考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷2（共233题）

考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷2（共8套）（共233题）考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、下列函数在(0，0)处不连续的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：注意≤1．在A，B中分别有=>=0=f(0，0)，f(x，y)在(0，0)连续．在D中，有界=>=>f(x，y)在(0，0)连续．因此选C．2、设z=f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处A、偏导数存在且连续．B、偏导数不存在，但连续．C、偏导数存在，可微．D、偏导数存在，但不可微．标准答案：C知识点解析：由偏导数定义可知这说明f’x(0，0)存在且为0，同理f’y(0，0)存在且为0．所以f(x，y)在点(0，0)处可微分．故选C．3、在下列二元函数中，f"xy(0，0)≠f"yx(0，0)的二元函数是A、f(x，y)=x4+2x2y2+y10．B、f(x，y)=ln(1+x2+y2)+cosxy．C、f(x，y)=D、f(x，y)=标准答案：C知识点解析：对于A，B：f(x，y)均是二元初等函数，均连续，所以．因而C，D中必有一个是f"xy(0，0)=f"yx(0，0)，而另一个是f"xy(0，0)≠f’yx(0，0)．现考察C．当(x，y)≠(0，0)时，因此，f"xy(0，0)≠f"yx(0，0)．选C．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)4、设z=f(t，et)dt，其中f是二元连续函数，则dz=________．标准答案：知识点解析：dz=5、设z=yf(x2－y2)，其中f(u)可微，则=________．标准答案：知识点解析：6、设x=x(y，z)，y=y(z，x)，z=z(x，y)都是方程F(x，y，z)=0所确定的隐函数，并且F(x，y，z)满足隐函数存在定理的条件，则=________．标准答案：－1知识点解析：由隐函数求导法知(如，由F(x，y，z)=0确定x=x(y，z)，将方程对y求偏导数得其余类似)．将这三式相乘得=－1．三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)7、求下列极限：标准答案：(Ⅱ)由x4+y2≥2x2｜y｜=>而=0，因此原极限为0．知识点解析：暂无解析8、(Ⅰ)设f(x，y)=x2+(Ⅱ)设f(x，y)=标准答案：(Ⅰ)因f(x，1)=x2，故=4．又因f(2，y)=4+，故(Ⅱ)按定义类似可求=0(或由x，y的对称性得)．知识点解析：暂无解析9、求下列函数在指定点处的二阶偏导数：标准答案：(Ⅰ)按定义(Ⅱ)知识点解析：暂无解析10、设z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数z=f[φ(x，y)，ψ(x，y)]的一阶与二阶偏导数．标准答案：已求得第一步，先对的表达式用求导的四则运算法则得(*)第二步，再求．这里f(u，v)对中间变量u，v的导数仍然是u，v的函数，而u，v还是x，y的函数，它们的复合仍是x，y的函数，因而还要用复合函数求导法求．即第三步，将它们代入(*)式得(**)用类似方法可求得知识点解析：暂无解析11、设u=u(x，y)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ下有标准答案：利用复合函数求导公式，有再对用复合函数求导法及(*)式可得知识点解析：暂无解析12、设z(x，y)=x3+y3－3xy(Ⅰ)－∞＜x＜+∞，－∞＜y＜+∞，求z(x，y)的驻点与极值点．(Ⅱ)D={(x，y)｜0≤x≤2，－2≤y≤2}，求证：D内的唯一极值点不是z(x，y)在D上的最值点．标准答案：(Ⅰ)解方程组得全部驻点(0，0)与(1，1)．再求考察(0，0)处，AC－B2＜0=>(0，0)不是极值点．(1，1)处，AC－B2＞0，A＞0=>(1，1)是极小值点．因此z(x，y)的驻点是(0，0)，(1，1)，极值点是(1，1)且是极小值点．(Ⅱ)D内唯一极值点(1，1)是极小值点，z(1，1)=－1．D的边界点(0，－2)处．z(0，－2)=(－2)3=－8＜z(1，1)因z(x，y)在有界闭区域D上连续，必存在最小值，又z(0，－2)＜z(1，1)，(0，－2)∈D=>z(1，1)不是z(x，y)在D的最小值．知识点解析：暂无解析13、已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1(C＞0，AC－B2＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．标准答案：椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为d2=x2+y2，条件为Ax2+2Bxy+Cy2－1=0．令F(x，y，λ)=x2+y2－λ(Ax2+2Bxy+Cy2－1)，解方程组将①式乘x，②式乘y，然后两式相加得[(1－Aλ)x2－Bλxy]+[－Bλxy+(1－Cλ)y2]=0，即x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ，于是可得d=．从直观知道，函数d2的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F’x=0，F’y=0有非零解，其系数行列式应为零，即该方程一定有两个根λ1，λ2，它们分别对应d2的最大值与最小值．因此，椭圆的面积为知识点解析：暂无解析14、设f(x，y)=(Ⅰ)求；(Ⅱ)讨论f(x，y)在点(0，0)处的可微性，若可微并求df｜(0，0)．标准答案：(Ⅰ)当(x，y)≠(0，0)时，当(x，y)=(0，0)时，因f(x，0)=0(x)，于是=0．由对称性得当(x，y)≠(0，0)时=0．(Ⅱ)考察在点(0，0)处的连续性．注意即在点(0，0)处均连续，因此f(x，y)在点(0，0)处可微．于是知识点解析：暂无解析15、设z=f(xy)+yφ(x+y)，且f，φ具有二阶连续偏导数，求标准答案：先求．由于f(xy)是一元函数f(u)与二元函数u=xy的复合，u是中间变量，φ(x+y)是一元函数φ(v)与二元函数v=x+y的复合，v是中间变量．由题设知方便，由复合函数求导法则得知识点解析：暂无解析16、设z=z(x，y)是由方程xy+x+y－z=ez所确定的二元函数，求dz，标准答案：将方程两边求全微分后求出dz，由dz可求得．再将分别对x，y求导求得．将方程两边同时求全微分，由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得ydx+xdy+dx+dy－dz=ezdz．解出从而知识点解析：暂无解析17、设标准答案：将方程组对x求偏导数得解得将方程组对y求偏导数同样可得知识点解析：暂无解析18、在半径为R的圆的一切内接三角形中，求出其面积最大者．标准答案：用x，y，z表示三角形各边所对的中心角，则三角形的面积S可用x，y，z，R表示为其中z=2π－x－y，将其代入得s=R2[sinx+siny－sin(x+y)]，定义域是D={(x，y)｜x≥0，y≥0，x+y≤2π}．现求S(x，y)的驻点：解，得唯一驻点：(x，y)=在D内部，又在D的边界上即x=0或y=0或x+y=2π时S(x，y)=0．因此，S在取最大值．因z=y=，因此内接等边三角形面积最大．知识点解析：暂无解析19、设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=满足方程=4(x2+y2)，求f(u)．标准答案：令u=，则有由题设条件，得u2f"(u)+uf’(u)－1=0．这是可降阶的二阶方程，令P=f’(u)，则方程化为+uP=1．解此一阶线性方程．将上述方程改写成其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析20、设标准答案：知识点解析：暂无解析21、设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足=0，又满足下列条件：u(x，2x)=x，u’x(x，2x)=x2(即u’x(x，y)｜y=2x=x2)，求u"xx(x，2x)，u"xy(x，2x)，u"yy(x，2x)．标准答案：将u(x，2x)=x两边对x求导，由复合函数求导法及u’x(x，2x)=x2得u’x(x，2x)+2u’y(x，2x)=1，u’y(x，2x)=(1－x2)．现将u’x(x，2x)=x2，u’y(x，2x)=(1－x2)分别对x求导得u"xx(x，2x)+2u"xy(x，2x)=2x，①u"yx(x，2x)+2u"yy(x，2x)=－x．