考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷3（共203题）

考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷3（共7套）（共203题）考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第1套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(χ)一阶连续可导，且f(0)＝0，f′(0)＝1，则＝()．A、e-1B、eC、e2D、e3标准答案：B知识点解析：故选B．2、设f(χ)＝，则χ＝0是f(χ)的()．A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、不能判断连续性的点标准答案：B知识点解析：当χ＞0时，f(χ)＝＝1；当χ＝0时，f(χ)＝；当χ＜0时，f(χ)＝χ．因为f(0＋0)＝1，f(0)＝，f(0－0)＝0，所以χ＝0为f(χ)的第一类间断点，选B．3、设f(χ)是不恒为零的奇函数，且f′(0)存在，则g(χ)＝()．A、在χ＝0处无极限B、χ＝0为其可去间断点C、χ＝0为其跳跃间断点D、χ＝0为其第二类间断点标准答案：B知识点解析：因为f′(0)存在，所以f(χ)在χ＝0处连续，又因为f(χ)为奇函数，所以f(0)＝0，显然χ＝0为g(χ)的间断点，因为＝f′(0)，所以χ＝0为g(χ)的可去间断点，选B．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、＝_______．标准答案：知识点解析：5、＝_______．标准答案：知识点解析：由＝1＋χ2＋＋o(χ4)及ln(1＋χ)＝χ－＋o(χ2)，得－1＝χ2＋＋o(χ4)，χln(1＋χ)＝χ2－＋o(χ3)，从而－1－χln(1＋χ)＝＋o(χ3)，所以6、＝_______．标准答案：知识点解析：由ln(1＋χ)＝χ－＋o(χ2)得当χ→0时，χ2－χln(1＋χ)＝，7、＝_______．标准答案：知识点解析：8、设函数f(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＞0．则＝_______．标准答案：知识点解析：9、若(cosχ－b)＝5，则a＝_______，b＝_______．标准答案：1；－4．知识点解析：10、设当χ→0时，ksin2χ～，则k＝_______．标准答案：知识点解析：而当χ→0时，，所以当χ→0时，，又ksin2χ～kχ2，所以χ＝．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)11、(其中ai＞0(i＝1，2，…，n)标准答案：所以原式＝a1a2…an．知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、求标准答案：所以(sinχ)ln(1+χ)＝1．知识点解析：暂无解析17、标准答案：由当χ→0时，1－cosaχ～χ2得因为sinaχ＝aχ－χ3＋o(χ3)，asinχ＝a[χ－＋o(χ3)]＝aχ－χ3＋o(χ3)知识点解析：暂无解析18、标准答案：令f(t)＝et，由微分中值定理，其中ξ介于与之间，所以知识点解析：暂无解析19、标准答案：令f(χ)＝arctanχ，由微分中值定理得知识点解析：暂无解析20、设曲线y＝χn在点(1，1)处的切线交χ轴于点(ξ，0)，求．标准答案：y＝χn在点(1，1)处的切线方程为y－1＝n(χ－1)，令y＝0得ξn＝1－，于是＝e-2．知识点解析：暂无解析21、确定常数a，b，c的值，使得当χ→0时，eχ(1＋bχ＋cχ2)＝1＋aχ＋0(χ3)．标准答案：由eχ＝1＋χ＋＋o(χ3)，得所以b＋1＝a，b＋c＋＝0，＝0，即知识点解析：暂无解析22、确定常数a，c，使得＝c，其中c为非零常数．标准答案：由洛必达法则，故a＝1，c＝．知识点解析：暂无解析23、设(χ-3sin3χ＋aχ-2＋b)＝0，求a，b．标准答案：由麦克劳林公式得sin3χ＝3χ－＋o(χ3)＝3χ－χ3＋o(χ3)，于是sin3χ＋aχ＋bχ3＝(3＋a)χ＋(b－)χ3＋o(χ3)而＝0，所以知识点解析：暂无解析24、(1)设＝0，求a，b的值．(2)确定常数a，b，使得ln(1＋2χ)＋＝χ＋χ2＋o(χ2)．(3)设b＞0，且＝2，求b．标准答案：于是，解得a＝1，(2)由ln(1＋2χ)＝2χ－＋o(χ2)＝2χ－2χ2＋o(χ2)，＝aχ.[1－bχ＋o(χ)]＝aχ－abχ2＋o(χ2)得ln(1＋2χ)＋＝(a＋2)χ－(ab＋2)χ2＋o(χ2)，于是解得a＝－1，b＝3(3)根据题意得：知识点解析：暂无解析25、设＝2，求a，b．标准答案：由ln(1－2χ＋3χ2)＝(－2χ＋3χ2)＝＋o(χ2)＝－2χ＋χ＋o(χ2)得则a＝2，b＋1＝2，即a＝2，b＝1．