考研数学二（线性方程组）模拟试卷2（共193题）

考研数学二（线性方程组）模拟试卷2（共7套）（共193题）考研数学二（线性方程组）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设A是m×s阶矩阵，B为s×n阶矩阵，则方程组BX＝0与ABX＝0同解的充分条件是()．A、r(A)＝sB、r(A)＝mC、r(B)＝sD、r(B)＝n标准答案：A知识点解析：设r(A)＝s，显然方程组BX＝0的解一定为方程组ABX＝0的解，反之，若ABX＝0，因为r(A)＝s，所以方程组AY＝0只有零解，故BX＝0，即方程组BX＝0与方程组ABX＝0同解，选A．2、设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX＝b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是()．A、AX＝b的通解为k1η1＋k2η2B、η1＋η2为AX＝b的解C、方程组AX＝0的通解为k(η1－η2)D、AX＝b的通解为k1η1＋k2η2＋(η1＋η2)标准答案：C知识点解析：因为非齐次线性方程组AX＝b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A*≠O，所以r(A)＝n＝1，η2－η1为齐次线性方程组AX＝0的基础解系，选C．3、设有方程组AX＝0与BX＝0，其中A，B都是m×n阶矩阵，下列四个命题：(1)若AX＝0的解都是BX＝0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX＝0的解都是BX＝0的解(3)若AX＝0与BX＝0同解，则r(A)＝r(B)(4)若r(A)＝r(B)，则AX＝0与BX＝0同解以上命题正确的是()．A、(1)(2)B、(1)(3)C、(2)(4)D、(3)(4)标准答案：B知识点解析：若方程组AX＝0的解都是方程组BX＝0的解，则n－r(A)≤n－r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选B．4、设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则()．A、当m＞n时，线性齐次方程组ABX＝0有非零解B、当m＞n时，线性齐次方程组ABX＝0只有零解C、当n＞m时，线性齐次方程组ABX＝0有非零解D、当n＞m时，线性齐次方程组ABX＝0只有零解标准答案：A知识点解析：AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(aB)＜m，于是方程组ABX＝0有非零解，选A．5、设A为m×n阶矩阵，则方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是()．A、r(A)＝mB、r(A)＝nC、A为可逆矩阵D、r(A)＝n且b可由A的列向量组线性表示标准答案：D知识点解析：方程组AX＝b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)＝n，故选D．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)6、设A＝，且存在三阶非零矩阵B，使得AB＝O，则a＝_______，b＝_______．标准答案：2；1．知识点解析：因为AB＝O，所以r(A)＋r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a＝2，b＝1．7、设η，为非零向量，A＝，η为方程组AX＝0的解，则a＝_______，方程组的通解为_______．标准答案：3；k(－3，1，2)T．知识点解析：AX＝0有非零解，所以｜A｜＝0，解得a＝3，于是方程组AX＝0的通解为k(－3，1，2)T．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)8、设向量组α1，α2，…，αn-1为n维线性无关的列向量组，且与非零向量β1，β2正交．证明：β1，β2线性相关．标准答案：令A＝，因为α1，α2，…，αn-1与β1，β2正交，所以Aβ1＝0，Aβ2＝0，即β1，β2为方程组AX＝0的两个非零解，因为r(A)＝n－1，所以方程组AX＝0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β1，β2线性相关．知识点解析：暂无解析9、设齐次线性方程组，其中ab≠0，n≥2．讨论a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解．标准答案：D＝＝[a＋(n－1)b](a－b)n-1．(1)当a≠b，a≠(1－n)b时，方程组只有零解；(2)当a＝b时，方程组的同解方程组为χ1＋χ2＋…＋χn＝0，其通解为X＝k1(－1，1，0，…，0)T＋k2(－1，0，1，…，0)T＋…＋kn-1(－1，0，…，0，1)T(k1，k2，…，kn-1为任意常数)；(3)令A＝，当a＝(1－n)b时，r(A)＝n－1，显然(1，1，…，1)T为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1，…，1)T(k为任意常数)．知识点解析：暂无解析10、设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又B＝且AB＝O，求方程组AX＝0的通解．标准答案：由AB＝O得r(A)＋r(B)≤3且r(A)≥1．(1)当k≠9时，因为r(B)一2，所以r(A)一1，方程组AX一0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取B的第1、3两列，故通解为(k1，k2为任意常数)；(2)当k＝9时，r(B)＝1，1≤r(A)≤2，当r(A)＝2时，方程组AX＝0的通解为C(C为任意常数)；当r(A)＝1时，A的任意两行都成比例，不妨设a≠0，由得通解为(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析11、a，b取何值时，方程组有解?标准答案：(1)a≠1时，r(A)＝r()＝4，唯一解为(2)a＝1，b≠－1时，r(A)≠r()，因此方程组无解；(3)a＝1，b＝－1时，通解为X＝k1(1，－2，1，0)T＋k2(1，－2，0，1)T＋(－1，1，0，0)T(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析12、A，B为n阶矩阵且r(A)＋r(B)＜n．证明：方程组AX＝0与BX＝0有公共的非零解．标准答案：方程组＝0的解即为方程组AX＝0与BX＝0的公共解．因为≤r(A)＋r(B)＜n，所以方程组＝0有非零解，故方程组AX＝0与BX＝0有公共的非零解．知识点解析：暂无解析13、设(Ⅰ)，α1，α2，α3，α4为四元非齐次线性方程组BX＝b的四个解，其中(1)求方程组(Ⅰ)的基础解系；(2)求方程组(Ⅱ)BX＝0的基础解系；(3)(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．标准答案：(1)方程组(Ⅰ)的基础解系为(2)因为r(B)＝2，所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量，α4－α1＝，α2＋α3－2α1＝为方程组(Ⅱ)的基础解系；(3)方程组(Ⅰ)的通解为k1ξ1＋k2ξ2＝，方程组(Ⅱ)的通解为取k2＝k，则方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的公共解为k(－1，1，1，1)T(其中k为任意常数)．知识点解析：暂无解析14、(1)求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系；(2)求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．标准答案：(1)(Ⅰ)的基础解系为(Ⅱ)的基础解系为(2)(Ⅰ)，(Ⅱ)公共解即为＝0的解，(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为(k为任意常数)．知识点解析：暂无解析15、问a，b，c取何值时，(Ⅰ)，(Ⅱ)为同解方程组?标准答案：(Ⅱ)的通解为(k为任意常数)，把(Ⅱ)的通解代入(Ⅰ)，得知识点解析：暂无解析16、证明线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅱ)与(Ⅲ)是同解方程组．标准答案：方程组(Ⅰ)可写为AX＝b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为ATY＝0及＝0．