∈(0，1))．标准答案：改写右端对f(t)ln(1+t)，g(t)=arcsint在[0，x]区间用柯西中值定理：余下只需证注意函数在(0，1)是单调减函数，因为原不等式成立．知识点解析：暂无解析6、求标准答案：因为知识点解析：暂无解析7、求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(x)=excosx(x3)；(Ⅱ)f(x)=(x3)．(Ⅲ)f(x)=，其中a＞0(x2)．标准答案：(Ⅰ)ex=1+x++o(x3)，cosx=1－+o(x3)，相乘得知识点解析：暂无解析8、设对任意的x和y，有=4，用变量代换将f(x，y)变换成g(μ，ν)，试求满足=μ2+ν2的常数a和b。标准答案：由题意g(μ，ν)=f(μν，(μ2一ν2))，=νf1’+μf2’，=μf1’一νf2’，因此，有=a[ν2(f1’)2+μ2(f2’)2+2μνf1’f2’]一b[μ2(f1’)2+ν2(f2’)2一2μνf1’f2’]=(aν2一bμ2)(f1’)2+(aμ2一bν2)(f2’)2+2μν(a+b)f1’f2’=μ2+ν2。利用(f1’)2+(f2’)2=4，即(f2’)2=4一(f1’)2得(a+b)(ν2一μ2)(f1’)2+2(a+b)μνf1’f2’+4aμ2一4bν2=μ2+ν2由此得a+b=0，4a=1，一4b=1，故。知识点解析：暂无解析9、设f(x)为连续正值函数，x∈[0，+∞)，若平面区域Rt={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．标准答案：(Ⅰ)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为而相应的曲边梯形的面积为∫0tf(x)dx．见图6．2．按题意即∫0tf2(x)dx=2[∫0tf(x)dx]2+∫0tf(x)dx(x≥0)．①(Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则方程①<=>f2(t)=4f(t)0tf(x)dx+f(t)<=>f(t)=40tf(x)dx+1②(①中令x=0，等式自然成立，不必另加条件)．f(x)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t=0得方程①<=>方程②<=>③(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)=e－∫4dte－4t得[f(t)ee－4t]’=0，并由初始条件得f(t)=e4t，即f(x)=e4x．知识点解析：暂无解析10、求标准答案：知识点解析：暂无解析11、已知方程组及方程组(Ⅱ)的通解为k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[一2，一3，0，0]T，k1，k2为任意常数．求方程组(I)，(Ⅱ)的公共解．标准答案：将方程组(Ⅱ)的通解k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[一2，一3，0，0]T=[一2一k1+-2k2，一3+k1一k2，k1，k2]T代入方程组(I)，得化简得k1=2k2+6．将上述关系式代入(Ⅱ)的通解，得方程组(I)，(Ⅱ)的公共解为：[一2-(2k2+6)4—2k2，一3+2k2+6一k2，2k2+6，k2]T=[一8，k2+3，2k2+6，k2]T．知识点解析：暂无解析12、设α，β是n维非零列向量，A=αβT+βαT．证明：r(A)≤2．标准答案：r(A)=r(αβT+βαT)≤r(αβT)+r(βαT)，而r(αβT)≤r(α)=1，r(βαT)≤r(B)=1，所以r(A)≤r(αβT)+r(βαT)≤2．知识点解析：暂无解析13、设D={(x，y)｜x2+y2≤x}，求标准答案：令知识点解析：暂无解析14、求P(Z≤1/2|X=0)；标准答案：知识点解析：暂无解析15、求Z的概率密度fZ(z)．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第5套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设f(x)可导且f’’(0)=6，且标准答案：由=0得f(0)=0，f’(0)=0，=e3.知识点解析：暂无解析2、标准答案：知识点解析：暂无解析3、(其中ai＞0(i＝1，2，…，n))标准答案：所以原式＝a1a2…an．知识点解析：暂无解析4、设y＝χ2e2χ，求y(n)．标准答案：用莱布尼兹法则并注意(χ2)(k)＝0(k＝3，4，…)，(e2χ)(k)＝2ke2χ，得知识点解析：暂无解析5、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且∫abf(x)dx=f(b)．求证：在(a，b)内至少存在一点ξ，使f’(ξ)=0．标准答案：因为f(x)在[a，b]上连续，由积分中值定理可知，在(a，b)内至少存在一点c使得这就说明f(c)=f(b)．根据假设可得f(x)在[c，b]上连续，在(c，b)内可导，故由罗尔定理知，在(c，b)内至少存在一点ξ，使f’(ξ)=0，其中ξ∈(c，b)(a，b)．