②①式×2－②式，利用条件u"xx(x，2x)－u"yy(x，2x)=0及u"xy(x，2x)=u"yx(x，2x)得3u"xy(x，2x)=5x，u"xy(x，2x)=．代入①式得u"xx(x，2x)=u"yy(x，2x)=知识点解析：暂无解析22、已知函数f(x，y，z)=x3y2z及方程x+y+z－3+e－3=e－(x+y+z)，(*)(Ⅰ)如果x=x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足x(1，1)=1，又u=f(x(y，z)，y，z)，求；(Ⅱ)如果z=z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足z(1，1)=1，又w=f(x，y，z(x，y))，求标准答案：(Ⅰ)依题意，为f[x(y，z)，y，z]对y的偏导数，故有①因为题设方程(*)确定x为y，z的隐函数，所以在(*)两边对y求导数时应将z看成常量，从而有由此可得=－1．代入①式，得(Ⅱ)同(Ⅰ)一样，求得在题设方程(*)中将x看成常量，对y求导，可得=－1，故有知识点解析：暂无解析23、设y=f(x，t)，且方程F(x，y，t)=0确定了函数t=t(x，y)，求．标准答案：由y=f(x，t(x，y))两端对x求导得①而t=t(x，y)由F(x，y，t)=0所确定，则将的表达式代入①式即得知识点解析：暂无解析24、作自变量与因变量变换：u=x+y，v=x－y．w=xy－z．变换方程为w关于u，v的偏微分方程，其中z对x，y有连续的二阶偏导数．标准答案：由于z=xy－w，则知识点解析：暂无解析25、设z=f(x，y)满足≠0，由z=f(x，y)可解出y=y(z，x)．求：(Ⅰ)；(Ⅱ)y=y(z，x)．标准答案：(Ⅰ)以z，x为自变量，y为因变量y=y(z，x)，它满足z=f(x，y(z，x))．将z=f(x，y)对x求偏导数，得0=再对x求偏导数，得将代入上式，得利用条件得(Ⅱ)因y=y(z，x)，知识点解析：暂无解析26、求z=2x+y在区域D：x2+≤1上的最大值与最小值．标准答案：令F(x，y，λ)=2x+y+λ(x2+－1)，解方程组由①，②得y=2x，代入③得相应地因为z在D存在最大、最小值=>z在D的最大值为，最小值为．知识点解析：暂无解析27、设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数g(y)连续可导，且g(y)在y=1处取得极值g(1)=2．求复合函数z=f(xg(y)，x+y)的二阶混合偏导数在点(1，1)处的值．标准答案：计算可得f"12(xg(y)，x+y)]+f"21(xg(y)，x+y).xg‘(y)+f"22(xg(y)，x+y)．将x=1与y=1代入并利用g(1)=2，g’(1)=0即得=g’(1)f’1(2，2)+g(1)[f"11(2，2)g’(1)+f"12(2，2)]+f"21(2，2)g’(1)+f"22(2，2)=2f"12(2，2)+f"22(2，2)．知识点解析：暂无解析28、建一容积为V0的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积．标准答案：设长、宽、高各为x，y，z，则表面积为S=xy+2(xz+yz)，容积V0=xyz．问题是求三元函数S在条件xyz－V0=0下的最小值点．化为无条件最值问题．由条件解出z=，代入S表达式得因该实际问题存在最小值，所以当长、宽、高分别为时无盖长方体水池的表面积最小．知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，△x是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处()A、△z=dz。B、△z=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y。C、△z=f’x(x0，y0)dx+f’y(x0，y0)dy。D、△z=dz+o(ρ)。标准答案：D知识点解析：由于z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则△z=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y+o(ρ)=dz+o(ρ)，故选D。2、设函数z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F’2≠0，则=()A、x。B、z。C、一x。D、一z。标准答案：B知识点解析：对已知的等式两边求全微分可得所以整理可得因此故选B。3、设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f’(0)=g’(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是()。A、f’’(0)＜0，g’’(0)＞0。B、f’’(0)＜0，g’’(0)＜0。C、f’’(0)＞0，g’’(0)＞0。D、f’’(0)＞0，g’’(0)＜0。标准答案：A知识点解析：由z=f(x)g(y)，得而且f(0)＞0，g(0)＜0。当f’’(0)＜0，g’’(0)＞0时，B2一AC＜0，且A＞0，此时z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值。故选A。4、设平面D由x+y=，x+y=1及两条坐标轴围成，，则()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I1＜I3＜I2。D、I3＜I2＜I1。标准答案：C知识点解析：显然在D上≤x+y≤l，则ln(x+y)3≤0，0＜sin(x+y)3＜(x+y)3，从而有故选C。5、设函数f(x，y)连续，则二次积分=()A、∫01dy∫π+arcsinyπf(x，y)dx。B、∫01dy∫π—arcsinyπf(x，y)dx。C、。D、。标准答案：B知识点解析：由题设可知，≤x≤π，sinx≤y≤1，可转化为0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π。故选B。6、设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F’(2)=()A、2f(2)。B、f(2)。C、一f(2)。D、0。标准答案：B知识点解析：交换累次积分的积分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1t(x—1)f(x)dx。于是F’(t)=(t一1)f(t)，从而F’(2)=f(2)。故选B。7、设函数f(t)连续，则二重积分=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为曲线r=2在直角坐标系中的方程为x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐标系中的方程为x2+y2=2x，即(x一1)2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得原式=∫02dxf(x2+y2)dy。故选B。8、设区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)为D上的正值连续函数，a，b为常数，则=()A、abπ。B、。C、(a+b)π。D、。标准答案：D知识点解析：由根据轮换对称性可得故选D。二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)9、设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1，0)=______。标准答案：2edx+(e+2)dy知识点解析：由已知因此dz｜(1，0)=2edx+(e+2)dy。10、设z=(x+ey)x，则=______。标准答案：21n2+1知识点解析：由z=(x+ey)x，故z(x，0)=(x+1)x，则将x=1代入得11、设函数z=z(x，y)由方程(z+y)2=xy确定，则=______。标准答案：2—2ln2知识点解析：把点(1，2)代入(z+y)x=xy，得到z(1，2)=0。在(z+y)x=xy两边同时对x求偏导数，有将x=1，y=2，z(1，2)=0代入上式得12、设z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g，φ具有二阶连续导数，则=______。标准答案：g’(x+y)+xg’’(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ’’(xy)知识点解析：由题干可知13、积分∫02dx∫x2e—y2dy=______。