若方程组(Ⅰ)有解，则r(A)＝r(Ab)，从而r(AT)＝，又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则r(AT)＝，从而r(A)＝r(Ab)，故方程组(Ⅰ)有解．知识点解析：暂无解析17、设(Ⅰ)的一个基础解系为写出(Ⅱ)的通解并说明理由．标准答案：，则(Ⅰ)可写为AX＝0，则(Ⅱ)可写为BY＝0，因为β1，β2，…，βn为(Ⅰ)的基础解系，因此r(A)＝n，β1，β2，…，βn线性无关，Aβ1＝Aβ2＝…＝Aβn＝0A(β1，β2，…，βn)＝ABT＝OBAT＝O．α1T，α2T，…，αnT为BY＝0的一组解，而r(B)＝n，α1T，α2T，…，αnT线性无关．因此α1T，α2T，…，αnT为BY＝0的一个基础解系，通解为k1α1T＋k2α1T＋…＋knαnT(k1，k2…kn为任意常数)．知识点解析：暂无解析18、设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)＝r(AB)．证明：方程组BX＝0与ABX＝0是同解方程组．标准答案：首先，方程组BX＝0的解一定是方程组ABX＝0的解．令r(B)＝r且ξ1，ξ2，…，ξn-1是方程组BX＝0的基础解系，现设方程组ABX＝0有一个解η0不是方程组BX＝0的解，即Bη0≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn-r…，η0线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn-r，k0，使得k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＋k0ξ0＝0，若k0＝0，则k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1＝k2＝…＝kn-r＝0，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，所以k0≠0，故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn-r，线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη0＝0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，且为方程组ABX＝0的解，从而n－r(AB)≥n－r＋1，r(AB)≤r－1，这与r(B)＝r(AB)矛盾，故方程组BX＝0与ABX＝0同解．知识点解析：暂无解析19、设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA＋DB)＝n．(1)证明：r＝n；(2)设ξ1，ξ2，…，ξr，与η1，η2，…，ηs分别为方程组AX＝0与BX＝0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．标准答案：(1)因为n＝r(CA＋DB)＝≤n，所以＝n；(2)因为＝n，所以方程组＝0只有零解，从而方程组AX＝0与BX＝0没有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr，与η1，η2，…，ηs线性无关．知识点解析：暂无解析20、设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A*b＝0．标准答案：设非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而｜A｜＝0，于是A*b＝A*AX＝｜A｜X＝0．反之，设A*b＝0，因为b≠0，所以方程组A*X＝0有非零解，从而r(A*)＜n，又A11≠0，所以r(A*)＝1，且r(A)＝n－1．因为r(A*)＝1，所以方程组A*X＝0的基础解系含有n－1个线性无关的解向量，而A*A＝0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A*X＝0的一组解向量．由A11≠0，得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A*X＝0的基础解系．因为A*b＝0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故r(A)＝r()＝n－1＜n，即方程组AX＝b有无穷多个解．知识点解析：暂无解析21、证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．标准答案：令r(B)＝r，BX＝0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，因为BX＝0的解一定是ABX＝0的解，所以ABX＝0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于BX＝0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即n－r(AB)≥n－r(B)，r(AB)≤r(B)；又因为，r[(AB)T]＝r(AB)＝r(BTAT)≤r(AT)＝r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．知识点解析：暂无解析22、证明：r(A)＝r(ATA)．标准答案：只需证明AX＝0与ATAX＝0为同解方程组即可．若AX0＝0，则ATAX0＝0．反之，若ATAX0＝0，则X0TTATAX0＝0(AX0)T(AX0)＝0AX0＝0，所以AX＝0与ATAX＝0为同解方程组，从而r(A)＝r(ATA)．知识点解析：暂无解析23、设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX＝b满足r(A)＝r()＝r＜n．证明：方程组AX＝b的线性无关的解向量的个数最多是n－r＋1个．标准答案：因为r(A)＝r＜n，所以齐次线性方程组AX＝0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn-r．设η0为方程组AX＝b的一个特解，令β0＝η0，β1＝ξ1＋η0，β2＝ξ2＋η0，…，βn-r＝ξn-r＋η0，显然β0，β1，β2，…，βn-r，为方程组AX＝b的一组解．令k0β0＋k1β1＋…＋kn-rβn-r＝0，即(k0＋k1…＋kn-r)η0＋k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0，上式两边左乘A得(k0＋k1＋…＋kn-r)b＝0，因为b为非零列向量，所以k0＋k1＋…＋kn-r＝0，于是k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0，注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1＝k2＝…＝kn-r＝0，故β0，β1，β2，…，βn-r线性无关，即方程组AX＝b存在由n－r＋1个线性无关的解向量构成的向量组．设β1，β2，…，βn-r+2为方程组AX＝b的一组线性无关解，令γ1＝β2－β1，γ2＝β3－β1，…，γn-r+1＝βn-r＋2－β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn-r+1线性无关，又γ1，γ2，…，γn-r+1为齐次线性方程组AX＝0的一组解，即方程组AX＝0含有n－r＋1个线性无关的解，矛盾，所以AX＝b的任意n－r＋2个解向量都是线性相关的，所以AX＝b的线性无关的解向量的个数最多为n－r＋1个．知识点解析：暂无解析24、讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．标准答案：D＝＝－(a＋1)(b＋2)．(1)当a≠－1，b≠－2时，因为D≠0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a＝－1，b≠－2时，当b≠－1时，方程组无解当b＝－1时，方程组的通解为X＝(k为任意常数)．(3)当a≠一1，b＝－2时，方程组的通解为X＝(k为任意常数)．当a≠1时，显然r(A)＝2≠r()＝3，方程组无解．知识点解析：暂无解析25、设问a，b，c为何值时，矩阵方程AX＝B有解?有解时求出全部解．标准答案：令X＝(X1，X2，X3)，B＝(β1，β2，β3)，方程组AX＝B等价于则AX＝B有解的充分必要条件是r(A)＝r(AB)，由r(A)＝r(AB)得a＝1，b＝2，c＝－2，此时AX1＝β1的通解为AX2＝β2的通解为AX3＝β3的通解为则X＝(X1，X2，X3)＝，其中k1，k2，k3为任意常数．知识点解析：暂无解析考研数学二（线性方程组）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若=r(A)，则线性方程组()A、Ax=α必有无穷多解。