知识点解析：暂无解析6、求函数f(χ)＝(χ∈(－∞，＋∞))的最小值．标准答案：先求导数并得驻点．由f′(χ)＝0即2χ－得唯一驻点χ＝再求由于f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，且有唯一的极小值点χ＝，因而必是最小值点，f(χ)的最小值为知识点解析：暂无解析7、在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．标准答案：若将此曲线记为y=y(x)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求y’’≥0，故曲率又由于过(x，f(x))点的法线方程为X-x+y’(x)[Y-y(x)]=0，它与x轴交点Q的横坐标X0=x+y’(x)y(x)，所以，线段的长度为这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为y(1)=1，y’(1)=0．解二阶方程的初值问题得y=(ex-1+e1-x)．知识点解析：暂无解析8、求曲线与x轴围成的区域绕x轴、y轴形成的几何体体积．标准答案：知识点解析：暂无解析9、设曲线(0＜a＜4)与x轴、y轴所围成的图形绕z轴旋转所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问a为何值时，V1(a)+V2(a)最大，并求最大值．标准答案：曲线与x轴和y轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中b=4-a．曲线可化为于是V(a)=V1(a)+V2(a)=令V’(a)=，又V’’(2)＜0，所以a=2时，两体积之和最大，且最大值为V(2)=知识点解析：暂无解析10、证明：实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使得AB+BTA正定．标准答案：必要性取B=A-1，则AB+BTA=E+(A-1)TA=2E，所以AB+BTA是正定矩阵．充分性用反证法．若A不是可逆矩阵，则r(A)＜n，于是存在实向量x0≠0使得Ax0=0．因为A是实对称矩阵，B是实矩阵，于是有x0T(AB+BTA)x0=(Ax0)TBx0+x0TBT(Ax0)=0，这与AB+BTA是正定矩阵矛盾．知识点解析：暂无解析11、设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=[∫abf(x)dx]2标准答案：令F(x)=∫axf(t)dt，知识点解析：暂无解析设(X，Y)服从D={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤3-y)上的均匀分布．12、求X，Y的边缘密度函数，并判断X，Y是否独立；标准答案：知识点解析：暂无解析13、求(X，Y)的协差阵，判断X与Y是否相关；标准答案：知识点解析：暂无解析14、求密度函数fY|X(y|x)和fX|Y(x|y)；标准答案：知识点解析：暂无解析15、求E[Y|X]和E[X|Y]．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第6套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、(Ⅰ)设f(χ)，g(χ)连续，且＝1，又φ(χ)＝0，求证：无穷小∫0φ(χ)f(t)dt～∫0φ(χ)g(t)dt(χ→a)；(Ⅱ)求ω＝ln(1＋2sint)dt／[∫0χln(1＋2sint)dt]3}．标准答案：(Ⅰ)由(Ⅱ)因ln(1＋2sinχ)－2sinχ～2χ(χ→0)，由题(Ⅰ)因此，利用等价无穷小因子替换即得ω＝＝1．知识点解析：暂无解析2、设an=A，证明：数列{an}有界．标准答案：取ε0=1，因为an=A，根据极限定义，存在N＞0，当n＞N时，有｜an-A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜+1．取M=max(｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜+1}，则对一切的n，有｜an｜≤M．知识点解析：暂无解析3、已知三角形周长为2p，求出这样一个三角形，使它绕自己的一边旋转时体积最大．标准答案：知识点解析：暂无解析4、求功：(Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?(Ⅱ)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?标准答案：(Ⅰ)以球心为原点，χ轴垂直向上，建立坐标系(如图3．5)．取下半球中的微元薄片，即取小区间[χ，χ＋dχ][－1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为，π(1－χ2)dχ，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1＋χ)，故需做功dω1＝(1＋χ)π(1－χ)2dχ．