考研数学二（微分方程）模拟试卷1（共157题）

考研数学二（微分方程）模拟试卷1（共5套）（共157题）考研数学二（微分方程）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、微分方程y"一6y’+8y=ex+e2x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)()A、aex+be2xB、aex+bxe2xC、axex+be2xD、axex+bxe2x标准答案：B知识点解析：由原方程对应齐次方程的特征方程r2一6r+8=0得特征根r1=2，r2=4．又f1(x)=ex，λ1=1非特征根，对应特解为y1*=aex；f2(x)=e2x，λ2=2为特征单根，对应特解为y2*=bxe2x．故原方程特解的形式为aex+bxe2x，即选(B)．2、微分方程y"+2y’+2y=e-xsinx的特解形式为(其中a，b为常数)()A、e-x(acosx+bsinx)B、e-x(acosx+bxsinx)C、xe-x(acosx+bsinx)D、e-x(axcosx+bsinx)标准答案：C知识点解析：特征方程，r2+2r+2=0即(r+1)2=一1，特征根为r1,2=一1±i，而f(x)=e-xsinx，λ±iω=一1±i是特征根，故特解为y*=xe-x(acosx+bsinx)．3、微分方程的通解是(其中C为任意常数)()A、2e3x+3ey2=CB、2e3x+3e-y2=CC、2e3x一3ey2=CD、e3x一e-y2=C标准答案：C知识点解析：原方程写成yy’+ey2+3x+=0，分离变量有ye-y2dy+e3xdx=0．积分得2e3x一3e-y2=C，其中C为任意常数．4、微分方程y"一4y’+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(其中a，b，c，d为常数)()A、ax2+bx+ce2xB、ax2+bx+c+dx2e2xC、ax2+bx+cxe2xD、ax2+(bx2+cx)e2x标准答案：B知识点解析：对应特征方程为r2一4r+4=0，特征根是r1,2=2．而f1=x2，λ1=0非特征根，故y1*=ax2+bx+c．又f2=8e2x，λ2=2是二重特征根，所以y2*=dx2e2x．y1*与y2*合起来就是一个特解应具有的形式，选(B)．5、微分方程y"+2y’+y=shx的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)()A、ashxB、achxC、ax2e-x+bexD、axe-x+bex标准答案：C知识点解析：对应特征方程为r2+2r+1=0，得r=一1为二重特征根，而f(x)=shx=故特解形式为y*=ax2e-x+bex．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、微分方程的通解是____________．标准答案：y=C1+C2x+C3x2+C4e-3x，其中C1，C2，C3，C4为任意常数知识点解析：特征方程r4+3r3=0，即r3(r+3)=0．故通解如上．7、微分方程y"一2y’=x2+e2x+1的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是__________．标准答案：y*=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x知识点解析：特征方程为r2一2r=0，特征根为r1=0，r2=2．对f1=x2+1，λ1=0是特征根，所以y1*=x(Ax2+Bx+C)．对f2=e2x，λ2=2也是特征根，故有y2*=Dxe2x．从而y*如上．8、以y=7e3x+2x为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_________．标准答案：y’"一3y"=0知识点解析：由特解y=7e3x+2x知特征根为r1=3，r2=r3=0(二重根)，特征方程为r3一3r2=0，对应齐次线性微分方程为y’"一3y"=0．9、微分方程满足初值条件y(0)=0，的特解是___________.标准答案：x=ey一e-y—siny知识点解析：由反函数的导数可知，原方程可化为x关于y的二阶常系数线性方程．将式①代入原方程，原方程化为解得x关于y的通解为由x=0时，y=0，代入上式，得0=C1+C2．再将式②两边对y求导，有当x=0时，代入上式，有解得C1=1，C2=一1，于是得特解10、微分方程3extanydx+(1一ex)Sec2ydy=0的通解是_________．标准答案：tany=C(ex一1)3，其中C为任意常数知识点解析：方程分离变量得积分得ln|tany|=3ln|ex一1|+lnC1．所以方程的通解为tany=C(ex一1)3，其中C为任意常数．11、微分方程的通解是_________．标准答案：y=(C1+C2x)ex+1，其中C1，C2为任意常数知识点解析：原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程．其通解为y=y齐+y*，其中y齐是对应齐次方程的通解，y*是非齐次方程的一个特解．因原方程对应齐次方程的特征方程为r2一2r+1=0，即(r一1)2=0，特征根为r1,2=一1．故y齐=(C1+C2x)ex，其中C1，C2为任意常数．根据观察，显然y*=1为原方程的一个特解．故其通解如上所填．12、微分方程的通解__________(一定／不一定)包含了所有的解．标准答案：不一定知识点解析：例如方程(y2一1)dx=(x一1)ydy，经分离变量有得通解y2一1=C(x一1)2，C≠0，但显然方程的全部解还应包括y=±1和x=1(实际上在分离变量时假定了y2一1≠0，x一1≠0)．13、微分方程(y2+1)dx=y(y一2x)dy的通解是__________．标准答案：其中C为任意常数知识点解析：方法一原方程化为由通解公式得方法二原方程写为(y2+1)dx+(2x—y)ydy=0，是全微分方程，再改写为(y2+1)dx+xd(y2+1)一y2dy=0，即d[x(y2+1)]=y2dy，积分得通解14、微分方程(1一x2)y—xy’=0满足初值条件y(1)=1的特解是__________．标准答案：知识点解析：原方程化为积分得通解ln|y|=ln|C1x|一x2，即由初值y(1)=1解出便得如上所填．15、微分方程的通解为________．标准答案：其中C1，C2为任意常数知识点解析：由两边积分得再积分得三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)16、求微分方程的通解．标准答案：变形和作适当代换后变为可分离变量的方程．方程两边同除以x，得当x＞0时，作变换有即解之得arcsinu=lnCx．再以代回，便得原方程的通解：即y=xsin(lnCx)，其中C为大于零的任意常数．知识点解析：暂无解析17、求微分方程y"一2y’一e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．标准答案：齐次方程y"一2y’=0的特征方程为r2—2r=0，由此求得特征根r1=0，r2=2．对应齐次方程的通解为Y=C1+C2e2x，设非齐次方程的特解为y*=Axe2x，则y*’=(A+2Ax)e2x，y*"=4A(1+x)e2x，代入原方程，得从而于是，原方程通解为将y(0)=1和y’(0)=1代入通解求得从而，所求特解为知识点解析：暂无解析18、求微分方程y"+2y’+y=xex的通解．标准答案：特征方程r2+2r+1=0的两个根为r1=r2=一1．对应齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-x．设所求方程的特解为y*=(ax+b)ex，则y*’=(ax+a+b)ex，y"=(ax+2a+b)ex，代入所给方程，有(4ax+4a+4b)ex=xex．解得所以最后得原微分方程的通解为其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析19、求微分方程y"+4y’+4y=e-2x的通解．