考研数学二（线性代数）模拟试卷2（共279题）

考研数学二（线性代数）模拟试卷2（共9套）（共279题）考研数学二（线性代数）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设A是m×s阶矩阵，B为s×n阶矩阵，则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是()．A、r(A)=sB、r(A)=mC、r(B)=sD、r(B)=n标准答案：A知识点解析：设r(A)=s，显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0，因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选(A)．2、设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是()．A、AX=b的通解为k1η1+k2η2B、η1+η2为Ax=b的解C、方程组AX=0的通解为k(η1-η2)D、AX=b的通解为k1η1+k2η2+(η1+η2)标准答案：C知识点解析：因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A*≠O，所以r(A)=n-1，η2-η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选(C)．3、设有方程组AX=0与BX=0，其中A，B都是m×n阶矩阵，下列四个命题：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解以上命题正确的是()．A、(1)(2)B、(1)(3)C、(2)(4)D、(3)(4)标准答案：B知识点解析：若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n-r(A)≤n-r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选(B)．4、设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则()．A、当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解B、当m＞n时．线性齐次方程组ABX=0只有零解C、当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解D、当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解标准答案：A知识点解析：AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选(A)．5、设A为m×竹阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是()．A、r(A)=mB、r(A)=nC、A为可逆矩阵D、r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示标准答案：D知识点解析：方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示．在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选(D)．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)6、设A=，且存在三阶非零矩阵B，使得AB=O，则a=______，b=_________．标准答案：2，1知识点解析：A→，因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠0．于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1．7、设η为非零向量，A=，η为方程组AX=0的解，则a=________，方程组的通解为______．标准答案：k(-3，1，2)T知识点解析：AX=0有非零解，所以｜A｜=0，解得a=3，于是方程组AX=0的通解为k(-3，1，2)T．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)8、设A为b阶矩阵，若Ak-1α≠0，而Akα=0．证明：向量组α，Aα，…．A-1α线性无关．标准答案：令l0α+l1Aα+…+lk-1Ak-1α=0(*)(*)式两边同时左乘Ak-1得l0A-1α=0，因为A-1α≠0，所以l0=0；(*)式两边同时左乘Ak-2得l1Ak-1α=0，因为Ak-1α≠0，所以l1=0，依次类推可得l2=…=lk-1=0，所以α，Aα，…，Ak-1α线性无关．知识点解析：暂无解析9、设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表不；(2)设α1=，α2=，β1=，β2=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．标准答案：(1)因为α1，α2，β1，β2线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k2，l1，l2，使得k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，或k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2．令γ=k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2，因为α1，α2与β1，β2都线性无关，所以k1，k2及l1，l2都不全为零，所以γ≠0．(2)令k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，A=(α1，α2，β1，β2)=所以γ=kα1-3kα2=-kβ1+0β2．知识点解析：暂无解析10、设向量组α1，α2，…，αn-1为n维线性无关的列向量组，且与非零向量β1，β2正交．证明：β1，β2线性相关．标准答案：令A=，因为α1，α2，…，αn-1与β1，β2正交，所以Aβ1=0，Aβ2=0，即β1，β2为方程组AX=0的两个非零解，因为r(A)=n-1，所以方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β1，β2线性相关．知识点解析：暂无解析11、设齐次线性方程组其中ab≠0，n≥2．讨论a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解．标准答案：D==[a+(n-1)b](a-b)n-1．(1)当a≠b，a≠(1-n)b时，方程组只有零解；(2)当a=b时，方程组的同解方程组为x1+x2+…+xn=0，其通解为X=k1(-1，1，0，…，0)T+k2(-1，0，1，…，0)T+…+kn-1(-1，0，…，0，1)T(k1，k2，…，kn-1为任意常数)；(3)令A=，当a=(1-n)b时，r(A)=n-1，显然(1，1，…，1)T为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1，…，1)T(k为任意常数)．知识点解析：暂无解析12、设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又B=且AB=O，求方程组AX=0的通解．标准答案：由AB=O得r(A)+r(b)≤3且r(A)≥1．(1)当k≠9时，因为r(B)=2，所以r(A)=1，方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取B的第1、3两列，故通解为k1+k2(k1，k2为任意常数)；(2)当k=9时，r(B)=1，1≤r(A)≤2，当r(A)=2时，方程组AX=0的通解为C(C为任意常数)；当r(A)=1时，A的任意两行都成比例，不妨设a≠0，由A→，得通解为k1+k2(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析13、a，b取何值时，方程组有解?标准答案：(1)a≠1时，r(A)==4，唯一解为x1=，x2=，x3=x4=0；(2)a=1，b≠=1时，r(A)≠r(A)，因此方程组无解；(3)a=1，b==1时，通解为X=k1(1，-2，1，0)T+k22(1，-2，0，1)T+(-1，1，0，0)T(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析14、A，B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n．证明：方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．