B、Ax=α必有唯一解。C、仅有零解。D、必有非零解。标准答案：D知识点解析：齐次线性方程组必有解(零解)，则选项C、D为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除A、B。又齐次线性方程组有n+1个变量，而由题设条件知，=r(A)≤n＜n+1，所以方程组必有非零解。故选D。2、设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()A、若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解。B、若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解。C、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解。D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解。标准答案：D知识点解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A，b)，所以选项A、B均不正确。而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A，b)＜n。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解。故选D。3、设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中α1一α2，α1一2α2+α3，(α1一α3)，α1+3α2一4α3，可以作为导出组Ax=0的解向量有()个。A、4。B、3。C、2。D、l。标准答案：A知识点解析：由于Aα1=Aα2=Aα3=b，可知A(α1—α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1一2α2+α3)=Aα1一2Aα2+Aα3=b一2b+b=0，A[(α1一α3)]=(Aα1一Aα3)=(b一b)=0，A(α1+3α2—4α3)=Aα1+3Aα2一4Aα3=b+3b一4b=0。这四个向量都是Ax=0的解。故选A。4、已知α1=(1，1，一1)T，α2=(1，2，0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是()A、(1，一1，3)T。B、(2，1，一3)T。C、(2，2，一5)T。D、(2，一2，6)T。标准答案：B知识点解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解。因此选项A、D均不是Ax=0的解。由于α1，α2是Ax=0的基础解系，所以Ax=0的任何一个解η均可由α1，α2线性表示，即方程组x1α1+x2α2=η必有解，而可见第二个方程组无解，即(2，2，一5)T不能由α1，α2线性表示。故选B。5、设α1，α2，α3，α4是四维非零列向量组，A=(α1，α2，α3，α4)，A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0)T，则A*x=0的基础解系为()A、α1，α2，α3。B、α1+α2，α2+α3，α1+α3。C、α2，α3，α4。D、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1。标准答案：C知识点解析：方程组Ax=0的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵A的秩r(A)=4—1=3，则其伴随矩阵A*的秩r(A*)=1，于是方程组A*x=0的基础解系含有三个线性无关的解向量。又A*(α1，α2，α3，α4)=A*A=｜A｜E=0，所以向量α1，α2，α3，α4都是方程组A*x=0的解。将(1，0，2，0)t代入方程组Ax=0可得α1+2α3=0，这说明α1可由向量组α2，α3，α4线性表出，而向量组α1，α2，α3，α4的秩等于3，所以向量组α2，α3，α4必线性无关。事实上，由α1+2α2=0可知向量组α1，α2，α3线性相关，选项A不正确；显然，选项B中的向量都能被α1，α2，α3线性表出，说明向量组α1+α2，α2+α3，α1+α3线性相关，选项B不正确；而选项D中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选项D也不正确。故选C。6、设A是m×n矩阵，AT是A的转置，若η1，η2，…，ηt为方程组ATx=0的基础解系，则r(A)=()A、t。B、n—t。C、m—t。D、n一m。标准答案：C知识点解析：r(AT)+t等于AT的列数，即r(AT)+t=m，所以r(AT)=m一t=r(A)。故选C。7、已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解是()A、k1α1+k2(α1+α2)+。B、k1α1+k2(α1—α2)+。C、k1α1+k2(β1+β2)+。D、k1α1+k2(β1—β2)+。标准答案：B知识点解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确。对于D选项，虽然β1一β2是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D选项也不正确。事实上，对于B选项，由于α1，α1一α2与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，α1一α2也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，故选B。8、设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有四个命题：①(I)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(I)的解③(I)的解不是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不是(I)的解。以上命题中正确的是()A、①②。B、①④。C、③④。D、②③。标准答案：A知识点解析：若Anα=0，则An+1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(1)的解，则α必是(2)的解，可见命题①正确。如果An+1α=0，而Anα≠0，那么对于向量组α，Aα，A2α，…，Anα，一方面，若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的两边得kAnα=0。由Anα≠0可知必有k=0。类似地可得k1=k2=…=n=0。因此，α，Aα，A2α，…，Anα线性无关。但另一方面，这是n+1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故An+1α=0时，必有Anα=0，即(2)的解必是(1)的解。因此命题②正确。故选A。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、已知方程组有非零解，则k=______。标准答案：一1知识点解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12(k+1)=0，因此得k=一1。10、已知方程组有无穷多解，则a=______。标准答案：3知识点解析：n元线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是r(A)=，而有无穷多解的充分必要条件是r(A)=＜n，对增广矩阵作初等行变换，有由于r(A)=2，所以6—2a=0，即a=3。11、，方程Ax=β无解，则a=______。标准答案：1或3知识点解析：已知方程组无解，所以r(A)≠r(A，β)。又因为r(A，β)=3，所以r(A)≤2，故有｜A｜=0<=>a=1或3。12、设，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是______。标准答案：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T，k1，k2为任意常数知识点解析：｜A｜=0，且r(A)=2，所以r(A*)=1，则由n一r(A*)=2可知，A*x=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为k1η1+k2η2。又因为A*A=｜A｜E=O，所以矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T，k1，k2为任意常数。