标准答案：特征方程r2+4r+4=0的根为r1=r2=一2．对应齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-2x．设原方程的特解y*=Ax2e-2x，代入原方程得因此，原方程的通解为知识点解析：暂无解析20、求微分方程y"+2y’一3y=e-3x的通解．标准答案：对应的齐次方程的通解为Y=C1ex+C2e-3x．设原方程的一个特解为y*=Axe-3x，代入原方程，得所求通解为其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析21、求微分方程y"+5y’+6y=2e-x的通解．标准答案：所给微分方程的特征方程为r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为r1=一2，r2=一3．于是，对应齐次微分方程的通解为Y=C1e-2x+C2e-3x．设所给非齐次方程的特解为y*=Ae-x．将y*代入原方程，可得A=1．由此得所给非齐次方程的特解y*=e-x．从而，所给微分方程的通解为y=C1e-2x+C2e-3x+e-x，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析22、求微分方程(3x2+2xy—y2)dx+(x2一2xy)dy=0的通解．标准答案：方法一原方程化为3x2dx+(2xy一y2)dx+(x2一2xy)dy=0，即d(x3)+d(x2y一xy2)=0，故通解为x3+x2y一xy2=C，其中C为任意常数．方法二令y=xu，则即解得u2一u一1=Cx-3x，即y2一xy一x2=Cx-1或xy2一x2y—x3=C，其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析23、设y(x)是方程y(4)一y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的三阶无穷小，求y(x)．标准答案：由泰勒公式当x→0时，y(x)与x3同阶，即有y(0)=0，y’(0)=0，y"(0)=0，y’"(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y(4)一y"=0两边积分得即y’"(x)一C—y’(x)=0，两边再积分得y"(x)一y(x)=Cx．易知，它有特解y*=一Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e-x一Cx．由初值y(0)=0，y’(0)=0得C1+C2=0，C1+C2，即因此最后得其中C为任意非零常数．知识点解析：暂无解析24、求一个以y1=tet，y2=sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．标准答案：由y1=tet可知y3=et为其解，由y2=sin2t可知y4=cos2t也是其解，故所求方程对应的特征方程的根λ1=λ3=1，λ2=2i，λ4=一2i．其特征方程为(λ～1)2(λ2+4)=0，即λ4一2λ3+5λ2一8λ+4=0．故所求的微分方程为y(4)一2y’"+5y"一8y’+4y=0，其通解为y=(C1+C2t)et+C3COS2t+C4sin2t，其中C1，C2，C3，C4为任意常数．知识点解析：暂无解析25、从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐扩散形成油层．设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变．已知其厚度h的减少率与h3成正比，试证明：其半径r的增加率与r3成反比．标准答案：把V=πr2h看作隐式方程，其中r，h均为关于时间t的函数，两边同时对t求导．由于π和V都是常数，所以有由题意条件(k1为比例系数)，代入上式，可得再将代入上式，可得即半径r的增加率与r3成反比．知识点解析：暂无解析26、求解y"=e2y+ey，且y(0)=0，y’(0)=2．标准答案：令y’=p(y)，则代入方程，有p2=e2y+2ey+C，即y’2=e2y+2ey+C．又y(0)=0，y’(0)=2，有C=1，所以y’2=e2y+2ey+1=(ey+1)2．y’=ey+1(y’(0)=2＞0)．y(0)=0代入上式，得C1=一ln2，所以，该初值问题的解为y=ln(1+ey)=x—ln2．知识点解析：暂无解析27、求方程的通解以及满足y(0)=2的特解．标准答案：这是可分离变量方程．当y2≠1时，分离变量得两边积分，得去掉绝对值记号，并将±e2C1记成C，并解出y，得这就是在条件y2≠1下的通解．此外，易见y=1及y=一1也是原方程的解，但它们并不包含在式①之中．将y(0)=2代入式①中得故C=一3．于是得到满足y(0)=2的特解知识点解析：暂无解析28、求微分方程的通解，并求满足y(1)=0的特解．标准答案：此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之．令y=ux，原方程化为得当x＞0时，上式成为两边积分得将任意常数记成lnC．由上式解得即有当x＜0，类似地可得式①与式②其实是一样的，故得通解将初值条件y(1)=0代入式③得C=±1，但由于C＞0，故得相应的特解为知识点解析：暂无解析29、求方程的通解．标准答案：这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之．套公式之前，应先化成标准形式：由通解公式，得当x＞0时，当x＜0时，合并式①，②，得通解知识点解析：暂无解析30、求(y3一3xy2一3x2y)dx+(3xy2一3x2y—x3+y2)dy=0的通解．标准答案：将原方程通过观察分项组合．(y3一3xy2一3x2y)dx+(3xy2一3x2y—x3+y2)dy=(y3dx+3xy2dy)一3xy(ydx+xdy)一(3x2ydx+x2dy)+y2dy=0，即所以通解为其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析考研数学二（微分方程）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、微分方程y〞－4y＝e2χ＋χ的特解形式为()．A、ae2χ＋bχ＋cB、aχ2e2χ＋bχ＋cC、aχe2χ＋bχ2＋cχD、aχe2χ＋bχ＋c标准答案：D知识点解析：y〞－4y＝0的特征方程为λ2－4＝0，特征值为λ1＝－2，λ2＝2．y〞－4y＝e2χ的特解形式为y1＝aχe2χ，y〞－4y＝χ的特解形式为y2＝bχ＋C，故原方程特解形式为aχe2χ＋bχ＋c，选D．2、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e－χ，则该微分方程为()．A、y″′－y〞－y′＋y＝0B、y″′＋y〞－y′－y＝0C、y″′＋y〞－y′－2y＝0D、y″′－y〞－y′＋2y＝0标准答案：A知识点解析：由y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e－χ为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝－1，其特征方程为(λ－1)2(λ＋1)＝0，即λ3－λ2－λ＋1＝0，所求的微分方程为y″′－y〞－y′＋y＝0，选A．3、设φ1(χ)，φ2(χ)为一阶非齐次线性微分方程．y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．A、C[φ1(χ)＋φ2(χ)]B、C[φ1(χ)－φ2(χ)]C、C[φ1(χ)－φ2(χ)]＋φ2(χ)D、[φ1(χ)－φ2(χ)]＋Cφ2(χ)标准答案：C知识点解析：因为φ1(χ)，φ2(χ)为方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个线性无关解，所以φ1(χ)－φ2(χ)为方程y′＋P(χ)y＝0的一个解，于是方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的通解为C[φ1(χ)－φ2(χ)]＋φ2(χ)，选C．