标准答案：方程组X=0的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解．因为≤r(A)+r(B)＜N，所以方程组=0有非零解，故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．知识点解析：暂无解析15、设(Ⅰ)(1)求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系；(2)求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．标准答案：(1)A1=(Ⅰ)的基础解系为ξ1=，ξ2=A2=(Ⅱ)的基础解系为η1=，η2=(2)(Ⅰ)的通解为k1ξ1+k2ξ2=，(Ⅱ)的通解为l1η1+l2η2=令k1ξ1+k2ξ2=l1η1+l2η2∴(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为(k为任意常数)．知识点解析：暂无解析16、(Ⅰ)问a，b，c取何值时，(Ⅰ)，(Ⅱ)为同解方程组?标准答案：因为(Ⅰ)，(Ⅱ)同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，(Ⅱ)的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关，α1可由β1，β2，β3唯一线性表出，α=-2β1+β2+aβ3a=-1，α2可由β1，β2，β3唯一线性表出，α2=β1+β2-β3b=-2，α3可由β1，β2，β3唯一线性表出，α3=3β1+β2+β3c=4．知识点解析：暂无解析17、证明线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅲ)是同解方程组．标准答案：令A==(α1，α2，…，αn)，b=方程组(Ⅰ)可写为AX=b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为ATY=0及Y=0．若方程组(Ⅰ)有解，则r(A)=r(A┆b)，从而r(AT)=，又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)与(m)同解，则r(AT)=，从而r(A)=r(A┆b)，故方程组(Ⅰ)有解．知识点解析：暂无解析18、设(Ⅰ)的一个基础解系为，写出(Ⅱ)的通解并说明理由．标准答案：令A=，则(Ⅰ)可写为AX=0，令其中β1=，…，βn=则(Ⅱ)可写为BY=0，因为β1，β2，…，βn为(Ⅰ)的基础解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn线性无关，Aβ1，Aβ2，…，Aβn=0A(β1，β2，…，βn)=OABT=OABT=0．α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一组解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT线性无关，因此α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一个基础解系，通解为k1α1T，k2α2T，…，knαnT(k1，k2…kn为任意常数)．知识点解析：暂无解析19、设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．标准答案：首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0，不是方程组BX=0的解，即Bη0≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn-r，k0，使得k1ξ1，k2ξ2，…，knξn-r+k0η0=0，若k0=0，则k1ξ1，k2ξ2，…，kn-rξn-r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，所以k0≠0，故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη0=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n-r(AB)≥n-r+1，r(AB)≤r-1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解．知识点解析：暂无解析20、设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．(1)证明：=n：(2)设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．标准答案：(1)因为n=r(CA+DB)==n；(2)因为=n，所以方程组X=0只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs线性无关．知识点解析：暂无解析21、设A为n阶矩阵．A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0．标准答案：设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而｜A｜=0，于是A*b=A*AX=｜A｜X=0．反之，设A*b=0，因为b≠0，所以方程组A*X=0有非零解，从而r(A*)＜n，又A11≠0，所以r(A*)=1，且r(A)=n-1．因为r(A*)=1，所以方程组A*X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A*A=0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A*X=0的一组解向量．由A11≠0，得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A*X=0的基础解系．因为A*b=0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故r(A)==n-1＜n，即方程组AX=b有无穷多个解．知识点解析：暂无解析22、证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．标准答案：令r(B)=r，BX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，因为BX=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即n-r(AB)≥n-r(B)，r(AB)≤r(B)；又因为r[(AB)T]=r(AB)=r(BTAT)≤r(AT)=r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．知识点解析：暂无解析23、证明：r(A)=r(ATA)．标准答案：只需证明AX=0与ATAX=0为同解方程组即可．若AX0=0，则ATAX0=0．反之，若ATAX0=0，则X0TATAX0=0(AX0)T(AX0)=0AX0=0，所以AX=0与ATAX=0为同解方程组，从而r(A)=r(ATA)．知识点解析：暂无解析24、设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个．标准答案：因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn-r，设η0为方程组AX=b的一个特解，令β0=η0，β1=ξ1+η0，β2=ξ2+η0，…，βn-r=ξn-r+η0，显然β0，β1，β2，…，βn-r为方程组AX=b的一组解．令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即(k0+k1+…+kn-r)η0+k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，上式两边左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0，因为b为非零列向量，所以k0+k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，故β0，β1，β2，…，βn-r线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设β1，β2，…，βn-r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，令γ1=β2-β1，γ2=β3-β1，…，γn-r+1=βn-r+2-β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn-r+1线性无关，又γ1，γ2，…，γn-r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个．