知识点解析：暂无解析26、设＝0，求a，b，c，d．标准答案：所以a，b，c，d满足的条件是a＝－2d，c＝－1，b取任意常数．知识点解析：暂无解析考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第2套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设当χ→0时，(χ→sinχ)ln(1＋χ)是比－1高阶的无穷小，而－1是比(1－cos2t)dt高阶的无穷小，则n为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：当χ→0时，－1～χn，因为sinχ＝χ－＋o(χ3)，所以(χ－sinχ)ln(1＋χ)～，又因为所以当χ→0时，，于是n＝3，选C．2、f(χ)＝2χ＋3χ－2，当χ→0时()．A、f(χ)～χB、f(χ)是χ的同阶但非等价的无穷小C、f(χ)是χ的高阶无穷小D、f(χ)是χ的低阶无穷小标准答案：B知识点解析：＝ln2＋ln3＝ln6，所以f(χ)是χ的同阶而非等价的无穷小，选B．3、设f(χ)＝，g(χ)＝∫0χ－sin2(χ－t)dt，则当χ→0时，g(χ)是f(χ)的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价的无穷小D、等价无穷小标准答案：A知识点解析：由得当χ→0时，f(χ)～χ2，又g(χ)＝∫0χsin2(χ－t)dt∫χ0sin2u(－du)＝∫0χsin2udu，由得当χ→0时，g(χ)～χ3，故g(χ)是f(χ)的高阶无穷小，应选A．4、设f(χ)＝∫01-cosχsint2dt，g(χ)＝，则当χ→0时，f(χ)是g(χ)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：B知识点解析：当χ→0时，g(χ)～，因为所以f(χ)是g(χ)的高阶无穷小，选B．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、＝_______．标准答案：1知识点解析：注意到χχ＝1，由洛必达法则得＝1．6、＝_______．标准答案：知识点解析：7、＝_______．标准答案：e知识点解析：8、＝_______．标准答案：知识点解析：9、＝_______．标准答案：1知识点解析：10、设a≠，则＝_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、求标准答案：由，cosχ＝1－＋o(χ2)，＝1＋χ2＋o(χ2)得当χ→0时，cosχ－，故知识点解析：暂无解析12、求标准答案：知识点解析：暂无解析13、求标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、设an＝，求．标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：因为(i＝1，2，…，n)，所以再由根据迫敛定理得知识点解析：暂无解析17、标准答案：根据迫敛定理得知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：所以原式＝．知识点解析：暂无解析21、标准答案：根据迫敛定理知识点解析：暂无解析22、标准答案：χ→0时由1－ccosaχ～χ2得知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：则cos(sinχ)－cosχ～χ4，故知识点解析：暂无解析25、标准答案：因为当χ→0时，所以知识点解析：暂无解析26、＝K，求(a≠0)．标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(χ)是不恒为零的奇函数，且f′(0)存在，则g(χ)＝()．A、在χ＝0处无极限B、χ＝0为其可去间断点C、χ＝0为其跳跃间断点D、χ＝0为其第二类间断点标准答案：B知识点解析：因为f′(0)存在，所以f(χ)在χ＝0处连续，又因为f(χ为奇函数，所以f(0)＝0，显然χ＝0为g(χ)的间断点．因为＝f′(0)，所以χ＝0为g(χ)的可去间断点，选B．2、设f(χ)＝，则f(χ)()．A、无间断点B、有间断点χ＝1C、有间断点χ＝－1D、有间断点χ＝0标准答案：B知识点解析：当｜χ｜＜1时，f(χ)＝1＋χ；当｜χ｜＞1时，f(χ)＝0；当χ＝－1时，f(χ)＝0；当χ＝1时，f(χ)＝1．于是f(χ)＝显然χ＝1为函数f(χ)的间断点，选B．3、设＝b，其中a，b为常数，则()．A、a＝1，b＝1B、a＝1，b＝－1C、a＝－1，b＝1D、a＝－1，b＝－1标准答案：B知识点解析：因为＝∞，所以＝∞，即a＝1又＝－1，故选B．4、f(χ)在[－1，1]上连续，则χ＝0是函数g(χ)＝的()．A、可去间断点B、跳跃间断点C、连续点D、第二类间断点标准答案：A知识点解析：显然χ＝0为g(χ)的间断点，因为＝f(0)，所以χ＝0为g(χ)的可去间断点，选A．