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)4、设y＝y(χ)满足△y＝y△χ＋0(△χ)且y(0)＝1，则y(χ)＝_______．标准答案：eχ知识点解析：由△y＝y△χ＋o(△χ)得＝y或－y＝0，解得y＝Ce－∫(－1)dχ＝Ceχ，再由v(0)＝1得C＝1，故y(χ)＝eχ．5、设y1(χ)，y2(χ)为y′＋P(χ)y＝Q(χ)的特解，又py1(χ)＋2qy2(χ)为y′＋P(χ)y＝0的解，py1(χ)－qy2(χ)为y′＋P(χ)y＝Q(χ)的解，则P＝_______，q＝_______．标准答案：知识点解析：由一阶线性微分方程解的结构性质得解得p＝，q＝－．6、设y＝y(χ)满足(1＋χ2)y′＝χy且y0)＝1，则y(χ)＝_______．标准答案：知识点解析：将原方程变量分离得，积分得ln｜y｜＝＋lnC1，即y＝C，再由y(0)＝1得y＝．7、设y＝2e－χ＋eχsinχ为y″′＋py〞＋qy′＋ry＝0的特解，则该方程为_______．标准答案：y″′－y〞＋2y＝0知识点解析：三阶常系数齐次线性微分方程的特征值为λ1＝1，λ2．3＝1±i，特征方程为(λ＋1)(λ－1－i)(λ－1＋i)＝0，整理得λ3－λ2＋2＝0，所求方程为y″′－y〞＋2y＝0．8、设f(χ)连续，且f(χ)－2∫0χf(χ－t)dt＝eχ，则f(χ)＝_______．标准答案：2e2χ－eχ知识点解析：由∫0χ(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χf(u)du得f(χ)－2∫0χ(u)du＝eχ，求导得f′(χ)－2f(χ)＝eχ，解得f(χ)＝[∫eχ.e∫－2dχdχ＋C]e∫－2dχ＝(－e－χ＋C)e2χ＝ce2χ－eχ，由f(0)＝1得C＝2，故f(χ)＝2e2χ－eχ．9、微分方程y′＋ytanχ＝cosχ的通解为_______．标准答案：y＝(χ＋C)cosχ知识点解析：暂无解析10、设f(χ)在[0，＋∞)上非负连续，且f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，则f(χ)＝_______．标准答案：2χ知识点解析：∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χf(u)du，令F(χ)＝∫0χf(u)du，由f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，得f(χ)∫0χf(u)du＝2χ3，即＝2χ2，则F2(χ)＝χ4＋C0因为F(0)＝0，所以C0＝0，又由F(χ)≥0，得F(χ)＝χ2故f(χ)＝2χ11、连续函数f(χ)满足f(χ)＝3∫0χf(χ－t)dt＋2，则f(χ)＝_______．标准答案：2e3χ知识点解析：由∫0χ(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χf(u)du得f(χ)＝3∫0χf(u)du＋2，两边对χ求导得f′(χ)－3f(χ)＝0，解得f(χ)＝Ce－∫－3dχ＝C3χ，取χ＝0得f(0)＝2，则C＝2，故f(χ)＝2e3χ．12、设y＝y(χ)可导，y(0)＝2，令△y＝y(χ＋△χ)－y(χ)，且△y＝△χ＋α，其中α是当△χ→0时的无穷小量，则y(χ)＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析13、的通解为_______．标准答案：χ＝知识点解析：暂无解析14、微分方程χy′－y[ln(χy)－1]＝0的通解为_______．标准答案：ln(χy)＝Cχ知识点解析：令χy＝u，y＋χy′＝，代入原方程得＝0，分离变量得，积分得lnlnu＝lnχ＋lnC，即lnu＝Cχ，原方程的通解为ln(χy)＝Cχ，15、微分方程y2dχ＋(χ2－χy)dy＝0的通解为_______．标准答案：y＝C知识点解析：令＝u，则，代入原方程得，两边积分得u－lnu－lnχ－lnC＝0，解得y＝C．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)16、求微分方程＝1＋χ＋y＋χy的通解．标准答案：由＝1＋χ＋y＋χy得＝(1＋χ)(1＋y)，分离变量得＝(1＋χ)dχ，两边积分得ln｜1＋y｜＝χ＋＋C．知识点解析：暂无解析17、求微分方程χy′＝yln的通解．标准答案：χy′＝yln可写为，令u＝，原方程化为u＋χ＝ulnu，变量分离得，积分得ln(lnu－1)＝lnχ＋lnC，即lnu－1＝Cχ，或u＝eCχ＋1，故原方程的通解为y＝χeCχ＋1．知识点解析：暂无解析18、求微分方程χy〞＋2y′＝eχ的通解．标准答案：χy〞＋2y′＝eχ两边乘以χ得χ2y〞＋2χy′＝χeχ，即(χ2y′)′＝χeχ，积分得χ2y′＝(χ－1)eχ＋C1，即y′＝，再积分得原方程通解为y＝知识点解析：暂无解析19、设χ＞0时，f(χ)可导，且满足：f(χ)＝1＋∫1χf(t)dt，求f(χ)．标准答案：由f(χ)＝1＋f(t)dt得χf(χ)＝χ＋∫1χf(t)dt，两边对χ求导得f(χ)＋χf′(χ)＝1＋f(χ)，解得f′(χ)＝，f(χ)＝lnχ＋C，因为f(1)＝1，所以C＝1，故f(χ)＝lnχ＋1．知识点解析：暂无解析20、求微分方程(y＋)dχ－χdy＝0的满足初始条件y(1)＝0的解．标准答案：由(y＋)dχ－χdy＝0，得令u＝，则原方程化为，积分得ln(u＋)＝lnχ＋lnC，即u＋＝Cχ，将初始条件y(1)＝0代入得C＝1．由＝即满足初始条件的特解为y＝．知识点解析：暂无解析21、求微分方程(y－χ3)dχ－2χdy＝0的通解．标准答案：由(y－χ3)dχ－2χdy＝0，得，则即原方程的通解为y＝(其中C为任意常数)．知识点解析：暂无解析22、求微分方程y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0的通解．标准答案：由y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0得，令u＝，则，解得u2(u＋3)＝，所以原方程的通解为y2(y＋3χ)＝C．知识点解析：暂无解析23、求微分方程cosy－cosχsin2y＝siny的通解．标准答案：由cosy－cosχsin2y＝siny得－cosχsin2y＝siny，令u＝siny，则－u＝cosχ.u2，令u-1＝z，则＋z＝－cosχ，解得z＝[∫(－cosχ)e∫dχdχ＋C]e－∫dχ＝[－∫eχcoχdχ＋C]e－χ＝[－eχsin＋cosχ＋C]e－χ＝Ce－χ－(sinχ＋cosχ)则(sinχ＋cosχ)．知识点解析：暂无解析24、求微分方程χy＝χ2＋y2满足初始条件y(e)＝2e的特解．标准答案：由χy＝χ2＋y2，得，令＝u，得u＋，解得u2＝lnχ2＋C，由y(e)＝2e，得C＝2，所求的特懈为y2＝χ2lnχ2＋2χ2．知识点解析：暂无解析25、求微分方程χ2y′＋χy＝y2满足初始条件y(1)＝1的特解．标准答案：由χ2y′＋χy＝y2得，令u＝，则有，两边积分得，即＝Cχ2，因为y(1)＝1，所以C＝－1,再把u＝代入＝Cχ2得原方程的特解为y＝．知识点解析：暂无解析26、求微分方程的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析27、求微分方程的通解．标准答案：令χ＋y＝u，则－1，于是有变量分离得＝dχ，两边积分得u－arctanu＝χ＋C，所以原方程的通解为y－arctan(χ＋y)＝C．知识点解析：暂无解析28、设y＝eχ为微分方程χy′＋P(χ)y＝χ的解，求此微分方程满足初始条件y(ln2)＝0的特解．标准答案：把y＝eχ代入微分方程χy′＋P(χ)y＝χ，得P(χ)＝χe－χ－χ，原方程化为y′＋(e－χ－1)y＝1，则将y(ln2)＝0代入y＝C＋eχ中得C＝－，故特解为y＝－＋eχ．知识点解析：暂无解析29、设f(χ)＝eχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f(χ)连续，求f(χ)．