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文档简介

考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷2(共8套)(共233题)考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷第1套一、选择题(本题共3题,每题1.0分,共3分。)1、下列函数在(0,0)处不连续的是A、

B、

C、

D、

标准答案:C知识点解析:注意≤1.在A,B中分别有=>=0=f(0,0),f(x,y)在(0,0)连续.在D中,有界=>=>f(x,y)在(0,0)连续.因此选C.2、设z=f(x,y)=则f(x,y)在点(0,0)处A、偏导数存在且连续.B、偏导数不存在,但连续.C、偏导数存在,可微.D、偏导数存在,但不可微.标准答案:C知识点解析:由偏导数定义可知这说明f’x(0,0)存在且为0,同理f’y(0,0)存在且为0.所以f(x,y)在点(0,0)处可微分.故选C.3、在下列二元函数中,f"xy(0,0)≠f"yx(0,0)的二元函数是A、f(x,y)=x4+2x2y2+y10.B、f(x,y)=ln(1+x2+y2)+cosxy.C、f(x,y)=D、f(x,y)=标准答案:C知识点解析:对于A,B:f(x,y)均是二元初等函数,均连续,所以.因而C,D中必有一个是f"xy(0,0)=f"yx(0,0),而另一个是f"xy(0,0)≠f’yx(0,0).现考察C.当(x,y)≠(0,0)时,因此,f"xy(0,0)≠f"yx(0,0).选C.二、填空题(本题共3题,每题1.0分,共3分。)4、设z=f(t,et)dt,其中f是二元连续函数,则dz=________.标准答案:知识点解析:dz=5、设z=yf(x2-y2),其中f(u)可微,则=________.标准答案:知识点解析:6、设x=x(y,z),y=y(z,x),z=z(x,y)都是方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数,并且F(x,y,z)满足隐函数存在定理的条件,则=________.标准答案:-1知识点解析:由隐函数求导法知(如,由F(x,y,z)=0确定x=x(y,z),将方程对y求偏导数得其余类似).将这三式相乘得=-1.三、解答题(本题共22题,每题1.0分,共22分。)7、求下列极限:标准答案:(Ⅱ)由x4+y2≥2x2|y|=>而=0,因此原极限为0.知识点解析:暂无解析8、(Ⅰ)设f(x,y)=x2+(Ⅱ)设f(x,y)=标准答案:(Ⅰ)因f(x,1)=x2,故=4.又因f(2,y)=4+,故(Ⅱ)按定义类似可求=0(或由x,y的对称性得).知识点解析:暂无解析9、求下列函数在指定点处的二阶偏导数:标准答案:(Ⅰ)按定义(Ⅱ)知识点解析:暂无解析10、设z=f(u,v),u=φ(x,y),v=ψ(x,y)具有二阶连续偏导数,求复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]的一阶与二阶偏导数.标准答案:已求得第一步,先对的表达式用求导的四则运算法则得(*)第二步,再求.这里f(u,v)对中间变量u,v的导数仍然是u,v的函数,而u,v还是x,y的函数,它们的复合仍是x,y的函数,因而还要用复合函数求导法求.即第三步,将它们代入(*)式得(**)用类似方法可求得知识点解析:暂无解析11、设u=u(x,y)有二阶连续偏导数,证明:在极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ下有标准答案:利用复合函数求导公式,有再对用复合函数求导法及(*)式可得知识点解析:暂无解析12、设z(x,y)=x3+y3-3xy(Ⅰ)-∞<x<+∞,-∞<y<+∞,求z(x,y)的驻点与极值点.(Ⅱ)D={(x,y)|0≤x≤2,-2≤y≤2},求证:D内的唯一极值点不是z(x,y)在D上的最值点.标准答案:(Ⅰ)解方程组得全部驻点(0,0)与(1,1).再求考察(0,0)处,AC-B2<0=>(0,0)不是极值点.(1,1)处,AC-B2>0,A>0=>(1,1)是极小值点.因此z(x,y)的驻点是(0,0),(1,1),极值点是(1,1)且是极小值点.(Ⅱ)D内唯一极值点(1,1)是极小值点,z(1,1)=-1.D的边界点(0,-2)处.z(0,-2)=(-2)3=-8<z(1,1)因z(x,y)在有界闭区域D上连续,必存在最小值,又z(0,-2)<z(1,1),(0,-2)∈D=>z(1,1)不是z(x,y)在D的最小值.知识点解析:暂无解析13、已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1(C>0,AC-B2>0)为中心在原点的椭圆,求它的面积.标准答案:椭圆上点(x,y)到原点的距离平方为d2=x2+y2,条件为Ax2+2Bxy+Cy2-1=0.令F(x,y,λ)=x2+y2-λ(Ax2+2Bxy+Cy2-1),解方程组将①式乘x,②式乘y,然后两式相加得[(1-Aλ)x2-Bλxy]+[-Bλxy+(1-Cλ)y2]=0,即x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ,于是可得d=.从直观知道,函数d2的条件最大值点与最小值点是存在的,其坐标不同时为零,即联立方程组F’x=0,F’y=0有非零解,其系数行列式应为零,即该方程一定有两个根λ1,λ2,它们分别对应d2的最大值与最小值.因此,椭圆的面积为知识点解析:暂无解析14、设f(x,y)=(Ⅰ)求;(Ⅱ)讨论f(x,y)在点(0,0)处的可微性,若可微并求df|(0,0).标准答案:(Ⅰ)当(x,y)≠(0,0)时,当(x,y)=(0,0)时,因f(x,0)=0(x),于是=0.由对称性得当(x,y)≠(0,0)时=0.(Ⅱ)考察在点(0,0)处的连续性.注意即在点(0,0)处均连续,因此f(x,y)在点(0,0)处可微.于是知识点解析:暂无解析15、设z=f(xy)+yφ(x+y),且f,φ具有二阶连续偏导数,求标准答案:先求.由于f(xy)是一元函数f(u)与二元函数u=xy的复合,u是中间变量,φ(x+y)是一元函数φ(v)与二元函数v=x+y的复合,v是中间变量.由题设知方便,由复合函数求导法则得知识点解析:暂无解析16、设z=z(x,y)是由方程xy+x+y-z=ez所确定的二元函数,求dz,标准答案:将方程两边求全微分后求出dz,由dz可求得.再将分别对x,y求导求得.将方程两边同时求全微分,由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则,得ydx+xdy+dx+dy-dz=ezdz.解出从而知识点解析:暂无解析17、设标准答案:将方程组对x求偏导数得解得将方程组对y求偏导数同样可得知识点解析:暂无解析18、在半径为R的圆的一切内接三角形中,求出其面积最大者.标准答案:用x,y,z表示三角形各边所对的中心角,则三角形的面积S可用x,y,z,R表示为其中z=2π-x-y,将其代入得s=R2[sinx+siny-sin(x+y)],定义域是D={(x,y)|x≥0,y≥0,x+y≤2π}.现求S(x,y)的驻点:解,得唯一驻点:(x,y)=在D内部,又在D的边界上即x=0或y=0或x+y=2π时S(x,y)=0.因此,S在取最大值.因z=y=,因此内接等边三角形面积最大.知识点解析:暂无解析19、设f(u)(u>0)有连续的二阶导数且z=满足方程=4(x2+y2),求f(u).标准答案:令u=,则有由题设条件,得u2f"(u)+uf’(u)-1=0.这是可降阶的二阶方程,令P=f’(u),则方程化为+uP=1.解此一阶线性方程.将上述方程改写成其中C1,C2为任意常数.知识点解析:暂无解析20、设标准答案:知识点解析:暂无解析21、设函数u(x,y)有连续二阶偏导数,满足=0,又满足下列条件:u(x,2x)=x,u’x(x,2x)=x2(即u’x(x,y)|y=2x=x2),求u"xx(x,2x),u"xy(x,2x),u"yy(x,2x).