13、设(1，1，1)T，(2，2，3)T均为线性方程组的解向量，则该线性方程组的通解为______。标准答案：k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R知识点解析：该线性方程组的系数矩阵为。已知原方程组有两个不同的解，所以系数矩阵A不满秩，即r(A)<3，又因为A的一个二阶子式=一2≠0，所以r(A)≥2。故r(A)=2。因此导出组Ax=0的基础解系中含有1个解向量，由线性方程组解的性质可知(2，2，3)T一(1，1，1)T=(1，1，2)T是Ax=0的解，即Ax=0的基础解系。故原方程组的通解为k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R。14、已知齐次线性方程组有通解k1(2，一1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T，则方程组的通解是______。标准答案：k2(13，一3，1，5)T，k2为任意常数知识点解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，将(1)的通解代入(2)的第三个方程，得(2k1+3k2)一2(一k1+2k2)+0k2+k1=0，即5k1=k2，将其代入(1)的通解中，得方程组(2)的通解为5k2(2，一1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T=k2(13，一3，1，5)T，其中k2为任意常数。三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)设n元线性方程组Ax=b，其中15、当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；标准答案：由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式｜A｜=Dn=(n+1)an。当a≠0时，Dn≠0，方程组有唯一解。将A的第一列换成b，得行列式为=Dn—1=nan—1，所以由克拉默法则得x1=。知识点解析：暂无解析16、当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。标准答案：当a=0时，方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n—1，所以方程组有无穷多解，其通解为x=(0，1，…，0)T+k(1，0，…，0)T，其中k为任意常数。知识点解析：暂无解析设17、计算行列式｜A｜；标准答案：=1一a4。知识点解析：暂无解析18、当实数a为何值时，方程组Ax=b有无穷多解，并求其通解。标准答案：对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得要使原线性方程组有无穷多解，则有1一a4=0且一a一a2=0，即a=一1。当a=一1时，可知导出组的基础解系为(1，1，1，1)T，非齐次方程的特解为(0，一1，0，0)T，故其通解为(0，一1，0，0)T+k(1，1，1，1)T，其中k为任意常数。知识点解析：暂无解析19、设，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC—CA=B，并求所有矩阵C。标准答案：令，则由AC—CA=B得该方程组是四元非齐次线性方程组，如果C存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得当a=一1，b=0时，线性方程组有解，即存在C，使AC—CA=B。此时增广矩阵变换为所以通解为即(其中c1，c2为任意常数)。知识点解析：暂无解析20、设线性方程组为问k1与k2各取何值时，方程组无解?有唯一解?有无穷多解?有无穷多解时，求其通解。标准答案：当r(A)=r(B)=4<=>一k1+2≠0<=>k1≠2时，方程组有唯一解；当k1=2时，，则①当k2≠1时，r(A)=3≠r(B)=4，方程组无解；②当k2=1时，r(A)=r(B)=3＜4，方程组有无穷多解，且则通解为其中k为任意常数。综上，当k1≠2时，方程组有唯一解；当k1=2且k2≠1时，方程组无解；当k1=2且k2=1时，方程组有无穷多解，且通解为式(*)。知识点解析：暂无解析21、已知线性方程组问a，b为何值时，方程组有解，并求出方程组的通解。标准答案：方程组有解<=>r(A)=r(B)=>当a=1，且b=3时，原方程组等价于该方程组对应的齐次方程组为选x3，x4，x4为自由未知量，令，得齐次方程组的一个基础解系令，得方程组的一个特解η=，则方程组的通解为x=η+k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3，其中k1，k2，k3为任意常数。知识点解析：暂无解析22、设η1，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k1，…，ks为实数，满足k1+k1+…+ks=1。证明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程组的解。标准答案：由于η1，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，故有Aηi=b(i=1，…，s)。因为k1+k2+…+ks=1，所以Ax=A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+…+ksAηs=b(k1+…+ks)=b，由此可见x也是方程组的解。知识点解析：暂无解析23、设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。标准答案：因为βi(i=1，2，…，s)是α1，α2，…，αs的线性组合，且α1，α2，…，αs是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知β1(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解。从α1，α2，…，αs是Ax=0的基础解系知s=n—r(A)。以下分析β1，β2，…，βs线性无关的条件。设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即(t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t2k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks—1+t1ks)αs=0，由于α1，α2，…，αs线性无关，所以又因系数矩阵的行列式=t1s+(一1)s+1+t2s，当t1s+(一1)s+1+t2s≠0时，方程组(*)只有零解k1=k2=…=ks=0。因此当s为偶数且t1≠±t2，或当s为奇数且t1≠一t2时，β1，β2，…，βs线性无关，即为Ax=0的一个基础解系。知识点解析：暂无解析24、已知方程组的一个基础解系为(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T。试写出线性方程组的通解，并说明理由。标准答案：由题意可知，线性方程组(2)的通解为y=c1(a11，a12，…，a1，2n)T+c2(a11，a22，…，a2，2n)T+…+cn(an1，an2，…，an，2n)T，其中c1，c2，…，cn是任意的常数。这是因为：设方程组(1)和(2)的系数矩阵分别为A，B，则根据题意可知ABT=O，因此BAT=(ABT)T=O，可见A的n个行向量的转置为(2)的n个解向量。由于B的秩为n，所以(2)的解空间的维数为2n—r(B)=2n—n=n，又因为A的秩等于2n与(1)的解空间的维数的差，即n，因此A的n个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成(2)的一个基础解系。知识点解析：暂无解析25、已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解。标准答案：由AB=O知，B的每一列均是Ax=0的解，且r(A)+r(B)≤3。若k≠9，则r(B)=2，于是r(A)≤1，显然r(A)≥1，故r(A)=1。可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3一r(A)=2，矩阵B的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0的通解为x=k1(1，2，3)T+k2(3，6，k)T，k1，k2为任意常数。若k=9，则r(B)=1，从而1≤r(A)≤2。①若r(A)=2，则Ax=0的通解为x=k1(1，2，3)T，k1为任意常数。