标准答案：由f(χ)＝eχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，得f(χ)＝eχ－χ∫0χf(t)dt＋∫0χtf(t)dt，两边对χ求导，得f′(χ)＝eχ－∫0χf(t)dt，两边再对χ求导得f〞(χ)＋f(χ)＝eχ，其通解为f(χ)＝C1cosχ＋C2sinχ＋eχ．在f(χ)＝eχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt中，令χ＝0得f(0)＝1，在f′(χ)＝eχ－∫0χf(t)df中，令χ＝0得f′(0)＝1，于是有C1＝，C2＝，故f(χ)＝(cosχ＋sinχ)＋eχ．知识点解析：暂无解析30、求微分方程χy〞＋3y′＝0的通解．标准答案：令y′＝p，则χ＋3p＝0或＝0，解得p＝，即y′＝，则y＝－＋C2．知识点解析：暂无解析31、设当χ＞0时，f(χ)满足∫1χf(t)dt－f(χ)＝χ，求f(χ)．标准答案：由∫1χf(t)dt－f(χ)＝χ，两边求导得f(χ)－f′(χ)＝1，解得f(χ)＝Ceχ＋1，而f(1)＝－1，所以f(χ)＝1－2eχ－1．知识点解析：暂无解析32、求满足初始条件y〞＋2χ(y′)2＝0，y(0)＝1，y′(0)＝1的特解．标准答案：令y′＝p，则y〞＝，代入方程得＋2χp2＝0，解得＝χ2＋C1，由y′(0)＝1得C1＝1，于是y′＝，y＝arctanχ＋C2，再由y(0)＝1得C2＝1，所以y＝arctanχ＋1．知识点解析：暂无解析33、求微分方程yy〞＝y′2满足初始条件y(O)＝y′(0)＝1的特解．标准答案：令＋y′＝P，则y〞＝p，代入原方程得yp＝p2或p(y－p)＝0．当p＝0时，y＝1为原方程的解；当p≠0时，由－p＝0得＝0，解得p＝C1＝C1y，由y(0)＝y′(0)＝1得C1＝1，于是－y＝0，解得y＝C2e－∫－dχ＝C2eχ，由y(0)＝1得C2＝1，所以原方程的特解为y＝eχ．知识点解析：暂无解析34、求微分方程y〞－y′－6y＝0的通解．标准答案：特征方程为λ2－λ－6＝0，特征值为λ1＝－2，λ2＝3，则原方程的通解为y＝C1e－2χ＋C2e3χ．知识点解析：暂无解析考研数学二（微分方程）模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设y＝y(χ)为微分方程2χydχ＋(χ2－1)dy＝0满足初始条件y(0)＝1的解，则y(χ)dχ为()．A、－ln3B、ln3C、－ln3D、ln3标准答案：D知识点解析：由2χydχ＋(χ2－1)dy＝0得＝0，积分得ln｜χ2－1｜＋lny＝lnC，从而y＝，由y(0)＝1得C＝－1，于是y＝，故，因此选D．2、微分方程y〞－y′－6y＝(χ＋1)e－2χ的特解形式为()．A、(aχ＋b)e－2χB、aχ2e－2χC、(aχ2＋bχ)e－2χD、χ2(aχ＋b)e－2χ标准答案：C知识点解析：因为原方程的特征方程的特征值为λ1＝－2，λ2＝3，而－2为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为χ(aχ＋b)e－2χ，选C．3、微分方程y〞－4y＝χ＋2的通解为()．A、(C1＋C2χ)e2χ－B、(C1＋C2χ)e－2χ－C、C1e－2χ＋C2e2χ－χD、C1e－2χ＋C2e2χ－标准答案：D知识点解析：微分方程y〞－4y＝0的特征方程为λ2－4＝0，特征值为－2，2，则方程y〞－4y＝0的通解为C1e－2χ＋C2e2χ显然方程y〞－4y＝χ＋2有特解，选D．二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)4、设连续函数f(χ)满足f(χ)＝∫02χf()dt＋eχ，则f(χ)＝_______．标准答案：2e2χ－eχ知识点解析：暂无解析5、微分方程(2χ＋3)y〞＝4y′的通解为_______．标准答案：y＝C1χ3＋6C1χ2＋9C1χ＋C2知识点解析：令y′＝p，则，两边积分得lnp＝ln(2χ＋3)2＋lnC1，或y′＝C1(2χ＋3)2，于是y＝C1χ3＋6C1χ2＋9C1χ＋C2．6、yy〞＝1＋y′2满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝0的解为_______．标准答案：ln｜y＋｜＝±χ知识点解析：令y′＝p，则YP＝1＋p2，即，解得ln(1＋p2)＝lny2＋lnC1，则1＋p2＝C1y2，由y(0)＝1，y′(0)＝0得y′＝±，In｜y＋｜＋C2＝±χ，由y(0)＝1得C2＝0，所以特解为ln｜y＋｜＝±χ7、微分方程y〞＋4y＝4χ－8的通解为_______．标准答案：y＝C1cos2χ＋C2sin2χ＋χ－2知识点解析：微分方程两个特征值为λ1＝－2i，λ2＝2i，则微分方程的通解为y＝C1cos2χ＋C2sin2χ＋χ－2．8、设y＝y(χ)过原点，在原点处的切线平行于直线y＝2χ＋1，又y＝y(χ)满足微分方程y〞－6y′＋9y＝e3χ，则y(χ)＝_______．标准答案：2χe3χ＋χ2e3χ知识点解析：由题意得y(0)＝0，y′(0)＝2，y〞－6y′＋9y＝e3χ的特征方程为λ2－6λ＋9＝0，特征值为λ1＝λ2＝3，令y〞－6y′＋9y＝e3χ的特解为y0(χ)＝aχ2e3χ，代入得a＝，故通解为y＝(C1＋C2)e3χ＋χ2e3χ．由y(0)＝0，y′(0)＝2得C1＝0，C2＝2，则y(χ)＝2χe3χ＋χ2e3χ．9、微分方程2y〞＝3y2满足初始条件y(－2)＝1，y′(－2)＝1的特解为_______．标准答案：χ＝－知识点解析：暂无解析10、微分方程χy′＝＋y(χ＞0)的通解为_______．标准答案：arcsin＝lnχ＋C知识点解析：由χy′＝，得y′＝，令＝u，则u＋，解得arcsinu＝lnχ＋C，则原方程通解为arcsin＝lnχ＋C11、设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e－4χ＋χ2＋3χ＋2，则Q(χ)＝_______，该微分方程的通解为_______．标准答案：Q(χ)＝－12χ2－34χ－19；y＝C1e－4χ＋C2e3χ＋χ2＋3χ＋2(其中C1，C2为任意常数)知识点解析：显然λ＝－4是特征方程λ2＋λ＋q＝0的解，故q＝－12，即特征方程为λ2＋λ－12＝0，特征值为λ1＝－4，λ2＝3．因为χ3＋3χ＋2为特征方程y〞＋y′－12y＝Q(χ)的一个特解，所以Q(χ)＝2＋2χ＋3－12(χ2＋3χ＋2)＝－12χ2－34χ－19，且通解为yy＝C1e－4χ＋C2e3χ＋χ2＋3χ＋2(其中C1，C2为任意常数)．12、以y＝C1e－2χ＋C2eχ＋cosχ为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_______．标准答案：y〞＋y′－2y＝－sinχ－3cosχ知识点解析：特征值为λ1＝－2，λ2＝1，特征方程为λ2＋λ－2＝0，设所求的微分方程为y〞＋y′－2y＝Q(χ)，把y＝cosχ代入原方程，得Q(χ)＝－sinχ－3cosχ，所求微分方程为y〞＋y′－2y＝－sinχ－3cosχ．13、设y〞－3y′＋ay＝－5e－χ的特解形式为Aχe－χ，则其通解为_______．标准答案：y＝C1e－χ＋C2e4χ＋χe－χ知识点解析：因为方程有特解Aχe－χ，所以－1为特征值，即(－1)2－3×(－1)＋a＝0a＝－4，所以特征方程为λ2－3λ－4＝0λ1＝－1，λ2＝4，齐次方程y〞－3y′＋ay＝0的通解为y＝C1e－χ＋C2e－χ，再把Aχe－χ代入原方程得A＝1，原方程的通解为y＝C1e－χ＋C2e4χ＋χe－χ．14、设f(χ)可导，且∫01[f(χ)＋χf(χt)]dt－1，则f(χ)＝_______．标准答案：e－χ知识点解析：由∫01[f(χ)＋χf(χt)]dt＝1得∫01f(χ)dt＋∫01f(χt)d(χt)＝1，整理得f(χ)＋∫0χf(u)du＝1，两边对χ求导得f′(χ)＋f(χ)＝0，解得f(χ)＝Ce－χ，因为f(0)＝1，所以C＝1，故f(χ)＝e－χ．