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)5、设当χ→0时，ksin2χ～，则k＝_______．标准答案：知识点解析：所以当χ→0时，，又ksin2χ～kχ2，所以k＝．6、＝_______．标准答案：知识点解析：当χ→0时，7、若f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．标准答案：2知识点解析：因为f(χ)在χ＝0处连续，所以1＋＝a，故a＝2．8、设f(χ)＝在χ＝0处连续，则a＝_______．标准答案：e-1知识点解析：因为所以a＝e-1．9、设f(χ)连续可导，f(0)＝0且f′(0)＝b，若F(χ)＝在χ＝0处连续，则A＝_______．标准答案：A＝a＋b知识点解析：因为F(χ)在χ＝0处连续，所以A＝a＋b．10、设f(χ)连续，且F(χ)＝f(t)dt，则F(χ)＝_______．标准答案：a2f(a)知识点解析：11、设f(χ)可导且2，又g(χ)＝，χ≠0，在χ＝0处连续，则a＝_______．标准答案：3知识点解析：由当χ→0时，χ－arctanχ－arctanχ＝χ－[χ－＋o(χ3)]～得因为g(χ)在χ＝0处连续，所以a＝3．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)12、讨论函数f(χ)＝(χ＞0)的连续性．标准答案：当χ∈(0，e)时，当χ＝e时，f(e)＝1，当χ＞e时，f(χ)＝＝lnχ，故f(χ)＝因为f(e－0)＝f(e)＝f(e＋0)＝1，所以f(χ)在χ＞0处处连续．知识点解析：暂无解析13、设f(χ)＝，求f(χ)的间断点并判断其类型．标准答案：因为f(χ)为初等函数，所以f(χ)的间断点为χ＝0和χ＝1．因为χ→0时，1－～－χ，所以f(χ)＝－1，即χ＝0为f(χ)的第一类间断点中的可去间断点；因为f(1－0)＝＝0，f(1＋0)＝＝1，所以χ＝1为f(χ)的第一类间断点中的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析14、设f(χ)＝，求f(χ)的间断点，并分类．标准答案：显然χ＝0，χ＝为函数f(χ)的间断点．因为f(0－0)≠f(0＋0)，所以χ＝0为f(χ)的跳跃间断点；因为f(1－0)≠f(1＋0)，所以χ＝1为f(χ)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析15、求f(χ)＝的间断点并分类．标准答案：χ＝－1、χ＝0、χ＝1、χ＝2为f(χ)的间断点，由＝∞得χ＝－1为第二类间断点，由得χ＝0为可去间断点，由f(χ)＝∞得χ＝1为第二类间断点，由f(2＋0)＝f(χ)＝＋∞得χ＝2为第二类间断点．知识点解析：暂无解析16、设f(χ)＝，求f(χ)的间断点并判断其类型．标准答案：当χ＝0及χ＝±1时f(χ)间断．由f(0－0)＝0，f(0＋0)＝－∞得χ＝0为f(χ)的第二类间断点．由f(1－0)＝－，f(1＋0)＝得χ＝1为f(χ)的第一类间断点中的跳跃间断点，同理χ＝－1也为f(χ)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析17、设f(χ)＝，试补充定义使得f(χ)在[，1]上连续．标准答案：所以令f(1)＝，则f(χ)在[，1]上连续．知识点解析：暂无解析18、设f(χ)＝sinχ，求f(χ)的间断点及分类．标准答案：χ＝0及χ＝1为f(χ)的间断点．则χ＝0为f(χ)的可去间断点；即f(1－0)＝－sin1，即f(1＋0)＝sin1，因为f(1－0)≠f(1＋0)，所以χ＝1为f(χ)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析19、求下列极限：标准答案：知识点解析：暂无解析20、求下列极限：标准答案：知识点解析：暂无解析21、求下列极限：标准答案：知识点解析：暂无解析22、求下列极限：标准答案：知识点解析：暂无解析23、求下列极限：标准答案：知识点解析：暂无解析24、求下列极限：标准答案：知识点解析：暂无解析25、求下列极限：标准答案：(1)4≤，因为＝4，所以由夹逼定理得＝4．所以由夹逼定理得知识点解析：暂无解析26、当χ→0时，(1＋χsin2χ)a－1～1－cosχ，求a．标准答案：由(1＋χsin2χ)a－1～asin2χ～2aχ2，1－cosχ～χ2得2a＝，故a＝，知识点解析：暂无解析27、设a0＞0，aa+1＝(n＝0，1，2，…)，证明：an存在，并求之．标准答案：由an+1＝得an≥1(n＝0，1，2，3，…)；又由an+1＝得an≤2(n＝0，1，2，…)，故数列{an}有界；又由an+1－an＝得an+1－an与an－an+1同号，即数列{an}单调，故存在．令两边取极限得A＝，解得A＝知识点解析：暂无解析28、设f(χ)＝，求f(χ)的间断，并进行分类．