知识点解析：暂无解析考研数学二（线性代数）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，则成立A、ACB=EB、CBA=EC、BAC=ED、BCA=E标准答案：D知识点解析：当同阶方阵P、Q满足PQ=E时，有QP=E．故E=ABC=A(BC)=(BC)A=BCA．2、设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，则A、A的任意m个列向量必线性无关．B、A的任意一个m阶子式都不等于零．C、若矩阵B满足BA=0，则B=0．D、A通过初等行变换，必可以化为(Im，0)的形式．标准答案：C知识点解析：由BA=0知A的每一列都是方程组Bx=0的解向量，r(B)=m说明方程组Bx=0的基础解系至少含m个向量，即m—r(B)≥m，r(B)=0，B=0，故选项(C)正确．3、设n(n≥3)阶矩阵若r(A)=n一1，则a必为A、1B、C、一1D、标准答案：B知识点解析：由条件有0=|A|=[1+(n一1)a一1(1一a)n一1，a=1或a=．若a=1，则r(A)=1，与r(A)=n一1矛盾，时，A的左上角的n一1阶子式非零，有r(A)=n一1．故(B)正确．4、设方阵P3×3≠O，而PQ=O，A、t=6时，必有秩(P)=1．B、t=6时，必有秩(P)=2．C、t≠6时，必有秩(P)=1．D、t≠6时，必有秩(P)=2．标准答案：C知识点解析：当t≠6时，秩(Q)=2，且由P=O知Q的每一列都是方程组PX=0的解，故PX=0至少有2个线性无关的解，基础解系所含向量个数3一秩(P)≥2，秩(P)≤1；又P≠O，有秩(P)≥1，故此时必有秩(P)=1．5、设矩阵Am×n的秩为r，对于非齐次线性方程组Ax=b，A、当r=m时，Ax=b必有解．B、当r=n时，Ax=b必有唯一解．C、当m=n时，Ax=b必有唯一解．D、当r＜n时，A=b必有无穷多解．标准答案：A知识点解析：选项(A)的正确性注意增广矩阵只有m行，其秩不会大于m，故由m=r(A)≤r[A|b]≤m，r(A)=r(A|b)=m＜n，所以，Ax=b有无穷多解．6、设n阶矩阵A与B相似，则A、λE一A=λE一B．B、A与B有相同的特征值和特征向量．C、A和B都相似于同一个对角矩阵．D、对任意常数t，tE一A与tE一B都相似．标准答案：D知识点解析：当A与B相似时，有可逆矩阵P，使P一1AP=B，故P一1(tE一A)P一1tEP一P一1AP=tE一B，即tE一A与tE一B相似，故选项(D)正确，实际上，若A与B相似，则对任何多项式f，f(A)与f(B)必相似．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)7、标准答案：一360.知识点解析：从第j列提出公因子j(j=2，3，4，5)，再将第j列的(一1)倍加到第1列，得上三角行列式，D=5!×(一3)=一360；8、设A=的伴随矩阵为A*，且A*BA=2BA一8E，则矩阵B=________．标准答案：4(A+E)一1=知识点解析：两端右乘A一1，得A*B=2B一8A一1，两端左乘A并利用AA*=|A|=一2E，得一2B=2AB一8E，9、设其中ai≠0，bi≠0(i=1，2，…，n)，则秩(A)=________．标准答案：1．知识点解析：将A的第1行的倍加到第i行(1=2，3，…，n)所得矩阵仅有第1行非零，秩(A)=1．或由A=αβ，其中α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)，及A≠0，得1≤r(A)=r(αβ)≤r(α)=1，r(A)=1．10、设矩阵Ai=则B的伴随矩阵B*=________．标准答案：|B|B一1=|A1||A2一1|知识点解析：B*=|B|B一1=|A1||A2一1|11、设向量组α1=(2，1，1，1)，α2=(2，1，a，a)，α3=(3，2，1，a)，α4=(4，3，2，1)线性相关，且a≠1，则a=________．标准答案：以α1，α2，α3，α4为行向量组构成4阶方阵A，则有|A|=(a一1)(2a一1)=0，又a≠1，故a=．知识点解析：暂无解析12、设4阶矩阵A与B相似，A的特征值为，则行列式|B一1一E|=________．标准答案：24．知识点解析：B的特征值为，B一1的特征值为2，3，4，5，B一1一E的特征值为1，2，3，4，由特征值的性质得|B一1一E|=1．2．3．4=24．13、二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2的秩为________．标准答案：2．知识点解析：f的矩阵A=的秩为2．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)14、计算下列n阶行列式：标准答案：(1)(x一1)(x一2)…(x一n+1)．把第1行的(一1)倍加到第i行(i=2，3，…，n)，则得上三角行列式．(2)(一1)n一1(n一1)xn一2．先将第2行的(一1)倍加到第i行(i=3，…，n)，再按第1列展开，并把(2，1)元素的余子式的第2，3，…，n一1列都加到第1列，则得上三角行列式．知识点解析：暂无解析15、设B是元素全为1的n阶方阵(n≥2)，证明：(E一B)一1=E一标准答案：由(E一B)(E一B)一1其中B2=nB．知识点解析：暂无解析16、设n阶非零实方阵A的伴随矩阵为A*，且A*=AT．证明|A|≠0．标准答案：AAT=AAT=|A|E，若|A|=0，则得AAT=0，其(i，i)元素为aik=0(i，k=1，2，…，n)A=0，这与A≠0矛盾．知识点解析：暂无解析17、设3阶矩阵A可逆，且A一1=A*为A的伴随矩阵，求(A*)一1．标准答案：(A*)一1==|A一1|(A一1)一1=或利用(A*)一1=(A)．知识点解析：暂无解析18、设矩阵A=，矩阵B满足(A*)一1BA*=BA*+8A，其中A*为A的伴随矩阵，求矩阵B．标准答案：(A*)一1==A，给题设方程两端右乘(A*)一1=A，得AB=B+8A2，(A一E)B=8A*，B=8(A一E)一1A2=知识点解析：暂无解析19、设A为n阶方阵，k为正整数，线性方程组AkX=0有解向量α，但Ak一1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak一1α线性无关．标准答案：设有一组数λ1，λ2，…，λk，使λ1α+λ2Aα+…+λkAk一1α=0两端左乘Ak一1．得λ1Ak一1α=0．因Ak一1α≠0，得λ1=0．类似可得λ2=…=λk=0．故α，Aα，…，Ak一1α线性无关．知识点解析：暂无解析20、设有向量组(Ⅰ)：α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T．问a取何值时，(Ⅰ)线性相关？当(Ⅰ)线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出．标准答案：令矩阵A=[α1，α2，α3，α4]，由|A|=0或由初等行变换，可得：当a=0或a=一10时，(Ⅰ)线性相关．当a=0时，α1为(Ⅰ)的一个极大无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4—4α1；当a=一10时，对A施行初等行变换：A→，可知α2知识点解析：暂无解析21、设向量α1=(1，0，2，3)，α2=(1，1，3，5)，α3=(1，一1，a+2，1)，α4=(1，2，4，a+8)，β=(1，1，b+3，5)，问：a，b为何值时，β不能用α1，α2，α3，α4线性表示；a，b为何值时，β能用α1，α2，α3，α4线性表示，并写出该表达式．标准答案：当a=一1，b≠0时，β不能用α1，α2，α3，α4线性表示；当a≠一1时，有唯一的线性表示：当a=一1，b=0时，有β=(一2c1+c2)α1+(1+c1一2c2)α2+c1α3+c2α4(c1，c2为任意常数)．知识点解析：暂无解析22、设有3维列向量问λ取何值时(1)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一？(2)β可由α1，α2，α3线性表示，但表达式不唯一？(3)β不能由α1，α2，α3线性表示？标准答案：(1)λ≠0且λ≠一3；(2)λ=1；(3)λ=一3．知识点解析：暂无解析23、已知齐次线性方程组其中≠0，试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时．(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．标准答案：方程组的系数行列式|A|=bn一1，故当|A|≠0，即b≠0且b+≠0时，方程组只有零解．当b=0或b+=0时，方程组有非零解．