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)15、求微分方程y〞＋4y′＋4y＝0的通解．标准答案：特征方程为λ2＋4λ＋4＝0，特征值为λ1＝λ2＝－2，则原方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－2χ．知识点解析：暂无解析16、求微分方程y〞－y′＋2y＝0的通解．标准答案：特征方程为λ2－λ＋2＝0，特征值为则原方程的通解为知识点解析：暂无解析17、设二阶常系数齐次线性微分方程以y1＝e2χ，y2＝2e－χ－3e2χ为特解，求该微分方程．标准答案：因为y1＝e2χ，y2＝2e－χ－3e2χ为特解，所以e2χ，e－χ也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为λ1＝1，λ2＝2，特征方程为(χ＋1)(λ－2)＝0即λ2－λ－2＝0，所求的微分方程为y〞－y′－2y＝0．知识点解析：暂无解析18、求微分方程y〞＋2y′－3y＝(2χ＋1)eχ的通解．标准答案：特征方程为λ2＋2λ－3＝0，特征值为λ1＝1，λ2＝－3，则y〞＋2y′－3y＝0的通解为y＝C1eχ＋C1e－3χ．令原方程的特解为y0＝χ(aχ＋b)eχ，代入原方程得，所以原方程的通解为y＝C1eχ＋C2e－3χ＋(2χ2＋χ)eχ．知识点解析：暂无解析19、求y〞－2y′－e2χ＝0满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝1的特解．标准答案：原方程化为y〞－2y′＝e2χ．特征方程为λ2＝2λ＝0，特征值为λ1＝0，λ2＝2，y〞－2y′＝0的通解为y＝C1＋C2e2χ．设方程y〞－2y′＝e2χ的特解为y0＝Aχe2χ，代入原方程得A＝，原方程的通解为y＝C1＋C2e2χ＋χ2χ．由y(0)＝1，y′(0)＝1得解得，故所求的特解为y＝．知识点解析：暂无解析20、求微分方程y〞＋4y′＋4y＝eaχ的通解．标准答案：特征方程为λ2＋4λ＋4＝0，特征值为λ1＝λ2＝－2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－2χ．(1)当a≠－2时，因为a不是特征值，所以设原方程的特解为y0(χ)＝Aeaχ，代入原方程得A＝，则原方程的通解为y＝(C1＋C2)e－2χ＋；(2)当a＝－2时，因为a＝－2为二重特征值，所以设原方程的特解为y0(χ)＝Aχ2e－2χ，代入原方程得A＝，则原方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－2χ＋χ2e－2χ．知识点解析：暂无解析21、求微分方程y〞＋y＋3＋cosχ的通解．标准答案：特征方程为λ2＋1＝0，特征值为λ1＝－i，λ2＝i，方程y〞＋y＝0的通解为y＝C1cosχ＋C2sinχ．对方程y〞＋y＝χ2＋3，特解为y1＝χ2＋1；对方程y〞＋y＝cosχ，特解为χsinχ，原方程的特解为χ2＋1＋χsinχ，则原方程的通解为y＝C1cosχ＋C2sinχ＋χ2＋1＋χsinχ．知识点解析：暂无解析22、设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t＝0＝v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问￡为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．标准答案：设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力F＝ma＝，则有解此微分方程得v(t)＝v0e－t．由v0e－t＝得t＝ln3，从开始到t＝ln3的时间内质点所经过的路程为S＝∫0ln3v0e－tdt＝v0．知识点解析：暂无解析23、设f(χ)在[0，＋∞)上连续，且f(0)＞0，设f(χ)在[0，χ]上的平均值等于f(0)与f(χ)的几何平均数，求f(χ)．标准答案：根据题意得，令a＝，则有∫0χf(t)dt＝aχ，两边求导得f(χ)＝，即，令z＝，则有解得f(χ)＝(C≥0)．知识点解析：暂无解析24、设曲线L位于χOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜＝｜OA｜，且L经过点()，求L的方程．标准答案：设点M的坐标为(χ，y)，则切线MA：Y－y＝y′(X－χ)．令X＝0，则Y＝y－χy′，故A点的坐标为(0，y－χy′)．由｜MA｜＝｜OA｜，得｜y－χy′｜＝即2yy′＝y2＝－χ，或者＝－χ，则y2＝＝χ(－χ＋C)，因为曲线经过点()，所以C＝3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为y＝(0＜χ＜3)知识点解析：暂无解析25、在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(χ，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．标准答案：设所求曲线为y＝y(χ)，该曲线在点P(χ，y)的法线方程为Y－y＝－(X－χ)(y′≠0)令Y＝0，得X＝χ＋yy′，该点到χ轴法线段PQ的长度为由题意得，即yy〞＝1＋y′2．令y′＝p，则y〞＝p，则有yp＝1＋p2，或者，两边积分得y＝C1，由y(1)＝1，y′(1)＝0得C1＝1，所以y′＝±，变量分离得＝±dχ，两边积分得ln(y＋)＝±χ＋C2，由y(1)＝1得C2＝1，所以ln(y＋)＝±(χ－1)，即，又，所以，两式相加得y＝＝ch(χ－1)知识点解析：暂无解析26、一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r。的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．标准答案：设t时刻雪堆的半径为r，则有＝－2kπr2，V(t)＝πr3，则，于是有r＝－kt＋C0，由r(0)＝r0，r(3)＝，得C0＝r0，k＝，于是r＝－t＋r0，令r＝0得t＝6，即6小时雪堆可以全部融化．知识点解析：暂无解析27、设f(χ)在[0，1]上连续且满足f(0)＝1，f′(χ)－f(χ)＝a(χ－1)．y＝f(χ)，χ＝0，χ＝1，yχ0围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(χ)．标准答案：由f′(χ)－f(χ)＝a(χ－1)得f(χ)＝[a∫(χ－1)e∫－1dχdχ＋C]e－∫－dχ＝Ceχ－aχ，由f(0)＝1得C＝1，故f(χ)＝eχ－aχ．由V′(a)＝π(－2＋)＝0得a＝3，因为V〞(a)＝＞0，所以当a＝3时，旋转体的体积最小，故f(χ)＝eχ－3χ．知识点解析：暂无解析28、设f(χ)在(－1，＋∞)内连续且f(χ)－∫0χtf(t)dt＝1(χ＞－1)，求f(χ)．标准答案：由f(χ)－tf(t)dt＝1得(χ＋1)f(χ)－∫1χtf(t)dt＝χ＋1，两边求导得f(χ)＋(χ＋1)f′(χ)－χf(χ)＝1，整理得f′(χ)＋，解得由f(0)＝1得C＝3，故f(χ)＝．知识点解析：暂无解析29、求微分方程y′－2χy＝的满足初始条件y(0)＝1的特解．标准答案：由一阶非齐线性微分通解公式得y＝，由y(0)＝1得C＝1，故y＝(χ＋1)．知识点解析：暂无解析30、设位于第一卦限的曲线y＝f(χ)上任一点P(χ，y)的切线在χ轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线．标准答案：切线为Y－y＝y′(X－χ)，令Y＝0得X＝χ－；法线为Y－y＝－(X－χ)，令X＝0得Y＝y＋，由题意得χ－，解得令u＝，代入得u＋，变量分离得，即积分得ln(u2＋1)＋arctanu＝－lnχ＋C，初始条件代入得C＝0，所求曲线为＝－lnχ．知识点解析：暂无解析31、求y〞＋y′2＝1满足y(0)＝y′(0)＝0的特解．标准答案：令y′＝p，则y〞＝p，代入得p＋p2＝－2y，整理得＝－2dy，积分得ln｜P2－1｜＝－2y＋lnC1，即p2－1＝Ce－2y，由初始条件得C＝－1，即，变量分离得，积分得ln(ey＋)＝±χ＋C2，由初始条件得C＝0，从而ey＋＝e±χ，解得y＝．