因此，对下半球做的功ω1＝∫-10π(1＋χ)(1－χ2)dχ．取上半球中的微元薄片，即V取小区间[χ，χ＋dχ][0，1]，相应的小薄片，其重量为，π(1－χ)2d戈，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功dω2＝π(1－χ2)dχ．因此，对上半球做的功ω2＝∫01π(1－χ2)dχ．于是，对整个球做的功为ω＝ω1＋ω2＝∫-10π(1＋χ)(1－χ2)dχ＋∫01π(1－χ2)dχ＝∫-11π(1－χ2)dχ＋∫-10πχ(1－χ2)dχ(Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取χ为积分变量，χ∈[0，R]．[χ，χ＋dχ]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为π(R2－χ2)dχ，又比重ρ＝1，于是把这层水抽出需做功dω＝πχ(R2－χ2)dχ．因此，所求的功ω＝∫0Rπχ(R2－χ2)dχ＝π知识点解析：暂无解析5、计算其中D={(x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤2}．标准答案：令D1={(x，y)|一1≤x≤1，0≤y≤x2}，D2={(x，y)|一1≤x≤1，x2≤y≤2}，则知识点解析：暂无解析6、设一锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以吸筒将水吸尽，问作多少功?标准答案：如图1．3—4建立坐标系，取x为积分变量，[0，15]为积分区间，由图上数据可知由此可知锥型贮水池在x处截面半径为典型区间[x，x+dx]上所对应之体积元素知识点解析：暂无解析7、设f(x，y)具有二阶连续偏导数，证明：由方程f(x，y)=0所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是f(a，b)=0，f’x(a，b)=0，f’y(a，b)≠0．且当r(a，b)＞0时，b=φ(a)是极大值；当r(a，b)＜0时，b=φ(a)是极小值，其中r(a，b)=．标准答案：y=φ(x)在x=a处取得极值的必要条件是φ’(a)=0．而知识点解析：暂无解析8、设f(x)在区间[0，1]上连续，证明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2．标准答案：先将累次积分表示成二重积分，则有I=∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=f(x)f(y)dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如图8．28，它与D’={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}关于y=x对称．于是I=f(x)f(y)dxdy，2I==∫01dx∫01f(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫01f(y)dy=[∫01f(x)dx]2，因此，I=[∫01f(x)dx]2．知识点解析：暂无解析9、用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3标准答案：则f(x1，x2，x3)2y1x2-2y2x2+8y1x3+4y2x3=2(y1+2y3)2-2(y2-y3)2-6y32，f(x1，x2，x3)=XTAXZT(PTAP)Z=2z12-2z22-6z32知识点解析：暂无解析10、设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2．(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使得P一1AP=A．标准答案：(1)设(E+αβT)ξ=λξ．①左乘βT，βT(E+αβT)ξ=(βT+βTαβT)ξ=(1+βTα)βTξ=λβTξ，若βTξ≠0，则λ=1+βTα=3；若βTξ=0，则由①式，λ=1．λ=1时，(E一A)X=一αβTX=一[b1，b2，…，bn]X=0．即[b1，b2，…，bn]X=0，因αTβ=2，故α≠0，β≠0，设b1≠0，则ξ1=[b2，一b1，0，…，0]T，ξ2=[b3，0，一b1，…，0]T，…，ξn一1=[bn，0，…，0，一b1]T；λ=3时，(3E一A)X=(2E一αβ)X=0，ξn=α=[a1，a2，…，an](2)取知识点解析：暂无解析11、设函数z＝z(χ，y)由方程χ2＋y2＋z2＝χyf(χ2)，其中f可微，求的最简表达式．标准答案：χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)两边关于χ求偏导得2χ＋2z＝yf(z2)＋2χyzf′(z2)，知识点解析：暂无解析12、设函数f(x，y)可微，，求f(x，y)．标准答案：由，得C=0，即f(0，y)=siny．