当b=0时，设a1≠0，由系统矩阵A的初等行变换：得方程组的基础解系可取为：由此得方程组的用自由未知量表示的通解为：x2=x1，x3=x1，…，xn=x1(x1任意)，令自由未知量x1=1，则方程组的基础解系可取为ξ=(1，1，…，1)T．知识点解析：暂无解析24、设矩阵A=，|A|=一1，A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T．求a，b，c和λ0的值．标准答案：已知A*α=λ0α，两端左乘A，并利用AA*=|A|E=一E，得一α=λ0Aα，即由此解得λ0=1，b=一3，a=c．再由|A|=一1和a=c，有=a一3=一1，a=c=2．因此a=2，b=一3，c=2，λ0=1．知识点解析：暂无解析25、设矩阵相似．(1)求a，b的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P一1AP=B．标准答案：(1)由条件有|λE一A|=|λE一B|，即(λ一2)[λ2一(3+a)λ+3a一3]=(λ一a)2(λ一b)得a=5，b=6．亦可直接利用特征值的性质，得，解得a=5，b=6．(2)知识点解析：暂无解析26、设A为3阶矩阵，|A|=6，|A+E|=|A一2E|=|A+3E|=0，试判断矩阵(2A)*是否相似于对角矩阵，其中(2A)*是(2A)的伴随矩阵．标准答案：由条件有，|一E一A|=(一1)3|E+A|=0，|2E一A|一(一1)3×|一2E+A|=0，|一3E一A|=(一1)3|3E+A|=0，A有特征值一1，2，一3，从而是A的全部特征值，A一1的全部特征值为一1，而(2A)*=|2A|(2A)一1=23|A|A一1=24A一1，(2A)*=24A一1的全部特征值为一24，12，一8，因3阶方阵(2A)*有3个互不相同特征值，故(2A)*可相似对角化．知识点解析：暂无解析27、设α=(α1，α2，…，αn)T是Rn中的非零向量，方阵A=ααT．(1)证明：对正整数m，存在常数t，使Am=tm一1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P一1AP=Λ为对角矩阵．标准答案：(1)Am=(ααT)(ααT)…(ααT)=α(αTα)m一1一αT=一(αTα)m一1(ααT)==tm一1A，其中t=秩(A)=1，因实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩，故A只有一个非零特征值，而有n一1重特征值λ1=λ2=…=λn一1=0．设α1≠0，由0E得属于特征值0的特征值可取为：ξ1=由特征值之和等于A的主对角线元素之和，即0+0+…+0+λn==αTα，由Aα=(ααT)α=α(αTα)=αλn=λnα及α≠0，得与λn对应特征向量为α，令P=[ξ1ξ2…ξn一1α]，则有P一1AP=diag(0，0，…，0，ai2)为对角阵．知识点解析：暂无解析28、设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．标准答案：BT=B，对任意n维非零列向量X，有λXTX＞0，(AX)T(AX)≥0，故对X≠0有XTBX=XT(λE+ATA)X=λXTX+(AX)T(AX)＞0，因此，对称阵B正定．知识点解析：暂无解析29、设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量，记求三元函数f(x1，x2，x3)=3x12+2x22+3x32+2x1x3在x12+x22+x32=1条件下的最大及最小值，并求出最大值点及最小值点．标准答案：f的最小值==f(0，1，0)=2，f的最大值=知识点解析：暂无解析30、设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA，证明：AB为正定矩阵．标准答案：因A、B正定，有AT=A，BT=B，故(AB)T=BTAT=BA=AB，即AB也是对称矩阵，因A正定，由第10题，存在正定阵S，使A=S2，于是S一1(AB)S=S一1SSBS=SBS=STBS，由于B正定，故与B合同的矩阵STBS正定，故STBS的特征值全都大于零，而S一1(AB)S=STBS，说明AB与STBS相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故AB的特征值(即STBS的特征值)全都大于零，因而对称阵AB正定．知识点解析：暂无解析考研数学二（线性代数）模拟试卷第3套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、A，B是n阶可逆方阵，则下列公式正确的是()A、(A2)-1=(A-1)2B、(A+B)-1=A-1+B-1C、(A+B)(A—B)=A2一B2D、(kA)-1=kA-1(k≠0)标准答案：A知识点解析：(A)中，(A2)-1=(AA)-1=A-1A-1=(A-1)2；(B)不成立，例：B=一A，A+B不可逆；(C)中，若AB≠BA，则BA一AB≠O；(D)中，不一定等于kA-1．2、设A是n阶方阵，且A3=O，则．()A、A不可逆，且E一A不可逆B、A可逆，但E+A不可逆C、A2一A+E及A2+A+E均可逆D、A不可逆，且必有A2=O标准答案：C知识点解析：因A3=O，有E3+A3=(E+A)(A2一A+E)=E，E3一A3=(E—A)(A2+A+E)=E，故A2-A+E及A2+A+E均可逆，(C)正确．由以上两式知，E-A，E+A也均可逆，故(A)，(B)不成立．(D)不成立，例有但3、A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则|A*|=()A、|A|B、|A-1|C、|A-1|D、|An|标准答案：C知识点解析：由AA*=|A|E，两边取行列式，得|A||A*|=|A|n若|A|≠0，|A*|=|A|n-1=|An-1|；若|A|=0，则|A*|=0，故选(C)．4、设A是n阶可逆方阵(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则(A*)*=()A、|A|n-1AB、|A|n+1AC、|A|n-2AD、|A|n+2A标准答案：C知识点解析：由AA*=|A|E，得A*(A*)*=|A*|E，(A*)*=|A*|(A*)-1，其中故5、A是n阶矩阵，|A|=3．则|(A*)*|=()A、3(n-1)2B、3n2-1C、3nn2一nD、3n-1标准答案：A知识点解析：因|A|=3，A可逆，则A*(A*)*=|A*|E，所以|(A*)*|=||A|n-2A|=|A|n-2n|A|=|A|n2-2n+1=3(n-1)2．6、设An×n是正交矩阵，则()A、A*(A*)T=|A|EB、A*TA*=|A*|EC、A*(A*)T=ED、(A*)TA*=一E标准答案：C知识点解析：因为A是正交矩阵，则有，A*(A*)T=|A|AT(|A|AT)T=|A|2ATA=E．7、设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是()A、(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2B、(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2C、(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2D、(A+E)2=A2+2AE+E2标准答案：B知识点解析：由矩阵乘法的分配律可知：(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，因此，(A+B)2=A2+2AB+B2的充要条件是BA=AB，也即A，B的乘积可交换．由于A与A-1，A与A*以及A与B都是可交换的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的．故选(B)．8、设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则下列结论：①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；④A是正交矩阵．其中正确的个数为()A、lB、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：由aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A*=AT，那么|A*|=|AT|，也即|A|2=|A|，即|A|(|A|一1)=0．又由于A为非零矩阵，不妨设a11≠0，则|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132>0，故|A|=1．因此，A可逆．并且由AAT=AA*=|A|E=E，可知A是正交矩阵，故①，④正确，③错误．从题目中的条件无法判断A是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选(B)．