知识点解析：暂无解析32、求微分方程y〞＋y′－2y＝(2χ＋1)eχ－2的通解．标准答案：特征方程为λ2＋λ－2＝0，特征值为λ1＝1，λ2＝－2，令y〞＋y′－2y＝(2χ＋1)eχ(1)y〞＋y′－2y＝－2(2)令(1)的特解为y1＝(aχ2＋bχ)eχ，代入(1)得；显然(2)的一个特解为y2＝1，故原方程通解为y＝C1eχ＋C2e－2χ＋()eχ＋1．知识点解析：暂无解析33、设f(χ)连续，且f(χ)－4∫0χtf(χ－t)dt＝eχ，求f(χ)．标准答案：∫0χtf(χ－t)dtχ∫0χf(u)du－∫0χuf(u)du，原方程两边求导得f′(χ)－4∫0χ(u)du＝eχ，再求导得f〞(χ)－4f(χ)＝eχ，解方程得f(χ)＝C1e－2χ＋C2e2χ－eχ，由f(0)＝1，f′(0)＝1得C1＝，C2＝1，故f(χ)＝知识点解析：暂无解析考研数学二（微分方程）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(x)连续，且满足则f(x)=()A、exln2B、e2xln2C、ex+ln2D、e2x+ln2标准答案：B知识点解析：原方程求导得f’(x)=2f(x)，即积分得f(x)=Ce2x，又f(0)=ln2，故C=ln2，从而f(x)=e2xln2．2、微分方程y"一y=ex+1的特解应具有形式(其中a，b为常数)()A、aex+bB、axex+bC、aex+bxD、axex+bx标准答案：B知识点解析：根据非齐次方程y"一y=ex+1可得出对应的齐次方程y"一y=0，特征根为λ1=一1，λ2=1，非齐次部分分成两部分f1(x)=ex，f2(x)=1，可知y"一y=ex+1的特解形式为axex+b．3、设以下的A，B，C为常数，微分方程y"+2y’一3y=exsin2x有特解形式为()A、ex(A+Bcos2x+Csin2x)B、ex(Ax+Bcos2x+Csin2x)C、ex(A+Bxcos2x+Cxsin2x)D、xex(A+Bcos2x+Csin2x)标准答案：B知识点解析：对应齐次方程的通解为Y=C1ex+C2e-3x，自由项为所对应的特解形式为y1*=Axex；自由项为所对应的特解形式为y2*=ex(Bcos2x+Csin2x)．因此本题所对应的特解形式为y*=y1*+y2*=ex(Ax+Bcos2x+Csin2x)．选(B)．4、方程y(4)一2y’"一3y"=e-3x一2e-x+x的特解形式(其中a，b，c，d为常数)是()A、axe-3x+bxe-x+cx3B、ae-3x+bxe-x+cx+dC、ae-3x+bxe-x+cx+dx2D、axe-3x+be-x+cx3+dx标准答案：C知识点解析：特征方程r2(r2一2r一3)=0，特征根为r1=3，r2=一1，r3=r4=0，对f1=e-3x，λ1=一3非特征根，y1*=ae-3x；对f2=一2e-x，λ2=一1是特征根，y2*=bxe-x；对f3=x，λ3=0是二重特征根，y3*=x2(cx+d)，所以特解y*=y1*+y2*+y3*=ae-3x+bxe-x+cx3+dx2．5、已知y1=xex+e2x和y2=xex+e-x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为()A、y"一2y’+y=e2xB、y"一y’一2y=xexC、y"一y’一2y=ex一2xexD、y"一y=e2x标准答案：C知识点解析：非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由y1一y2=e2x一e-x及解的结构定理知对应齐次方程通解为y=C1e2x+C2e-x，故特征根r1=2，r2=一1．对应齐次线性方程为y"一y’一2y=0．再由特解y*=xex知非齐次项f(x)=y*"一y*’一2y*=ex一2xex，于是所求方程为y"一y’一2y=ex一2xex．6、微分方程y"一2y’+y=ex的特解形式为(其中A，B，C，D为常数)()A、Aex(A≠0)B、(A+Bx)ex(B≠0)C、(A+Bx+Cx2)ex(C≠0)D、(A+Bx+Cx2+Dx3)ex(D≠0)标准答案：C知识点解析：因为方程右边ex指数上的1是二重特征根，故特解形式为y*=Ax2ex(A≠0)，即(C)中C≠0的形式．故应选(C)．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)7、特征根为r1=0，的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为__________．标准答案：知识点解析：特征方程为即其对应的微分方程即所答方程．8、满足f’(x)+xf’(一x)=x的函数f(x)=_____________．标准答案：ln(1+x2)+x—arctanx+C，其中C为任意常数知识点解析：在原方程中以一x代替x得f’(一x)一xf’(x)=一x，与原方程联立消去f’(一x)得f’(x)+x2f’(x)=x+x2，所以积分得其中C为任意常数．9、已知则f(x)=__________．标准答案：Cx+2，其中C为任意常数知识点解析：将所给方程两边同乘以x，得令u=tx，则上式变为两边对x求导得用一阶非齐次线性微分方程通解公式计算即得f(x)=Cx+2，其中C为任意常数．10、微分方程xdy—ydx=ydy的通解是___________．标准答案：知识点解析：方法一原方程化为是齐次型，令y=xu，则dy=xdu+udx，方程再化为积分得代入y=xu即得通解方法二原方程变形为积分即得通解11、微分方程y"+4y=2x2在原点处与直线y=x相切的特解为__________．标准答案：知识点解析：由题意，在原点处切线的斜率为特征方程r2+4=0，对应齐次微分方程的通解为C1cos2x+C2sin2x．又微分方程的一个特解为因而非齐次方程的通解为将①代入上式，得特解为12、设y1=xex+2e2x，y2=xex+3e-x，y3=xex—e2x一e-x为某二阶常系数线性非齐次方程的3个特解，设该方程的y"前的系数为1，则该方程为_________．标准答案：y"一y’一2y=(1--2x)ex知识点解析：非齐次方程的两个解的差为对应齐次方程的解，故Y1=y1一y2=2e2x一3e-x，Y2=y1一y3=3e2x+e-x，为对应的齐次方程的两个解．于是又可推知Y1+3Y2=11e2x，3Y1—2Y2=一11e-x，也是对应的齐次方程的两个解．所以r=2，r=一1是特征方程两个根，特征方程为(r一2)(r+1)=r2一r一2=0，对应齐次方程为y"-y’一2y=0．设该非齐次方程为y"-y’一2yf(x)．将已知的一个特解代入，求得f(x)=(1—2x)ex，故所求的非齐次方程如上所填．13、设exsin2x为某n阶常系数线性齐次微分方程的一个解，则该方程的阶数n至少是__________，该方程为__________．标准答案：3；y’"-3y"一7y’一5y=0知识点解析：由于所以方程至少有3个特征根：1，1+2i，1-2i．特征方程为(r一1)[r-(1+2i)][r一(1—2i)]=0，即r3一3r2+7r一5=0．故对应的微分方程为y’"-3y"+7y’一5y=0．14、微分方程的通解是y=__________．标准答案：C1，C2为任意常数知识点解析：此为欧拉方程．题中含有lnx，故知x>0．作变换x=et，从而有于是原方程变成按二阶常系数线性非齐次方程常规方法解之，得通解为C1，C2为任意常数．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)15、求微分方程y"(3y’2一x)=y’满足初值条件y(1)=y’(1)=1的特解．标准答案：这是不显含y型的二阶微分方程y"=f(x，y’)，按典型步骤去做即可．令y’=p，有原方程化为化为3p2dp一(xdp+pdx)=0，这是关于P与x的全微分方程，解之得p3一xp=C1，以初值条件：x=1时，p=1代入，得1—1=C1，即C1=0．从而得p3一xp=0．分解成p=0及p3=x，即又不满足初值条件y’(1)=1，弃之．解得将x=1时，y=1代入，得故得特解知识点解析：暂无解析16、求微分方程的通解．