②若r(A)=l，则Ax=0的同解方程组为：ax1+bx2+cx3=0，不妨设a≠0，则其通解为x=k1(，1，0)T+k2(，0，1)T，其中k1，k2为任意常数。知识点解析：暂无解析26、设矩阵A=(a1，a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4线性无关，a1=2a2一a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程组Ax=b的通解。标准答案：已知a2，a3，a4线性无关，则r(A)≥3。又由a1，a2，a3线性相关可知a1，a2，a3，a4线性相关，故r(A)≤3。综上所述，r(A)=3，从而原方程组的基础解系所含向量个数为4—3=1。又因为a1=2a2一a3<=>a1一2a2+a3=0<=>(a1，a2，a3，a4)=0，所以x=(1，一2，1，0)T是方程组Ax=0的基础解系。又由b=a1+a2+a3+a4可知x=(1，1，1，1)T是方程组Ax=b的一个特解。于是原方程组的通解为x=c(1，1，1，1)T+c(1，一2，1，0)T，c∈R。知识点解析：暂无解析考研数学二（线性方程组）模拟试卷第3套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设方阵R3×3≠O，而PQ=O，则A、t=6时，必有秩(P)=1．B、t=6时，必有秩(P)=2．C、t≠6时，必有秩(P)=1．D、t≠6时，必有秩(P)=2．标准答案：C知识点解析：当t≠6时，秩(Q)=2，且由PQ=0知Q的每一列都是方程组PX=0的解，故PX=0至少有2个线性无关的解，基础解系所含向量个数3-秩(P)≥2，秩(P)≤1；又P≠O，有秩(P)≥1，故此时必有秩(P)=1．2、设非齐次线性方程组Ax=b有两个不同解β1和β2，其导出组的一个基础解系为α1，α2，c1，c2为任意常数，则方程组Ax=b的通解为A、c1α1+c2(α1+α2)+(β1-β2)B、c1α1+c2(α1-α2)+(β1+β2)C、c1α1+c2(β1+β2)+(β1-β2)D、c1α1+c2(β1-β2)+(β1+β2)标准答案：B知识点解析：因α1，α1-α2是与基础解系α1，α2等价的线性无关向量组，故α1，α1-α2也是Ax=0的基础解系，又由(Aβ1+Aβ2)=(B+B)=b知(β1+β2)是Ax=B的一个解，由解的结构即知(B)正确．3、设α1=(1，0，2)T及α2=(0，1，-1)T都是线性方程组Ax=0的解，则其系数矩阵A=A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由条件知Ax=0至少有两个线性无关解，因此其基础解系所含向量个数至少为2，即3-r(A)≥2，r(A)≤1，故只有(A)正确．4、设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是A的A、列向量组线性无关．B、列向量组线性相关．C、行向量组线性无关．D、行向量组线性相关．标准答案：A知识点解析：设A按列分块为A=[α1，α2，…，αn]，则方程组Ax=0的向量形式是x1α1+x2α2+…+xnαn=0，由此可知Ax=0仅有零解x1α1+x2α2+…+xnαn=0，仅在x1=x2=…=xn=0时成立向量组α1，α2，…，αn线性无关．5、设齐次线性方程组的系数矩阵为A．且存在3阶方阵B≠O，使AB=O，则A、λ=-2且｜B｜=0．B、λ=-2且｜B｜≠0．C、λ=1且｜B｜=0．D、λ=1且｜B｜≠0．标准答案：C知识点解析：暂无解析6、设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，b为任一m维列向量，则A、线性方程组Ax=b必无解．B、线性方程组Ax=b必有唯一解．C、线性方程组Ax=b必有无穷多解．D、A的任意m个列向量都线性无关．标准答案：C知识点解析：注意增广矩阵只有m行，其秩不会大于m，故由m=r(A)≤t[A┆b]≤m，r(A)=r(A┆b)=m＜n，所以，Ax=b有无穷多解．7、设矩阵Am×n的秩为r，对于非齐次线性方程组AX=b，A、当r=m时，Ax=b必有解．B、当r=n时，Ax=b必有唯一解．C、当m=n时，Ax=b必有唯一解．D、当r＜n时，Ax=b必有无穷多解．标准答案：A知识点解析：暂无解析8、设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量，且秩(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由Ax=b的解的结构知关键在于求出Ax=0的基础解系，由于Ax=0的基础解系所含解向量个数为4-秩(A)=4-3=1，因此Ax=0的任意一个非零解都可作为Ax=0的基础解系．易知ξ=2α1-(α2+α3)=(2，3，4，5)T是Ax=0的一个非零解，故ξ可作为Ax=0的基础解系，所以，Ax=b的通解为x=α1+cξ．只有选项(C)正确．9、设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．标准答案：A知识点解析：若x满足Ax=0，两端左乘AT，得ATx=0，故Ax=0的解都是ATAx=0的解；若x满足ATAx=0，两端左乘xT，得(xTAT)(Ax)=0，即(Ax)T(Ax)=0，或‖Ax‖2=0，得Ax=0，所以ATAx=0的解也都是Ax=0的解．因此(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，只有选项(A)正确.10、设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A、B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解．以上命题中正确的是A、①②B、①③C、②④D、③④标准答案：B知识点解析：若Ax=0的解均是Bx=0的解，则Ax=0的解空间是Bx=0的解空间的子空间，从而有n-r(A)≤n-r(B)，r(A)≥r(B)．当Ax=0与Bx=0同解时，还有r(B)≥r(A)，从而有r(A)=r(B)，因此，①与③正确．11、设A是，2阶矩阵，α是n维列向量，且秩=秩(A)，则线性方程组A、Ax=α必有无穷多解．B、Ax=α必有唯一解．C、=0仅有零解．D、=0必有非零解．标准答案：D知识点解析：注意选项(D)中的方程组是n+1元方程组，而其系统矩阵的秩等于An×n的秩，它最大是n，必小于n+1，因而该齐次线性方程组必有非零解．12、设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系A、不存在．B、仅含一个非零解向量．C、含有两个线性无关的解向量．D、含有三个线性无关的解向量．标准答案：B知识点解析：由A*≠O知A*至少有一个元素Aij=(-1)i+jMij≠0，故A的余子式Mij≠0，而Mij为A的n-1阶子式，故r(A)≥n-1，又由Ax=b有解且不唯一知r(A)＜n，故r(A)=n-1．因此，Ax=0的基础解系所含向量个数为n-r(A)=n-(n-1)=1，只有(B)正确．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、设其中a1，a2，a3，a4，a5是两两不同的一组常数，则线性方程组ATX=B的解是________．标准答案：(1，0，0，0，0)T知识点解析：由于方程组的系数行列式｜AT｜=｜A｜=(ai-aj)≠0，故方程组有唯一解，利用Gramer法则(或用观察法)易求出这个唯一解为x=(1，0，0，0，0)T．14、若方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足的条件是______．标准答案：a1+a2+a3+a4=0知识点解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换：由阶梯形矩阵B及方程组Ax=b有解判定定理知，方程组有解a1+a2+a3+a4=0．15、若3阶非零方阵B的每一列都是方程组的解，则λ=______，｜B｜=_______．标准答案：1；0知识点解析：由条件知方程组有非零解，故其系数行列式｜A｜==5(λ-1)=0，故λ=1．又由条件知AB=O，若｜B｜≠0，则B可逆，用B-1右乘AB=O两端得A=O，这与A≠O矛盾，故｜B｜=0．16、设n阶方阵A的各行元素之和均为零，且秩(A)=n-1，则齐次线性方程组AX=0的通解为_______.标准答案：x=kξ，其中k作为任意常数知识点解析：n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含向量个数为n-r(A)=n-(n-1)=1，故Ax=0的任一非零解都可作为它的基础解系．由A=(aij)n×n的元素满足aij=0(i=1，2，…，n)知Ax=0有解ξ=(1，1，…，1)T，故ξ可作为Ax=0的基础解系，从而得方程组的通解为x=kξ，其中k作为任意常数．