9、设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且m＞n，则必有()A、|AB|=0B、|BA|=0C、|AB|=|BA|D、||BA|BA|=|BA||BA|标准答案：A知识点解析：由于m>n，则有r(AB)≤r(A)≤nn+1，可知等式||BA|BA|=|BA||BA|也不一定成立，故(D)错误．综上，正确的选项是(A)．10、已知P为3阶非零矩阵，且满足PQ=O，则()A、t=6时，P的秩必为1B、t=6时，P的秩必为2C、t≠6时，P的秩必为1D、t≠6时，P的秩必为2标准答案：C知识点解析：“AB=O”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为：①Am×sBs×n=Or(A)+r(B)≤s；②Am×sBs×n=O组成B的每一列都是Am×sX=0的解向量．对于本题，PQ=Or(P)+r(Q)≤31≤r(P)≤3一r(Q)．当t=6时，r(Q)=11≤r(P)≤2r(P)=1或2，则(A)和(B)都错；当t≠6时，r(Q)=21≤r(P)≤1r(P)=1．故选(C)．11、设若r(A*)=1，则a=()A、1B、3C、1或3D、无法确定标准答案：C知识点解析：由r(A*)=1，得r(A)=3，则|A|=0，即得a=1或3，且此时均满足r(A)=3，故选(C)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)12、已知A，B为3阶相似矩阵，λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，行列式|B|=2，则行列式标准答案：知识点解析：设λ3为A的另一特征值．则由A～B知，|A|=|B|=2，且又λ1λ2λ3=|A|=2，可见λ3=1，从而A，B有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=1．于是有|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=12，|(2B)*|=|22B|=43|B|=43|B|2=256，故13、已知AB—B=A，其中则A=_________．标准答案：知识点解析：14、设A为奇数阶矩阵，AAT=ATA=E，且|A|＞0，则|A—B|=_____________．标准答案：0知识点解析：由题知|A—E|=|A—AAT|=|A(E-AT)|=|A||(E-A)T|=|A||E-A|．又由于AAT=ATA=E，可知|A|2=1．又由|A|>0，可知|A|=1．又A为奇数阶矩阵，故|E一A|=|一(A—E)|=一|A—E|，从而有|A—E|=一|A—E|，可知|A—E|=0．15、设α=[1，2，3]，A=αTβ，则An=__________．标准答案：知识点解析：因故An=(αTβ)n=(αTβ)(αTβ)…(αTβ)=αT(βαT)(βαT)…(βαT)β=3n-1A．16、设则Bn=__________．标准答案：知识点解析：因故Bn=(αTα)n=(αTα)(αTα)…(αTα)=αT(ααT)…(ααT)α=14n-1B．17、设n≥2为正整数，则An-2An-1=__________．标准答案：O知识点解析：因故An=2An-1，An一2An-1=O．18、A，B均为n阶矩阵，|A|=一2，|B|=3，则||B|A-1|=____________．标准答案：知识点解析：因|A|=一2，|B|=3，故三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)19、已知A，B是3阶方阵，A≠O，AB=O，证明：B不可逆．标准答案：AB=O，(AB)T=BTAT=O，A≠O，BTX=0有非零解，故|BT|=0，即|B|=0，从而有B不可逆．知识点解析：暂无解析20、设A是n阶可逆矩阵，将A的第i行和第j行对换得到的矩阵记为B，证明B可逆，并推导A-1和B-1的关系．标准答案：记Eij为初等矩阵则B=EijA，|B|=|EijA|=|Eij||A|=一|A|≠0，故B可逆，且B-1=(EijA)-1=A-1Eij-1=A-1Eij，故B的逆矩阵可由A的逆矩阵交换第i列和第j列之后得到．知识点解析：暂无解析21、已知α1=[1，一1，1]T，α2=[1，t，一1]T，α3=[t，1，2]T，β=[4，t2，一4]T，若β可由α1，α2，α3线性表示，且表示法不唯一，求t及β的表达式．标准答案：设x1α1+x2α2+x3α3=β，按分量写出为对增广矩阵进行初等行变换得由条件知从而t=4，此时，增广矩阵可化为其通解为k为任意常数．所以β=一3kα1+(4一k)α2+kα3，k为任意常数．知识点解析：暂无解析22、设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵．若AB=E，证明：B的列向量组线性无关．标准答案：n≥r(B)≥r(AB)=r(E)=nr(B)=n，则B的列向量组线性无关．知识点解析：暂无解析23、设向量组(I)与向量组(Ⅱ)，若(I)可由(Ⅱ)线性表示，且r(I)=r(Ⅱ)=r，证明：(I)与(Ⅱ)等价．标准答案：设(I)的一个极大无关组为ξ1，ξ2，…，ξr，(Ⅱ)的一个极大无关组为η1，η2，…，ηr.因为(I)可由(Ⅱ)线性表示，即ξ1，ξ2，…，ξr可由η1，η2，…，ηr线性表示，于是r(ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηr)=r(η1，η2，…，ηr)=r.又ξ1，ξ2，…，ξr线性无关，则ξ1，ξ2，…，ξr也可作为ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηr的一个极大无关组，于是η1，η2，…，ηr也可由ξ1，ξ2，…，ξr线性表示，即(Ⅱ)也可由(I)线性表示，得证．知识点解析：暂无解析24、求齐次线性方程组的基础解系．标准答案：系数矩阵则方程组的解为令得方程组的基础解系ξ1=[一1，1，0，0，0]T，ξ2=[一1，0，一1，0，1]T．知识点解析：暂无解析25、问λ为何值时，线性方程组有解，并求出解的一般形式．标准答案：其增广矩阵为线性方程组有解解得λ=1，其通解为k为任意常数.知识点解析：暂无解析26、λ为何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．标准答案：方程组改写为则有当时，方程组无解；当λ≠1且时，方程组有唯一解；当λ=1时，方程组有无穷多解，且解为通解为k为任意常数.知识点解析：暂无解析已知线性方程组27、a，b为何值时，方程组有解；标准答案：a=1，b=3时，r(A)=r([A|b])，方程组有解．知识点解析：暂无解析28、方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；标准答案：导出组基础解系为：ξ1=[1，一2，1，0，0]T，ξ2=[1，一2，0，1，0]T，ξ3=[5，一6，0，0，1]T．知识点解析：暂无解析29、方程组有解时，求出方程组的全部解．标准答案：方程组通解：非齐次特解为η=[一2，3，0，0，0]T，故通解为k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+η，k1，k2，k3为任意常数．知识点解析：暂无解析30、已知方程组及方程组(Ⅱ)的通解为k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[一2，一3，0，0]T，k1，k2为任意常数．求方程组(I)，(Ⅱ)的公共解．标准答案：将方程组(Ⅱ)的通解k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[一2，一3，0，0]T=[一2一k1+-2k2，一3+k1一k2，k1，k2]T代入方程组(I)，得化简得k1=2k2+6．将上述关系式代入(Ⅱ)的通解，得方程组(I)，(Ⅱ)的公共解为：[一2-(2k2+6)4—2k2，一3+2k2+6一k2，2k2+6，k2]T=[一8，k2+3，2k2+6，k2]T．知识点解析：暂无解析31、求矩阵的实特征值及对应的特征向量．标准答案：由|λE一A|=(λ一1)(λ2+4λ+5)=0，得A的实特征值λ=1．解(E一A)x=0得其对应的特征向量其中k为不为零的常数．知识点解析：暂无解析32、设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值．x1，x2是分别属于λ1和λ2的特征向量，试证明：x1+x2不是A的特征向量．标准答案：反证法假设x1+x2是A的特征向量，则存在数λ，使得A(x1+x2)=λ(x1+x2)，则(λ-λ1)x1+(λ—λ2)x2=0．因为λ1≠λ2，所以x1，x2线性无关，则矛盾．故x1+x2不是A的特征向量．