标准答案：χ＝0，χ＝1，χ＝π为f(χ)的间断点．f(0－0)＝由f(0－0)≠f(0＋0)得χ＝0为跳跃间断点；由f(π－0)≠f(π＋0)得χ＝π为跳跃间断点；由f(1－0)＝0，f(1＋0)＝－∞得χ＝1为第二类间断点．知识点解析：暂无解析29、设f(χ)＝，求f(χ)及其间断点，判断其类型．标准答案：当χ＜1时，f(χ)＝1；当χ＞1时，f(1)＝；当χ＞1时，f(χ)＝，即f(χ)＝因为f(1－0)＝1，f(1＋0)＝，f(1－0)≠f(1＋0)，所以χ＝1为f(χ)的跳跃间断点．知识点解析：暂无解析考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第4套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、下列各题计算过程中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A项错误，数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则。B项错误，是定式，不能用洛必达法则。C项错误，用洛必达法则求不存在，也不为∞，法则失效，不能推出原极限不存在，事实上该极限是存在的。故选D。2、函数f(x)=xsinx()A、当x→∞时为无穷大。B、在(一∞，+∞)内有界。C、在(一∞，+∞)内无界。D、当x→∞时有有限极限。标准答案：C知识点解析：令xn=2nπ+。yn=2nπ+π，则f(xn)=2nπ+，f(yn)=0。因为，所以f(x)在(一∞，+∞)内无界，且当x→∞时不一定为无穷大，故选C。3、设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且[g(x)一φ(x)]=0，则f(x)()A、存在且等于零。B、存在但不一定为零。C、一定不存在。D、不一定存在。标准答案：D知识点解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且[g(x)一φ(x)]=0，但不存在，故排除A、B。再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同样有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且[g(x)一φ(x)]=0，但=1，可见C不正确。故选D。4、设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3－t3)dt，g(x)=，则当x→0时，F(x)是g(x)的()A、低阶无穷小。B、高阶无穷小。C、等价无穷小。D、同阶但非等价无穷小。标准答案：D知识点解析：先改写5、把x→0＋时的无穷小量α=∫0xcost2dt，β=∫0x2tandt，γ=∫0sint3dt排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是()A、α，β，γ。B、α，γ，β。C、β，α，γ。D、β，γ，α。标准答案：B知识点解析：因为所以当x→0＋时，α是x的一阶无穷小，β是x的三阶无穷小，γ是x的二阶无穷小，故选B。6、设当x→0时，(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比(ex2—1)高阶的无穷小，则正整数n等于()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：B知识点解析：因当x→0时，1一cosx～x2，ln(1+x2)～x2，sinxn～xn，ex2一1～x2，故(1一cosx)ln(1+x2)～x4，xsinxn～xn＋1。而由(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，知4＞n+1，即n＜3；由xsinxn是比(ex2一1)高阶的无穷小，知n+1＞2，即n＞1。因此正整数n=2，故选B。7、已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则()A、k=1，c=4。B、k=1，c=一4。C、k=3，c=4。D、k=3，c=一4。标准答案：C知识点解析：由麦克劳林展开式sinx=x一+o(x3)，sin3x=3x一+o(x3)可得=1。由此可得k=3，c=4，故选C。8、设数列极限函数f(x)=，则f(x)的定义域I和f(x)的连续区间J分别是()A、I=(一∞，+∞)，J=(一∞，+∞)。B、I=(一1，+∞)，J=(一1，1)∪(1，+∞)。C、I=(一1，+∞)，J=(一1，+∞)。D、I=(一1，1)，J=(一1，1)。标准答案：B知识点解析：当x=一1时，arctan无定义，则f(x)在x≤一1无定义。因此f(x)的定义域为I=(一1，+∞)，且f(x)=f(x)的连续区间是J=(一1，1)∪(1，+∞)。