标准答案：(1一e—4)知识点解析：积分区域如图所示，则∫02dx∫x2e—y2dy=∫02dy∫0ye—y2dx=∫02ye—y2dy14、将∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化为极坐标下的二次积分为______。标准答案：知识点解析：如图所示，则有∫0—1dy∫0yf(x2+y2)=15、设f(x，y)连续，且f(x，y)=，其中D是由，x=1，y=2所围成的区域，则f(x，y)=______。标准答案：知识点解析：首先令，则A为常数，此时f(x，y)=x+Ay。即，得，因此可得。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)16、设u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx，其中f，φ都具有一阶连续偏导数，且，求标准答案：在等式u=f(x，y，z)的两端同时对x求导数，得到如下等式而，再在等式φ(x2，ey，z)=0的两端同时对x求导数，得到解得因此，可得知识点解析：暂无解析17、设其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求标准答案：根据复合函数的求导公式，有于是知识点解析：暂无解析18、计算积分标准答案：设二重积分区域为D，D1是D的第一象限部分，由对称性，得知识点解析：暂无解析19、设区域D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分标准答案：积分区域D如图所示。因为区域D关于x轴对称，函数是变量y的偶函数，函数是变量y的奇函数。取D1=D∩{y≥0}，则有因此知识点解析：暂无解析20、计算二重积分(x2+y2)dσ，其中D是由直线x=2，y=2，x+y=1，x+y=3以及x轴与y轴所围成的平面区域。标准答案：由题设知，积分区域是如图所示的六边形区域，且D=D1+D2，其中D1={(x，y)｜0≤x≤1，1一x≤y≤2}，D2={(x，y)｜1≤x≤2，0≤y≤3一x}。于是=∫01dx∫1—x2(x2+y2)dy+∫12dx∫03—x(x2+y2)dy知识点解析：暂无解析求下列积分。21、设f(x)=∫1xe—y2，求∫01x2f(x)dx；标准答案：知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)在[0，1]连续且∫12f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。标准答案：令Ф(x)=∫1xf(y)dy，则Ф’(x)=一f(x)，于是∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01[∫x1f(y)dy]f(x)dx=一∫01Ф(x)dФ(x)=。知识点解析：暂无解析23、已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分标准答案：将二重积分xyf’’xy(x，y)dxdy转化为累次积分可得xyf’’xy(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyf’’xy(x，y)dx首先考虑∫01xyf’’xy(x，y)dx，注意这里把变量y看作常数，故有∫01xyf’’xy(x，y)dx=y∫01xdf’y(x，y)=xyf’y(x，y)｜01一∫01yf’y(x，y)dx=yf’y(1，y)一∫01yf’y(x，y)dx。由f(1，y)=f(x，1)=0易知，f’y(1，y)=f’x(x，1)=0。所以∫01xyf’’y(x，y)dx=—∫01yf’y(x，y)dx。因此=∫01dy∫01xyf’’y(x，y)dx=—∫01dy∫01yf’y(x，y)dx，对该积分交换积分次序可得—∫01dy∫01yf’y(x，y)dx=—∫01dx∫01yf’y(x，y)dy。再考虑积分∫01yf’y(x，y)dy，注意这里把变量x看作常数，故有∫01yf’y(x，y)dy=∫01ydf(x，y)=yf(x，y)｜01一∫01f(x，y)dy=一∫01f(x，y)dy，因此=—∫01dx∫01yf’y(x，y)dy=—∫01dx∫01f(x，y)dy=。知识点解析：暂无解析24、设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。标准答案：交换积分次序可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01dy∫0yf(x)f(y)dx=∫01dx∫0xf(y)f(x)dy，因此，可得知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(χ，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足＝3，则f(χ，y)在(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否取极值标准答案：A知识点解析：因为＝－3，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，＜0．因为当0＜＜δ时，｜χ｜＋y2＞0，所以当0＜＜δ时，有f(χ，y)＜f(0，0)，即f(χ，y)在(0，0)处取极大值，选A．2、设u＝f(χ＋y，χz)有二阶连续的偏导数，则＝()．A、f′2＋χf〞11＋(χ＋z)f〞12＋χzf〞22B、χf〞12＋χzf〞22C、f′2＋χf〞12＋χzf〞22D、χzf〞22标准答案：C知识点解析：＝f′1＋zf′2，＝χf〞12＋f′2＋χzf〞22，选C．3、函数z＝f(χ，y)在点(χ0，y0)可偏导是函数z＝f(χ，y)在点(χ0，y0)连续的()．A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案：D知识点解析：如f(χ，y)＝在点(0，0)处可偏导，但不连续；又如f(χ，y)＝在(0，0)处连续，但对χ不可偏导．4、设可微函数f(χ，y)在点(χ0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是()．A、f(χ0，y)在y＝y0处导数为零B、f(χ0，y)在y＝y0处导数大于零C、f(χ0，y)在y＝y0处导数小于零D、f(χ0，y)在y＝y0处导数不存在标准答案：A知识点解析：可微函数f(χ，y)在点(χ0，y0)处取得极小值，则有f′χ(χ0，y0)＝0，f′y(χ0，y0)＝0，于是f(χ0，y)在y＝y0处导数为零，选A．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)5、设z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)且f一阶连续可偏导，则＝_______．标准答案：知识点解析：z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)两边对χ求偏导得6、设y＝y(χ，z)是由方程eχ＋y＋z＝χ2＋y2＋z2确定的隐函数，则＝_______．标准答案：知识点解析：eχ＋y＋z＝χ2＋y2＋z2两边对z求偏导得，从而7、设z＝f(χ，y)是由e2yχ＋χ＋y2＋z＝确定的函数，则＝_______．标准答案：知识点解析：将代入e2yz＋χ＋y2＋z＝中得z＝0，e2yz＋χ＋y2＋z＝两边求微分得2e2yz(zdy＋ydz)＋dχ＋2ydy＋dz＝0，将χ＝，y＝，z＝0代入得8、设y＝y(χ)由χ－＝0确定，则＝_______．标准答案：e－1知识点解析：当χ＝0时，y＝1，χ－＝0两边对χ求导，得1－＝0，将χ＝0，y＝1代入得＝e—1．9、设z＝z(χ，y)由z＋ez＝χy2确定，则dz＝_______．标准答案：知识点解析：z＋ez＝χy2两边求微分得d(z＋e2)＝d(χy2)，即dz＋ezdz＝y2dχ＋2χydy，解得dz＝10、设z＝f(χ＋y，y＋z，z＋χ)，其中f连续可偏导，则＝_______．标准答案：知识点解析：z＝f(χ＋y，y＋z，z＋χ)两边求χ求偏导得，解得11、设z＝χy＋χf()，其中f可导，则＝_______．标准答案：z＋χy知识点解析：12、由方程χyz＋确定的隐函数z＝z(χ，y)在点(1，0，－1)处的微分为dz＝_______．标准答案：dχ－dy知识点解析：两边求微分得yzdχ＋χzdy＋χydz＋(χdχ＋ydy＋zdz)＝0，把(1，0，－1)代入上式得dz＝dχ－dy．13、设f(χ，y，z)＝e2yz2，其中z＝z(z，y)是由χ＋y＋z＋χyz＝0确定的隐函数，则f′χ(0，1，－1)＝_______．