知识点解析：暂无解析33、设A是n×n矩阵，对任何n维列向量x都有AX=0，证明：A=O．标准答案：方法一由于对任何X均有AX=0，取X=[1，0，…，0]T，由得a11=a21=…=anq=0．类似地，分别取X为e1=[1，0，…，0]T，e2=[0，1，0，…，0]T，…，en=[0，0，…，1]T代入方程，可证每个aij=0，故A=O．方法二因对任何X均有AX=0，故有Aei=0，i=1，2，…，n，合并成分块阵，得[Ae1，Ae2，…，Aen]=A[e1，e2，…，en]=AE=A=O．方法三因对任何X均有AX=0，故方程基础解系向量个数为n．又r(A)+n(基础解系向量个数)=n(未知量个数)，故有r(A)=0，即A=O．知识点解析：暂无解析34、设线性方程组λ为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解．标准答案：方程组是齐次线性方程组当λ≠一2且λ≠2时，方程组有唯一零解；当λ=2时，方程组有无穷多解，其解为k1[1，一1，0，0]T+k2[1，0，一1，0]T+k3[1，0，0，一1]T，k1，k2，k3为任意常数；当λ=一2时，方程组为其通解为k[1，1，1，1]T，k为任意常数．知识点解析：暂无解析35、已知由两个四元一次方程组成的齐次线性方程组的通解为X=k1[1，0，2，3]T+k2[0，1，一1，1]T，求原方程组．标准答案：以原方程组的基础解系作新的方程组系数矩阵的行向量，求解新的方程组，则新方程组的基础解系即是原方程组系数矩阵的行向量的转置．设即求：得①的基础解系为η1=[-2，1，1，0]T，η2=[一3，一1，0，1]T．故原方程组为知识点解析：暂无解析考研数学二（线性代数）模拟试卷第4套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α1，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则()A、当λ1=λ2时，α1，α2对应分量必成比例B、当λ1=λ2时，α1，α2对应分量不成比例C、当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必成比例D、当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必不成比例标准答案：D知识点解析：当λ1=λ2时，α1与α2可以线性相关也可以线性无关，所以α1，α2可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)．当λ1≠λ2时，α1，α2一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)．2、设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()A、λE一A=λE—BB、A与B有相同的特征值和特征向量C、A与B都相似于一个对角矩阵D、对任意常数t，tE-A与tE-B相似标准答案：D知识点解析：A与B相似，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则tE一B=tE一P-1AP=P-1(tE)P—P-1AP=P-1(tE一A)P，即tE一A与tE一B相似，选(D)．对于(A)：λE一A=λE一BA=B；对于(B)：A与B相似，则A与B有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A与B不一定能够相似对角化．3、设A为n阶矩阵，下列命题正确的是()A、若α为AT的特征向量，那么α为A的特征向量B、若α为A*的特征向量，那么α为A的特征向量C、若α为A2的特征向量，那么α为A的特征向量D、若α为2A的特征向量，那么α为A的特征向量标准答案：D知识点解析：①矩阵AT与A的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误．②假设α为A的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时α也为A*的特征向量．这是由于但反之，α为A*的特征向量，那么α不一定为A的特征向量．例如：当r(A)*=O，此时，任意n维非零列向量都是A*的特征向量，故A*的特征向量不一定是A的特征向量．可知(B)错误．③假设α为A的特征向量，λ为其特征值，则α为A2的特征向量．这是由于A2α=A(Aα)=λAα=λ2α．但反之，若α为A2的特征向量，α不一定为A的特征向量．例如：假设Aβ1=β1，Aβ2=一β2，其中β1，β2≠0．此时有A2(β1+β2)=A2β1+A2β2=β1+β2，可知β1+β2为A2的特征向量．但β1，β2是矩阵A两个不同特征值的特征向量，它们的和β1+β2不是A的特征向量．故(C)错误．④若α为2A的特征向量，则存在实数λ使得2Aα=λα，此时有因此α为A的特征向量．可知(D)是正确的．故选(D)．4、已知A是3阶矩阵，r(A)=1，则λ=0()A、必是A的二重特征值B、至少是A的二重特征值C、至多是A的二重特征值D、一重、二重、三重特征值都可能标准答案：B知识点解析：A是3阶矩阵，r(A)=1，r(0E—A)=1．(0E—A)X=0有两个线性无关特征向量，故λ=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如：r(A)=1，λ=0是三重特征值．5、A是n×n矩阵，则A相似于对角矩阵的充分必要条件是()A、A有n个不同的特征值B、A有n个不同的特征向量C、A的每个ri重特征值λi，均有r(λiE-A)=n-riD、A是实对称矩阵标准答案：C知识点解析：A相似于对角矩阵[*]A有n个线性无关特征向量[*]㈢对每个ri重特征值λi，有r(λiE一A)=n一ri，即对应ri重特征值λi有ri个线性无关特征向量(共n个线性无关特征向量)．(A)，(D)是充分条件，但非必要，(B)是必要条件，但不充分，n个不同的特征向量，并不一定线性无关．6、下列矩阵中能相似于对角矩阵的矩阵是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：四个选项的矩阵，特征值均为1，1，2，能相似于对角矩阵的矩阵，要求对应二重特征值λ1=λ2=1，有二个线性无关特征向量．对C而言，因可有两个线性无关特征向量，故C可相似于对角矩阵，而r(E一A)=r(E一B)=r(E一D)=2，都只有一个线性无关特征向量，故均不能相似于对角矩阵．7、已知α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是()A、[α1，一α2，α3]B、[α1，α2+α3，α2—2α3]C、[α1，α3，α2]D、[α1+α2，α1一α2，α3]标准答案：D知识点解析：若P=[α1，α2，α3]，则有AP=PA，即即[Aα1，Aα2，Aα3]=[α11，22，α3α3]．可见αi是矩阵A属于特征值αi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此，1，2，α3线性无关．若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故(A)正确．若α，β是属于特征值λ的特征向量，则k1α+k2β仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α2，α3是属于λ=6的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2一2α3仍是λ=6的特征向量，并且α2+α3，α2一2α3线性无关，故(B)正确．关于(C)，因为α2，α3均是λ=6的特征向量，所以α2，α3谁在前谁在后均正确．即(C)正确．由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1一α2不再是矩阵A的特征向量，故(D)错误．8、下列矩阵中与合同的矩阵是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因f=XTAX=x12+2x1x2+x32=(x1+x2)2一x22+x32=y12+y22一y32，故选B.9、设A，B均是n阶实对称矩阵，则A，B合同的充分必要条件是()A、A，B有相同的特征值B、A，B有相同的秩C、A，B有相同的正、负惯性指数D、A，B均是可逆矩阵标准答案：C知识点解析：(A)是充分条件，A，B实对称，且λi相同，则A，B合同，但反之不成立．(B)是必要条件但不充分，A，B合同，有可逆矩阵C，CTAC=Br(A)=r(B)，反之不成立．(D)既不充分，又不必要．(C)是两矩阵合同的充要条件．10、实二次型f(x1，x2，…，xn)的秩为r，符号差为s，且f的矩阵和一f的矩阵合同，则必有()A、r是偶数，s=1B、r是奇数，s=1C、r是偶数，s=0D、r是奇数，s=0标准答案：C知识点解析：设f的正惯性指数为p，负惯性指数为q，一f的正惯性指数为p1，负惯性指数为q1，则有p=q1，q=p1，又f的矩阵与一f的矩阵合同，故有p=p1，q=q1，从而有r=p+q=p+p1=2p，s=p—q=p一p1=0，故选(C)．