又由，得lnf(x，y)=-x+lng(y)，即f(x，y)=φ(y)e-x，由f(0，y)=siny，得φ(y)=siny，所以f(x，y)=e-xsiny．知识点解析：暂无解析13、设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．标准答案：令u=2x—t，则t=2x一u,，dt=一du，则∫0xtf(2x-t)dt=-∫2xx(2x-u)f(u)du=2x∫x2xdu-∫x2xuf(u)du,于是2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du=两边对x求导，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-[2xf(2x).2一xf(x)]=，即知识点解析：暂无解析14、X与Y的联合概率分布标准答案：知识点解析：暂无解析15、D(X+Y)标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第7套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．(1)求V的概率密度fV(v)；(2)E(U+V)，E(UV)．标准答案：由于X和Y相互独立，都服从参数为1的指数分布，所以E(X)=E(Y)=1，且X的分布函数为(1)设V的分布函数为Fmin(v)，则Fmin(v)=1一[1-F(v)]2=1=e-2v，v＞0．故fV(v)=(2)E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2．E(UV)=E(X)E(Y)=1×1=1．知识点解析：本题考查独立同分布条件下最大值和最小值的分布．先写出V的分布函数，再求导得到其概率密度．注意到U+V=X+Y，UV=XY，利用性质和指数分布期望的结果得到E(U+V)，E(UV)．2、已知标准答案：知识点解析：暂无解析3、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=f(b)=1，证明必存在ξ，η∈(a，b)，使得eη－ξ[f(η)+f’(η)]=1．标准答案：设F(x)=exf(x)，由已知f(x)及ex在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在ξ，η∈(a，b)，使得F(B)一F(A)=ebf(b)一eaf(a)=F’(η)(b一a)=eη[f’(η)+f(η)](b一a)及eb一ea=eξ(b一a)．将以上两式相比，且由f(a)=f(b)=1，整理后有eη－ξ[f(η)+f’(η)]=1．知识点解析：暂无解析4、证明下列不等式：标准答案：(Ⅰ)设f(χ)＝，则f(χ)在区间[0，1]上连续，且可见函数f(χ)在点χ＝处取得它在区间[0，1]上的最小值，又因f(0)＝f(1)＝1，故f(χ)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝f(1)＝1，从而(Ⅱ)注意0＜χ＜时，0＜χ＜tanχ＜1，则知识点解析：暂无解析5、证明：对任意的x，y∈R且x≠y，有标准答案：令f(t)=et，因为f’’(t)=et＞0，所以函数f(t)=et为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的x，y∈R且x≠y，有知识点解析：暂无解析6、设A是n阶矩阵，A=E+xyT，x与y都是n×1矩阵，且yTx=2，求A的特征值、特征向量．标准答案：令，则B2=(xyT)(xyT)=x(yTx)yT=2xyT=2B，可见B的特征值只能是0或2．因为则r(B)=1，故齐次方程组Bx=0的基础解系由n一1个向量组成，且基础解系是：α1=(一y2，y1，0，…，0)T，α2=(一y3，0，y1，…，0)T，…，αn-1=(一yn，0，0，…，y1)T．这正是B的关于λ=0也是A关于λ=1的n—1个线性无关的特征向量．由于B=2B，对B按列分块，记B=(β1，β2，…，βn)，则B(β1，β2，…，βn)=2(β1，β2，…，βn)，即Bβi=2βi，可见α=(x2，x2，…，xn)T是B关于λ=2，也就是A关于λ=3的特征向量．那么A的特征值是1(n一1重)和3，特征向量分别是k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1，knαn，其中k1，k2，…，kn-1不全为0，kn≠0．知识点解析：暂无解析7、求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式．标准答案：由于(arctanx)’==1-x2+x4+o(x5)，由该式逐项积分即得arctanx=∫0x=∫0x(1-t2+t4)dt+o(x6)=x-x3+x5+o(x6)．知识点解析：暂无解析8、设f(x)=，求∫01x2f(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析9、在椭圆x2+4y2=4上求一点，使其到直线2x+3y一6=0的距离最短．标准答案：知识点解析：暂无解析10、已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA－1=BA－1+3E，求B。