标准答案：1知识点解析：f′χ(χ，y，z)＝，χ＋y＋z＋χyz＝0两边对χ求偏导得1＋＝0，将χ＝0，y＝1，z＝－1代入得解得f′χ(0，1，－1)＝1．14、设f(χ，y)可微，且f′1(－1，3)＝－2，f′2(－1，3)＝1，令z＝f(2χ－y，)，则dz｜(1,3)＝_______．标准答案：－7dχ＋3dy知识点解析：则＝2f′1(－1，3)－3f′2(－1，3)＝－7，＝－f′1(－1，3)＋f′2(－1，3)＝3，则dz｜(1，3)＝－7dχ＋3dy．三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)15、设u＝f(χ，y，z)有连续的偏导数，y＝y(χ)，z＝z(χ)分别由方程eχy－y＝0与ez－χz＝0确定，求．标准答案：，方程eχy－y＝0求导得方程ez－χz＝0两边对χ求导得知识点解析：暂无解析16、设y＝y(χ)，z＝z(χ)是由方程z＝χf(χ＋y)和F(χ，y，z)＝0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求．标准答案：z＝χf(χ＋y)及F(χ，y，z)＝0两边对χ求导数，得知识点解析：暂无解析17、设y＝f(χ，y)，其中t是由G(χ，y，t)＝0确定的χ，y的函数，且f(χ，t)，G(χ，y，t)一阶连续可偏导，求．标准答案：将y＝f(χ，t)与G(χ，y，t)＝0两边对χ求导得知识点解析：暂无解析18、设z＝z(χ，y)由方程z＋lnz－dt＝1确定，求．标准答案：当χ＝0，y＝0时，z＝1．z＋lnz－＝1两边分别对χ和y求偏导得两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析19、设＝0且F可微，证明：＝z－χy．标准答案：＝0两边对χ求偏导得两边对Y求偏导得知识点解析：暂无解析20、设变换可把方程＝0简化为＝0，求常数a．标准答案：将u，v作为中间变量，则函数关系为z＝f(u，v)，则有将上述式子代入方程＝0得根据题意得解得a＝3．知识点解析：暂无解析21、设z＝f[χ＋φ(χ－y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求．标准答案：z＝f[χ＋φ(χ－y)，y]两边关于y求偏导得＝－f′1φ′＋f′2＝－(－f〞11φ′＋f〞12)φ′＋f′1φ〞－f〞21φ′＋f〞22＝f〞11(φ′)－2f〞12φ′＋f′1φ〞＋f〞22知识点解析：暂无解析22、设f(χ＋y，χ－y)＝χ2－y2＋，求f(u，v)，并求．标准答案：令从而f(u，v)＝uv＋于是知识点解析：暂无解析23、设z＝f(χ，y)由f(χ＋y，χ－y)＝χ2－y2－χy确定，求dz．标准答案：令代入得f(u，v)＝从而z＝f(χ，y)＝χy－，知识点解析：暂无解析24、求二元函数f(χ，y)＝χ2(2＋y2)＋ylny的极值．标准答案：二元函数f(χ，y)的定义域为D＝{(χ，y)｜y＞0}，因为AC－B2＞0且A＞0，所以为f(χ，y)的极小点，极小值为．知识点解析：暂无解析25、求函数f(χ，y)＝(χ2＋2χ＋y)ey的极值．标准答案：由AC－B2＝2＞0及A＝2＞0得(χ，y)＝(－1，0)为f(χ，y)的极小值点，极小值为f(－1，0)＝－1．知识点解析：暂无解析26、求u＝χ2＋y2＋z2在＝1上的最小值．标准答案：令F＝χ2＋y2＋z2＋λ(－1)，u＝χ2＋y2＋z2在＝1上的最小值为知识点解析：暂无解析27、平面曲线L：绕z轴旋转所得曲面为S，求曲面S的内接长方体的最大体积．标准答案：曲线绕χ轴旋转一周所得的曲面为S：＝1．根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(χ，y，z)，则体积为V＝8χyz．令F＝χyz＋λ(－1)，由由实际问题的特性及点的唯一性，当时，内接长方体体积最大，最大体积为V＝ab2．知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处A、连续，偏导数存在．B、连续，偏导数不存在．C、不连续，偏导数存在．D、不连续，偏导数不存在．标准答案：C知识点解析：这是讨论f(x，y)在点(0，0)处是否连续，是否可偏导．先讨论f(x，y)在点(0，0)处是否可偏导．由于f(x，0)=0(x∈(－∞，+∞))，则．因此B，D被排除．再考察f(x，y)在点(0，0)处的连续性．令y=x3，则≠f(0，0)，因此f(x，y)在点(0，0)处不连续．故应选C．2、设z=f(x，y)=，则f(x，y)在点(0，0)处A、可微．B、偏导数存在，但不可微．C、连续，但偏导数不存在．D、偏导数存在，但不连续．标准答案：B知识点解析：设△z=f(x，y)－f(0，0)，则可知．这表明f(x，y)=在点(0，0)处连续．因f(x，0)=0(x)，所以f’x(0，0)=f(x，0)｜x=0=0，同理f’y(0，0)=0．令α=△z－f’x(0，0)△x－f’y(0，0)△y=，当(△x，△y)沿y=x趋于点(0，0)时即α不是ρ的高阶无穷小，因此f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选B．3、设f(x，y)=｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处连续且φ(0，0)=0，则f(x，y)在点(0，0)处A、连续，但偏导数不存在．B、不连续，但偏导数存在．C、可微．D、不可微．标准答案：C知识点解析：逐项分析：(Ⅰ)｜x－y｜在(0，0)连续，φ(x，y)在点(0，0)处连续=>f(x，y)在点(0，0)处连续．(Ⅱ)．f’x(0，0)=0，同理f’y(0，0)=0．(Ⅲ)考察f(△x，△y)－=｜△x－△y｜φ(△x，△y)．=>f(x，y)在点(0，0)处可微．选C．4、设u(x，y)在M0取极大值，并，则A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：偏导数实质是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值．由一元函数的极大值的必要条件可得相应结论．令f(x)=u(x，y0)=>x=x0是f(x)的极大值点=>(若＞0，则x=x0是f(x)的极小值点，于是得矛盾)．同理，令g(y)=u(x0，y)=>y=y0是g(y)的极大值点=>二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)5、设z=z(x，y)满足方程2z－ez+2xy=3且z(1，2)=0，则dz｜(1，2)=________．标准答案：－4dx－2dy知识点解析：将方程分别对x，y求偏导数，得令x=1，y=2，z=0得6、设f(x，y)有连续偏导数，满足f(1，2)=1，f’x(1，2)=2，f’y(1，2)=3，Ф(x)=f(x，2f(x，2f(x，2x)))，则Ф’(1)=________．标准答案：302知识点解析：Ф(x)=f(x，u(x))，u(x)=2f(x，v(x))，v(x)=2f(x，2x)，v(1)=2f(1，2)=2，u(1)=2f(1，v(1))=2f(1，2)=2，Ф’(1)=f’1(1，2)+f’2(1，2)u’(1)=2+3u’(1)，u’(1)=2[f’1(1，2)+f’2(1，2)v’(1)]=2[2+3v’(1)]，v’(1)=2[f’1(1，2)+2f’2(1，2)]=2(2+2.3)=16．往回代=>u’(1)=2(2+3.16)=100，Ф’(1)=2+3×100=302．三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)7、证明极限不存在．标准答案：(x，y)沿不同的直线y=kx趋于(0，0)，有再令(x，y)沿抛物线y2=x趋于(0，0)，有由二者不相等可知极限不存在．知识点解析：暂无解析8、设z=f(u，v，x)，u=φ(x，y)，v=ψ(y)都是可微函数，求复合函数z=f(φ(x，y)，ψ(y)，x)的偏导数标准答案：由复合函数求导法可得知识点解析：暂无解析9、设u=f(x，y，z，t)关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组①确定z，t为y的函数，求标准答案：注意z=z(y)，t=t(y)，于是②因此，我们还要求，将方程组①两边对y求导得记系数行列式为W=(y－t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，则知识点解析：暂无解析10、设z=f(x，y)在区域D有连续偏导数，D内任意两点的连线均属于D．