标准答案:将u(x,2x)=x两边对x求导,由复合函数求导法及u’x(x,2x)=x2得u’x(x,2x)+2u’y(x,2x)=1,u’y(x,2x)=(1-x2).现将u’x(x,2x)=x2,u’y(x,2x)=(1-x2)分别对x求导得u"xx(x,2x)+2u"xy(x,2x)=2x,①u"yx(x,2x)+2u"yy(x,2x)=-x.②①式×2-②式,利用条件u"xx(x,2x)-u"yy(x,2x)=0及u"xy(x,2x)=u"yx(x,2x)得3u"xy(x,2x)=5x,u"xy(x,2x)=.代入①式得u"xx(x,2x)=u"yy(x,2x)=知识点解析:暂无解析22、已知函数f(x,y,z)=x3y2z及方程x+y+z-3+e-3=e-(x+y+z),(*)(Ⅰ)如果x=x(y,z)是由方程(*)确定的隐函数满足x(1,1)=1,又u=f(x(y,z),y,z),求;(Ⅱ)如果z=z(x,y)是由方程(*)确定的隐函数满足z(1,1)=1,又w=f(x,y,z(x,y)),求标准答案:(Ⅰ)依题意,为f[x(y,z),y,z]对y的偏导数,故有①因为题设方程(*)确定x为y,z的隐函数,所以在(*)两边对y求导数时应将z看成常量,从而有由此可得=-1.代入①式,得(Ⅱ)同(Ⅰ)一样,求得在题设方程(*)中将x看成常量,对y求导,可得=-1,故有知识点解析:暂无解析23、设y=f(x,t),且方程F(x,y,t)=0确定了函数t=t(x,y),求.标准答案:由y=f(x,t(x,y))两端对x求导得①而t=t(x,y)由F(x,y,t)=0所确定,则将的表达式代入①式即得知识点解析:暂无解析24、作自变量与因变量变换:u=x+y,v=x-y.w=xy-z.变换方程为w关于u,v的偏微分方程,其中z对x,y有连续的二阶偏导数.标准答案:由于z=xy-w,则知识点解析:暂无解析25、设z=f(x,y)满足≠0,由z=f(x,y)可解出y=y(z,x).求:(Ⅰ);(Ⅱ)y=y(z,x).标准答案:(Ⅰ)以z,x为自变量,y为因变量y=y(z,x),它满足z=f(x,y(z,x)).将z=f(x,y)对x求偏导数,得0=再对x求偏导数,得将代入上式,得利用条件得(Ⅱ)因y=y(z,x),知识点解析:暂无解析26、求z=2x+y在区域D:x2+≤1上的最大值与最小值.标准答案:令F(x,y,λ)=2x+y+λ(x2+-1),解方程组由①,②得y=2x,代入③得相应地因为z在D存在最大、最小值=>z在D的最大值为,最小值为.知识点解析:暂无解析27、设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数,函数g(y)连续可导,且g(y)在y=1处取得极值g(1)=2.求复合函数z=f(xg(y),x+y)的二阶混合偏导数在点(1,1)处的值.标准答案:计算可得f"12(xg(y),x+y)]+f"21(xg(y),x+y).xg‘(y)+f"22(xg(y),x+y).将x=1与y=1代入并利用g(1)=2,g’(1)=0即得=g’(1)f’1(2,2)+g(1)[f"11(2,2)g’(1)+f"12(2,2)]+f"21(2,2)g’(1)+f"22(2,2)=2f"12(2,2)+f"22(2,2).知识点解析:暂无解析28、建一容积为V0的无盖长方体水池,问其长、宽、高为何值时有最小的表面积.标准答案:设长、宽、高各为x,y,z,则表面积为S=xy+2(xz+yz),容积V0=xyz.问题是求三元函数S在条件xyz-V0=0下的最小值点.化为无条件最值问题.由条件解出z=,代入S表达式得因该实际问题存在最小值,所以当长、宽、高分别为时无盖长方体水池的表面积最小.知识点解析:暂无解析考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)1、设z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,△x是f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量,则在点(x0,y0)处()A、△z=dz。B、△z=f’x(x0,y0)△x+f’y(x0,y0)△y。C、△z=f’x(x0,y0)dx+f’y(x0,y0)dy。D、△z=dz+o(ρ)。标准答案:D知识点解析:由于z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则△z=f’x(x0,y0)△x+f’y(x0,y0)△y+o(ρ)=dz+o(ρ),故选D。2、设函数z(x,y)由方程确定,其中F为可微函数,且F’2≠0,则=()A、x。B、z。C、一x。D、一z。标准答案:B知识点解析:对已知的等式两边求全微分可得所以整理可得因此故选B。3、设函数f(x),g(x)均有二阶连续导数,满足f(0)>0,g(0)<0,且f’(0)=g’(0)=0,则函数z=f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()。A、f’’(0)<0,g’’(0)>0。B、f’’(0)<0,g’’(0)<0。C、f’’(0)>0,g’’(0)>0。D、f’’(0)>0,g’’(0)<0。标准答案:A知识点解析:由z=f(x)g(y),得而且f(0)>0,g(0)<0。当f’’(0)<0,g’’(0)>0时,B2一AC<0,且A>0,此时z=f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值。故选A。4、设平面D由x+y=,x+y=1及两条坐标轴围成,,则()A、I1<I2<I3。B、I3<I1<I2。C、I1<I3<I2。D、I3<I2<I1。标准答案:C知识点解析:显然在D上≤x+y≤l,则ln(x+y)3≤0,0<sin(x+y)3<(x+y)3,从而有故选C。5、设函数f(x,y)连续,则二次积分=()A、∫01dy∫π+arcsinyπf(x,y)dx。B、∫01dy∫π—arcsinyπf(x,y)dx。C、。D、。标准答案:B知识点解析:由题设可知,≤x≤π,sinx≤y≤1,可转化为0≤y≤1,π—arcsiny≤x≤π。故选B。6、设f(x)为连续函数,F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx,则F’(2)=()A、2f(2)。B、f(2)。C、一f(2)。D、0。标准答案:B知识点解析:交换累次积分的积分次序,得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1t(x—1)f(x)dx。于是F’(t)=(t一1)f(t),从而F’(2)=f(2)。故选B。7、设函数f(t)连续,则二重积分=()A、

B、

C、

D、

标准答案:B知识点解析:因为曲线r=2在直角坐标系中的方程为x2+y2=4,而r=2cosθ在直角坐标系中的方程为x2+y2=2x,即(x一1)2+y2=1,因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得原式=∫02dxf(x2+y2)dy。故选B。8、设区域D={(x,y)|x2+y2≤4,x≥0,y≥0},f(x)为D上的正值连续函数,a,b为常数,则=()A、abπ。B、。C、(a+b)π。D、。标准答案:D知识点解析:由根据轮换对称性可得故选D。二、填空题(本题共7题,每题1.0分,共7分。)9、设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y),则dz|(1,0)=______。标准答案:2edx+(e+2)dy知识点解析:由已知因此dz|(1,0)=2edx+(e+2)dy。10、设z=(x+ey)x,则=______。标准答案:21n2+1知识点解析:由z=(x+ey)x,故z(x,0)=(x+1)x,则将x=1代入得11、设函数z=z(x,y)由方程(z+y)2=xy确定,则=______。