标准答案：在A*=｜A｜A－1两端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A－1｜=｜A｜3，因为A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A*｜=8，即｜A｜=2。由ABA－1=BA－1+3E移项并提取公因式得，(A—E)BA－1=3E，右乘A得(A—E)B=3A，左乘A－1得(E一A－1)B=3E。由已求结果｜A｜=2，知A－1=，E—A－1=diag(1，1，1，1)一，得(E—A－1)－1=diag(2，2，2，)，因此B=3(E—A－1)－1=diag(6，6，6，一1)。知识点解析：暂无解析11、设线性方程组为(1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响．(2)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，并且(-1，1，1)T和(1，1，-1)T都是解，求此方程组的通解．标准答案：(1)增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，其值等于=(a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a3)．于是，当a1，a2，a3，a4两两不同时，增广矩阵的行列式不为0，秩为4，而系数矩阵的秩为3．因此，方程组无解．如果a1，a2，a3，a4不是两两不同，则相同参数对应一样的方程．于是只要看有几个不同，就只留下几个方程．①如果有3个不同，不妨设a1，a2，a3两两不同，a4等于其中之一，则可去掉第4个方程，得原方程组的同解方程组它的系数矩阵是范德蒙行列式，值等于(a1-a2)(a3-a1)(a3-a2)≠0，因此方程组有唯一解．②如果不同的少于3个，则只用留下2个或1个方程，此时方程组无穷多解．(2)此时第3，4两个方程分别就是第1，2方程，可抛弃，得(-1，1，1)T和(1，1，-1)T都是解，它们的差(-2，0，2)T是导出组的一个非零解．本题未知数个数为3，而系数矩阵的秩为2(注意k≠0)．于是(-2，0，2)T构成导出组的基础解系，通解为：(-1，1，1)T+c(-2，0，2)T，c可取任意常数.知识点解析：暂无解析12、设A是n阶正定矩阵，证明：｜E＋A｜＞1．标准答案：因为A是正定矩阵，所以存在正交阵Q，使得QTAQ＝其中λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此QT(A＋E)Q＝于是｜QT(A＋E)Q｜＝｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)…(λn＋1)＞1．知识点解析：暂无解析13、设u=，其中f(s，t)二阶连续可偏导，求du及标准答案：知识点解析：暂无解析设A=E=ααT，其中α为n维非零列向量．证明：14、A2=A的充分必要条件是α为单位向量；标准答案：令αTα=k，则A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+kααT，因为α为非零向量，所以ααT≠O，于是A2=A的充分必要条件是k=1，而αTα=｜α｜2，所以A2=A的充要条件是α为单位向量．知识点解析：暂无解析15、当α是单位向量时A为不可逆矩阵．标准答案：当α是单位向量时，由A2=A得r(A)+r(E-A)=n，因为E-A=ααT≠O，所以r(E-A)≥1，于是r(A)≤n-1＜n，故A是不可逆矩阵．知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第8套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、(Ⅰ)若xn＜yn(n＞N)，且存在极限xn=A，yn=B，则A＜B；(Ⅱ)设f(x)在(a，b)有定义，又c∈(a，b)使得极限=A，则f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界．标准答案：(Ⅰ)不正确．在题设下只能保证A≤B，不能保证A＜B．例如，xn=，yn=，则xn＜yn，而yn=0．(Ⅱ)不正确．这时只能保证：点c的一个空心邻域U0(c，δ)={x｜0＜｜x-c｜＜δ}使f(x)在U0(c，δ)中有界，一般不能保证f(x)在(a，b)有界．例如：f(x)=，(a，b)=(0，1)，取定c∈(0，1)，则在(0，1)无界．(Ⅲ)正确．因为，由存在极限的函数的局部有界性使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界．知识点解析：暂无解析2、设f(x)=求f’(x)．标准答案：当｜x｜<1时，f’(x)=当x<-1时，f’(x)=-1；当x>1时，f’(x)=1；又，则f(x)在x=-1处不连续，故也不可导．由f(1+0)=f(1-0)=f(1)=0得f(x)在x=1处连续．因为所以f(x)在x=1处也不可导，知识点解析：暂无解析3、标准答案：d(x2lnx)=ln｜x2lnx｜+C．