求证：对A(x0，y0)，B(x0+△x，y0+△y)∈D，θ∈(0，1)，使得标准答案：连接A，B两点的线段属于D：上f(x，y)变成t的一元函数Ф(t)=f(x0+t△x，y0+t△y)，Ф(t)在[0，1]可导，由复合函数求导法=>现在二元函数的增量看成一元函数Ф(t)的增量，由一元函数微分中值定理=>f(x0+△x，y0+△y)－f(x0，y0)=Ф(1)－Ф(0)=Ф’(θ)=知识点解析：暂无解析11、求函数z=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．标准答案：区域D如图7．1所示，它是有界闭区域．z(x，y)在D上连续，所以在D上一定有最大值与最小值，它或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到．为求D内驻点，先求=2xy(4－x－y)－x2y=xy(8－3x－2y)，=x2(4－x－y)－x2y=x2(4－x－2y)．再解方程组得z(x，y)在D内的唯一驻点(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4．在D的边界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6－x代入得z(x，y)=x2(6－x)(－2)=2(x3－6x2)，0≤x≤6．令h(x)=2(x3－6x2)，则h’(x)=6(x2－4x)，h’(4)=0，h(0)=0，h(4)=－64，h(6)=0，即z(x，y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0，最小值为－64．因此，知识点解析：暂无解析12、设z(x，y)满足求z(x，y)．标准答案：把y看作任意给定的常数，将等式①两边对x求枳分得z(x，y)=－xsiny－ln｜1－xy｜+φ(y)，其中φ(y)为待定函数．由②式得－siny－ln｜1－y｜+φ(y)=siny，故φ(y)=2siny+ln｜1－y｜．因此，z(x，y)=(2－x)siny+知识点解析：暂无解析13、设z=(x2+y2)，求dz与标准答案：由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得由dz的表达式得对y求导得知识点解析：暂无解析14、设u=标准答案：u=是u=f(s，t)与复合而成的x，y，z的三元函数．先求du(从而也就求得)或先求也就可求得du，然后再由．由一阶全微分形式的不变性及全微分的四则运算法则，得知识点解析：暂无解析15、设由方程φ(bz－cy，cx－az，ay－bx)=0(*)确定隐函数z=z(x，y)，其中φ对所有变量有连续偏导数，a，b，c为非零常数，且bφ’1－aφ’2≠0，求标准答案：将方程(*)看成关于x，y的恒等式，两边分别对x，y求偏导数得由①×a+②×b，可得知识点解析：暂无解析16、设z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足①(Ⅰ)作变量替换u=3x+y，v=x+y，以u，v作为新的自变量，变换上述方程；(Ⅱ)求满足上述方程的z(x，y)．标准答案：(Ⅰ)将z对x，y的偏导数转换为z对u，v的偏导数．由复合函数求导法得这里仍是u，v的函数，而u，v又是x，y的函数，因而将②，③，④代入原方程①得(Ⅱ)由题(Ⅰ)，在变量替换u=3x+y，v=x+y下，求解满足①的z=z(x，y)转化为求解满足⑤的z=z(u，v)．由⑤式=>=0，对v积分得=f(u)，其中f(u)为任意的有连续导数的函数．再对u积分得z=φ(u)+ψ(v)，其中φ，ψ为任意的有连续的二阶导数的函数．回到原变量得z=φ(3x+y)+ψ(x+y)．知识点解析：暂无解析17、在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2，x+y+z=1上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小?标准答案：用拉格朗日乘子法．令F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2－z)+μ(x+y+z－1)，由前三个方程得x=y，代入后两个方程得．记，可算得g(M1)=9－，g(M2)=9+．从实际问题看，函数g的条件最大与最小值均存在，所以g在点M1，M2分别达到最小值和最大值，因而函数f在点M1，M2分别达到最大值和最小值，即两个点电荷间的引力当单位负电荷在点M1处最大，在点M2处最小．知识点解析：暂无解析18、若函数f(x，y)对任意正实数t，满足f(tx，ty)=tnf(x，y)，(7．12)称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数<=>标准答案：设f(x，y)是n次齐次函数，按定义，得f(tx，ty)=tnf(x，y)(t＞0)为恒等式．将该式两端对t求导，得xf’1(tx，ty)+yf’2/sub>(tx，ty)=ntn－1f(x，y)(t＞0)，令t=1，则xf’x(x，y)+yf’y(x，y)=nf(x，y)．现设上式成立．考察φ(t)=，由复合函数求导法则，可得知识点解析：暂无解析19、设z=f(x，y)满足)=2x，f(x，1)=0，=sinx，求f(x，y)．标准答案：=2xy+φ(x)，φ(x)为x的任意函数<=>f(x，y)=xy2+φ(x)y+ψ(x)，ψ(x)也是x的任意函数．由=sinx，得[2xy+φ(x)]｜y=0=sinx，则φ(x)=sinx．由f(x，1)=0，得[xy2+φ(x)y+ψ(x)]｜y=1=x+sinx+ψ(x)=0，则ψ(x)=－x－sinx．因此，f(x，y)=xy2+ysinx－x－sinx．知识点解析：暂无解析20、设u=u(x，y)由方程u=φ(u)+∫xyp(t)dt确定，求，其中φ(u)≠1．标准答案：将方程对x求导=>对y求导得分别乘P(y)，P(x)后相加得由于φ’(u)≠1=>知识点解析：暂无解析21、设标准答案：u是u=f(s，t)与复合而成的x，y，z的三元函数．先求du．由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得知识点解析：暂无解析22、设z=f(x，y，u)，其中f具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程u5－5xy+5u=1确定．求标准答案：将方程u5－5xy+5u=1两端对x求导数，得5u4u’x－5y+5u’x=0，解得u’x=，故在上式对x求导数时，应注意其中的f’1，f’2仍是x，y，u的函数，而u又是x，y的函数，于是知识点解析：暂无解析23、若可微函数z=f(x，y)在极坐标系下只是θ的函数，证明：=0(r≠0)．标准答案：由z=f(rcosθ，rsinθ)与r无关=>=0．知识点解析：暂无解析24、设u=u(x，y)，v=v(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u，v)=0，其中F有连续的偏导数且标准答案：将方程F(u，v)=0分别对x，y求偏导数，南复合函数求导法得按题设，这个齐次方程有非零解，其系数行列式必为零，即知识点解析：暂无解析25、设f(x，y)=2(y－x2)2－x7－y2，(Ⅰ)求f(x，y)的驻点；(Ⅱ)求f(x，y)的全部极值点，并指明是极大值点还是极小值点．标准答案：(Ⅰ)解即驻点为(0，0)与(－2，8)．(Ⅱ)在(－2，8)处，，AC－B2＞0，A＞0=>(－2，8)为极小值点．在(0，0)处，，AC－B2=0，该方法失效．但令x=0=>f(0，y)=y2，这说明原点邻域中y轴上的函数值比原点函数值大，又令y=x2，f(x，x2)=，这说明原点邻域中抛物线y=x2上的函数值比原点函数值小，所以(0，0)不是极值点．知识点解析：暂无解析26、设函数z=(1+ey)cosx－yey，证明：函数z有无穷多个极大值点，而无极小值点．标准答案：(Ⅰ)先计算(Ⅱ)求出所有的驻点．由解得(x，y)=(2nπ，0)或(x，y)=((2n+1)π，－2)，其中n=0，±1，±2，…(Ⅲ)判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点．在(2nπ，0)处，由于=(－2)×(－1)－0=2＞0，=－2＜0．则(2nπ，0)是极大值点．在((2n+1)π，－2)处，由于则((2n+1)π，－2)不是极值点．因此函数z有无穷多极大值点(2nπ，0)(n=0，±1，±2，…)，而无极小值点．知识点解析：暂无解析27、设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f’y(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是：f(a，b)=0，f’x(a，b)=0，且当r(a，b)＞0时，b=φ(a)是极大值；当r(a，b)＜0时，b=φ(a)是极小值．其中标准答案：y=φ(x)在x=a处取得极值的必要条件是φ’(a)=0．按隐函数求导法，φ’(x)满足f’x(x，φ(x))+f’y(x，φ(x))φ’(x)=0．