标准答案：这是y"=f(y，y’)型的可降阶二阶方程，按典型步骤去做即可．令y’=p，有原方程化为即解得以下进行讨论．y≡0显然是原方程的一个解．以下设y≠0，于是式①可改写为当C1＞0时，由式②得当C1=0时，由式②得±x+C2=一y-1；当C1＜0时，由式②得综上所述即得原方程的通解．知识点解析：暂无解析17、求微分方程的通解．标准答案：应先用三角公式将自由项写成e-x+e-xcosx，然后再用叠加原理和待定系数法求特解．对应的齐次方程的通解为Y=(C1cosx+C2sinx)e-x．为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：ex，e-xcosx，分别考虑y"+2y’+2y=e-x，①与y"+2y’+2y=e-xcosx．②对于式①，令y1*=Ae-x，代入可求得A=1，从而得y1*=e-x．对于式②，令y2*=xe-x(Bcosx+Csinx)，代入可求得B=0，从而得由叠加原理，得原方程的通解为y=Y+y1*+y2*=e-x(C1cosx+C2sinx)+e-x+xe-xsinx，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析18、求y"一y=e|x|的通解．标准答案：当x≥0时，方程为y"-y=ex，①求得通解当x＜0时，方程为y"一y=e-x，②求得通解因为原方程的解y(x)在x=0处连续且y’(x)也连续，则有解得于是得通解：其中C1，C2为任意常数．此y在x=0处连续且y’连续．又因y"=y+e|x|，所以在x=0处y"亦连续，即是通解．知识点解析：自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一∞，0)，[0，+∞)分成两个方程，分别求解．由于y"=y+e|x|在x=0处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在x=0处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解．19、利用变换y=f(ex)求微分方程y"一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．标准答案：令t=ex，则y=(t)，y’=f’(t)．ex=tf’(t)，y"=[tf’(t)]’x=exf’(t)+tf"(t)．ex=tf’(t)+t2f"(t)，代入方程得t2f"(t)+tf’(t)一(2t+1)tf’(t)+t2f(t)=t3，即f"(t)一2f’(t)+f(t)=t，解得f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以原方程的通解为y=(C1+C2ex)eex+ex+2，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析20、(1)用x=et化简微分方程为(2)求解标准答案：本题考查在已有提示下化简微分方程，二阶常系数线性微分方程的求解，是一道具有一定计算量的综合题．(1)令x=et，则代入原方程得即(2)齐次方程y"+2y’+5y=0的特征方程为r2+2r+5=0，解得r1,2=一1±2i，故齐次方程的通解Y=e-t(C1cos2t+C2sin2t)．令y*(t)=(at+b)et代入①得a=2，b=一1，故原方程的通解y=e-t(C1cos2t+C2sin2t)+(2t—1)et，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点21、试求曲线L的方程；标准答案：设曲线L过点P(x，y)的切线方程为Y—y=y’(X—x)．令X=0，则该切线在y轴上的截距为y—xy’．由题设知令则此方程可化为解之得由L经过点于是L方程为知识点解析：暂无解析22、求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．标准答案：设第一象限内曲线在点P(x，y)处的切线方程为即它与x轴及y轴的交点分别为则所求面积为上式对x求导，得令S’(x)=0，解得当时，S’(x)＜0；当时，S’(x)＞0，因而是S(x)在内的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线为即知识点解析：暂无解析23、设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．标准答案：曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y—y=y’(x)(X一x)，它与x轴的交点为由于y’(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是又由条件2S1一S2=1，知①式两边对x求导得即yy"=(y’)2．令p=y’，则上述方程可化为解得p=C1y，即于是Y=eC1x+C2．注意到y(0)=1，并由①式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲线的方程是y=ex．知识点解析：暂无解析24、位于上半平面的凹曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为0，在点(2，2)处的切线斜率为1．已知曲线上任一点处的曲率半径与[*]的乘积成正比，求该曲线方程．标准答案：由已知，有y(0)=1，y’(0)=0，y(2)=2，y’(2)=1．又即(因为y(x)是凹曲线，所以y"＞0)．令y’=p，y"=pp’，有即代入y(0)=1，y’(0)=0，y(2)=2，y’(2)=1，得k=2，C=0，有代入y(0)=1，C1=0，即所以知识点解析：暂无解析25、一长为l(米)、线密度为ρ(千克／米)的链条，两端各系一个质量为m(千克)的物体A与B．开始时，仅A下垂，其余部分平置于桌面上，假设物体、链条与桌面的摩擦均略而不计．问从开始算起经过多少时间，链条全部从桌面上滑下．标准答案：设以开始下垂点作为坐标原点，向下为x轴正向．设在t(秒)时，物体A已下垂x(米)，则此时使该系统向下的力为(ρx-m)g，整个运动系统的质量为ιρ+2m，于是由牛顿第二定律，有即其中初始条件是x(0)=0，x’(t)=0．解之．得通解再由初始条件得特解令x=ι，解得知识点解析：暂无解析26、设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex成立，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)．求f(x)．标准答案：由f’(0)存在，设法去证对一切x，f’(x)存在，并求出f(x)．将y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得f(x)=f(x)+f(0)ex，所以f(0)=0．令△x→0，得f’(x)=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex，所以f’(x)存在．解此一阶非齐次线性微分方程，得因f(0)=0，所以C=0，从而得f(x)=acex．知识点解析：暂无解析27、设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续且满足求f(x)．标准答案：由有f(0)=1．对第一个积分作变量代换4x—t=u，有两边求导两边求导f"(x)一4f(x)=4e2x，此为二阶常系数线性非齐次微分方程，按常规方法解之，得通解：f(x)=C1e2x+C2e-2x+xe2x．再由初始条件f(0)=1，f’(0)=2得特解：知识点解析：暂无解析28、设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续，且满足求f(x)的表达式．标准答案：令有F(0)=1，且F’(x)=exf(x)，f(x)=e-xF’(x)．从而e-xF’(x)F(x)=x+1．这是关于F(x)的一个变量可分离的微分方程，分离变量得F(x)F’(x)=(x+1)ex，(*)两边积分得F2(x)=∫2(x+1)exdx=2xex+C．