知识点解析：暂无解析4、设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．标准答案：因为Aαi=λiαi(i=1，2，3)，则Aβ=A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，A2β=A(Aβ)=A(λ1α1+λ2α2+λ3α3)=λ12α1+λ22α2+λ32α3．设存在常数k1，k2，k3，使k1β+k2Aβ+k3A2β=0，进而得(k1+k2λ1+k3λ12)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ32)α3=0．由于α1,α2,α3线性无关，于是有其系数行列式故k1=k2=k3=0，所以，β，AB，A2β线性无关．知识点解析：本题考查方阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的性质和向量组线性相关性的证明．5、证明：对任意的χ，y∈R且χ≠y，有标准答案：今f(t)＝et，因为f〞(t)＝et＞0，所以函数f(t)＝et为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的χ，y∈R且χ≠y，有．即知识点解析：暂无解析6、设α1，α2，…，αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．标准答案：由α1，α2，…，αt线性无关β，α1，α2，…，αt线性无关，令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0，即(k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0，∵β，α1，α2，…，αt线性无关∴k=k1=…=kt=0，∴β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．知识点解析：暂无解析7、计算标准答案：积分区域D为扇形所以原式＝知识点解析：暂无解析8、设f(χ)在区间[0，1]上可导，f(1)＝2χ2f(χ)dχ．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．标准答案：令φ(χ)＝χ2f(χ)，由积分中值定理得f(1)＝2χ2f(χ)dχ＝c2f(c)，其中c∈[0，]，即φ(c)＝φ(1)，显然φ(χ)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ′(ξ)一0．而φ′(χ)＝2χf(χ)＋χ2f′(χ)，所以2ξf(ξ)＋ξ2f′(ξ)＝0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析9、设α，β都是n维列向量时，证明：①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα．②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βTα．标准答案：记A＝αβT，则A2＝αβTαβT＝(βTα)A，于是A的特征值都满足等式λ2＝(βTα)λ，即只可能是0和βTα．如果βTα＝0，则A的特征值都是0．如果βTα≠0，则A的所有特征值之和为tr(A)＝βTα，它们一定是n－1个为0，一个为βTα．②仍记A＝αβT，则Aα＝αβTα＝(βTα)α，因此则α是A的特征向量，特征值为βTα．知识点解析：暂无解析10、设α＝为A＝的逆矩阵A-1的特征向量．求χ，y，并求A-1对应的特征值μ．标准答案：令Aα＝μ0，即，解得μ0＝4，χ＝10，y＝－9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知μ＝．知识点解析：暂无解析11、已知α=是可逆矩阵A=的伴随矩阵A*的特征向量，特征值λ．求a，b，λ．标准答案：由A可逆知α也是A的特征向量有Aλ=λ0α．于是可如同上题，求出a，b和λ0．而λ=｜A｜／λ0．于是3+b=λ0，2+2b=λ0b，1+a+b=λ0，第1，3两式相减a=2，从而求出｜A｜=4．由第1，2两式得2+2b=(3+b)b，即b2+b-2=0．解得b=1或-2．当b=1时，λ0=4，λ=1，当b=-2时，λ0=I，λ=4．知识点解析：暂无解析12、设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0，求f(x)．标准答案：因为x∫01f(tx)dt=∫0xf(u)du，所以f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0可化为f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt+e-x=0，两边对x求导得f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x，由λ2+3λ+2=0得λ1=-1，λ2=-2，则方程f"(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C1e-x+C2e-2x．