标准答案:2—2ln2知识点解析:把点(1,2)代入(z+y)x=xy,得到z(1,2)=0。在(z+y)x=xy两边同时对x求偏导数,有将x=1,y=2,z(1,2)=0代入上式得12、设z=xg(x+y)+yφ(xy),其中g,φ具有二阶连续导数,则=______。标准答案:g’(x+y)+xg’’(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ’’(xy)知识点解析:由题干可知13、积分∫02dx∫x2e—y2dy=______。标准答案:(1一e—4)知识点解析:积分区域如图所示,则∫02dx∫x2e—y2dy=∫02dy∫0ye—y2dx=∫02ye—y2dy14、将∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化为极坐标下的二次积分为______。标准答案:知识点解析:如图所示,则有∫0—1dy∫0yf(x2+y2)=15、设f(x,y)连续,且f(x,y)=,其中D是由,x=1,y=2所围成的区域,则f(x,y)=______。标准答案:知识点解析:首先令,则A为常数,此时f(x,y)=x+Ay。即,得,因此可得。三、解答题(本题共9题,每题1.0分,共9分。)16、设u=f(x,y,z),φ(x2,ey,z)=0,y=sinx,其中f,φ都具有一阶连续偏导数,且,求标准答案:在等式u=f(x,y,z)的两端同时对x求导数,得到如下等式而,再在等式φ(x2,ey,z)=0的两端同时对x求导数,得到解得因此,可得知识点解析:暂无解析17、设其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求标准答案:根据复合函数的求导公式,有于是知识点解析:暂无解析18、计算积分标准答案:设二重积分区域为D,D1是D的第一象限部分,由对称性,得知识点解析:暂无解析19、设区域D={(x,y)|x2+y2≤1,x≥0},计算二重积分标准答案:积分区域D如图所示。因为区域D关于x轴对称,函数是变量y的偶函数,函数是变量y的奇函数。取D1=D∩{y≥0},则有因此知识点解析:暂无解析20、计算二重积分(x2+y2)dσ,其中D是由直线x=2,y=2,x+y=1,x+y=3以及x轴与y轴所围成的平面区域。标准答案:由题设知,积分区域是如图所示的六边形区域,且D=D1+D2,其中D1={(x,y)|0≤x≤1,1一x≤y≤2},D2={(x,y)|1≤x≤2,0≤y≤3一x}。于是=∫01dx∫1—x2(x2+y2)dy+∫12dx∫03—x(x2+y2)dy知识点解析:暂无解析求下列积分。21、设f(x)=∫1xe—y2,求∫01x2f(x)dx;标准答案:知识点解析:暂无解析22、设函数f(x)在[0,1]连续且∫12f(x)dx=A,求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。标准答案:令Ф(x)=∫1xf(y)dy,则Ф’(x)=一f(x),于是∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01[∫x1f(y)dy]f(x)dx=一∫01Ф(x)dФ(x)=。知识点解析:暂无解析23、已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分标准答案:将二重积分xyf’’xy(x,y)dxdy转化为累次积分可得xyf’’xy(x,y)dxdy=∫01dy∫01xyf’’xy(x,y)dx首先考虑∫01xyf’’xy(x,y)dx,注意这里把变量y看作常数,故有∫01xyf’’xy(x,y)dx=y∫01xdf’y(x,y)=xyf’y(x,y)|01一∫01yf’y(x,y)dx=yf’y(1,y)一∫01yf’y(x,y)dx。由f(1,y)=f(x,1)=0易知,f’y(1,y)=f’x(x,1)=0。所以∫01xyf’’y(x,y)dx=—∫01yf’y(x,y)dx。因此=∫01dy∫01xyf’’y(x,y)dx=—∫01dy∫01yf’y(x,y)dx,对该积分交换积分次序可得—∫01dy∫01yf’y(x,y)dx=—∫01dx∫01yf’y(x,y)dy。再考虑积分∫01yf’y(x,y)dy,注意这里把变量x看作常数,故有∫01yf’y(x,y)dy=∫01ydf(x,y)=yf(x,y)|01一∫01f(x,y)dy=一∫01f(x,y)dy,因此=—∫01dx∫01yf’y(x,y)dy=—∫01dx∫01f(x,y)dy=。知识点解析:暂无解析24、设函数f(x)在区间[0,1]上连续,且∫01f(x)dx=A,求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。标准答案:交换积分次序可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01dy∫0yf(x)f(y)dx=∫01dx∫0xf(y)f(x)dy,因此,可得知识点解析:暂无解析考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题,每题1.0分,共4分。)1、设f(χ,y)在(0,0)的某邻域内连续,且满足=3,则f(χ,y)在(0,0)处().A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否取极值标准答案:A知识点解析:因为=-3,所以由极限的保号性,存在δ>0,当0<<δ时,<0.因为当0<<δ时,|χ|+y2>0,所以当0<<δ时,有f(χ,y)<f(0,0),即f(χ,y)在(0,0)处取极大值,选A.2、设u=f(χ+y,χz)有二阶连续的偏导数,则=().A、f′2+χf〞11+(χ+z)f〞12+χzf〞22B、χf〞12+χzf〞22C、f′2+χf〞12+χzf〞22D、χzf〞22标准答案:C知识点解析:=f′1+zf′2,=χf〞12+f′2+χzf〞22,选C.3、函数z=f(χ,y)在点(χ0,y0)可偏导是函数z=f(χ,y)在点(χ0,y0)连续的().A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案:D知识点解析:如f(χ,y)=在点(0,0)处可偏导,但不连续;又如f(χ,y)=在(0,0)处连续,但对χ不可偏导.4、设可微函数f(χ,y)在点(χ0,y0)处取得极小值,则下列结论正确的是().A、f(χ0,y)在y=y0处导数为零B、f(χ0,y)在y=y0处导数大于零C、f(χ0,y)在y=y0处导数小于零D、f(χ0,y)在y=y0处导数不存在标准答案:A知识点解析:可微函数f(χ,y)在点(χ0,y0)处取得极小值,则有f′χ(χ0,y0)=0,f′y(χ0,y0)=0,于是f(χ0,y)在y=y0处导数为零,选A.二、填空题(本题共10题,每题1.0分,共10分。)5、设z=f(χ2+y2+z2,χyz)且f一阶连续可偏导,则=_______.标准答案:知识点解析:z=f(χ2+y2+z2,χyz)两边对χ求偏导得6、设y=y(χ,z)是由方程eχ+y+z=χ2+y2+z2确定的隐函数,则=_______.标准答案:知识点解析:eχ+y+z=χ2+y2+z2两边对z求偏导得,从而7、设z=f(χ,y)是由e2yχ+χ+y2+z=确定的函数,则=_______.标准答案:知识点解析:将代入e2yz+χ+y2+z=中得z=0,e2yz+χ+y2+z=两边求微分得2e2yz(zdy+ydz)+dχ+2ydy+dz=0,将χ=,y=,z=0代入得8、设y=y(χ)由χ-=0确定,则=_______.标准答案:e-1知识点解析:当χ=0时,y=1,χ-=0两边对χ求导,得1-=0,将χ=0,y=1代入得=e—1.9、设z=z(χ,y)由z+ez=χy2确定,则dz=_______.标准答案:知识点解析:z+ez=χy2两边求微分得d(z+e2)=d(χy2),即dz+ezdz=y2dχ+2χydy,解得dz=10、设z=f(χ+y,y+z,z+χ),其中f连续可偏导,则=_______.