因F(0)=1，所以C=1，从而得F2(x)=2xex+1．以下证明：当x∈(一∞，+∞)时2xex+1＞0．令φ(x)=2xex+1，有φ’(x)=2(x+1)ex，令φ’(x)=0得唯一驻点x0=一1．当x＜一1时φ’(x)＜0，当x＞一1时φ’(x)＞0．故唯一驻点为φ(x)的最小值点，于是有φ(x)≥φ(一1)=一2e-1+1＞0．从而(开方取“+”原因是F(0)=1)，所以知识点解析：暂无解析29、求连接两点A(0，1)与B(1，0)的一条可微曲线，它位于弦AB的上方，并且对于此弧上的任意一条弦AP，该曲线与弦AP之间的面积为x4，其中x为点P的横坐标．标准答案：如图1．6—1所示，点A(0，1)，B(1，0)，曲线AB的方程为y=f(x)，点P(x，f(x))．由直线方程的两点式知，弦AP的方程为其中(X，Y)为弦AP上流动点的坐标．由题设条件知，图中阴影部分的面积为x，即两边求导，化为常微分方程：即xf’(x)一f(x)=一8x3一1．初始条件为f(1)=0．按一阶非齐次线性微分方程通解公式得又由f(1)=0，得C=3．得f(x)=一4x3+3x+1．知识点解析：暂无解析30、设y=y(x)是区间(一π，π)内过点的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续)．当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．标准答案：当一π由题意，法线斜率为所以有分离变量，解得x2+y2=C，由初始条件得C=π2，所以当0≤x<π时，y"+y+x=0的通解为y=C1cosx+C2sinx—x，②y’=一C1sinx+C2cosx一1．③因为曲线y=y(x)光滑，所以y(x)连续且其导函数也连续，由①式知代入②，③式，得C1=π，C2=1，故y=πcosx+sinx—x，0≤x＜π．综上，知知识点解析：暂无解析考研数学二（微分方程）模拟试卷第5套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、微分方程的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：特征方程r2+r+1=0，特征根为而是特征根，所以特解的形式为2、设f(x)，f’(x)为已知的连续函数，则方程y’+f’(x)y=f(x)f’(x)的通解是()A、y=f(x)+Ce-f(x)B、y=f(x)+1+Ce-f(x)C、y=f(x)一C+Ce-f(x)D、y=f(x)一1+Ce-f(x)标准答案：D知识点解析：由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得3、微分方程满足y(1)=0的特解是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：将原方程变形为这是一阶齐次微分方程，令则代入原方程得分离变量得两端积分得由y(1)=0可得C=0，进而导出再将代入得到应选(B)．4、设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3B、C1y1+C2y2一(C1+C2)y3C、C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3D、C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3标准答案：D知识点解析：由于C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3，其中y1一y3和y2一y3是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又y3是原方程的一个特解，所以(D)是原方程的通解．5、函数(其中C时任意常数)对微分方程而言，()A、是通解B、是特解C、是解，但既非通解也非特解D、不是解标准答案：C知识点解析：①因原方程阶数为二，所以通解中应包含两个任意常数(可求出通解为②特解中不含有任意常数③满足原方程，故选项(A)，(B)，(D)都不对，应选(C)．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)①的3个解，且则式①的通解为__________．标准答案：y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3)+y1，其中C1，C2为任意常数知识点解析：由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关即可．y1一y2与y2一y3均是式①对应的齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=0②的两个解．现证它们线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数k1与k2使k1(y1一y2)+k2(y2一y3)=0．③设k1≠0，又由题设知y2一y3≠0，于是式③可改写为矛盾．若k1=0，由y2一y3≠0，故由式③推知k2=0矛盾．这些矛盾证得y1一y2与y2一y3线性无关．于是Y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3)为式②的通解，其中C1，C2为任意常数，从而知y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3)+y1为式①的通解．7、设y1=ex，y2=x2为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为__________．标准答案：知识点解析：由于方程结构已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可．方法一设所求的二阶齐次线性微分方程为y"+p(x)y’+q(x)y=0．分别将y1=ex，y2=x2代入，得解得所求方程为方法二由于y1=ex与y2=x2线性无关，故该二阶齐次线性微分方程的通解为y=C1ex+C2x2，①y’=C1e2+2C2x，②y"=C1ex+2C2．③由式①，式②，式③消去C1与C2便得如上所填．8、微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=___________．标准答案：(x+C)cosx，其中C为任意常数知识点解析：属于一阶非齐次线性方程，直接利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式即可得出答案．9、微分方程y"一4y=e2x的通解为y=___________．标准答案：其中C1，C2为任意常数知识点解析：y"一4y=0的特征根λ=±2，则其通解为y=C1e-2x+C2e2x．设其特解y*=Axe2x代入y"一4y=e2x，可解得所以y"一4y=e2x的通解为其中C1，C2为任意常数．10、微分方程y’tanx=ylny的通解是___________．标准答案：y=eCsinx，其中C为任意常数知识点解析：原方程分离变量，有积分得ln|lny|=ln|sinx|+lnC1．故通解为lny=Csinx(C=±C1)，即y=eCsinx，其中C为任意常数．11、微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是___________．标准答案：3x2+xy=C，其中C为任意常数知识点解析：原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程．方法一原方程化为由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得即3x2+xy=C，其中C为任意常数．方法二原方程可写为6xdx+ydx+xdy=0，有d(3x2+xy)=0，积分得通解3x2+xy=C，其中C为任意常数．12、微分方程的通解是_________．标准答案：y=C1e3x+C2e2x，其中C1，C2为任意常数知识点解析：原方程