17、已知线性方程组无解，则a=_______．标准答案：-1知识点解析：A→，当a≠3且a≠-1时有唯一解；当a=3时，秩(A)=秩=2＜3，有无穷多解；当a=-1时，秩(A)=2，秩=3，故无解．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)18、设向量α1=(1，0，2，3)，α2=(1，1，3，5)，α3=(1，-1，a+2，1)，α4=(1，2，4，a+8)，β=(1，1，b+3，5)．问：a，b为何值时，β不能用α1，α2，α3，α4线性表示；a，b为何值时，β能用α1，α2，α3，α4线性表示，并写出该表达式．标准答案：当a=-1，b≠0时，β不能用α1，α2，α3，α4线性表示；当a≠-1时，有唯一的线性表示：β=α3+0α4；当a=-1，b=0时，有β=(-2c1+c2)α1+(1+c1-2c2)α2+c1α3+c2α4(c1，c2为任意常数)．知识点解析：暂无解析19、问a、b为何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解?并求有无穷多解时的通解．标准答案：当a≠1时有唯一解；当a=1且b≠-1时，无解；当a=1且b=-1时，通解为x1=-1+c1+c2，x2=1-2x1-2x2，x1=c2，x4=c2(c1，c2为任意常数)．或知识点解析：暂无解析20、λ为何值时，线性方程组有解?并求其全部解．标准答案：当λ≠1时无解；当λ=1时，通解为x1=1-c，x2=-1+2c，x3=c.(c为任意常数)．知识点解析：暂无解析21、设4元线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0，1，1，0)+k2(-1，2，2，1)．(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由．标准答案：(1)由系数矩阵的初等行变换：A=(x3，x4任意)，令x3=1，x4=0，得ξ1=(0，0，1，0)T；令x3=0，x4=1，得ξ2=(-1，1，0，1)T，则ξ1，ξ2就是(Ⅰ)的一个基础解系．(2)若x是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解，则存在常数λ1，λ2，λ3，λ4，使由此得λ1，λ2，λ3，λ4满足齐次线性方程组解此齐次线性方程组，得其参数形式的通解为λ1=C，λ2=C，λ3=-C，λ4=C，其中C为任意常数．故(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解，全部非零公共解为C(0，0，1．0)T+C(-1，1，0，1)T=C(-1，1，1，1)T，其中C为任意非零常数．知识点解析：暂无解析22、已知线性方程组的一个基础解系为：(b11，b12，…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn,2n)T．试写出线性方程组的通解，并说明理由．标准答案：记方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的系数矩阵分别为A、B，则可以看出题给的(Ⅰ)的基础解系中的n个向量就是B的n个行向量的转置向量．因此，由(Ⅰ)的基础解系可知ABT=O转置即得BAT=O因此可知AT的n个列向量——即A的n个行向量的转置向量都是方程组(Ⅱ)的解向量．由于B的秩为n(B的行向量组线性无关)，故(Ⅱ)的解空间的维数为2n-r(B)=2n-n=n，所以(Ⅱ)的任何n个线性无关的解就是(Ⅱ)的一个基础解系．已知(Ⅰ)的基础解系含n个向量，即2n-r(A)=n，故r(A)=n，于是可知A的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成(Ⅱ)的一个基础解系，因此(Ⅱ)的通解为y=c1(a11，a12，…，a1,2n)T+c2(a21，a22，…，a2,2n)T+…+c(an1，an2，…，an,2n)T其中c1，c2，…，cn为任意常数．知识点解析：暂无解析23、设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1α1+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βm也为AX=0的一个基础解系.标准答案：由Ax=0的解的线性组合都是解知，β1，β2，…，βs都是Ax=0的解向量．由于已知Ax=0的基础解系含s个向量，所以，只要β1，β2，…，βs线性无关．就可作为基础解系，否则不能作为基础解系．由于β1，β2，…，βs由线性无关向量组α1，α2，…，αs线性表示的系数矩阵为s阶方阵故β1，β2，…，βs线性无关｜P｜=t1s+(-1)1-st2a≠0，即当t1，t2满足t1a+(-1)1+st2a≠0(s为偶数时，t1≠±t2；s为奇数时，t1≠-t2)时，β1，β2，…，βs也是Ax=0的一个基础解系．知识点解析：暂无解析24、设有3维列向量问λ取何值时(1)β可由α1，α2，α3线性表示．且表达式唯一?(2)β可由α1，α2，α3线性表示，但表达式不唯一?(3)β不能由α1，α2，α3线性表示?标准答案：(1)λ≠0且λ≠-3；(2)λ=1；(3)λ=-3．知识点解析：暂无解析25、已知线性方程组(1)a、b为何值时，方程组有解?(2)当方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系．(3)当方程组有解时，求出方程组的全部解．标准答案：(1)a=1，b=3；(2)ξ1=(1，-2，1，0，0)T，ξ2=(1，-2，0，1，0)T，ξ3=(5，-6，0．0，1)T；(3)(-2，3，0，0，0)T+c1(1，-2，1，0，0)T+c2(1，-2，0．1，0)T+c3(5，-6，0，0，1)T，其中c1，c2，c3为任意常数．知识点解析：暂无解析26、k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解情况下，求出其全部解．标准答案：(1)当k≠-1且k≠4时，有唯一解：(2)当k=-1时，方程组无解；(3)当k=4时，有无穷多解，通解为x=(0，4，0)T+c(-3，-1，1)T．知识点解析：暂无解析27、设有线性方程组(1)证明：当a1，a2，a3，a4两两不等时，此方程组无解；(2)设a1=a3=k，a=a=-k(k≠0)时，方程组有解β1=(-1，1，1)T，β2=(1，1，-1)T，写出此方程组的通解．标准答案：(1)此时，增广矩阵的行列式是一个4阶范德蒙行列式，不等于零，故=4，而r(A)≤3．故方程组无解；(2)r(A)==2＜3，方程组有无穷多解．导出组Ax=0的基础解系含3-r(A)=3-2=1个解向量．可取其基础解系为β1-β2=(-2，0，-2)T．故此方程组的通解为x=β1+c(β1-β2)(-1，1，1)T+c(-2，0，2)T．知识点解析：暂无解析28、设矩阵A、B的行数都是m．证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B)．标准答案：设B、X按列分块分别为B=[b1，b2，…，bm]，X=[x1，x2，…，xp]，则Ax=B即[Ax1，Ax2，…，Axp]=[b1，b2，…，bp]，故Ax=B有解线性方程组Axj=bj(j=1，2，…，p)有解，由非齐次线性方程组有解的充要条件，即得AX=B有解r(A)=r[A┆bj](j=1，2，…，p)A的列向量组的极大无关组也是矩阵[A┆bj](j=1，2，…，p)的列向量组的极大无关组r(A)=r[Ab1b2…bp]=r(A┆B)．知识点解析：暂无解析29、设矩阵X=(xij)3×3为未知矩阵，问a、b、c各取何值时，矩阵方程AX=B有解?并在有解时，求出其全部解．标准答案：由下列矩阵的初等行变换：可见，r(A)=r[A┆B]a=1，b=2，c=1，于是由上题知Ax=B有解a=1，b=2，c=1．此时，对矩阵D作初等行变换：于是若将矩阵B按列分块为B=[b1，b2，b3]，则得方程组Ax=b1的通解为：η1=(1-l，-l，l)T；方程组Ax=b2的通解为：η2=(2-m，2-m，m)T；方程组Ax=b3的通解为：η3=(1-n，-1-n，n)T，所以，矩阵方程Ax=B的通解为x=[η1，η2，η3]=，其中l，m，n为任意常数．知识点解析：暂无解析30、已知齐次线性方程组其中ai≠0，试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．标准答案：方程组的系数行列式｜A｜=bn-1(b+ai)，故当｜A｜≠0，即b≠0且b+ai≠0时，方程组只有零解．当b=0或b+ai=0时，方程组有非零解．