标准答案:知识点解析:z=f(χ+y,y+z,z+χ)两边求χ求偏导得,解得11、设z=χy+χf(),其中f可导,则=_______.标准答案:z+χy知识点解析:12、由方程χyz+确定的隐函数z=z(χ,y)在点(1,0,-1)处的微分为dz=_______.标准答案:dχ-dy知识点解析:两边求微分得yzdχ+χzdy+χydz+(χdχ+ydy+zdz)=0,把(1,0,-1)代入上式得dz=dχ-dy.13、设f(χ,y,z)=e2yz2,其中z=z(z,y)是由χ+y+z+χyz=0确定的隐函数,则f′χ(0,1,-1)=_______.标准答案:1知识点解析:f′χ(χ,y,z)=,χ+y+z+χyz=0两边对χ求偏导得1+=0,将χ=0,y=1,z=-1代入得解得f′χ(0,1,-1)=1.14、设f(χ,y)可微,且f′1(-1,3)=-2,f′2(-1,3)=1,令z=f(2χ-y,),则dz|(1,3)=_______.标准答案:-7dχ+3dy知识点解析:则=2f′1(-1,3)-3f′2(-1,3)=-7,=-f′1(-1,3)+f′2(-1,3)=3,则dz|(1,3)=-7dχ+3dy.三、解答题(本题共13题,每题1.0分,共13分。)15、设u=f(χ,y,z)有连续的偏导数,y=y(χ),z=z(χ)分别由方程eχy-y=0与ez-χz=0确定,求.标准答案:,方程eχy-y=0求导得方程ez-χz=0两边对χ求导得知识点解析:暂无解析16、设y=y(χ),z=z(χ)是由方程z=χf(χ+y)和F(χ,y,z)=0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.标准答案:z=χf(χ+y)及F(χ,y,z)=0两边对χ求导数,得知识点解析:暂无解析17、设y=f(χ,y),其中t是由G(χ,y,t)=0确定的χ,y的函数,且f(χ,t),G(χ,y,t)一阶连续可偏导,求.标准答案:将y=f(χ,t)与G(χ,y,t)=0两边对χ求导得知识点解析:暂无解析18、设z=z(χ,y)由方程z+lnz-dt=1确定,求.标准答案:当χ=0,y=0时,z=1.z+lnz-=1两边分别对χ和y求偏导得两边对y求偏导得知识点解析:暂无解析19、设=0且F可微,证明:=z-χy.标准答案:=0两边对χ求偏导得两边对Y求偏导得知识点解析:暂无解析20、设变换可把方程=0简化为=0,求常数a.标准答案:将u,v作为中间变量,则函数关系为z=f(u,v),则有将上述式子代入方程=0得根据题意得解得a=3.知识点解析:暂无解析21、设z=f[χ+φ(χ-y),y],其中f二阶连续可偏导,φ二阶可导,求.标准答案:z=f[χ+φ(χ-y),y]两边关于y求偏导得=-f′1φ′+f′2=-(-f〞11φ′+f〞12)φ′+f′1φ〞-f〞21φ′+f〞22=f〞11(φ′)-2f〞12φ′+f′1φ〞+f〞22知识点解析:暂无解析22、设f(χ+y,χ-y)=χ2-y2+,求f(u,v),并求.标准答案:令从而f(u,v)=uv+于是知识点解析:暂无解析23、设z=f(χ,y)由f(χ+y,χ-y)=χ2-y2-χy确定,求dz.标准答案:令代入得f(u,v)=从而z=f(χ,y)=χy-,知识点解析:暂无解析24、求二元函数f(χ,y)=χ2(2+y2)+ylny的极值.标准答案:二元函数f(χ,y)的定义域为D={(χ,y)|y>0},因为AC-B2>0且A>0,所以为f(χ,y)的极小点,极小值为.知识点解析:暂无解析25、求函数f(χ,y)=(χ2+2χ+y)ey的极值.标准答案:由AC-B2=2>0及A=2>0得(χ,y)=(-1,0)为f(χ,y)的极小值点,极小值为f(-1,0)=-1.知识点解析:暂无解析26、求u=χ2+y2+z2在=1上的最小值.标准答案:令F=χ2+y2+z2+λ(-1),u=χ2+y2+z2在=1上的最小值为知识点解析:暂无解析27、平面曲线L:绕z轴旋转所得曲面为S,求曲面S的内接长方体的最大体积.标准答案:曲线绕χ轴旋转一周所得的曲面为S:=1.根据对称性,设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(χ,y,z),则体积为V=8χyz.令F=χyz+λ(-1),由由实际问题的特性及点的唯一性,当时,内接长方体体积最大,最大体积为V=ab2.知识点解析:暂无解析考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题,每题1.0分,共4分。)1、设f(x,y)=则f(x,y)在点(0,0)处A、连续,偏导数存在.B、连续,偏导数不存在.C、不连续,偏导数存在.D、不连续,偏导数不存在.标准答案:C知识点解析:这是讨论f(x,y)在点(0,0)处是否连续,是否可偏导.先讨论f(x,y)在点(0,0)处是否可偏导.由于f(x,0)=0(x∈(-∞,+∞)),则.因此B,D被排除.再考察f(x,y)在点(0,0)处的连续性.令y=x3,则≠f(0,0),因此f(x,y)在点(0,0)处不连续.故应选C.2、设z=f(x,y)=,则f(x,y)在点(0,0)处A、可微.B、偏导数存在,但不可微.C、连续,但偏导数不存在.D、偏导数存在,但不连续.标准答案:B知识点解析:设△z=f(x,y)-f(0,0),则可知.这表明f(x,y)=在点(0,0)处连续.因f(x,0)=0(x),所以f’x(0,0)=f(x,0)|x=0=0,同理f’y(0,0)=0.令α=△z-f’x(0,0)△x-f’y(0,0)△y=,当(△x,△y)沿y=x趋于点(0,0)时即α不是ρ的高阶无穷小,因此f(x,y)在点(0,0)处不可微,故选B.3、设f(x,y)=|x-y|φ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)处连续且φ(0,0)=0,则f(x,y)在点(0,0)处A、连续,但偏导数不存在.B、不连续,但偏导数存在.C、可微.D、不可微.标准答案:C知识点解析:逐项分析:(Ⅰ)|x-y|在(0,0)连续,φ(x,y)在点(0,0)处连续=>f(x,y)在点(0,0)处连续.(Ⅱ).f’x(0,0)=0,同理f’y(0,0)=0.(Ⅲ)考察f(△x,△y)-=|△x-△y|φ(△x,△y).=>f(x,y)在点(0,0)处可微.选C.4、设u(x,y)在M0取极大值,并,则A、

B、

C、

D、

标准答案:C知识点解析:偏导数实质是一元函数的导数,把二元函数的极值转化为一元函数的极值.由一元函数的极大值的必要条件可得相应结论.令f(x)=u(x,y0)=>x=x0是f(x)的极大值点=>(若>0,则x=x0是f(x)的极小值点,于是得矛盾).同理,令g(y)=u(x0,y)=>y=y0是g(y)的极大值点=>二、填空题(本题共2题,每题1.0分,共2分。)5、设z=z(x,y)满足方程2z-ez+2xy=3且z(1,2)=0,则dz|(1,2)=________.标准答案:-4dx-2dy知识点解析:将方程分别对x,y求偏导数,得令x=1,y=2,z=0得6、设f(x,y)有连续偏导数,满足f(1,2)=1,f’x(1,2)=2,f’y(1,2)=3,Ф(x)=f(x,2f(x,2f(x,2x))),则Ф’(1)=________.标准答案:302知识点解析:Ф(x)=f(x,u(x)),u(x)=2f(x,v(x)),v(x)=2f(x,2x),v(1)=2f(1,2)=2,u(1)=2f(1,v(1))=2f(1,2)=2,Ф’(1)=f’1(1,2)+f’2(1,2)u’(1)=2+3u’(1),u’(1)=2[f’1(1,2)+f’2(1,2)v’(1)]=2[2+3v’(1)],v’(1)=2[f’1(1,2)+2f’2(1,2)]=2(2+2.3)=16.往回代=>u’(1)=2(2+3.16)=100,Ф’(1)=2+3×100=302.三、解答题(本题共22题,每题1.0分,共22分。)7、证明极限不存在.