11、49．设f(x1，x2，x3)=x12+4x22+432一4x1x2+4x1x3—8x2x3，则f(x1，x2，x3)的规范形是()A、z12+z22+z32B、z12+z22一z32C、z12一z22D、12标准答案：D知识点解析：方法一f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3—8x2x3=(x1—2x2+2x3)2，得f的规范形为f=z12．方法二f对应的矩阵为知λ1=9，λ2=λ3=0．f的标准形为f=9y12，规范形为f=z12，故应选(D)．12、设A=E-2XXT，其中X=[x1，x2，…，xn]T，且XTX=1，则A不是()A、对称矩阵B、可逆矩阵C、正交矩阵D、正定矩阵标准答案：D知识点解析：AT=(E一2XXT)T=E一2XXT=A，A是对称矩阵；A2=(E一2XXT)2=E一4XXT+4XXTXXT=E，A是可逆矩阵；A可逆，A对称，且A2=AAT=E，A是正交矩阵；AX=(E一2XXT)X=-X，X≠0，λ=一1是A的特征值，故A不是正定矩阵．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)13、已知α=[a，1，1]T是矩阵的逆矩阵的特征向量，那么a=____________．标准答案：一1知识点解析：α是矩阵A-1属于特征值λ的特征向量，由定义A-1α=λ0α，于是α=λ0Aα，即即解得14、已知则r(A—E)+r(2E+A)=_____________．标准答案：3知识点解析：存在可逆矩阵P，使得则故r(A—E)+r(A+2E)=1+2=3．15、设A是3阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三个线性无关的3维列向量，满足Aξi=ξi，i=1，2，3，则A=______________．标准答案：E知识点解析：因Aξ1=ξ1，Aξ2=ξ2，Aξ3=ξ3，合并成矩阵形式有[Aξ1，Aξ2，Aξ3]=A[ξ1，ξ2，ξ3]=[ξ1，ξ2，ξ3]，ξ1，ξ2，ξ3线性无关，[ξ1，ξ2，ξ3]是可逆矩阵，故A=[ξ1，ξ2，ξ3][ξ1，ξ2，ξ3]-1=E．16、已知α=[1，3，2]T，β=[1，一1，一2]T，A=E一αT，则A的最大特征值为__________．标准答案：7知识点解析：由于矩阵αβT的秩为1，故αβT的特征值为0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=一6．故A=E-αβT的特征值为1，1，7，故A的最大特征值为7．17、若实对称矩阵A与矩阵合同，则二次型xTAx的规范形为___________．标准答案：y12+y22知识点解析：若A，B合同，则二次型xTAx与xTBx有相同的规范形．由矩阵B的特征多项式得矩阵B的特征值λ1=0，λ2=3>0，λ3=1>0．故XTAx的规范形为y12+y22．18、行列式标准答案：知识点解析：行列式Dn+1与范德蒙德行列式的形式不同，可以利用行列式性质将Dn+1化为范德蒙德行列式计算．将行列式Dn+1的第n+1行依次与相邻上1行进行交换，经过n次交换后，换到了第1行．完全类似，Dn+1的第n行经过n一1次相邻两行交换，换到第2行．如此继续进行，共进行了次行交换后，Dn+1化为范德蒙德行列式．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)19、(1)设λ1，λ2，…，λn是n阶矩阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关；(2)设A，B为n阶方阵，B≠0，若方程|A一λB|=0的全部根λ1，λ2，…，λn互异，αi分别是方程组(A—λiB)x=0的非零解，i=1，2，…，n．证明α1，α2，…，αn线性无关．标准答案：(1)用数学归纳法．①由于特征向量α1≠0，故α1线性无关；②假设前k一1个向量α1，α2，…，αk-1线性无关，以下证明α1，α2，…，αk线性无关．k个互异特征值λ1，λ2，…，λk对应着特征向量α1，α2，…，αk现设存在一组数ι1，ι2，…，ιk，使得ι1α1+ι2α2+…+ιkαk=0．(*)在(*)式两端左边乘A，有ι1Aα1+ι2Aα2+…+ιkAαk=0，即ι1λ1α1+ι2λ2α2+…+ιkλkαk=0；(**)又在(*)式两端同时乘λk，有ι1λkα1+ι2λkα2+…+ιkλkαk=0．(***)用(**)式减去(***)式，得ι1(λ1一λk)α1+ι2(λ2—λk)α2+…+ιk-1(λk-1一λk)αk-1=0．由归纳假设α1，α2，…，αk-1线性无关，故ι1(λ1—λk)=ι2(λ2一λk)=…=ιk-1(λk-1一λk)=0，又λi—λk≠0(i=1，2，…，k一1)，故ι1=ι2=…=ιk-1=0．代回(*)式，于是ιkαk=0，由α≠0，有ιk=0，于是α1，α2，…，αk线性无关，即A的n个互异特征值对应的特征向量α1，α2，…，αn线性无关．证毕．(2)由|B|≠0，在|A一λB|=0两边乘|B-1|，有|B-1A一λE|=0，即|λE一B-1A|=0，于是λ1，λ2，…，λn是矩阵B-1A的n个互异特征值．又由(A—λiB)x=0，两端左边乘B-1，有(B-1A—λiE)x=0，即(λiE—B-1A)x=0，故α1，α2，…，αn为B-1A的对应于λ1，λ2，…，λn的特征向量，由(1)知，α1，α2，…，αn线性无关．undefined知识点解析：暂无解析20、设若3阶矩阵X满足AX+2B=BA+2X，n是正整数，求Xn．标准答案：由AX+2B=BA+2X得AX一2X=BA一2B，即(A一2E)X=B(A一2E)．又A-2E为可逆矩阵.故X=(A一2E)-1B(A一2E)，Xn=[(A一2E)-1B(A一2E)]n=(A一2E)-1Bn(A一2E)知识点解析：暂无解析21、设A为n阶正定矩阵，α1，α2，…，αn为n维非零列向量，且满足αiTA-1αj=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)．试证：向量组α1，α2，…，αn线性无关．标准答案：设存在数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0．上式两端左边乘αiTA-1，由αiTA-1αj=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)，可得kiαiTA-1αi=0(i=1，2，…，n)．因A为正定矩阵，则A-1也为正定矩阵，且αi≠0，故αiTA-1αi>0．于是，ki=0(i=1，2，…，n)．所以向量组α1，α2，…，αn线性无关．知识点解析：暂无解析22、设α1，α2，…，αn是n个n维向量，且已知α1x1+α2x2+…+αnxn=0(*)只有零解．问方程组(α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0(**)何时只有零解?说明理由；何时有非零解?有非零解时，求出其通解．标准答案：α1x1+α2x2+…+αnxn=0只有零解r(α1，α2，…，αn)=nα1，α2，…，αn线性无关．记为B=AC，其中r(A)=r(α1，α2，…，αn)=n．①当n=2k+1时，|C|=2≠0，r(B)=r(A)=n，方程组(**)只有零解．②当n=2k时，|C|=0，C中有，n=1阶子式Cn-1,n-1=1≠0，因r(A)=n，故r(B)=r(C)=n—1．方程组(**)有非零解，其基础解系由一个非零解组成．因(α1+α2)一(α2+α3)+(α3+α4)一…+(α2k-1+α2k)一(α2k+α1)=0，方程组(**)有通解t[1，一1，1，一1，…，1，一1]T，其中t是任意常数．或因A可逆，ACx=Bx=0和Cx=0同解，r(B)=r(C)=2k一1，Bx=0有通解t[1，一1，1，一1，…，一1]T，t是任意常数．知识点解析：暂无解析已知η是Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系．证明：23、η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn-r，是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量；标准答案：A(η+ξi)=Aη=b，i=0，1，2，…，n一r(其中ξ0=0)，故η+ξi，i=0，1，2，…，n一r均是Ax=b的解向量．设存在数k0，k1，k2，…，kn-r使得k0η+k1(η+ξ1)+k2(η+ξ2)+…+kn-r(η+ξn-r)=0．(*)(*)式两端左边乘A，得k0Aη+k1A(η+ξ1)+k2A(η+ξ2)+…+kn-rA(η+ξn-r)=0，整理得(k0+k1+…+kn-r)b=0，其中b≠0．