(*)因b=φ(a)，则有f(a，b)=0，φ’(a)==0，于是f’x(a，b)=0．将(*)式两边对x求导得f"xx(x，φ(x))+f"xy(x，φ(x))φ’(x)+[f’y(x，φ(x))]φ’(x)+f’y(x，φ(x))φ"(x)=0，上式中令x=a，φ(a)=b，φ’(a)=0，得因此当＞0时，φ"(a)＜0，故b=φ(a)是极大值；当＜0时，φ"(a)＞0，故b=φ(a)是极小值．知识点解析：暂无解析28、已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．标准答案：设三角形的三边长为a，b，c，并设以AC边为旋转轴(见图8．1)，AC上的高为h，则旋转所成立体的体积为又设三角形的面积为S，于是有问题化成求y(a，b，c)在条件a+b+c－2p=0下的最大值点，等价于求V0(a，b，c)=(p－a)(p－b)(p－c)=ln(p－a)+ln(p－b)+ln(p－c)－lnb在条件a+b+c－2p=0下的最大值点．用拉格朗日乘子法．令F(a，b，c，λ)=V0(a，b，c)+λ(a+b+c－2p)，求解方程组比较①，③得a=c，再由④得6=2(p－a)．⑤比较①，②得b(p－b)=(p－a)p．⑥由⑤，⑥解出由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解．因而也是条件最大值点．所以当三角形的边长分别为时，绕边长为的边旋转时．所得立体体积最大．知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(χ，y)＝sin，则f(χ，y)在(0，0)处()．A、对χ可偏导，对y不可偏导B、对χ不可偏导，对y可偏导C、对χ可偏导，对y也可偏导D、对χ不可偏导，对y也不可偏导标准答案：B知识点解析：因为不存在，所以f(χ，y)在(0，0)处对χ不可偏导；因为＝0，所以f′t(0，0)＝0，即f(χ，y)在(0，0)处对y可偏导，应选B．2、设f′χ(χ0，y0)，f′y(χ0，y0)都存在，则()．A、f(χ，y)在(χ0，y0)处连续B、f(χ，y)存在C、f(χ，y)在(χ0，y0)处可微D、f(χ0，y0)存在标准答案：D知识点解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，A不对；函数f(χ，y)＝在(0，0)处可偏导，但(χ，y)不存在，B不对；f(χ，y)在(χ0，y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，C不对，应选D．事实上由f′χ(χ0，y0)＝存在得f(χ0，y0)＝f(χ0，y0)．3、设f(χ，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足＝－3，则函数f(χ，y)在点(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否有极值标准答案：A知识点解析：因为＝－3，根据极限保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，有＜0，而χ2＋1－χsiny＞0，所以当0＜＜δ时，有f(χ，y)－f(0，0)＜0，即f(χ，y)＜f(0，0)，所以f(χ，y)在点(0，0)处取极大值，选A．4、设f(χ，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足＝－3，则f(χ，y)在(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否取极值标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)5、设z＝(χ2＋y2)χy，则＝_______．标准答案：(χ2＋y2)χy.[yln(χ2＋y2)＋]知识点解析：6、设f二阶可导，且z＝f(χy)，则＝_______．标准答案：－f(χy)＋f′(χy)＋y2f〞(χy)知识点解析：7、设f二阶可偏导，z＝f(χy，χ＋y2)，则＝_______．标准答案：f′1＋χyf〞11＋(χ＋2y)f〞12＋2yf〞22知识点解析：＝yf′1＋f′2，＝f′1＋y(χf〞11＋2yf〞12)＋χf〞21＋2yf〞22＝f′1＋χyf〞11＋(χ＋2y)f〞12＋2yf〞22．8、设f(χ，y)连续，且f(χ，y)＝3χ＋4y＋6＋o(ρ)，其中ρ＝，则dz｜(1，0)＝_______．标准答案：3dχ＋4dy知识点解析：因为f(χ，y)连续，所以f(1，0)＝9，由f(χ，y)＝3χ＋4y＋6＋o(ρ)得△z＝f(χ，y)－f(1，0)＝3(χ－1)＋4y＋o()，由可微的定义得dz｜(1，0)＝3dχ＋4dy．9、设z＝f(χ，y)二阶连续可导，且＝χ＋1，f′χ(χ，0)＝2χ，f(0，y)＝sin2y，则f(χ，y)＝_______．标准答案：(＋χ)y＋χ2＋sin2y知识点解析：由＝χ＋1得＝(χ＋1)y＋φ(χ)，由f′χ(χ，0)＝2χ得φ(χ)＝2χ，即＝(χ＋1)y＋2χ，再由＝(χ＋1)y＋2χ得z＝(＋χ)y＋χ2＋h(y)，由f(0，y)＝sin2y得h(y)＝sin2y，故f(χ，y)＝(＋χ)y＋χ2＋sin2y．10、＝_______．标准答案：知识点解析：11、设z＝，则＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设z＝，则dz＝_______．标准答案：sin2χy(ydχ＋χdy)知识点解析：13、设z＝，则＝_______．标准答案：知识点解析：14、设z＝f(χ，y)＝χ2arctan－y2arctan，则＝_______．标准答案：知识点解析：15、设f(χ，y)满足＝2，f(χ，0)＝1，f′y(χ，0)＝χ，则f(χ，y)＝_______．标准答案：y2＋χy＋1知识点解析：由＝2得＝2y＋φ1(χ)，因为f′y(χ，0)＝χ，所以φ1(χ)＝χ，即＝2y＋χ，再由＝2y＋χ得f(χ，y)＝y2＋χy＋1．因为f(χ，0)＝1，所以φ2(χ)＝1，故f(χ，y)＝y2＋χy＋1．16、z＝f(χy)＋yg(χ2＋y2)，其中f，g二阶连续可导，则＝_______．标准答案：－f(χy)＋f′(χy)＋y2f〞(χy)＋2χg′(χ2＋y2)＋4χy2g(χ2＋y2)知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)17、设z＝yf(χ2－y2)，其中f可导，证明：标准答案：＝2χyf′(χ2－y2)，＝f(χ2－y2)－2y2f′(χ2－y2)，则．知识点解析：暂无解析18、设z＝，其中f，g二阶可导，证明：＝0．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设u＝f(χ＋y，χ2＋y2)，其中f二阶连续可偏导，求标准答案：＝f′1＋2χf′2，＝f′1＋2yf′2＝f〞11＋2χf〞12＋2f′2＋2χ(f〞21＋2χf〞22)＝f〞11＋4χf〞12＋4χf〞22＋2f′2，＝f〞11＋2yf〞12＋2f′2＋2y(f〞21＋2yf〞22)＝f〞11＋4yf〞12＋4yf〞22＋2f′2，则＝2f〞11＋4(χ＋y)f〞12＋4(χ＋y)f〞22＋4f′2．知识点解析：暂无解析20、设z＝f[χg(y)，χ－y]，其中f二阶连续可偏导，g二阶可导，求标准答案：＝g(y)f′1＋f′2，＝g′(y)f′1＋g(y)[χg′(y)f〞11－f〞12]＋χg′(y)f〞21－f〞22＝g′(y)f′1＋χg′(y)g(y)f〞11＋[χg′(y)－g(y)]f〞12－f〞22．知识点解析：暂无解析21、设z＝z(χ，y)由χyz＝χ＋y＋z确定，求标准答案：令F＝χyz－χ－y－z，知识点解析：暂无解析22、举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续．标准答案：设f(χ，y)＝，显然f(χ，y)在点(0，0)处连续．但不存在，所以f(χ，y)在点(0，0)处对χ不可偏导，由对称性，f(χ，y)在点(0，0)处对y也不可偏导．所以f(χ，t)在点(0，0)处可偏导，且f′χ(0，0)＝f′y(0．0)＝0．因为，所以(χ，y)不存在，而f(0，0)＝0，故f(χ，y)在点(0，O)处不连续．知识点解析：暂无解析23、设f(χ，y)＝讨论函数f(χ，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性．标准答案：因为所以(χ，y)不存在，故函数f(χ，y)在点(0，0)处不连续．因为＝0，所以函数f(χ，y)在点(0，0)处对χ，y都可偏导．知识点解析：暂无解析24、讨论f(χ，y)＝在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．