标准答案:(x,y)沿不同的直线y=kx趋于(0,0),有再令(x,y)沿抛物线y2=x趋于(0,0),有由二者不相等可知极限不存在.知识点解析:暂无解析8、设z=f(u,v,x),u=φ(x,y),v=ψ(y)都是可微函数,求复合函数z=f(φ(x,y),ψ(y),x)的偏导数标准答案:由复合函数求导法可得知识点解析:暂无解析9、设u=f(x,y,z,t)关于各变量均有连续偏导数,而其中由方程组①确定z,t为y的函数,求标准答案:注意z=z(y),t=t(y),于是②因此,我们还要求,将方程组①两边对y求导得记系数行列式为W=(y-t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint),则知识点解析:暂无解析10、设z=f(x,y)在区域D有连续偏导数,D内任意两点的连线均属于D.求证:对A(x0,y0),B(x0+△x,y0+△y)∈D,θ∈(0,1),使得标准答案:连接A,B两点的线段属于D:上f(x,y)变成t的一元函数Ф(t)=f(x0+t△x,y0+t△y),Ф(t)在[0,1]可导,由复合函数求导法=>现在二元函数的增量看成一元函数Ф(t)的增量,由一元函数微分中值定理=>f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)=Ф(1)-Ф(0)=Ф’(θ)=知识点解析:暂无解析11、求函数z=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值.标准答案:区域D如图7.1所示,它是有界闭区域.z(x,y)在D上连续,所以在D上一定有最大值与最小值,它或在D内的驻点达到,或在D的边界上达到.为求D内驻点,先求=2xy(4-x-y)-x2y=xy(8-3x-2y),=x2(4-x-y)-x2y=x2(4-x-2y).再解方程组得z(x,y)在D内的唯一驻点(x,y)=(2,1)且z(2,1)=4.在D的边界y=0,0≤x≤6或x=0,0≤y≤6上z(x,y)=0;在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6-x代入得z(x,y)=x2(6-x)(-2)=2(x3-6x2),0≤x≤6.令h(x)=2(x3-6x2),则h’(x)=6(x2-4x),h’(4)=0,h(0)=0,h(4)=-64,h(6)=0,即z(x,y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0,最小值为-64.因此,知识点解析:暂无解析12、设z(x,y)满足求z(x,y).标准答案:把y看作任意给定的常数,将等式①两边对x求枳分得z(x,y)=-xsiny-ln|1-xy|+φ(y),其中φ(y)为待定函数.由②式得-siny-ln|1-y|+φ(y)=siny,故φ(y)=2siny+ln|1-y|.因此,z(x,y)=(2-x)siny+知识点解析:暂无解析13、设z=(x2+y2),求dz与标准答案:由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得由dz的表达式得对y求导得知识点解析:暂无解析14、设u=标准答案:u=是u=f(s,t)与复合而成的x,y,z的三元函数.先求du(从而也就求得)或先求也就可求得du,然后再由.由一阶全微分形式的不变性及全微分的四则运算法则,得知识点解析:暂无解析15、设由方程φ(bz-cy,cx-az,ay-bx)=0(*)确定隐函数z=z(x,y),其中φ对所有变量有连续偏导数,a,b,c为非零常数,且bφ’1-aφ’2≠0,求标准答案:将方程(*)看成关于x,y的恒等式,两边分别对x,y求偏导数得由①×a+②×b,可得知识点解析:暂无解析16、设z=z(x,y)有连续的二阶偏导数并满足①(Ⅰ)作变量替换u=3x+y,v=x+y,以u,v作为新的自变量,变换上述方程;(Ⅱ)求满足上述方程的z(x,y).标准答案:(Ⅰ)将z对x,y的偏导数转换为z对u,v的偏导数.由复合函数求导法得这里仍是u,v的函数,而u,v又是x,y的函数,因而将②,③,④代入原方程①得(Ⅱ)由题(Ⅰ),在变量替换u=3x+y,v=x+y下,求解满足①的z=z(x,y)转化为求解满足⑤的z=z(u,v).由⑤式=>=0,对v积分得=f(u),其中f(u)为任意的有连续导数的函数.再对u积分得z=φ(u)+ψ(v),其中φ,ψ为任意的有连续的二阶导数的函数.回到原变量得z=φ(3x+y)+ψ(x+y).知识点解析:暂无解析17、在空间坐标系的原点处,有一单位正电荷,设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2,x+y+z=1上移动,问两电荷间的引力何时最大,何时最小?标准答案:用拉格朗日乘子法.令F(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2-z)+μ(x+y+z-1),由前三个方程得x=y,代入后两个方程得.记,可算得g(M1)=9-,g(M2)=9+.从实际问题看,函数g的条件最大与最小值均存在,所以g在点M1,M2分别达到最小值和最大值,因而函数f在点M1,M2分别达到最大值和最小值,即两个点电荷间的引力当单位负电荷在点M1处最大,在点M2处最小.知识点解析:暂无解析18、若函数f(x,y)对任意正实数t,满足f(tx,ty)=tnf(x,y),(7.12)称f(x,y)为n次齐次函数.设f(x,y)是可微函数,证明:f(x,y)为n次齐次函数<=>标准答案:设f(x,y)是n次齐次函数,按定义,得f(tx,ty)=tnf(x,y)(t>0)为恒等式.将该式两端对t求导,得xf’1(tx,ty)+yf’2/sub>(tx,ty)=ntn-1f(x,y)(t>0),令t=1,则xf’x(x,y)+yf’y(x,y)=nf(x,y).现设上式成立.考察φ(t)=,由复合函数求导法则,可得知识点解析:暂无解析19、设z=f(x,y)满足)=2x,f(x,1)=0,=sinx,求f(x,y).标准答案:=2xy+φ(x),φ(x)为x的任意函数<=>f(x,y)=xy2+φ(x)y+ψ(x),ψ(x)也是x的任意函数.由=sinx,得[2xy+φ(x)]|y=0=sinx,则φ(x)=sinx.由f(x,1)=0,得[xy2+φ(x)y+ψ(x)]|y=1=x+sinx+ψ(x)=0,则ψ(x)=-x-sinx.因此,f(x,y)=xy2+ysinx-x-sinx.知识点解析:暂无解析20、设u=u(x,y)由方程u=φ(u)+∫xyp(t)dt确定,求,其中φ(u)≠1.标准答案:将方程对x求导=>对y求导得分别乘P(y),P(x)后相加得由于φ’(u)≠1=>知识点解析:暂无解析21、设标准答案:u是u=f(s,t)与复合而成的x,y,z的三元函数.先求du.由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则,得知识点解析:暂无解析22、设z=f(x,y,u),其中f具有二阶连续偏导数,u(x,y)由方程u5-5xy+5u=1确定.求标准答案:将方程u5-5xy+5u=1两端对x求导数,得5u4u’x-5y+5u’x=0,解得u’x=,故在上式对x求导数时,应注意其中的f’1,f’2仍是x,y,u的函数,而u又是x,y的函数,于是知识点解析:暂无解析23、若可微函数z=f(x,y)在极坐标系下只是θ的函数,证明:=0(r≠0).标准答案:由z=f(rcosθ,rsinθ)与r无关=>=0.知识点解析:暂无解析24、设u=u(x,y),v=v(x,y)有连续的一阶偏导数且满足条件:F(u,v)=0,其中F有连续的偏导数且标准答案:将方程F(u,v)=0分别对x,y求偏导数,南复合函数求导法得按题设,这个齐次方程有非零解,其系数行列式必为零,即知识点解析:暂无解析25、设f(x,y)=2(y-x2)2-x7-y2,(Ⅰ)求f(x,y)的驻点;(Ⅱ)求f(x,y)的全部极值点,并指明是极大值点还是极小值点.标准答案:(Ⅰ)解即驻点为(0,0)与(-2,8).(Ⅱ)在(-2,8)处,,AC-B2>0,A>0=>(-2,8)为极小值点.