9、设f(x)在R上连续，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则下列结论中正确的个数是()①φ[f(x)]必有间断点；②[φ(x)]2必有间断点；③f(φ(x)]没有间断点。A、0。B、1。C、2。D、3。标准答案：A知识点解析：①错误。举例：设φ(x)=f(x)=ex，则φ[f(x)]=1在R上处处连续。②错误。举例：设φ(x)=则[φ(x)]2=9在R上处处连续。③错误。举例：设φ(x)=f(x)=ex，则f[φ(x)]=在x=0处间断。因此选A。10、函数f(x)=的间断点及类型是()A、x=1为第一类间断点，x=一1为第二类间断点。B、x=±1均为第一类间断点。C、x=1为第二类间断点，x=一1为第一类间断点。D、x=±1均为第二类间断点。标准答案：B知识点解析：分别就｜x｜=1，｜x｜＜1，｜x｜＞1时求极限，得出f(x)的分段表达式：f(x)=在｜x｜=1处，因所以，x=±1均为f(x)的第一类间断点，故选B。11、设函数f(x)=sinx，则f(x)有()A、1个可去间断点，1个跳跃间断点。B、1个可去间断点，1个无穷间断点。C、2个跳跃间断点。D、2个无穷间断点。标准答案：A知识点解析：x=0，x=1时，f(x)均无定义，所以x=0，x=1是函数的间断点。并且根据可去间断点和跳跃间断点的定义可知，x=0是可去间断点，x=1是跳跃间断点。因此选A。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)12、当x→0时，α(x)=kx2与β(x)=是等价无穷小，则k=_________。标准答案：知识点解析：由题设可知，所以得k=。13、=_________。标准答案：1知识点解析：利用等价无穷小量替换将极限式进行化简，即=1。14、=_________。标准答案：0知识点解析：因为→0，且arctanx为有界函数，即｜arctanx｜＜=0。15、=_________。标准答案：知识点解析：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，16、设a1，a2，…，am(m≥2)为正数，则=__________。标准答案：max{a1，a2，…，am}知识点解析：不妨设a1为最大值，则原式=a1=a1．1=a1。所以(a1n+a2n+…+am2)=max{a1，a2，…，am}。17、[x]表示不超过x的最大整数，则=__________。标准答案：2知识点解析：因为，所以当x＞0时，2一x＜≤2；当x＜0时，2≤＜2一x。又由(2一x)=2，利用夹逼准则可知，=2。18、设函数f(x)=f(x)在(一∞，+∞)上连续，则A=________。标准答案：知识点解析：令函数f(x)=其中g(x)，h(x)分别在[a，x0]，(x0，b]上是初等函数，因此连续，且f(x)在x0连续。所以g(x0)=h(x0)。对任意常数A，显然x≠1时，f(x)连续。当且仅当时，f(x)在x=1连续。因此，当A=时，f(x)在(一∞，+∞)上连续。19、设f(x)=，则f(x)的间断点为x=_________。标准答案：0知识点解析：首先对于不同的x，用求极限的方法得出f(x)的表达式，再讨论f(x)的间断点。当x=0时，f(x)=0；当x≠0时，所以f(x)的表达式为所以x=0为f(x)的间断点。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)20、求极限。标准答案：由麦克劳林展开式sinx=x一+o(x3)，arcsinx=x++o(x3)，因此知识点解析：暂无解析21、求极限。标准答案：由麦克劳林展开式sinx=x一+o(x3)，cosx=1一+o(x2)及常见的等价无穷小代换，可得知识点解析：暂无解析22、求极限。标准答案：由麦克劳林展开式ln(1+x)=x一+o(x2)，cosx=1一+o(x2)，tanx=x+x3+o(x3)，故可得知识点解析：暂无解析23、求极限。标准答案：因为且arcsinx～x。故知识点解析：暂无解析24、求极限标准答案：由麦克劳林展开式sinx=x一+o(x3)及常见的等价无穷小代换，得知识点解析：暂无解析25、求极限。标准答案：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，知识点解析：暂无解析26、求极限。标准答案：原式=。知识点解析：暂无解析27、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析28、求下列极限标准答案：(Ⅰ)因为(Ⅱ)因为(Ⅲ)因为(Ⅳ)利用定积分的定义可得(Ⅴ)利用定积分的定义可得(Ⅵ)利用定积分的定义可得知识点解析：暂无解析29、设函数f(x)=lnx+，数列{xn}满足lnxn+＜1，证明xn存在，并求此极限。标准答案：令f’(x)=＜0，则x＜1。于是f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以x=1是f(x)唯一的最小值点，且f(x)≥f(1)=1，从而有f(xn)=lnxn+≥1。