故k0+k1+…+kn-r=0，(**)代入(*)式，得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0．因ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应齐次方程组的基础解系，故线性无关，得ki=0，i=1，2，…，n-r．代入(**)式，得k0=0．从而有η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn-r是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量．知识点解析：暂无解析24、方程组Ax=b的任一解均可由η，η+ξ1，…，η+ξn-r线性表出．标准答案：设η*为Ax=b的任一解，则η*=η+λ1ξ1+λ2ξ2+…+λn-rξn-r，且η*=η+λ1ξ1+λ2ξ2+…+λn-rξn-r，=η+λ1(ξ1+η-η)+λ2(ξ2+η一η)+…+λn-r(ξn-r+η-η)=(1一λ1—λ2一…一λn-r)η+λ1(ξ1+η)+λ2(ξ2+η)+…+λn-r(ξn-r+η)，故Ax=b的任一个解η*均可由向量组η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn-r线性表出．知识点解析：暂无解析25、设A=αβT，B=βTα，其中βT是β的转置．求满足2B2A2C=A4C+B4C+γ的所有矩阵C．标准答案：由题设得又由于A2=αβTαβT=α(βTα)βT=2A，A4=8A．代入原方程，得16AC=8AC+16C+γ，8(A一2E)C=γy，其中E是3阶单位矩阵，令C=[x1，x2，x3]T，代入上式，得非齐次线性方程组解其对应的齐次线性方程组，得通解η=k[1，2，1]T(k为任意常数)．显然，非齐次线性方程组的一个特解为因此，所求方程的解为知识点解析：暂无解析已知齐次线性方程组(I)为齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为26、求方程组(I)的基础解系；标准答案：对齐次线性方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，得其同解方程组为由此解得方程组(I)的基础解系为η1=[2，一1，1，0]T，η2=[一1，1，0，1．]T．知识点解析：暂无解析27、求方程组(I)与(Ⅱ)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(I)，(Ⅱ)的基础解系线性表示．标准答案：由上题解得方程组(I)的基础解系η1，η2．于是，方程组(I)的通解为k1η1+k2η2=k1[2，一1，1，0]T+k2[一1，1，0，1]T(k1，k2为任意常数)．由题设知，方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1，ξ2，其通解为ι1ξ1+ι2ξ2=ι1[一1，1，2，4]T+ι2[1，0，1，1]T(ι1，ι2为任意常数)．为求方程组(I)与(Ⅱ)的公共解，令它们的通解相等，即k1[2，一1，1，0]T+k2[一1，1，0，1]T=ι1[一1，1，2，4]T+ι2[1，0，1，1]T．从而得到关于k1，k2，ι1，ι2的方程组对此方程组的系数矩阵作初等行变换，得由此可得，k1=k2=ι2，ι1=0．所以，令k1=k2=k，方程组(I)，(Ⅱ)的非零公共解是k[2，一1，1，0]T+k[一1，1，0，1]T=k[1，0，1，1]T(k为任意非零常数)．并且方程组(I)，(Ⅱ)的非零公共解分别由方程组(I)，(Ⅱ)的基础解系线性表示为k(ηi+η2)和kξ2．知识点解析：暂无解析设28、将上述关系式表示成矩阵形式；标准答案：表示成矩阵形式为知识点解析：暂无解析29、当时，求x100，y100；标准答案：由递推关系得设求A的特征值，特征向量．得λ1=5，λ2=一1．当λ1=5时，由得当λ2=一1时，由得故当时，记且η0=ξ1，则知x100=5100，y100=2×5100．知识点解析：暂无解析30、当时，求x100．标准答案：当时，即将η0由ξ1，ξ2线性表出，知识点解析：暂无解析31、设A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=一2，λ3=2，对应的特征向量分别是已知β=[3，11，11]T．证明β是A100。的特征向量，并求对应的特征值．标准答案：将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出，设β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3,即解方程组将增广矩阵作初等行变换：解得[x1，x2，x3]T=[1，一2，3]T，即β=ξ1-2ξ2+3ξ3．因Aξi=λiξi，故A100ξi=λ100ξi，i=1，2，3．故A100β=A100(ξ1一2ξ2+3ξ3)=(一2)100ξ1一2(-2)100ξ2+3×2100ξ3=2100(ξ1一2ξ2+3ξ3)=2100β．得知β是A100的特征向量，且对应的特征值为2100．知识点解析：暂无解析32、设A是3阶矩阵，满足Aα1=一α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α1+3α2+α3，其中α1=[0，1，1]T，α2=[1，0，1]T，α3=[1，1，0]T．证明A相似于对角矩阵A，求A，并求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．标准答案：由题设条件，合并得A[α1，α2，α3]=[一α1，α1+2α2，α1+3α2+α3]其中Q可逆，则有AQ=QB，Q-1AQ=B，即A～B，所以A和B有相同的特征值．故A，B有特征值λ1=一1，λ2=2，λ3=1，λ1，λ2，λ3互不相同．故当λ1=一1时，(λ1E-B)X=0，当λ2—2时，(λ2E-B)X=0，当λ3=1时，(λ3E-B)X=0，故有使得则知识点解析：暂无解析设3阶矩阵33、t为何值时，矩阵A，B等价，说明理由；标准答案：显然，当t=0时，有r(A)=r(B)=2，知识点解析：暂无解析34、t为何值时，矩阵A，C相似，说明理由．标准答案：则C有三个不同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，且存在可逆矩阵P，使得当t=2时，A有与C一样的三个不同的特征值．故当t=2时，有可逆矩阵Q，使得Q-1AQ=A=P-1CP．从而有(QP-1)-1A(QP-1)=C，即A～C．知识点解析：暂无解析考研数学二（线性代数）模拟试卷第5套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设n维行向量α=(，0，…，0，)，矩阵A=I一αTα，B=I+2αTα，其中I为n阶单位矩阵，则AB=A、0B、一IC、ID、I+αTα标准答案：C知识点解析：ααT=AB=(I一αTα)(I+2αTα)=I+2αTα一αTα一2αT(ααT)α=I+αTα一αTα=I，故(C)正确．2、设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11等于A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由已知的A*=AT，即得aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为|A|中元素aij的代数余子式．于是由行列式按行展开法则得|A|==3a112＞0，再由A*=AT两端取行列式，得|A|=|A|2，|A|=1，故得3112=l，3、设有向量组α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是A、α1，α2，α3B、α1，α2，α4C、α2，α2，α5D、α1，α2，α4，α5标准答案：C知识点解析：可以通过矩阵A=[α1Tα2Tα3Tα4Tα5T]的初等行变换得(B)正确，或用排除法：因α3=3α1+α2，α5=2α1+α2，故(A)、(C)、(D)都是线性相关组，故只有(B)正确．4、设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是A、α1+α2，α2+α3，α3一α1．B、α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3．C、α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．D、α1+α2+α3，2α1一3α2+2α3，3α1+5α2一5α3．标准答案：D知识点解析：(C)组中3个向量用线性无关向量组α1，α2，α3线性表示的系数矩阵A=的秩为3