在(0,0)处,,AC-B2=0,该方法失效.但令x=0=>f(0,y)=y2,这说明原点邻域中y轴上的函数值比原点函数值大,又令y=x2,f(x,x2)=,这说明原点邻域中抛物线y=x2上的函数值比原点函数值小,所以(0,0)不是极值点.知识点解析:暂无解析26、设函数z=(1+ey)cosx-yey,证明:函数z有无穷多个极大值点,而无极小值点.标准答案:(Ⅰ)先计算(Ⅱ)求出所有的驻点.由解得(x,y)=(2nπ,0)或(x,y)=((2n+1)π,-2),其中n=0,±1,±2,…(Ⅲ)判断所有驻点是否是极值点,是极大值点还是极小值点.在(2nπ,0)处,由于=(-2)×(-1)-0=2>0,=-2<0.则(2nπ,0)是极大值点.在((2n+1)π,-2)处,由于则((2n+1)π,-2)不是极值点.因此函数z有无穷多极大值点(2nπ,0)(n=0,±1,±2,…),而无极小值点.知识点解析:暂无解析27、设f(x,y)在点(a,b)的某邻域具有二阶连续偏导数,且f’y(a,b)≠0,证明由方程f(x,y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是:f(a,b)=0,f’x(a,b)=0,且当r(a,b)>0时,b=φ(a)是极大值;当r(a,b)<0时,b=φ(a)是极小值.其中标准答案:y=φ(x)在x=a处取得极值的必要条件是φ’(a)=0.按隐函数求导法,φ’(x)满足f’x(x,φ(x))+f’y(x,φ(x))φ’(x)=0.(*)因b=φ(a),则有f(a,b)=0,φ’(a)==0,于是f’x(a,b)=0.将(*)式两边对x求导得f"xx(x,φ(x))+f"xy(x,φ(x))φ’(x)+[f’y(x,φ(x))]φ’(x)+f’y(x,φ(x))φ"(x)=0,上式中令x=a,φ(a)=b,φ’(a)=0,得因此当>0时,φ"(a)<0,故b=φ(a)是极大值;当<0时,φ"(a)>0,故b=φ(a)是极小值.知识点解析:暂无解析28、已知三角形的周长为2p,将它绕其一边旋转而构成一立体,求使立体体积最大的那个三角形.标准答案:设三角形的三边长为a,b,c,并设以AC边为旋转轴(见图8.1),AC上的高为h,则旋转所成立体的体积为又设三角形的面积为S,于是有问题化成求y(a,b,c)在条件a+b+c-2p=0下的最大值点,等价于求V0(a,b,c)=(p-a)(p-b)(p-c)=ln(p-a)+ln(p-b)+ln(p-c)-lnb在条件a+b+c-2p=0下的最大值点.用拉格朗日乘子法.令F(a,b,c,λ)=V0(a,b,c)+λ(a+b+c-2p),求解方程组比较①,③得a=c,再由④得6=2(p-a).⑤比较①,②得b(p-b)=(p-a)p.⑥由⑤,⑥解出由实际问题知,最大体积一定存在,而以上解又是方程组的唯一解.因而也是条件最大值点.所以当三角形的边长分别为时,绕边长为的边旋转时.所得立体体积最大.知识点解析:暂无解析考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷第5套一、选择题(本题共4题,每题1.0分,共4分。)1、设f(χ,y)=sin,则f(χ,y)在(0,0)处().A、对χ可偏导,对y不可偏导B、对χ不可偏导,对y可偏导C、对χ可偏导,对y也可偏导D、对χ不可偏导,对y也不可偏导标准答案:B知识点解析:因为不存在,所以f(χ,y)在(0,0)处对χ不可偏导;因为=0,所以f′t(0,0)=0,即f(χ,y)在(0,0)处对y可偏导,应选B.2、设f′χ(χ0,y0),f′y(χ0,y0)都存在,则().A、f(χ,y)在(χ0,y0)处连续B、f(χ,y)存在C、f(χ,y)在(χ0,y0)处可微D、f(χ0,y0)存在标准答案:D知识点解析:多元函数在一点可偏导不一定在该点连续,A不对;函数f(χ,y)=在(0,0)处可偏导,但(χ,y)不存在,B不对;f(χ,y)在(χ0,y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件,C不对,应选D.事实上由f′χ(χ0,y0)=存在得f(χ0,y0)=f(χ0,y0).3、设f(χ,y)在点(0,0)的某邻域内连续,且满足=-3,则函数f(χ,y)在点(0,0)处().A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否有极值标准答案:A知识点解析:因为=-3,根据极限保号性,存在δ>0,当0<<δ时,有<0,而χ2+1-χsiny>0,所以当0<<δ时,有f(χ,y)-f(0,0)<0,即f(χ,y)<f(0,0),所以f(χ,y)在点(0,0)处取极大值,选A.4、设f(χ,y)在(0,0)的某邻域内连续,且满足=-3,则f(χ,y)在(0,0)处().A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否取极值标准答案:A知识点解析:暂无解析二、填空题(本题共12题,每题1.0分,共12分。)5、设z=(χ2+y2)χy,则=_______.标准答案:(χ2+y2)χy.[yln(χ2+y2)+]知识点解析:6、设f二阶可导,且z=f(χy),则=_______.标准答案:-f(χy)+f′(χy)+y2f〞(χy)知识点解析:7、设f二阶可偏导,z=f(χy,χ+y2),则=_______.标准答案:f′1+χyf〞11+(χ+2y)f〞12+2yf〞22知识点解析:=yf′1+f′2,=f′1+y(χf〞11+2yf〞12)+χf〞21+2yf〞22=f′1+χyf〞11+(χ+2y)f〞12+2yf〞22.8、设f(χ,y)连续,且f(χ,y)=3χ+4y+6+o(ρ),其中ρ=,则dz|(1,0)=_______.标准答案:3dχ+4dy知识点解析:因为f(χ,y)连续,所以f(1,0)=9,由f(χ,y)=3χ+4y+6+o(ρ)得△z=f(χ,y)-f(1,0)=3(χ-1)+4y+o(),由可微的定义得dz|(1,0)=3dχ+4dy.9、设z=f(χ,y)二阶连续可导,且=χ+1,f′χ(χ,0)=2χ,f(0,y)=sin2y,则f(χ,y)=_______.标准答案:(+χ)y+χ2+sin2y知识点解析:由=χ+1得=(χ+1)y+φ(χ),由f′χ(χ,0)=2χ得φ(χ)=2χ,即=(χ+1)y+2χ,再由=(χ+1)y+2χ得z=(+χ)y+χ2+h(y),由f(0,y)=sin2y得h(y)=sin2y,故f(χ,y)=(+χ)y+χ2+sin2y.10、=_______.标准答案:知识点解析:11、设z=,则=_______.标准答案:知识点解析:暂无解析12、设z=,则dz=_______.标准答案:sin2χy(ydχ+χdy)知识点解析:13、设z=,则=_______.标准答案:知识点解析:14、设z=f(χ,y)=χ2arctan-y2arctan,则=_______.标准答案:知识点解析:15、设f(χ,y)满足=2,f(χ,0)=1,f′y(χ,0)=χ,则f(χ,y)=_______.标准答案:y2+χy+1知识点解析:由=2得=2y+φ1(χ),因为f′y(χ,0)=χ,所以φ1(χ)=χ,即=2y+χ,再由=2y+χ得f(χ,y)=y2+χy+1.因为f(χ,0)=1,所以φ2(χ)=1,故f(χ,y)=y2+χy+1.16、z=f(χy)+yg(χ2+y2),其中f,g二阶连续可导,则=_______.标准答案:-f(χy)+f′(χy)+y2f〞(χy)+2χg′(χ2+y2)+4χy2g(χ2+y2)知识点解析:暂无解析三、解答题(本题共20题,每题1.0分,共20分。)17、设z=yf(χ2-y2),其中f可导,证明:标准答案:=2χyf′(χ2-y2),=f(χ2-y2)-2y2f′(χ2-y2),则.知识点解析:暂无解析18、设z=,其中f,g二阶可导,证明:=0.