再结合题目中的条件有所以xn＜xn＋1，0＜xn＜e，即数列{xn}单调递增且有界。由单调有界准则可知，极限xn存在。由前面讨论出的函数f(x)的性质可知xn=a=1。知识点解析：暂无解析30、设f(x)在[0，1]连续，且f(0)=f(1)，证明至少存在一点ξ∈[0，1]，使得f(ξ)=f(ξ+)。标准答案：本题可以转化为证明F(x)=f(x)一f(x+)在区间[0，1]上存在零点，因为f(x)在[0，1]上连续，所以F(x)=f(x)一上连续。F(x)在[0，1，－]上存在零点的情况可转化为函数F(x)在[0，1，－]存在两个点的函数值是异号。知识点解析：暂无解析考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第5套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设f(x)=，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：用推演法。将题设条件f(x)中的所有自变量x都用(一x)替换，得f(一x)=也就是f(一x)=故选D。2、下列各式中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由重要极限结论=e，可立即排除B、D。对于A、C选项，只要验算其中之一即可。对于C选项，因=e－1，故C不正确，选A。3、设数列{xn}与{yn}满足xnyn=0，则下列结论正确的是()A、若{xn}发散，则{yn}必发散。B、若{xn}无界，则{yn}必无界。C、若{xn}有界，则{yn}必为无穷小。D、若{)为无穷小，则{yn}必为无穷小。标准答案：D知识点解析：取xn=n，yn=0，显然满足题设条件，由此可排除A、B。若取xn=0，yn=n，也满足xnyn=，排除C项。故选D。4、设函数f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是()A、若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛。B、若{xn}单调，则{f(xn)}收敛。C、若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛。D、若{f(xn)}单调，则{xn}收敛。标准答案：B知识点解析：因为f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，且结合选项B，{xn}单调，所以{f(xn)}单调且有界。故{f(xn)}一定存在极限，即{f(xn)}一定收敛。5、当x→0时，下列四个无穷小中，比其他三个高阶的无穷小是()A、x2。B、1一cosx。C、一1。D、x一tanx。标准答案：D知识点解析：利用常用的等价无穷小结论。由于x→0时，1一cosx～，所以当x→0时，B、C与A是同阶无穷小，由排除法知选D。6、设x→0时，ax2+bx+c—cosx是高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则()A、a=，b=0，c=1。B、a=，b=0，c=0。C、a=，b=0，c=1。D、a=，b=0，c=0。标准答案：C知识点解析：由题意得(ax2+bx+c—cosx)=0，得c=1，又因为所以b=0，a=。故选C。7、当x→0时，ex一(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，则()A、a=，b=1。B、a=1，b=1。C、a=，b=一1。D、a=一1，b=1。标准答案：A知识点解析：因ex=l+x++o(x2)，故ex一(ax2+bx+1)=(1—b)x+(一a)x2+o(x2)。显然要使上式是比x2高阶的无穷小(x→0时)，只要故选A。8、设x→a时，f(x)与g(x)分别是x—a的n阶与m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是()①f(x)g(x)是x—a的n+m阶无穷小；②若n＞m，则是x一a的n—m阶无穷小；③若n≤m，则f(x)+g(x)是x一a的n阶无穷小。A、1。B、2。C、3。D、0。标准答案：B知识点解析：此类问题按无穷小阶的定义要逐一分析：命题①：x→a时，f(x)g(x)是x一a的n+m阶无穷小；命题②：若n＞m，x→a时，f(x)／g(x)是x一a的n—m阶无穷小；命题③：例如，x→0时，sinx与一x均是x的一阶无穷小，但即sinx+(一x)是x的三阶无穷小。因此①，②正确，但③错误。故选B。9、设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在x0间断，则在点x0处必定间断的函数是()A、f(x)sinx。B、f(x)+sinx。C、f2(x)。D、｜f(x)｜。