标准答案：因为所以(χ，y)＝0＝f(0，0)，即函数f(χ，y)在点(0，0)处连续．因为＝0，所以f′χ(0，0)＝0，根据对称性得f′y(0，0)＝0，即函数f(χ，y)在(0，0)处可偏导．△z＝f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝f(χ，y)－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝，因为不存在，所以函数f(χ，y)在(0，0)不可微．知识点解析：暂无解析25、讨论f(χ，y)＝在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．标准答案：因为f(χ，y)＝0＝f(0，0)，所以f(χ，y)在点(0，0)处连续．因为＝0，所以f′χ(0，0)＝0，由对称性得f′y(0，0)＝0，即函数f(χ，y)在点(0，0)处可偏导．△z＝f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝f(χ，y)－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y－χysin，因为所以函数f(χ，y)在点(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析26、设z＝f(e′sint，tant)，求标准答案：et(sint＋cost)f′1＋f′2sec2t．知识点解析：暂无解析27、设z＝sinχy，求标准答案：知识点解析：暂无解析28、设z＝f(t，et)，f有一阶连续的偏导数球标准答案：知识点解析：暂无解析29、设u＝，求du．标准答案：知识点解析：暂无解析30、设函数z＝z(χ，y)由方程χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)所确定，其中f是可微函数，计算并化成最简形式．标准答案：χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)两边对χ求偏导得2χ＋2z＝yf(z2)＋2χyzf′(z2)，解得χ2＋y2＋z2＝＝χyf(z2)两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析31、设f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且z＝f(2χ－y)＋g(χ，χy)，求标准答案：＝2f′(2χ－y)＋g′1(χ，χy)＋yg′2(χ，χy)，＝－2f〞(2χ－y)＋χg〞12(χ，χy)＋g′2(χ，χy)＋χyg〞22(χ，χy)．知识点解析：暂无解析32、设z＝f(eχsiny，χ2＋y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求标准答案：＝f′1eχsiny＋2χf′2，＝f′1eχcosy＋eχsiny(f〞11eχcosy＋2yf〞12)＋2χ(f〞21eχcosy＋2yf〞22)＝f′1eχcosy＋f〞11e2χsin2y＋2eχ(ysiny＋χcosy)f〞12＋4χyf〞22．知识点解析：暂无解析33、设z＝f(χ2＋y2，χy，χ)，其中f(u，v，ω)二阶连续可偏导，求标准答案：＝2χf′1＋yf′2＋f′3，＝2χ(2yf〞11＋χf〞12)＋f′2＋y(2yf〞21＋χf〞22)>＋2yf〞31＋χf〞32＝4χyf〞11＋2(χ2＋y2)f〞12＋f′2＋χyf〞22＋2yf〞31＋χf〞32．知识点解析：暂无解析34、设z＝z(χ，y)由χ－yz＋yez－χ－y＝0确定，求及dz．标准答案：方程χ－yχ＋yz－χ－y＝0两边对χ求偏导得方程χ－yz＋yz－χ－y＝0两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析35、设z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))，其中f，g可微，求标准答案：等式z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))两边对χ求偏导得等式z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析36、设u＝f(z)，其中z是由z＝y＋χφ(z)确定的z，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明：标准答案：，z＝y＋χφ(z)两边对χ求偏导得两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(χ，y)＝sin，则f(χ，y)在(0，0)处()．A、对χ可偏导，对y不可偏导B、对χ不可偏导，对y可偏导C、对χ可偏导，对y也可偏导D、对χ不可偏导，对y也不可偏导标准答案：B知识点解析：因为不存在，所以f(χ，y)在(0，0)处对χ不可偏导；因为＝0，所以f′y(0，0)＝0，即f(χ，y)在(0，0)处y可偏导，应选B．2、设f′χ(χ0，y0)，f′y(χ0，y0)都存在，则()．A、f(χ，y)在(χ0，y0)处连续B、f(χ，y)存在C、f(χ，y)在(χ0，y0)处可微D、(χ，y0)存在标准答案：D知识点解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，A不对；函数f(χ，y)＝在(0，0)处可偏导，但f(χ，y)不存在，B不对；f(χ，y)在(χ0，y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，C不对，应选D，事实上由f′χ(χ0，y0)＝存在得f(χ0，y0)＝f(χ0，y0)．3、设f(χ，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足＝3，则函数f(χ，y)在点(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否有极值标准答案：A知识点解析：因为＝－3，根据极限保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，有＜0，而χ2＋1－χsiny＞0，所以当0＜＜δ时，有f(χ，y)－f(0，0)＜0，即f(χ，y)＜f(0，0)，所以f(χ，y)在点(0，0)处取极大值，选A．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)4、＝_______．标准答案：知识点解析：5、设χ＝，则＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析6、设z＝，则dz＝_______．标准答案：sin2χy(ydχ＋χdy)知识点解析：7、设z＝ln()，则＝_______．标准答案：知识点解析：8、设z＝f(χ，y)＝χ2arctan－y2arctan，则＝_______．标准答案：知识点解析：9、设f(χ，y)满足＝2，f(χ，0)＝1，f′y(χ，0)＝χ，则f(χ，y)＝_______．标准答案：y2＋χy＋1知识点解析：由＝2得＝2y＋φ1(χ)因为f′y(χ，0)＝χ，所以φ1(χ)＝χ，即＝2y＋χ，再由＝2y＋χ得f(χ，y)＝y2＋χy＋φ2(χ)，因为f(χ，0)＝1，所以φ2(χ)＝1，故f(χ，y)＝y2＋χy＋1．10、z＝f(χy)＋yg(χ2＋y2)，其中f，g二阶连续可导，则＝_______．标准答案：＋y2f〞(χy)＋2χg′(χ2＋y2)＋4χy2g〞(χ2＋y2)知识点解析：＋2χyg′(χ2＋y2)，＋y2f〞(χy)＋2χg′(χ2＋y2)＋4χy2g〞(χ2＋y2)．11、设z＝f(χ2＋y2，)，且f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则＝_______．标准答案：知识点解析：12、设z＝χyf()，其中f(u)可导，则＝_______．标准答案：2z知识点解析：三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)13、设u＝，求du．标准答案：由u＝得知识点解析：暂无解析14、设z＝yf(χ2－y2)，其中f可导，证明：．标准答案：＝2χyf′(χ2－y2)，＝f(χ2－y2)－2y2f′(χ2－y2)，则知识点解析：暂无解析15、设z＝，其中f，g二阶可导，证明：＝0．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设u＝f(χ＋y，χ2＋y2)，其中f二阶连续可偏导，求．