标准答案:知识点解析:暂无解析19、设u=f(χ+y,χ2+y2),其中f二阶连续可偏导,求标准答案:=f′1+2χf′2,=f′1+2yf′2=f〞11+2χf〞12+2f′2+2χ(f〞21+2χf〞22)=f〞11+4χf〞12+4χf〞22+2f′2,=f〞11+2yf〞12+2f′2+2y(f〞21+2yf〞22)=f〞11+4yf〞12+4yf〞22+2f′2,则=2f〞11+4(χ+y)f〞12+4(χ+y)f〞22+4f′2.知识点解析:暂无解析20、设z=f[χg(y),χ-y],其中f二阶连续可偏导,g二阶可导,求标准答案:=g(y)f′1+f′2,=g′(y)f′1+g(y)[χg′(y)f〞11-f〞12]+χg′(y)f〞21-f〞22=g′(y)f′1+χg′(y)g(y)f〞11+[χg′(y)-g(y)]f〞12-f〞22.知识点解析:暂无解析21、设z=z(χ,y)由χyz=χ+y+z确定,求标准答案:令F=χyz-χ-y-z,知识点解析:暂无解析22、举例说明多元函数连续不一定可偏导,可偏导不一定连续.标准答案:设f(χ,y)=,显然f(χ,y)在点(0,0)处连续.但不存在,所以f(χ,y)在点(0,0)处对χ不可偏导,由对称性,f(χ,y)在点(0,0)处对y也不可偏导.所以f(χ,t)在点(0,0)处可偏导,且f′χ(0,0)=f′y(0.0)=0.因为,所以(χ,y)不存在,而f(0,0)=0,故f(χ,y)在点(0,O)处不连续.知识点解析:暂无解析23、设f(χ,y)=讨论函数f(χ,y)在点(0,0)处的连续性与可偏导性.标准答案:因为所以(χ,y)不存在,故函数f(χ,y)在点(0,0)处不连续.因为=0,所以函数f(χ,y)在点(0,0)处对χ,y都可偏导.知识点解析:暂无解析24、讨论f(χ,y)=在点(0,0)处的连续性、可偏导性及可微性.标准答案:因为所以(χ,y)=0=f(0,0),即函数f(χ,y)在点(0,0)处连续.因为=0,所以f′χ(0,0)=0,根据对称性得f′y(0,0)=0,即函数f(χ,y)在(0,0)处可偏导.△z=f′χ(0,0)χ-f′y(0,0)y=f(χ,y)-f′χ(0,0)χ-f′y(0,0)y=,因为不存在,所以函数f(χ,y)在(0,0)不可微.知识点解析:暂无解析25、讨论f(χ,y)=在点(0,0)处的连续性、可偏导性及可微性.标准答案:因为f(χ,y)=0=f(0,0),所以f(χ,y)在点(0,0)处连续.因为=0,所以f′χ(0,0)=0,由对称性得f′y(0,0)=0,即函数f(χ,y)在点(0,0)处可偏导.△z=f′χ(0,0)χ-f′y(0,0)y=f(χ,y)-f′χ(0,0)χ-f′y(0,0)y-χysin,因为所以函数f(χ,y)在点(0,0)处可微.知识点解析:暂无解析26、设z=f(e′sint,tant),求标准答案:et(sint+cost)f′1+f′2sec2t.知识点解析:暂无解析27、设z=sinχy,求标准答案:知识点解析:暂无解析28、设z=f(t,et),f有一阶连续的偏导数球标准答案:知识点解析:暂无解析29、设u=,求du.标准答案:知识点解析:暂无解析30、设函数z=z(χ,y)由方程χ2+y2+z2=χyf(z2)所确定,其中f是可微函数,计算并化成最简形式.标准答案:χ2+y2+z2=χyf(z2)两边对χ求偏导得2χ+2z=yf(z2)+2χyzf′(z2),解得χ2+y2+z2==χyf(z2)两边对y求偏导得知识点解析:暂无解析31、设f(t)二阶可导,g(u,v)二阶连续可偏导,且z=f(2χ-y)+g(χ,χy),求标准答案:=2f′(2χ-y)+g′1(χ,χy)+yg′2(χ,χy),=-2f〞(2χ-y)+χg〞12(χ,χy)+g′2(χ,χy)+χyg〞22(χ,χy).知识点解析:暂无解析32、设z=f(eχsiny,χ2+y2),且f(u,v)二阶连续可偏导,求标准答案:=f′1eχsiny+2χf′2,=f′1eχcosy+eχsiny(f〞11eχcosy+2yf〞12)+2χ(f〞21eχcosy+2yf〞22)=f′1eχcosy+f〞11e2χsin2y+2eχ(ysiny+χcosy)f〞12+4χyf〞22.知识点解析:暂无解析33、设z=f(χ2+y2,χy,χ),其中f(u,v,ω)二阶连续可偏导,求标准答案:=2χf′1+yf′2+f′3,=2χ(2yf〞11+χf〞12)+f′2+y(2yf〞21+χf〞22)>+2yf〞31+χf〞32=4χyf〞11+2(χ2+y2)f〞12+f′2+χyf〞22+2yf〞31+χf〞32.知识点解析:暂无解析34、设z=z(χ,y)由χ-yz+yez-χ-y=0确定,求及dz.标准答案:方程χ-yχ+yz-χ-y=0两边对χ求偏导得方程χ-yz+yz-χ-y=0两边对y求偏导得知识点解析:暂无解析35、设z=f(χ-y+g(χ-y-z)),其中f,g可微,求标准答案:等式z=f(χ-y+g(χ-y-z))两边对χ求偏导得等式z=f(χ-y+g(χ-y-z))两边对y求偏导得知识点解析:暂无解析36、设u=f(z),其中z是由z=y+χφ(z)确定的z,y的函数,其中f(z)与φ(z)为可微函数.证明:标准答案:,z=y+χφ(z)两边对χ求偏导得两边对y求偏导得知识点解析:暂无解析考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷第6套一、选择题(本题共3题,每题1.0分,共3分。)1、设f(χ,y)=sin,则f(χ,y)在(0,0)处().A、对χ可偏导,对y不可偏导B、对χ不可偏导,对y可偏导C、对χ可偏导,对y也可偏导D、对χ不可偏导,对y也不可偏导标准答案:B知识点解析:因为不存在,所以f(χ,y)在(0,0)处对χ不可偏导;因为=0,所以f′y(0,0)=0,即f(χ,y)在(0,0)处y可偏导,应选B.2、设f′χ(χ0,y0),f′y(χ0,y0)都存在,则().A、f(χ,y)在(χ0,y0)处连续B、f(χ,y)存在C、f(χ,y)在(χ0,y0)处可微D、(χ,y0)存在标准答案:D知识点解析:多元函数在一点可偏导不一定在该点连续,A不对;函数f(χ,y)=在(0,0)处可偏导,但f(χ,y)不存在,B不对;f(χ,y)在(χ0,y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件,C不对,应选D,事实上由f′χ(χ0,y0)=存在得f(χ0,y0)=f(χ0,y0).3、设f(χ,y)在点(0,0)的某邻域内连续,且满足=3,则函数f(χ,y)在点(0,0)处().A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否有极值标准答案:A知识点解析:因为=-3,根据极限保号性,存在δ>0,当0<<δ时,有<0,而χ2+1-χsiny>0,所以当0<<δ时,有f(χ,y)-f(0,0)<0,即f(χ,y)<f(0,0),所以f(χ,y)在点(0,0)处取极大值,选A.二、填空题(本题共9题,每题1.0分,共9分。)4、=_______.标准答案:知识点解析:5、设χ=,则=_______.标准答案:知识点解析:暂无解析6、设z=,则dz=_______.标准答案:sin2χy(ydχ+χdy)知识点解析:7、设z=ln(),则=_______.标准答案:知识点解析:8、设z=f(χ,y)=χ2arctan-y2arctan,则=_______.标准答案:知识点解析:9、设f(χ,y)满足=2,f(χ,0)=1,f′y(χ,0)=χ,则f(χ,y)=_______.标准答案:y2+χy+1知识点解析:由=2得=2y+φ1(χ)因为f′y(χ,0)=χ,所以φ1(χ)=χ,即=2y+χ,再由=2y+χ得f(χ,y)=y2+χy+φ2(χ),因为f(χ,0)=1,所以φ2(χ)=1,故f(χ,y)=y2+χy+1.10、z=f(χy)+yg(χ2+y2),其中f,g二阶连续可导,则=_______.标准答案:+y2f〞(χy)+2χg′(χ2+y2)+4χy2g〞(χ2+y2)知识点解析:+2χyg′(χ2+y2),+y2f〞(χy)+2χg′(χ2+y2)+4χy2g〞(χ2+y2).11、设z=f(χ2+y2,),且f(u,v)具有二阶连续的偏导数,则=_______.