当b=0时，设a1≠0，由系统矩阵A的初等行变换：得方程组的基础解系可取为：当b+ai=0时，有b=ai≠0，由系数矩阵的初等行变换：由此得方程组的用自由未知量表示的通解为：x2=x1，x3=x1，…，xn=x1(x1任意)，令自由未知量x1=1，则方程组的基础解系可取为ξ=(1，1，…，1)T．知识点解析：暂无解析31、设A为n阶方阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明：标准答案：当秩(A)=n时，｜A｜*=｜A｜n-1≠0，故秩(A*)=n．当秩(A)=n-1时，｜A｜=0且A中至少有某个元素的代数余子式不等于零，A*≠O，秩(A*)≥1，再由A*A=｜A｜E=0知，A的列向量均为方程组A*x=0的解向量，n-秩(A*)≥秩(A)=n-1，秩(A*)≤1，综合前已证过的秩(A*)≥1，得秩(A*)=1．若秩(A)≤n-2，则A的每个元素的代数余子式都为零，A*=O，秩(A*)=0．知识点解析：暂无解析32、设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，-3a)T，α3=(-1，-b-2，a+2b)T，β=(1，3，-3)T，试讨论当a，b为何值时，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3线性表示；(Ⅱ)β可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式；(Ⅲ)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不惟一，并求表示式．标准答案：设有一组数x1，x2，x3，使得x1α1+x2α2+x3α3=β(*)对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：(1)当a=0，b为任意常数时，有可知r(A)≠，故方程组(*)无解，β不能由α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0，且a≠b时，r(A)==3，方程组(*)有唯一解：x1=1-，x2=，x3=0．故此时β可由α1，α2，α3唯一地线性表示为：β=(1-)α1+α2．(3)当a=b≠0时，对施行初等行变换：可知r(A)==2，故方程组(*)有无穷多解，通解为：x1=1-，x2=+c，3=c，其中c为任意常数．故此时β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为β=(1-)α1+(+c)α2+α3．知识点解析：暂无解析33、已知(1，-1，1，-1)T是线性方程组的一个解，试求(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足x2=x3的全部分．标准答案：将解向量x=(1，-1，1，-1)T代入方程组，得λ=μ．对方程组的增广矩阵施行初等行变换：(1)当λ≠时，有因r(A)==3＜4．故方程组有无穷多解，全部解为x=(0，，0)T+k(-2，1，-1，2)T，其中k为任意常数．因r(A)==2＜4，故方程组有无穷多解，全部解为x=(，1，0，0)T+k1(1，-3，1，0)T+k2(-1，-2，0，2)T，其中k1，k2为任意常数.(2)当λ≠时，由于x2=x3，即，故此时，方程组的解为x=(-2，1，-1，2)T=(-1，0，0，1)T．当λ=时，由于x2=x3，即1-3k1=2k2=k1，解得2=-2k1．故此时全部解为x=(，1，0，0)T+k1(1，-3，1，0)T+(-2k1)(-1，-2，0，2)T=(-1，0，0，1)T+k1(3，1，1，-4)T．知识点解析：暂无解析34、已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．标准答案：方程组(Ⅱ)的未知量个数大于方程的个数，故方程组(Ⅱ)有无穷多个解．因为方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，所以方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩小于3．由此得a=2．此时，方程组(Ⅰ)的系数矩阵可通过初等行变换化为由此得(-1，-1，1)T是方程组(Ⅰ)的一个基础解系．将x1=-1，x2=-1，x3=1代入方程组(Ⅱ)可得b=1，c=2或b=0，c=1．当b=1，x=2时，对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施以初等行变换，有比较(1)式与(2)式右边的矩阵可知，此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵可通过初等行变换化为比较(1)与(3)右边的矩阵可知，此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的解不相同．综上所述，当a=2，b=1，c=2时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．知识点解析：暂无解析考研数学二（线性方程组）模拟试卷第4套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、AX=0和BX=0都是n元方程组，下列断言正确的是()．A、AX=0和BX=0同解r(A)=r(B)．B、AX=0的解都是BX=0的解r(A)≤r(B)．C、AX=0的解都是BX=0的解r(A)≥r(B)．D、r(A)≥r(B)AX=0的解都是BX=0的解．标准答案：C知识点解析：AX=0和BX=0同解(A)=r(B)，但r(A)=r(B)推不出AX=0和BX=0同解，排除(A)AX=0的解都是BX=0的解，则AX=0的解集合BX=0的解集合，于是n-r(A)≤n-r(B)，即r(A)≥r(B)．(C)对，(B)不对．n-r(A)≤n-r(B)推不出AX=0的解集合BX=0的解集合，(D)不对．2、设A是m×n矩阵，r(A)=r．则方程组AX=βA、在r=m时有解．B、在m=n时有唯一解．C、在r＜n时有无穷多解．D、在r=n时有唯一解．标准答案：A知识点解析：此题的考点是解的情况的判别法则以及矩阵的秩的性质．在判别法则中虽然没有出现方程个数m，但是m是r(A)和r(A｜β)的上限．因此，当r(A)=m时，必有r(A｜β)=r(A)，从而方程组有解，(A)正确．(C)和(D)的条件下不能确定方程组有解．(B)的条件下对解的情况不能作任何判断．3、的一个基础解系为A、(0，-1，0，2)T．B、(0，-1，0，2)T，(0，1／2，0，1)T．C、(1，0，-1，0)T，(-2，0，2，0)T．D、(0，-1，0，2)T，(1，0，-1，0)T．标准答案：D知识点解析：用基础解系的条件来衡量4个选项．先看包含解的个数．因为n=4，系数矩阵为其秩为2，所以基础解系应该包含2个解．排除(A)．再看无关性(C)中的2个向量相关，不是基础解系，也排除．(B)和(D)都是两个无关的向量，就看它们是不是解了．(0，-1，0，2)T在这两个选项里都出现，一定是解．只要看(0，1／2，0，1)T或(1，0，-1，0)T(其中一个就可以)．如检查(1，0，-1，0)T是解，说明(D)正确．或者检查出(0，1／2，0，1)T不是解，排除(B)．4、当A=()时，(0，1，-1)和(1，0，2)构成齐次方程组AX=0的基础解系．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由解是3维向量知n=3，由基础解系含有两个解得到3-r(A)=2，从而r(A)=1．由此着眼，只有(A)中的矩阵符合此要求．5、A=，r(A)=2，则()是A*X=0的基础解系．A、(1，-1，0)T，(0，0，1)T．B、(1，-1，0)T．C、(1，-1，0)T，(2，-2，a)T．D、(2，-2，a)T，(3，-3，6)T．标准答案：A知识点解析：由A是3阶矩阵，因此未知数个数n为3．r(A)=2，则r(A*)=1．A*X=0的基础解系应该包含n-1=2个解，(A)满足．(1，-1，0)T，(0，0，1)T显然线性无关，只要再说明它们都是A*X=0的解．A*A=｜A｜E=0，于是A的3个列向量(1，-1，0)T，(2，-2，a)T，(3，-3，b)T都是A*X=0的解．由于r(A)=2，a和b不会都是0，不妨设a≠0，则(0，0，a)T=(2，-2，a)T-2(1，-1，0)T也是A*X=0的解．于是(0，0，1)T=(0，0，a)T／a也是解．6、线性方程组的通解可以表示为A、(1，-1，0，0)T+c(0，1，-1，0)T，c任意．B、(0，1，1，1)T+c1(0，-2，2，0)T+c2(0，1，-1，0)T，c1，c2任意．C、(1，-2，1，0)T+c1(-1，2，1，1)T+c2(0，1，-1，0)T，c1，c2任意．D、(1，-1，0，0)T+c1(1，-2，1，0)T+c2(0，1，-1，0)T，c1，c2任意．标准答案：C知识点解析：用排除法．