令f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x的一个特解为y0=axe-x，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x．由f(0)=1，f’(0)=-1得C1=0，C2=1，故原方程的解为f(x)=e-2x+xe-x．知识点解析：暂无解析设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．13、证明：标准答案：因为n=r(CA+DB)=知识点解析：暂无解析14、设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系，证明：考ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．标准答案：因为只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs线性无关．知识点解析：暂无解析15、设X与Y独立，证明：对任意实数x1，x2，y1，y2(x12；y12)，事件{x12}与事件{y12}独立．标准答案：证明由于X与Y独立，故(X，Y)的分布函数F(x，y)=FX(x)FY(y)，其中FX(x)，FT(y)分别为X，Y的边缘分布函数，注意到P{x12，y12}=F(x2，y2)-F(x1，y2)-F知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第9套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、证明n阶行列式标准答案：记此行列式为Dn，对第1行展开，得到一个递推公式Dn=(1－a)Dn－1+aDn－2．下面用数学归纳法证明本题结论．(1)验证n=1，2时对：D1=1－a，D2==(1－a)2+a=1－a+a2．(2)假设对n－1和n－2结论都对，证明对n也对：Dn－1=1－a+a2－a3+…+(－a)n－1，Dn－2=1－a+a2－a3+…+(－a)n－2，则由递推公式Dn=(1－a)Dn－1+aDn－2=Dn－1－a(Dn－1－Dn－2)=Dn－1+(－a)n=1－a+a2－a3+…+(－a)n－1+(－a)n．知识点解析：暂无解析2、设A是n阶可逆矩阵，且A与A一1的元素都是整数，证明：｜A｜=±1．标准答案：由于AA一1=E，则｜A｜｜A一1｜=1．因为A的元素都是整数，所以｜A｜必是整数,同理可得，｜A一1｜亦必是整数．又由于两个整数｜A｜和｜A一1｜相乘为1，故｜A｜和｜A一1｜只能同时取值为±1．知识点解析：暂无解析3、对行满秩矩阵Am×n，必有列满秩矩阵Bn×m，使AB=E．标准答案：当m=n时，取B=A一1，则AB=E．当m＜n时，由r(A)=m知A中存在m个列，由它们构成的m阶子式｜A1｜≠0，A经过适当的列的初等变换可使A1位于A的前，n列，即有n阶可逆矩阵P，使AP=(A1，A2)，其中A1为m阶可逆矩阵，令显然r(B)=r(A1一1)=m．于是B为列满秩矩阵，且有知识点解析：暂无解析4、设f(x)在[a，b]连续，且∈[a，b]，总∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．试证：∈[a，b]，使得f(ξ)=0．标准答案：反证法．若在[a，b]上f(x)处处不为零，则f(x)在[a，b]上或恒正或恒负．不失一般性，设f(x)＞0，x∈[a，b]，则x0∈[a，b]，f(x0)=．由题设，对此x0，∈[a，b]，使得f(y)=｜f(y)｜≤f(x0)=f(x0)＜f(x0)，与f(x0)是最小值矛盾．因此，∈[a，b]，使f(ξ)=0．知识点解析：暂无解析5、设且f’’(0)存在，求a，b，c．标准答案：因为f(x)在x=0处连续，所以c=0，即f(x)=f’-(0)=f’+(0)=由f(x)在x=0处可导，得b=1，即f(x)=于是f’’-(0)=f’’+(0)=由f’’(0)存在，得a=，即a=，b=1，c=0．知识点解析：暂无解析6、设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0且xf’(z)=f(x)+ax2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=f(x)，问a为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?标准答案：(Ⅰ)首先由xf’(x)=f(x)+ax2，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．这是求解一阶线性方程．两边乘积分因子(取其中一个)，得ax2+Cx，x∈[0，1]，其中C为任意常数使得f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅱ)确定C与a的关系使得由y=f(x)与x=1，y=0围成平面图形的面积为2．由已知条件