标准答案：B知识点解析：若F(x)+sinx在x=x0处连续，则f(x)=[f(x)+sinx]一sinx在x=x0连续，与已知矛盾。因此f(x)+sinx在点x0处必间断。故选B。10、设函数f(x)=在(一∞，+∞)内连续，且f(x)=0，则常数a，b满足()A、a＜0，b＜0。B、a＞0，b＞0。C、a≤0，b＞0。D、a≥0，b＜0。标准答案：D知识点解析：因f(x)连续，所以a+ebx≠0，因此只要a≥0即可。再由可知x→∞时，a+ebx必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需b＜0，故选D。11、设f(x)=则()A、f(x)在点x=1处连续，在点x=一1处间断。B、f(x)在点x=1处间断，在点x=一1处连续。C、f(x)在点x=1，x=一1处均连续。D、f(x)在点x=1，x=一1处均间断。标准答案：B知识点解析：由函数连续定义可知，所以f(x)在x=1处间断。所以f(x)在x=一1处连续，故选B。12、设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且则()A、x=0必是g(x)的第一类间断点。B、x=0必是g(x)的第二类间断点。C、x=0必是g(x)的连续点。D、g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关。标准答案：D知识点解析：因为=a。又g(0)=0，所以当a=0时，有=g(0)，也就是说，此时g(x)在点x=0处连续；当a≠0时，g(x)≠g(0)，即此时x=0是g(x)的第一类间断点。因此，g(x)在x=0处的连续性与a的取值有关，故选D。二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)13、=_________。标准答案：2知识点解析：=2。14、=_________。标准答案：知识点解析：15、设a＞0，a≠1，且=lna，则p=_________。标准答案：2知识点解析：16、=_________。标准答案：e6知识点解析：将所给极限化为指数函数的形式，则有=e6。17、设=8，则a=_________。标准答案：ln2知识点解析：=e3a=8，即a=ln2。18、若f(x)=，在(一∞，+∞)内连续，则a=__________。标准答案：0知识点解析：因为f(x)在(一∞，0)及(0，+∞)内连续，所以需要确定参数a，使f(x)在x=0处连续。当=a时，f(x)在x=0处连续，所以a=0时，f(x)在(一∞，+∞)内连续。19、设函数f(x)=在(一∞，+∞)内连续，则c=________。标准答案：1知识点解析：由题设知，c≥｜x｜≥0，所以又f(x)在(－∞，＋∞)内连续，则f(x)必在x=c处连续，所以有=f(c)，即c2＋1=，得c=1。三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)20、试确定常数A，B，C的值，使得ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)，其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小。标准答案：将麦克劳林展开式ex=1+x+＋o(x3)代入已知等式得知识点解析：暂无解析21、求极限。标准答案：因为ln(cosx)=ln(1+cosx一1)，所以x→0，ln(cosx)～cosx－1～x2。又由麦克劳林展开式(1+x)m=1+mx+x+o(x2)及ex=1+x++o(x2)，因此知识点解析：暂无解析22、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析23、求极限。标准答案：由洛必达法则可知，知识点解析：暂无解析24、求极限。标准答案：由麦克劳林展开式x2+o(x2)和洛必达法则可知，知识点解析：暂无解析25、求极限。标准答案：由麦克劳林展开式ln(1+x)=x一+o(x2)可知知识点解析：暂无解析26、求极限。标准答案：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，知识点解析：暂无解析27、求极限。标准答案：由麦克劳林展开式arctanx=x一x3+o(x3)，arcsinx=x+x3+o(x3)可得原式=。知识点解析：暂无解析28、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn＋1=sinxn(n=1，2，…)。29、证明xn存在，并求该极限。标准答案：0＜x1＜π，则0＜x2=sinx1≤1＜π。由数学归纳法知0＜xn＋1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，即数列{xn}有界。于是＜1(因当x＞0时，sinx＜x)，则有xn＋1＜xn，可见数列{xn}单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限存在。