标准答案：＝f′1＋2χf′2，＝f′1＋2yf′2＝f〞11＋2χf〞12＋2f′2＋2χ(f〞21＋2χf〞22)＝f〞11＋4χf〞12＋4χ2f〞22＋2f′2＝f〞11＋2yf〞12＋2f′2＋2y(f〞21＋2yf〞22)＝f〞11＋4yf〞12＋4y2f〞22＋2f′2＝2f〞11＋4(χ＋y)f〞12＋4(χ＋y)f〞22＋4f′2知识点解析：暂无解析17、设z＝f[χg(y)，z－y]，其中f二阶连续可偏导，g二阶可导，求．标准答案：＝g(y)f′1＋f′2＝g′(y)f′1＋g(y)[χg′(y)f〞11－f〞12]＋χg′(y)f〞21－f〞22＝g′(y)f′1＋χg′(y)g(y)f〞11＋[χg′(y)－g(y)]f〞12－f〞22．知识点解析：暂无解析18、设z＝z(z，y)由χyz＝χ＋y＋z确定，求．标准答案：令F＝χyχ－χ－y－z，知识点解析：暂无解析19、举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续．标准答案：设f(χ，y)＝，显然f(χ，y)在点(0，0)处连续，但不存在，所以f(χ，y)在点(0，0)处对χ不可偏导，由对称性，f(χ，y)在点(0，0)处对y也不可偏导．设f(χ，y)＝因为所以f(χ，y)在点(0，0)处可偏导，且f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝0．因为所以(χ，y)不存在，而f(0，0)＝0，故f(χ，y)在点(0，0)处不连续．知识点解析：暂无解析20、设f(χ，y)＝讨论函数f(χ，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性．标准答案：因为，所以(χ，y)不存在，故函数f(χ，y)在点(0，0)处不连续．因为，所以函数f(χ，y)在点(0，0)处对χ，y都可偏导．知识点解析：暂无解析21、讨论f(χ，y)＝在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．标准答案：因为0≤，且＝0，所以(χ，y)＝0＝f(0，0)，即函数f(χ，y)在点(0，0)处连续．因为＝0，所以f′χ＝(0，0)＝0，根据对称性得y′y(0，0)＝0，即函数f(χ，y)在(0，0)处可偏导．△z－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝f(χ，y)－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝，因为不存在，所以函数f(χ，y)在(0，0)不可微．知识点解析：暂无解析22、讨论f(χ，y)＝在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．标准答案：因为f(χ，y)＝0＝f(0，0)，所以f(χ，y)在点(0，0)处连续．因为＝0，所以f′χ(0，0)＝0，由对称性得f′y(0，0)＝0，即函数f(χ，y)在点(0，0)处可偏导．△z－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝f(χ，y)－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝χysin，因为0≤，且＝0，所以函数f(χ，y)在点(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析23、设z＝f(etsint，tant)，求．标准答案：＝et(sint＋cost)f′1＋f′2sec2t．知识点解析：暂无解析24、设z＝sinχy，求．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设z＝f(t，et)dt，f有一阶连续的偏导数，求．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设u＝，求du．标准答案：知识点解析：暂无解析27、设函数z＝z(χ，y)由方程χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)所确定，其中厂是可微函数，计算并化成最简形式．标准答案：χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)两边对χ求偏导得2χ＋2z＝yf(z2)＋2χyzf′(z2)，解得χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)两边对y求偏导得2y＋2z＝χf(z2)＋2χyzf′(z2)，知识点解析：暂无解析28、设f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且z＝f(2χ－y)＋g(χ，χy)，求．标准答案：＝2f′(2χ－y)＋g′1(χ，χy)＋yg′2(χ，χy)，＝－2f〞(2χ－y)＋χg〞12(χ，χy)＋g′2(χ，χy)＋χyg〞22(χ，χy)．知识点解析：暂无解析29、设z＝f(eχsiny，χ2＋y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求．标准答案：＝f′1eχsiny＋2χf′2，＝f′eχcosy＋eχsiny(f〞11eχcosy＋2yf〞12)＋2χ(f〞21eχcosy＋2yf〞22)＝f′1eχcosy＋f〞11e2χsin2y＋2eχ(ysiny＋χcosy)f〞12＋4χyf〞22．知识点解析：暂无解析30、设z＝f(χ2＋y2，χy，z)，其中f(u，v，w)二阶连续可偏导，求．标准答案：＝2χf′1＋yf′2＋f′3，＝2χ(2yf〞11＋χf〞12)＋f′2＋y(2yf〞21＋χf〞22)＋2yf〞31＋χf〞32＝4χyf〞11＋2(χ＋y)f〞12＋f′2＋χyf〞22＋2yf〞31＋χf〞32知识点解析：暂无解析31、设z＝z(χ，y)由z－yz＋yez－χ－y＝0确定，求及dz．标准答案：方程χ－yz＋yez－χ＝0两边对χ求偏导得方程χ－yz＋yez－χ－y＝0两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析32、设z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))，其中f，g可微，求．标准答案：等式z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))两边对χ求偏导得等式z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析33、设u＝f(z)，其中z是由z＝y＋χφ(χ)确定的χ，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明：标准答案：，z＝y＋χφ(z)两边对χ求偏导得z＝y＋φ(z)两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析34、设χy＝χf(χ)＋yg(z)，且χf′(z)＋yg′(z)≠0，其中z＝z(χ，y)是z，y的函数．证明：[z－g(z)]＝[y－f(z)]．标准答案：χy＝χf(z)＋yg(z)两边分别对χ，y求偏导，得知识点解析：暂无解析35、设z＝f(χ，y)由方程z－y－χ＋χz－y－χ＝0确定，求dz．标准答案：对z－y－χ＋χz－y－χ＝0两边求微分，得dz－dy－dχ＋ez－y－χdχ＋χez－y－χ(dz－dy－dχ)＝0．解得dz＝＋dy．知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、已知f’x(x0，y0)存在，则=()A、f’x(x0，y0)。B、0。C、2f’x(x0，y0)。D、f’x(x0，y0)。标准答案：C知识点解析：由题意=f’x(x0，y0)+f’x(x0，y0)=2f’x(x0，y0)，故选C。2、二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是()A、[f(x，y)一f(0，0)]=0。B、，且。C、。D、[f’x(x，0)一f’x(0，0)]=0，且f’y[f’y(0，y)一f’y(0，0)]=0。标准答案：C知识点解析：按可微性定义，f(x，y)在(0，0)处可微其中A，B是与x，y无关的常数。题中的C项即A=B=0的情形。故选C。3、设函数f(x，y)可微，且对任意x，y都有则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是()A、x1＞x2，y1＜y2。B、x1＞x2，y1＞y2。C、x1＜x2，y1＜y2。D、x1＜x2，y1＞y2。标准答案：D知识点解析：由需对x和y分开考虑，则已知的两个不等式分别表示函数f(x，y)关于变量x是单调递增的，关于变