非齐次方程组AX=β的通解是它的一个特解加上导出组AX=0的一个基础解系的线性组合．因此表达式中，带参数的是导出组的基础解系，无参数的是特解．于是可从这两个方面来检查．先看导出组的基础解系．方程组的未知数个数n=4，系数矩阵的秩为2，所以导出组的基础解系应该包含2个解．(A)中只一个，可排除．(B)中用(0，-2，2，0)T，(0，1，-1，0)T为导出组的基础解系，但是它们是相关的，也可排除．(C)和(D)都有(1，-2，1，0)T，但是(C)用它作为特解，而(D)用它为导出组的基础解系的成员，两者必有一个不对．只要检查(1，-2，1，0)T，确定是原方程组的解，不是导出组的解，排除(D)．7、设ξ1，ξ2是非齐次方程组AX=β的两个不同的解，η1，η2为它的导出组AX=0的一个基础解系，则它的通解为()A、k1η1+k2η2+(ξ1-ξ2)／2．B、k1η1+k2(η1-η2)+(ξ1+ξ2)／2．C、k1η1+k2(ξ1-ξ2)+(ξ1-ξ2)／2．D、k1η1+k2(ξ1-ξ2)+(ξ1+ξ2)／2．标准答案：B知识点解析：先看特解．(ξ1-ξ2)／2是AX=0的解，不是AX=β的解，从而(A)，(C)都不对．(ξ1+ξ2)／2是AX=β的解．在看导出组的基础解系．在(B)中，η1，η1-η2是AX=0的两个解，并且由η1，η2线性无关容易得出它们也无关，从而可作出AX=0的基础解系，(B)正确．在(D)中，虽然η1，ξ1-ξ2都是AX=0的解，但不知道它们是否无关，因此(D)作为一般性结论是不对的．8、设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则AX=β的通解为()A、(η2+η3)／2+k1(η2-η1)．B、(η2-η3)／2+k2(η2-η1)．C、(η2+η3)／2+k1(η3-η1)+k2(η2-η1)．D、(η2-η3)／2+k1(η3-η1)+k2(η2-η1)．标准答案：C知识点解析：(B)和(D)都用(η2-η3)／2为特解，但是(η2-η3)／2不是原方程组的解，因此(B)和(D)都排除．(A)和(C)的区别在于导出组AX=0的基础解系上，(A)只用一个向量，而(C)用了两个：(η3-η1)，(η2-η1)．由于η1，η2，η3线性无关，可推出(η3-η1)，(η2-η1)无关，并且它们都是AX=0的解．则AX=0的解集合的秩不小于2，从而排除(A)．9、设线性方程组AX=β有3个不同的解γ1，γ2，γ3，r(A)=n-2，n是未知数个数，则()正确．A、对任何数c1，c2，c3，c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解；B、2γ1-3γ2+γ3是导出组AX=0的解；C、γ1，γ2，γ3线性相关；D、γ1-γ2，γ2-γ3是AX=0的基础解系．标准答案：B知识点解析：Aγi=β，因此A(γ1-3γ2+γ3)=2β-3β+β=0，即2γ1-3γ2+γ3是AX=0的解，(B)正确．c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解c1+c2+c3=1，(A)缺少此条件．当r(A)=n-2时，AX=0的基础解系包含两个解，此时AX=β存在3个线性无关的解，因此不能断定γ1，γ2，γ3线性相关．(C)不成立．γ1-γ2，γ2-γ3都是AX=0的解，但从条件得不出它们线性无关，因此(D)不成立．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)10、已知ξ1=(1，1，-1，-1)T和ξ2=(1，0，-1．0)T是线性方程组的解，η=(2，-2，1，1)T是它的导出组的解，方程组的通解为_______．标准答案：ξ1+c1η+c2(ξ2-ξ1)，c1，c2任意知识点解析：暂无解析11、设矩阵A=(α1，α2，α3)，方程组AX=β的通解为ξ+cη，其中ξ=(1，1，-1)T，η=(-3，4，2)T.记B=(α1，α2，α3，α1+α2+β)，方程组BY=β的通解为_______．标准答案：(1，1，-1，0)T+c1(-3，4，2，0)T+c2(2，2，-1，-1)T，c1，c2任意知识点解析：暂无解析12、设ξ1=(2，-1，-1，0)T和ξ2=(t，1-t，0，-1)T是4元齐次方程组(Ⅰ)的一个基础解系，方程组(Ⅱ)为已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共的非零解，p=______，t=_______全部公共解_________．标准答案：3；-2；c(3ξ1-2ξ2)，c任意知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)13、已知(1，a，2)T，(-1，4，6)T构成齐次线性方程组的一个基础解系，求a，b，s，t．标准答案：此齐次线性方程组的基础解系包含2个解，未知数有3个，则系数矩阵的秩为1，立刻得到s=2．t=-1．于是方程组为把(1，a，2)T，(-1，4，6)T代入，得a=2，b=1．知识点解析：暂无解析14、求此齐次方程组的一个基础解系和通解．标准答案：①用初等行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵则系数矩阵的秩为2，小于未知数个数5，此齐次方程组有非零解．进一步把阶梯形矩阵化为简单阶梯形矩阵：②选定自由未知量x2，x4，x5，用它们表示出待定未知量，得到同解方程组：(一般情况都把阶梯形矩阵的台角所在列号对应的未知量(如本题中的x1，x3)作为待定未知量，其他未知量作为自由未知量．这样得到的同解方程组直接用自由未知量表示出待定未知量，)③对自由未知量赋值，决定基础解系．一般做法为让自由未知量轮流地取值1(其他未知量取值0)，这样得到的一组解为基础解系，如本题的一个基础解系为：η1=(-2／3，1，0，0，0)T，η2=(-1／3，0，0，1，0)T，η3=(-2／9，0，-1／3，0，1)T，④写出通解c1η1+c2η2+c3η3，其中c1，c2，c3可取任意数．知识点解析：暂无解析15、讨论p，t为何值时，方程组无解?有解?有解时写出全部解．标准答案：①用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵于是，当t≠-2时，有r(A｜β)＞r(A)，此时方程组无解．当t=-2时(p任意)，r(A｜β)=r(A)≤3＜4，此时有无穷多解．②当t=-2，p=-8时，得同解方程组令x3=x4=0，得一特解(-1，1，0，0)T．导出组有同解方程组对x3，x4赋值得基础解系(4，-2，1，0)T，(-1，-2，0，1)T．此时全部解为(-1，1，0，0)T+c1(4，-2，1，0)T+c2(-1，-2，0，1)T，其中c1，c2可取任何数．③当t=-2，p≠-8时，得同解方程组令x4=0，得一特解(-1，1，0，0)T．导出组有同解方程组令x4=1，得基础解系(-1，-2，0，1)T．此时全部解为(-1，1，0，0)T+c(-1，-2，0，1)T，其中c可取任何数．知识点解析：暂无解析16、A=，已知线性方程组AX=β存在两个不同的解．①求λ，a．②求AX=β的通解．标准答案：①AX=β存在两个不同的解(即有无穷多个解)r(A｜β)=r(A)＜3．用矩阵消元法：则1-λ2=a-λ+1=0，而λ-1≠0(否则第二个方程为0=1，无解)．得λ=-1，a=-2．得AX=β的同解方程组求出通解(3／2，-1／2，0)T+c(1，0，1)T，c可取任意数．知识点解析：暂无解析17、设A=①计算行列式｜A｜．②实数a为什么值时方程组AX=β有无穷多解?在此时求通解．标准答案：如果顺题目要求，先做①，算得｜A｜=1-a4，再做②时，由无穷多解｜A｜=0，a=1或-1．然后分别就这两种情况用矩阵消元法进行讨论和求解．这个过程工作量大．下面的解法要简单些．解两个小题可以一起进行：把增广矩阵用第3类初等行变换化为阶梯形①｜A｜=｜B｜=1-a4．②AX=β有无穷多解的条件是1-a4=-a-a2=0，即a=-1．此时求出通解(0，-1，0，0)T+c(1，1，1，1)T，c为任意常数．知识点解析：暂无解析18、设n＞0，n元齐次方程组AX=0的系数矩阵为(1)讨论a为什么数时AX=0有非零解?(2)在有非零解时求通解．标准答案：(1)用矩阵消元法，把第n行除以n移到第一行，其他行往下顺移，再第i行减第一行的i倍(i＞1)．a=0时r(A)=1，有非零解．下面设a≠0，对右边的矩阵继续进行行变换：把第2至n各行都除以a，然后把第1行减下面各行后换到最下面，得于是当a=-n(n+1)／2时r(A)=n-1，有非零解．(2)a=0时AX=0与x1+x2+…+xn=0同解，通解为c1(1，-1，0，…，0)T+c2(1，0，-1，…，0)T+…+cn-1(1，0，0，…，-1)T，ci任意．a=-n(n+1)／2时，通解为c(1，2，3，…，n)T，c任意．知识点解析：暂无解析19、已知线性方程组有解(1，