设xn=l，在xn＋1=sinxn两边令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即=0。知识点解析：暂无解析30、计算。标准答案：因，由(Ⅰ)知该极限为1∞型。令t=xn，则n→∞，t→0，而知识点解析：暂无解析31、求函数f(x)=sinx的间断点，并指出其类型。标准答案：函数f(x)的可疑点只有x=0和x=1两个。因为所以x=0为可去间断点，x=1为跳跃间断点。知识点解析：暂无解析考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷第6套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：2、两个无穷小比较的结果是()A、同阶无穷小B、高阶无穷小C、低阶无穷小D、不确定标准答案：D知识点解析：若β(x)=x，当x→0时，都是无穷小．但不存在，故α(x)和β(x)无法比较阶的高低，排除(A)，(B)，(C)．所以选(D)．3、函数f(x)=xsinx()A、在(一∞，+∞)内无界B、在(一∞，+∞)内有界C、当x→∞时为无穷大D、当x→∞时极限存在标准答案：A知识点解析：对于任意给定的正数M，总存在点当时，有故f(x)在(一∞，+∞)内无界，所以(A)正确，(B)，(D)错误．(C)错，对于任意给定的正数M，无论x取多么大的正数，总有xn=|2nπ|＞x使f(xn)=xnsinxn=0＜M，故当x→∞时f(x)不是无穷大(千万不要将无穷大与无界混为一谈)．4、当x→0时，为x的三阶无穷小，则a，b分别为()A、1，0B、C、D、以上都不对标准答案：C知识点解析：由题设可知即因为x→0时，分母趋于零，由洛必达法则知得到b+1一a=0．又成立，则必须有2b+1=0，即再结合b+1一a=0，得5、极限的充要条件是()A、α＞1B、α≠1C、α＞0D、与α无关标准答案：B知识点解析：令则二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、标准答案：e6知识点解析：7、标准答案：知识点解析：8、标准答案：e6知识点解析：9、当x→一1时，无穷小则A=______________，k=_____________．标准答案：知识点解析：当x→一1时，故k=1．10、若是(一∞，+∞)上的连续函数，则a=__________．标准答案：1知识点解析：由f(x)在x=0处连续，可得三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)11、计算标准答案：又故原极限=知识点解析：暂无解析12、分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系．标准答案：不正确．初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数．分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如φ(x)=|x|，通常写成分段函数的形式但也可以写成一个表达式所以函数φ(x)=|x|是初等函数．而则不是初等函数．知识点解析：暂无解析13、求函数的间断点并指出其类型．标准答案：显然f(0)无意义．当x≠0时，而则x=0为可去间断点．又则x=1为跳跃间断点．由于f(x)是偶函数，则x=一1也是跳跃间断点．知识点解析：暂无解析14、设函数f(x)连续可导，且f(0)=0，求标准答案：令xn一tn=u，则于是知识点解析：暂无解析15、求的连续区间、间断点，并判别间断点的类型．标准答案：f(x)无定义的点是使1一x=0和的点，即x=1和x=0，所以f(x)的连续区间为(一∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)．当x→0时，，所以所以x=0是无穷间断点．当x→1-时，所以f(1-)=0，而当x→1+时，所以f(1+)=1．所以x=1是跳跃间断点．知识点解析：暂无解析16、设f(x)对一切x1，x2满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，并且f(x)在x=0处连续，证明：函数f(x)在任意点x0处连续．标准答案：已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令x2=0，则f(x1)=f(x1)+f(0)，可得f(0)=0，又f(x)在x=0处连续，则有而f(x0+△x)一f(x0)=f(x0)+f(△x)一f(x0)=f(△x)，两边取极限得到故函数f(△x)在任意点x0处连续．知识点解析：暂无解析17、设α≥5且为常数，则k为何值时极限存在，并求此极限值．标准答案：当k≤0时，I=一∞，极限不存在；当k＞0时，只有当αk一1=0，即时，极限才为型，否则极限为∞，不存在．故当α=5时，