标准答案:知识点解析:12、设z=χyf(),其中f(u)可导,则=_______.标准答案:2z知识点解析:三、解答题(本题共23题,每题1.0分,共23分。)13、设u=,求du.标准答案:由u=得知识点解析:暂无解析14、设z=yf(χ2-y2),其中f可导,证明:.标准答案:=2χyf′(χ2-y2),=f(χ2-y2)-2y2f′(χ2-y2),则知识点解析:暂无解析15、设z=,其中f,g二阶可导,证明:=0.标准答案:知识点解析:暂无解析16、设u=f(χ+y,χ2+y2),其中f二阶连续可偏导,求.标准答案:=f′1+2χf′2,=f′1+2yf′2=f〞11+2χf〞12+2f′2+2χ(f〞21+2χf〞22)=f〞11+4χf〞12+4χ2f〞22+2f′2=f〞11+2yf〞12+2f′2+2y(f〞21+2yf〞22)=f〞11+4yf〞12+4y2f〞22+2f′2=2f〞11+4(χ+y)f〞12+4(χ+y)f〞22+4f′2知识点解析:暂无解析17、设z=f[χg(y),z-y],其中f二阶连续可偏导,g二阶可导,求.标准答案:=g(y)f′1+f′2=g′(y)f′1+g(y)[χg′(y)f〞11-f〞12]+χg′(y)f〞21-f〞22=g′(y)f′1+χg′(y)g(y)f〞11+[χg′(y)-g(y)]f〞12-f〞22.知识点解析:暂无解析18、设z=z(z,y)由χyz=χ+y+z确定,求.标准答案:令F=χyχ-χ-y-z,知识点解析:暂无解析19、举例说明多元函数连续不一定可偏导,可偏导不一定连续.标准答案:设f(χ,y)=,显然f(χ,y)在点(0,0)处连续,但不存在,所以f(χ,y)在点(0,0)处对χ不可偏导,由对称性,f(χ,y)在点(0,0)处对y也不可偏导.设f(χ,y)=因为所以f(χ,y)在点(0,0)处可偏导,且f′χ(0,0)=f′y(0,0)=0.因为所以(χ,y)不存在,而f(0,0)=0,故f(χ,y)在点(0,0)处不连续.知识点解析:暂无解析20、设f(χ,y)=讨论函数f(χ,y)在点(0,0)处的连续性与可偏导性.标准答案:因为,所以(χ,y)不存在,故函数f(χ,y)在点(0,0)处不连续.因为,所以函数f(χ,y)在点(0,0)处对χ,y都可偏导.知识点解析:暂无解析21、讨论f(χ,y)=在点(0,0)处的连续性、可偏导性及可微性.标准答案:因为0≤,且=0,所以(χ,y)=0=f(0,0),即函数f(χ,y)在点(0,0)处连续.因为=0,所以f′χ=(0,0)=0,根据对称性得y′y(0,0)=0,即函数f(χ,y)在(0,0)处可偏导.△z-f′χ(0,0)χ-f′y(0,0)y=f(χ,y)-f′χ(0,0)χ-f′y(0,0)y=,因为不存在,所以函数f(χ,y)在(0,0)不可微.知识点解析:暂无解析22、讨论f(χ,y)=在点(0,0)处的连续性、可偏导性及可微性.标准答案:因为f(χ,y)=0=f(0,0),所以f(χ,y)在点(0,0)处连续.因为=0,所以f′χ(0,0)=0,由对称性得f′y(0,0)=0,即函数f(χ,y)在点(0,0)处可偏导.△z-f′χ(0,0)χ-f′y(0,0)y=f(χ,y)-f′χ(0,0)χ-f′y(0,0)y=χysin,因为0≤,且=0,所以函数f(χ,y)在点(0,0)处可微.知识点解析:暂无解析23、设z=f(etsint,tant),求.标准答案:=et(sint+cost)f′1+f′2sec2t.知识点解析:暂无解析24、设z=sinχy,求.标准答案:知识点解析:暂无解析25、设z=f(t,et)dt,f有一阶连续的偏导数,求.标准答案:知识点解析:暂无解析26、设u=,求du.标准答案:知识点解析:暂无解析27、设函数z=z(χ,y)由方程χ2+y2+z2=χyf(z2)所确定,其中厂是可微函数,计算并化成最简形式.标准答案:χ2+y2+z2=χyf(z2)两边对χ求偏导得2χ+2z=yf(z2)+2χyzf′(z2),解得χ2+y2+z2=χyf(z2)两边对y求偏导得2y+2z=χf(z2)+2χyzf′(z2),知识点解析:暂无解析28、设f(t)二阶可导,g(u,v)二阶连续可偏导,且z=f(2χ-y)+g(χ,χy),求.标准答案:=2f′(2χ-y)+g′1(χ,χy)+yg′2(χ,χy),=-2f〞(2χ-y)+χg〞12(χ,χy)+g′2(χ,χy)+χyg〞22(χ,χy).知识点解析:暂无解析29、设z=f(eχsiny,χ2+y2),且f(u,v)二阶连续可偏导,求.标准答案:=f′1eχsiny+2χf′2,=f′eχcosy+eχsiny(f〞11eχcosy+2yf〞12)+2χ(f〞21eχcosy+2yf〞22)=f′1eχcosy+f〞11e2χsin2y+2eχ(ysiny+χcosy)f〞12+4χyf〞22.知识点解析:暂无解析30、设z=f(χ2+y2,χy,z),其中f(u,v,w)二阶连续可偏导,求.标准答案:=2χf′1+yf′2+f′3,=2χ(2yf〞11+χf〞12)+f′2+y(2yf〞21+χf〞22)+2yf〞31+χf〞32=4χyf〞11+2(χ+y)f〞12+f′2+χyf〞22+2yf〞31+χf〞32知识点解析:暂无解析31、设z=z(χ,y)由z-yz+yez-χ-y=0确定,求及dz.标准答案:方程χ-yz+yez-χ=0两边对χ求偏导得方程χ-yz+yez-χ-y=0两边对y求偏导得知识点解析:暂无解析32、设z=f(χ-y+g(χ-y-z)),其中f,g可微,求.标准答案:等式z=f(χ-y+g(χ-y-z))两边对χ求偏导得等式z=f(χ-y+g(χ-y-z))两边对y求偏导得知识点解析:暂无解析33、设u=f(z),其中z是由z=y+χφ(χ)确定的χ,y的函数,其中f(z)与φ(z)为可微函数.证明:标准答案:,z=y+χφ(z)两边对χ求偏导得z=y+φ(z)两边对y求偏导得知识点解析:暂无解析34、设χy=χf(χ)+yg(z),且χf′(z)+yg′(z)≠0,其中z=z(χ,y)是z,y的函数.证明:[z-g(z)]=[y-f(z)].标准答案:χy=χf(z)+yg(z)两边分别对χ,y求偏导,得知识点解析:暂无解析35、设z=f(χ,y)由方程z-y-χ+χz-y-χ=0确定,求dz.标准答案:对z-y-χ+χz-y-χ=0两边求微分,得dz-dy-dχ+ez-y-χdχ+χez-y-χ(dz-dy-dχ)=0.解得dz=+dy.知识点解析:暂无解析考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷第7套一、选择题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)1、已知f’x(x0,y0)存在,则=()A、f’x(x0,y0)。B、0。C、2f’x(x0,y0)。D、f’x(x0,y0)。标准答案:C知识点解析:由题意=f’x(x0,y0)+f’x(x0,y0)=2f’x(x0,y0),故选C。2、二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是()A、[f(x,y)一f(0,0)]=0。B、,且。C、。D、[f’x(x,0)一f’x(0,0)]=0,且f’y[f’y(0,y)一f’y(0,0)]=0。标准答案:C知识点解析:按可微性定义,f(x,y)在(0,0)处可微其中A,B是与x,y无关的常数。题中的C项即A=B=0的情形。故选C。3、设函数f(x,y)可微,且对任意x,y都有则使不等式f(x1,y1)<f(x2,y2)成立的一个充分条件是()A、x1>x2,y1<y2。B、x1>x2,y1>y2。C、x1<x2,y1<y2。D、x1<x2,y1>y2。标准答案:D知识点解析:由需对x和y分开考虑,则已知的两个不等式分别表示函数f(x,y)关于变量x是单调递增的,关于变

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